PAGEPAGE1第2講綜合大題部分1．已知在平面直角坐標(biāo)系中，動點P(x，y)(x≥0)到點N(1,0)的距離比到y(tǒng)軸的距離大1.(1)求動點P的軌跡C的方程；(2)若過點M(2,0)的直線與軌跡C相交于A，B兩點，設(shè)點Q在直線x＋y－1＝0上，且滿意eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝teq\o(OQ,\s\up6(→))(O為坐標(biāo)原點)，求實數(shù)t的最小值．解析：(1)因為點P(x，y)(x≥0)到點N(1,0)的距離比到y(tǒng)軸的距離大1，所以|PN|－1＝|x|，將點P坐標(biāo)代入，并整理得y2＝4x.故點P的軌跡C的方程是y2＝4x.(2)由題意知直線AB的斜率存在且與拋物線y2＝4x有兩個交點，設(shè)直線AB：y＝k(x－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，Q(x，y)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－2，,y2＝4x，))得k2x2－4(k2＋1)x＋4k2＝0(k≠0)．Δ＝16(2k2＋1)>0恒成立，所以x1＋x2＝eq\f(4k2＋1,k2)，x1·x2＝4，因為eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝teq\o(OQ,\s\up6(→))，所以(x1＋x2，y1＋y2)＝t(x，y)，即x＝eq\f(x1＋x2,t)＝eq\f(4k2＋1,k2t)，y＝eq\f(y1＋y2,t)＝eq\f(kx1－2＋kx2－2,t)＝eq\f(kx1＋x2－4k,t)＝eq\f(4,tk)，又點Q在x＋y－1＝0上，所以eq\f(4k2＋1,k2t)＋eq\f(4,tk)－1＝0.所以t＝4(eq\f(1,k2)＋eq\f(1,k)＋1)＝4(eq\f(1,k)＋eq\f(1,2))2＋3≥3.故實數(shù)t的最小值為3.2．已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的長軸長為4，離心率為eq\f(1,2).(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過右焦點F作一條不與坐標(biāo)軸平行的直線l，若l交橢圓C于A、B兩點，點A關(guān)于原點O的對稱點為D，求△ABD的面積的取值范圍．解析：(1)∵橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的長軸長為4，離心率為eq\f(1,2)，∴2a＝4，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，又a2－b2＝c2，∴a＝2，b＝eq\r(3)，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)∵D是點A關(guān)于原點的對稱點，∴原點O是線段AD的中點，則S△ABD＝2S△ABO＝2×eq\f(1,2)×|AB|×dO＝|AB|×dO(dO為點O到直線l的距離)，由直線l過右焦點F，且不與坐標(biāo)軸平行，可設(shè)直線l：x＝my＋1，m≠0，聯(lián)立方程得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝my＋1，,3x2＋4y2＝12，))得(3m2＋4)y2＋6設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y1＋y2＝－\f(6m,3m2＋4)，,y1y2＝－\f(9,3m2＋4)，))得|AB|＝eq\r(1＋m2)|y1－y2|＝eq\r(1＋m2)eq\r(y1＋y22－4y1y2)＝eq\f(12m2＋1,3m2＋4).又dO＝eq\f(1,\r(m2＋1))，則S△ABD＝eq\f(12m2＋1,3m2＋4)×eq\f(1,\r(m2＋1))＝eq\f(12\r(m2＋1),3m2＋4)＝eq\f(12\r(m2＋1),3m2＋1＋1)＝eq\f(12,3\r(m2＋1)＋\f(1,\r(m2＋1)))，令t＝eq\r(m2＋1)∈(1，＋∞)，則y＝3t＋eq\f(1,t)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，則3t＋eq\f(1,t)∈(4，＋∞)，則S△ABD＝eq\f(12,3\r(m2＋1)＋\f(1,\r(m2＋1)))∈(0,3)，即△ABD的面積的取值范圍為(0,3)．3．(2024·高考浙江卷)如圖，已知點P是y軸左側(cè)(不含y軸)一點，拋物線C：y2＝4x上存在不同的兩點A，B滿意PA，PB的中點均在C上．(1)設(shè)AB中點為M，證明：PM垂直于y軸；(2)若P是半橢圓x2＋eq\f(y2,4)＝1(x<0)上的動點，求△PAB面積的取值范圍．解析：(1)證明：設(shè)P(x0，y0)，A(eq\f(1,4)yeq\o\al(2,1)，y1)，B(eq\f(1,4)yeq\o\al(2,2)，y2)．因為PA，PB的中點在拋物線上，所以y1，y2為方程(eq\f(y＋y0,2))2＝4·eq\f(\f(1,4)y2＋x0,2)即y2－2y0y＋8x0－yeq\o\al(2,0)＝0的兩個不同的實根．所以y1＋y2＝2y0，因此，PM垂直于y軸．(2)由(1)可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y1＋y2＝2y0，,y1y2＝8x0－y\o\al(2,0)，))所以|PM|＝eq\f(1,8)(yeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,2))－x0＝eq\f(3,4)yeq\o\al(2,0)－3x0，|y1－y2|＝2eq\r(2y\o\al(2,0)－4x0).因此，△PAB的面積S△PAB＝eq\f(1,2)|PM|·|y1－y2|＝eq\f(3\r(2),4)(yeq\o\al(2,0)－4x0)eq\f(3,2).因為xeq\o\al(2,0)＋eq\f(y\o\al(2,0),4)＝1(x0<0)，所以yeq\o\al(2,0)－4x0＝－4xeq\o\al(2,0)－4x0＋4∈[4,5]，因此，△PAB面積的取值范圍是[6eq\r(2)，eq\f(15\r(10),4)]．4．(2024·高考天津卷)設(shè)橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右頂點為A，上頂點為B，已知橢圓的離心率為eq\f(\r(5),3)，|AB|＝eq\r(13).(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線l：y＝kx(k<0)與橢圓交于P，Q兩點，l與直線AB交于點M，且點P，M均在第四象限．若△BPM的面積是△BPQ面積的2倍，求k的值．解析：(1)設(shè)橢圓的焦距為2c，由已知有eq\f(c2,a2)＝eq\f(5,9)，又由a2＝b2＋c2，可得2a＝3b由|AB|＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(13)，從而a＝3，b＝2.所以，橢圓的方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1.(2)設(shè)點P的坐標(biāo)為(x1，y1)，點M的坐標(biāo)為(x2，y2)，由題意知，x2>x1>0，點Q的坐標(biāo)為(－x1，－y1)．由△BPM的面積是△BPQ面積的2倍，可得|PM|＝2|PQ|，從而x2－x1＝2[x1－(－x1)]，即x2＝5x1.易知直線AB的方程為2x＋3y＝6，由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝6，,y＝kx，))消去y，可得x2＝eq\f(6,3k＋2).由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,9)＋\f(y2,4)＝1，,y＝kx，))消去y，可得x1＝eq\f(6,\r(9k2＋4)).由x2＝5x1，可得