高等代數(shù)考試試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，若\(|A|=0\)，則（）A.\(A\)的列向量組線性無關(guān)B.\(A\)的行向量組線性無關(guān)C.\(A\)不可逆D.\(A\)是零矩陣答案：C2.向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)線性相關(guān)的充要條件是（）A.其中有零向量B.向量組中任意兩個向量成比例C.向量組中至少有一個向量可由其余向量線性表示D.向量組中每個向量都可由其余向量線性表示答案：C3.設(shè)\(A\)是\(m\timesn\)矩陣，\(Ax=0\)僅有零解的充要條件是（）A.\(m=n\)B.\(r(A)=m\)C.\(r(A)=n\)D.\(r(A)\ltn\)答案：C4.若\(A\)是正交矩陣，則下列說法錯誤的是（）A.\(A^TA=E\)B.\(|A|=1\)C.\(A\)可逆D.\(A\)的列向量組是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組答案：B5.多項式\(f(x)\)與\(g(x)\)的最大公因式\(d(x)\)滿足（）A.\(d(x)\)唯一B.\(d(x)\)不唯一C.\(d(x)\)次數(shù)為\(0\)D.\(d(x)\)整除\(f(x)\)但不整除\(g(x)\)答案：A6.設(shè)\(A,B\)為\(n\)階方陣，且\(AB=0\)，則（）A.\(A=0\)或\(B=0\)B.\(|A|=0\)或\(|B|=0\)C.\(A+B=0\)D.\(A\)與\(B\)都不可逆答案：B7.若矩陣\(A\)與\(B\)相似，則（）A.\(A=B\)B.\(|A|=|B|\)C.\(A\)與\(B\)有不同的特征值D.\(A\)與\(B\)秩不相等答案：B8.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2\)是（）A.正定二次型B.負(fù)定二次型C.不定二次型D.半正定二次型答案：A9.設(shè)\(V\)是\(n\)維線性空間，\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\)是\(V\)的一組基，\(\beta\inV\)，則\(\beta\)可由\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\)（）A.唯一線性表示B.不唯一線性表示C.不能線性表示D.有時能有時不能線性表示答案：A10.若\(A\)是\(n\)階方陣，\(\lambda\)是\(A\)的一個特征值，則\(\lambda\)滿足（）A.\(|A-\lambdaE|=0\)B.\(|A+\lambdaE|=0\)C.\(A\lambda=0\)D.\(\lambdaA=0\)答案：A二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列關(guān)于矩陣運(yùn)算正確的有（）A.\((AB)^T=B^TA^T\)B.\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)（當(dāng)\(AB=BA\)時）C.\(k(AB)=(kA)B=A(kB)\)D.\(A^mA^n=A^{m+n}\)答案：ACD2.向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)線性無關(guān)，則（）A.其部分組線性無關(guān)B.增加一個向量后線性無關(guān)C.去掉一個向量后線性無關(guān)D.向量組中任意兩個向量線性無關(guān)答案：ACD3.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，下列說法正確的有（）A.若\(A\)可逆，則\(A\)的伴隨矩陣\(A^\)可逆B.若\(|A|=0\)，則\(r(A)\ltn\)C.若\(A\)對稱，則\(A^T=A\)D.若\(A\)反對稱，則\(A^T=-A\)答案：ABCD4.關(guān)于多項式的性質(zhì)，正確的有（）A.兩個多項式的和是多項式B.兩個多項式的積是多項式C.若\(f(x)\)整除\(g(x)\)，\(g(x)\)整除\(h(x)\)，則\(f(x)\)整除\(h(x)\)D.零多項式整除任意多項式答案：ABC5.下列屬于線性空間的有（）A.全體\(n\)階實對稱矩陣，對矩陣的加法和數(shù)乘運(yùn)算B.全體\(n\)次實系數(shù)多項式，對多項式的加法和數(shù)乘運(yùn)算C.三維實向量空間中與某一固定向量垂直的全體向量，對向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算D.全體\(n\)階可逆矩陣，對矩陣的加法和數(shù)乘運(yùn)算答案：AC6.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，\(\lambda\)是\(A\)的特征值，\(\xi\)是對應(yīng)的特征向量，則（）A.\(A\xi=\lambda\xi\)B.\((A-\lambdaE)\xi=0\)C.不同特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)D.特征向量非零向量答案：ABCD7.關(guān)于二次型，下列說法正確的有（）A.二次型可以用矩陣形式表示B.正定二次型的矩陣是正定矩陣C.合同變換不改變二次型的正定性D.二次型的標(biāo)準(zhǔn)形不唯一答案：ABCD8.若\(A\)與\(B\)等價，則（）A.\(r(A)=r(B)\)B.存在可逆矩陣\(P,Q\)，使得\(PAQ=B\)C.\(A\)與\(B\)有相同的行列式（若\(A,B\)為方陣）D.\(A\)與\(B\)有相同的秩和相同的行數(shù)、列數(shù)答案：ABD9.設(shè)\(V_1,V_2\)是線性空間\(V\)的子空間，則（）A.\(V_1\capV_2\)是\(V\)的子空間B.\(V_1+V_2\)是\(V\)的子空間C.\(\dim(V_1+V_2)=\dimV_1+\dimV_2\)D.\(\dim(V_1\capV_2)+\dim(V_1+V_2)=\dimV_1+\dimV_2\)答案：ABD10.以下關(guān)于線性方程組解的情況說法正確的有（）A.齊次線性方程組\(Ax=0\)一定有解B.非齊次線性方程組\(Ax=b\)有解的充要條件是\(r(A)=r(A|b)\)C.齊次線性方程組\(Ax=0\)只有零解時，非齊次線性方程組\(Ax=b\)有唯一解D.非齊次線性方程組\(Ax=b\)有無窮多解時，其對應(yīng)的齊次線性方程組\(Ax=0\)有非零解答案：ABD三、判斷題（每題2分，共10題）1.若\(A,B\)為\(n\)階方陣，且\(AB=BA\)，則\((AB)^n=A^nB^n\)。（）答案：對2.向量組中向量個數(shù)大于向量維數(shù)時，向量組一定線性相關(guān)。（）答案：對3.若\(A\)是\(n\)階方陣，\(A\)可逆，則\(A\)的行向量組線性相關(guān)。（）答案：錯4.任意兩個\(n\)階方陣都可以相加。（）答案：錯5.多項式\(f(x)\)與\(g(x)\)的次數(shù)相同，則\(f(x)=g(x)\)。（）答案：錯6.線性空間\(V\)中零向量是唯一的。（）答案：對7.若矩陣\(A\)的特征值都為\(0\)，則\(A=0\)。（）答案：錯8.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=-x_1^2-2x_2^2-3x_3^2\)是負(fù)定二次型。（）答案：對9.若\(A\)與\(B\)相似，則\(A\)與\(B\)有相同的特征向量。（）答案：錯10.矩陣\(A\)的秩等于其行向量組的秩，也等于其列向量組的秩。（）答案：對四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述矩陣可逆的充要條件。答案：\(n\)階方陣\(A\)可逆的充要條件是\(|A|\neq0\)，或存在\(n\)階方陣\(B\)使得\(AB=BA=E\)，或\(r(A)=n\)，或\(A\)的列（行）向量組線性無關(guān)。2.如何判斷向量組的線性相關(guān)性？答案：可通過定義判斷，看是否存在不全為零的數(shù)使得向量組的線性組合為零向量；也可利用向量組構(gòu)成矩陣的秩判斷，若秩小于向量個數(shù)則線性相關(guān)，等于向量個數(shù)則線性無關(guān)。3.簡述二次型正定的判定方法。答案：可通過定義，對任意非零向量\(x\)，\(x^TAx\gt0\)則正定；也可看二次型矩陣\(A\)的各階順序主子式都大于\(0\)來判定。4.簡述相似矩陣的性質(zhì)。答案：相似矩陣有相同的行列式、相同的秩、相同的特征值；若\(A\)與\(B\)相似，\(f(x)\)是多項式，則\(f(A)\)與\(f(B)\)相似；且\(A\)與\(B\)同時可逆或不可逆，可逆時逆矩陣也相似。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論線性方程組\(Ax=b\)解的結(jié)構(gòu)，在有解情況下，其通解是如何構(gòu)成的？答案：當(dāng)\(Ax=b\)有解，即\(r(A)=r(A|b)\)時。若\(r(A)=r(A|b)=n\)（\(n\)為未知數(shù)個數(shù)），有唯一解；若\(r(A)=r(A|b)\ltn\)，通解由其一個特解加上對應(yīng)的齊次線性方程組\(Ax=0\)的通解構(gòu)成，齊次通解是基礎(chǔ)解系的線性組合。2.討論矩陣的特征值與特征向量在實際問題中的應(yīng)用。答案：在實際中，如在力學(xué)、物理學(xué)等領(lǐng)域，特征值與特征向量可用于分析振動系統(tǒng)、研究物體的穩(wěn)定性等。在圖像處理中用于數(shù)據(jù)壓縮、模式識別等。例如在研究振動系統(tǒng)固有頻率時，特征值對應(yīng)固有頻率，特征向量反映振動模式。3.討論多項式的最大公因式在多項式理論中的地位和作用