PAGEPAGE1第五講相互獨立事務(wù)【套路秘籍】【套路秘籍】千里之行始于足下1.對于事務(wù)A，B，若A的發(fā)生與B的發(fā)生互不影響，則稱A，B是相互獨立事務(wù)．2.若A與B相互獨立，則．3.若A與B相互獨立，則A與，與B，與也都相互獨立．4.若，則A與B相互獨立．【溫馨提示】①中至少有一個發(fā)生的事務(wù)為A∪B；②都發(fā)生的事務(wù)為AB；③都不發(fā)生的事務(wù)為；④恰有一個發(fā)生的事務(wù)為；⑤至多有一個發(fā)生的事務(wù)為.【修煉套路】【修煉套路】為君聊賦《今日詩》，努力請從今日始考向一獨立重復(fù)事務(wù)【例1】某小區(qū)停車場的收費標準為：每車每次停車的時間不超過2小時免費，超過2小時的部分每小時收費1元(不足1小時的部分按1小時計算)．現(xiàn)有甲、乙兩人獨立來該停車場停車(各停車一次)，且兩人停車時間均不超過5小時．設(shè)甲、乙兩人停車時間(小時)與取車概率如下表所示.停車時間取車概率停車人員(0,2](2,3](3,4](4,5]甲eq\f(1,2)xxx乙eq\f(1,6)eq\f(1,3)y0(1)求甲、乙兩人所付停車費相同的概率；(2)設(shè)甲、乙兩人所付停車費之和為隨機變量ξ，求ξ的概率分布與均值E(ξ)．【答案】（1）eq\f(2,9)（2）見解析【解析】(1)由題意，得eq\f(1,2)＋3x＝1，所以x＝eq\f(1,6).eq\f(1,6)＋eq\f(1,3)＋y＝1，所以y＝eq\f(1,2).記甲、乙兩人所付停車費相同為事務(wù)A，則P(A)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)×eq\f(1,2)＝eq\f(2,9).所以甲、乙兩人所付停車費相同的概率為eq\f(2,9).(2)ξ可能取的值為0,1,2,3,4,5，P(ξ＝0)＝eq\f(1,12)，P(ξ＝1)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)×eq\f(1,6)＝eq\f(7,36)，P(ξ＝2)＝eq\f(1,6)×eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,3)，P(ξ＝3)＝eq\f(1,6)×eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6)，P(ξ＝4)＝eq\f(1,6)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)×eq\f(1,3)＝eq\f(5,36)，P(ξ＝5)＝eq\f(1,6)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,12).所以ξ的概率分布為ξ012345Peq\f(1,12)eq\f(7,36)eq\f(1,3)eq\f(1,6)eq\f(5,36)eq\f(1,12)所以E(ξ)＝0×eq\f(1,12)＋1×eq\f(7,36)＋2×eq\f(1,3)＋3×eq\f(1,6)＋4×eq\f(5,36)＋5×eq\f(1,12)＝eq\f(7,3).【套路總結(jié)】【套路總結(jié)】求相互獨立事務(wù)同時發(fā)生的概率(1)首先推斷幾個事務(wù)的發(fā)生是否相互獨立．(2)求相互獨立事務(wù)同時發(fā)生的概率的方法①利用相互獨立事務(wù)的概率乘法公式干脆求解；②正面計算較煩瑣或難以入手時，可從其對立事務(wù)入手計算．【舉一反三】1.為迎接2024年北京冬奧會，推廣滑雪運動，某滑雪場開展滑雪促銷活動．該滑元(不足1小時的部分按1小時計算)．有甲、乙兩人相互獨立地來該滑雪場運動，設(shè)甲、乙不超過1小時離開的概率分別為eq\f(1,4)，eq\f(1,6)；1小時以上且不超過2小時離開的概率分別為eq\f(1,2)，eq\f(2,3)；兩人滑雪時間都不會超過3小時．(1)求甲、乙兩人所付滑雪費用相同的概率；(2)設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪費用之和為隨機變量ξ，求ξ的概率分布與均值E(ξ)，方差V(ξ)．【答案】見解析【解析】(1)兩人所付費用相同，相同的費用可能為0,40,80元，甲、乙兩人2小時以上且不超過3小時離開的概率分別為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)－\f(1,2)))＝eq\f(1,4)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,6)－\f(2,3)))＝eq\f(1,6).兩人都付0元的概率為P1＝eq\f(1,4)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,24)，兩人都付40元的概率為P2＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)，兩人都付80元的概率為P3＝eq\f(1,4)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,24)，則兩人所付費用相同的概率為P＝P1＋P2＋P3＝eq\f(1,24)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,24)＝eq\f(5,12).(2)設(shè)甲、乙所付費用之和為ξ，ξ的可能取值為0,40,80,120,160，則P(ξ＝0)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,24)，P(ξ＝40)＝eq\f(1,4)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,4)，P(ξ＝80)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,6)＋eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,6)＝eq\f(5,12)，P(ξ＝120)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,6)＋eq\f(1,4)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,4)，P(ξ＝160)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,24).所以ξ的概率分布為ξ04080120160Peq\f(1,24)eq\f(1,4)eq\f(5,12)eq\f(1,4)eq\f(1,24)E(ξ)＝0×eq\f(1,24)＋40×eq\f(1,4)＋80×eq\f(5,12)＋120×eq\f(1,4)＋160×eq\f(1,24)＝80.V(ξ)＝(0－80)2×eq\f(1,24)＋(40－80)2×eq\f(1,4)＋(80－80)2×eq\f(5,12)＋(120－80)2×eq\f(1,4)＋(160－80)2×eq\f(1,24)＝eq\f(4000,3).2．從甲地到乙地要經(jīng)過3個十字路口，設(shè)各路口信號燈工作相互獨立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4).(1)設(shè)X表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個數(shù)，求隨機變量X的概率分布和均值；(2)若有2輛車獨立地從甲地到乙地，求這2輛車共遇到1個紅燈的概率．【答案】見解析【解析】(1)隨機變量X的全部可能取值為0,1,2,3，P(X＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＝eq\f(1,4)，P(X＝1)＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\f(1,4)＝eq\f(11,24)，P(X＝2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\f(1,3)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＝eq\f(1,4)，P(X＝3)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,24).所以隨機變量X的概率分布為X0123Peq\f(1,4)eq\f(11,24)eq\f(1,4)eq\f(1,24)E(X)＝0×eq\f(1,4)＋1×eq\f(11,24)＋2×eq\f(1,4)＋3×eq\f(1,24)＝eq\f(13,12).為P(Y＋Z＝1)＝P(Y＝0，Z＝1)＋P(Y＝1，Z＝0)＝P(Y＝0)P(Z＝1)＋P(Y＝1)P(Z＝0)＝eq\f(1,4)×eq\f(11,24)＋eq\f(11,24)×eq\f(1,4)＝eq\f(11,48).所以這2輛車共遇到1個紅燈的概率為eq\f(11,48).考向二均值與方差在決策中的應(yīng)用【例2】安排在某水庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機的水電站．過去50年的水文資料顯示，水庫年入流量X(年入流量：一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和．單位：億立方米)都在40以上．其年，將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率，并假設(shè)各年的入流量相互獨立．(1)求將來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率；(2)水電站希望安裝的發(fā)電機盡可能運行，但每年發(fā)電機最多可運行臺數(shù)受年入流量X限制，并有如下關(guān)系：年入流量X40<X<8080≤X≤120X>120發(fā)電機最多可運行臺數(shù)123若某臺發(fā)電機運行，則該臺發(fā)電機年利潤為5000萬元；若某臺發(fā)電機未運行，則該臺發(fā)電機年虧損800萬元．欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機多少臺？【答案】見解析【解析】(1)由題意，得p1＝P(40<X<80)＝eq\f(10,50)＝0.2，p2＝P(80≤X≤120)＝eq\f(35,50)＝0.7，p3＝P(X>120)＝eq\f(5,50)＝0.1.由二項分布可知，在將來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率為p＝Ceq\o\al(0,4)(1－p3)4＋Ceq\o\al(1,4)(1－p3)3p3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)))4＋4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)))3×eq\f(1,10)＝0.9477.(2)記水電站年總利潤為Y(單位：萬元)．①安裝1臺發(fā)電機的情形．由于水庫年入流量總大于40，故一臺發(fā)電機運行的概率為1，對應(yīng)的年利潤Y＝5000，E(Y)＝5000×1＝5000.②安裝2臺發(fā)電機的情形．依題意，當40<X<80時，一臺發(fā)電機運行，此時Y＝5000－800＝4200，因此P(Y＝4200)＝P(40<X<80)＝p1＝0.2；當X≥80時，兩臺發(fā)電機運行，此時Y＝5000×2＝10000，因此P(Y＝10000)＝P(X≥80)＝p2＋p3＝0.8.由此得Y的概率分布為Y420010000P0.20.8所以，E(Y)＝4200×0.2＋10000×0.8＝8840.③安裝3臺發(fā)電機的情形．依題意，當40<X<80時，一臺發(fā)電機運行，此時Y＝5000－1600＝3400，因此P(Y＝3400)＝P(40<X<80)＝p1＝0.2；當80≤X≤120時，兩臺發(fā)電機運行，此時Y＝5000×2－800＝9200，因此P(Y＝9200)＝P(80≤X≤120)＝p2＝0.7；當X>120時，三臺發(fā)電機運行，此時Y＝5000×3＝15000，因此P(Y＝15000)＝P(X>120)＝p3＝0.1，由此得Y的概率分布為Y3400920015000P0.20.70.1所以，E(Y)＝3400×0.2＋9200×0.7＋15000×0.1＝8620.綜上，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機2臺．【套路總結(jié)】【套路總結(jié)】隨機變量的均值反映了隨機變量取值的平均水平，方差反映了隨機變量穩(wěn)定于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機變量，是生產(chǎn)實際中用于方案取舍的重要理論依據(jù)．一般先比較均值，若均值相同，再用方差來確定．【舉一反三】1.某投資公司在2024年年初打算將1000萬元投資到“低碳”項目上，現(xiàn)有兩個項目供選擇：項目一：新能源汽車．據(jù)市場調(diào)研，投資到該項目上，到年底可能獲利30%，也可能虧損15%，且這兩種狀況發(fā)生的概率分別為eq\f(7,9)和eq\f(2,9)；項目二：通信設(shè)備．據(jù)市場調(diào)研，投資到該項目上，到年底可能獲利50%，可能損失30%，也可能不賠不賺，且這三種狀況發(fā)生的概率分別為eq\f(3,5)，eq\f(1,3)和eq\f(1,15).針對以上兩個投資項目，請你為投資公司選擇一個合理的項目，并說明理由．【答案】見解析【解析】若按“項目一”投資，設(shè)獲利為X1萬元，則X1的概率分布為X1300－150Peq\f(7,9)eq\f(2,9)∴E(X1)＝300×eq\f(7,9)＋(－150)×eq\f(2,9)＝200.若按“項目二”投資，設(shè)獲利為X2萬元，則X2的概率分布為X2500－3000Peq\f(3,5)eq\f(1,3)eq\f(1,15)∴E(X2)＝500×eq\f(3,5)＋(－300)×eq\f(1,3)＋0×eq\f(1,15)＝200.V(X1)＝(300－200)2×eq\f(7,9)＋(－150－200)2×eq\f(2,9)＝35000，V(X2)＝(500－200)2×eq\f(3,5)＋(－300－200)2×eq\f(1,3)＋(0－200)2×eq\f(1,15)＝140000.∴E(X1)＝E(X2)，V(X1)<V(X2)，這說明雖然項目一、項目二獲利相等，但項目一更穩(wěn)妥．綜上所述，建議該投資公司選擇項目一投資．2.為回饋顧客，某商場擬通過模擬兌獎的方式對1000位顧客進行嘉獎，規(guī)定：每位顧客從一個裝有4個標有面值的球的袋中一次性隨機摸出2個球，球上所標的面值之和為該顧客所獲的嘉獎額．(1)若袋中所裝的4個球中有1個所標的面值為50元，其余3個均為10元，求：①顧客所獲的嘉獎額為60元的概率；②顧客所獲的嘉獎額的概率分布及均值；(2)商場對嘉獎總額的預(yù)算是60000元，并規(guī)定袋中的4個球只能由標有面值10元和50元的兩種球組成，或標有面值20元和40元的兩種球組成．為了使顧客得到的嘉獎總額盡可能符合商場的預(yù)算且每位顧客所獲的嘉獎額相對均衡，請對袋中的4個球的面值給出一個合適的設(shè)計，并說明理由．【答案】見解析【解析】(1)設(shè)顧客所獲的嘉獎額為X.①由題意，得P(X＝60)＝eq\f(C\o\al(1,1)C\o\al(1,3),C\o\al(2,4))＝eq\f(1,2)，即顧客所獲的嘉獎額為60元的概率為eq\f(1,2).②由題意，得X的全部可能取值為20,60.P(X＝60)＝eq\f(1,2)，P(X＝20)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,4))＝eq\f(1,2)，故X的概率分布為X2060Peq\f(1,2)eq\f(1,2) 所以顧客所獲的嘉獎額的均值為E(X)＝20×eq\f(1,2)＋60×eq\f(1,2)＝40.(2)依據(jù)商場的預(yù)算，每個顧客的平均嘉獎額為60元，所以，先找尋均值為60的可能方案．對于面值由10元和50元組成的狀況，假如選擇(10,10,10,50)的方案，因為60元是面值之和的最大值，所以均值不行能為60元；假如選擇(50,50,50,10)的方案，因為60元是面值之和的最小值，所以均值也不行能為60元；因此可能的方案是(10,10,50,50)，記為方案1.對于面值由20元和40元組成的狀況，同理可解除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，記為方案2.以下是對兩個方案的分析．對于方案1，即方案(10,10,50,50)，設(shè)顧客所獲的嘉獎額為X1，則X1的概率分布為X12060100Peq\f(1,6)eq\f(2,3)eq\f(1,6)X1的均值為E(X1)＝20×eq\f(1,6)＋60×eq\f(2,3)＋100×eq\f(1,6)＝60，X1的方差為V(X1)＝(20－60)2×eq\f(1,6)＋(60－60)2×eq\f(2,3)＋(100－60)2×eq\f(1,6)＝eq\f(1600,3).對于方案2，即方案(20,20,40,40)，設(shè)顧客所獲的嘉獎額為X2，則X2的概率分布為X2406080Peq\f(1,6)eq\f(2,3)eq\f(1,6)X2的均值為E(X2)＝40×eq\f(1,6)＋60×eq\f(2,3)＋80×eq\f(1,6)＝60，X2的方差為V(X2)＝(40－60)2×eq\f(1,6)＋(60－60)2×eq\f(2,3)＋(80－60)2×eq\f(1,6)＝eq\f(400,3).由于兩種方案的嘉獎額的均值都符合要求，但方案2嘉獎額的方差比方案1的小，所以應(yīng)當選擇方案2.【運用套路】【運用套路】紙上得來終覺淺,絕知此事要躬行1．現(xiàn)有甲、乙、丙三名學生參與某高校的自主招生考試，考試分兩輪，第一輪筆試，其次輪面試，只有第一輪筆試通過才有資格進入其次輪面試，面試通過就可以在高考錄用中獲得該校的實惠加分，兩輪考試相互獨立.依據(jù)以往多次的模擬測試，甲、乙、丙三名學生能通過筆試的概率分別為0.4，0.8，0.5，能通過面試的概率分別為0.8，0.4，0.64.依據(jù)這些數(shù)據(jù)我們可以預(yù)料：（1）甲、乙、丙三名學生中至少有兩名學生通過第一輪筆試的概率；（2）甲、乙、丙三名學生能獲得該校實惠加分的人數(shù)的數(shù)學期望.【答案】(1)0.6(2)0.96【解析】（1）記事務(wù)：甲通過第一輪筆試，事務(wù)：乙通過第一輪筆試，事務(wù)：丙通過第一輪筆試，事務(wù)：至少有兩名學生通過第一輪筆試，則，，.，，，所以至少有兩名學生通過第一輪筆試的概率為。（2）因為甲、乙、丙三名學生中每個人獲得實惠加分的概率均為，所以，故。2．籃球運動于1891年起源于美國，它是由美國馬薩諸塞州斯普林菲爾德（舊譯麻省春田）市基督教青年會（）訓(xùn)練學校的體育老師詹姆士·奈史密斯博士（）獨創(chuàng).它是以投籃、上籃和扣籃為中心的對抗性體育運動之一，是可以增加體質(zhì)的一種運動.已知籃球的競賽中，得分規(guī)則如下：3分線外側(cè)投入可得3分，3分線內(nèi)側(cè)投入可得2分，不進得0分.經(jīng)過多次試驗，某人投籃100次，有20個是3分線外側(cè)投入，30個是3分線內(nèi)側(cè)投入，其余不能入籃，且每次投籃為相互獨立事務(wù).（1）求該人在4次投籃中恰有三次是3分線外側(cè)投入的概率；（2）求該人在4次投籃中至少有一次是3分線外側(cè)投入的概率；（3）求該人兩次投籃后得分的分布列及數(shù)學期望.【答案】(1)(2)(3)見解析【解析】“3分線外側(cè)投入”“3分線內(nèi)側(cè)投入”“不能入籃”分別記為事務(wù)，，，則由題意知：，，.（1）因為每次投籃為相互獨立事務(wù)，故4次投籃中恰有三次是3分線外側(cè)投入的概率為.（2）記“該人在4次投籃中至少有一次是3分線外側(cè)投入”為事務(wù)，則“該人在4次投籃中沒有一次是3分線外側(cè)投入”為事務(wù).易知，則.即該人在4次投籃中至少有一次是3分線外側(cè)投入的概率為.（3）兩次投籃后得分的得分可能取值為0，2，3，4，5，6，由于該人兩次投籃互不影響，是相互獨立事務(wù)，表示兩次投籃都不能入籃，則；表示一次是3分線內(nèi)側(cè)投入，另一次不能入籃，則；表示一次是3分線外側(cè)投入，另一次不能入籃，則；表示兩次都是3分線內(nèi)側(cè)投入，則；表示一次是3分線外側(cè)投入，另一次是3分線內(nèi)側(cè)投入，則；表示兩次都是3分線外側(cè)投入，則.所以的分布列為023456P數(shù)學期望為.3．某工廠有甲乙兩個車間，每個車間各有3臺機器．甲車間每臺機器每天發(fā)生故障的概率均為，乙車間3臺機器每天發(fā)生概率分別為．若一天內(nèi)同一車間的機器都不發(fā)生故障可獲利2萬元，恰有一臺機器發(fā)生故障仍可獲利1萬元，恰有兩臺機器發(fā)生故障的利潤為0萬元，三臺機器發(fā)生故障要虧損3萬元．（1）求乙車間每天機器發(fā)生故障的臺數(shù)的分布列；（2）由于節(jié)能減排，甲乙兩個車間必需停產(chǎn)一個，以工廠獲得利潤的期望值為決策依據(jù)，你認為哪個車間停產(chǎn)比較合理．【答案】(1)見解析(2)甲車間停產(chǎn)比較合理．【解析】（1）乙車間每天機器發(fā)生故障的臺數(shù)為，則的可能取值為0，1，2，3；且，，∴乙車間每天機器發(fā)生故障的臺數(shù)的分布列；0123P（2）設(shè)甲車間每臺機器每天發(fā)生故障的臺數(shù)，獲得的利潤為X，則，(k=0,1,2,3)；∴,由（1）得，∵，∴甲車間停產(chǎn)比較合理．4．某闖關(guān)嬉戲共有兩關(guān)，嬉戲規(guī)則：先闖第一關(guān)，當?shù)谝魂P(guān)闖過后，才能進入其次關(guān)，兩關(guān)都闖過，則闖關(guān)勝利，且每關(guān)各有兩次闖關(guān)機會.已知闖關(guān)者甲第一關(guān)每次闖過的概率均為，其次關(guān)每次闖過的概率均為.假設(shè)他不放棄每次闖關(guān)機會，且每次闖關(guān)互不影響.(1)求甲恰好闖關(guān)3次才闖關(guān)勝利的概率；(2)記甲闖關(guān)的次數(shù)為，求隨機變量的分布列和期望.?！敬鸢浮?1)(2)見解析【解析】（1）設(shè)事務(wù)為“甲恰好闖關(guān)次才闖關(guān)勝利的概率”，則有，（2）由已知得：隨機變量的全部可能取值為，所以，，，.從而234.5．某鮮花店每天制作、兩種鮮花共束，每束鮮花的成本為元，售價元，假如當天賣不完，剩下的鮮花作廢品處理.該鮮花店發(fā)覺這兩種鮮花每天都有剩余，為此整理了過往100天這兩種鮮花的日銷量（單位：束），得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)：種鮮花日銷量48495051天數(shù)25352020兩種鮮花日銷量48495051天數(shù)40351510以這100天記錄的各銷量的頻率作為各銷量的概率，假設(shè)這兩種鮮花的日銷量相互獨立.（1）記該店這兩種鮮花每日的總銷量為束，求的分布列.（2）鮮花店為了削減奢侈，提升利潤，確定調(diào)查每天制作鮮花的量束.以銷售這兩種鮮花的日總利潤的期望值為決策依據(jù)，在每天所制鮮花能全部賣完與之中選其一，應(yīng)選哪個？【答案】（1）詳見解析；（2）應(yīng)選.【解析】（1）全部可能的取值為96，97，98，99，100，101，102，，，，，，，.所以的分布列為969798991001011020.10.22750.240.22750.1350.050.02（2）記銷售兩種鮮花的日總利潤為.當每天所制鮮花能全部賣完時，，由于賣出1束利潤為元，作廢品處理1束虧元.所以時，.所以應(yīng)選.6．汽車租賃公司為了調(diào)查A，B兩種車型的出租狀況，現(xiàn)隨機抽取了這兩種車型各100輛汽車，分別統(tǒng)計了每輛車某個星期內(nèi)的出租天數(shù)，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：A型車出租天數(shù)1234567車輛數(shù)51030351532B型車出租天數(shù)1234567車輛數(shù)1420201615105(1)從出租天數(shù)為3天的汽車(僅限A，B兩種車型)中隨機抽取一輛，估計這輛汽車恰好是A型車的概率；(2)依據(jù)這個星期的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，估計該公司一輛A型車，一輛B型車一周內(nèi)合計出租天數(shù)恰好為4天的概率；(3)①試寫出A，B兩種車型的出租天數(shù)的概率分布及均值；②假如兩種車型每輛車每天出租獲得的利潤相同，該公司須要從A，B兩種車型中購買一輛，請你依據(jù)所學的統(tǒng)計學問，建議應(yīng)當購買哪一種車型，并說明你的理由．【答案】（1）0.6（2）A【解析】(1)這輛汽車是A型車的概率約為P＝eq\f(30,30＋20)＝0.6，故這輛汽車是A型車的概率為0.6.(2)設(shè)“事務(wù)Ai表示一輛A型車在一周內(nèi)出租天數(shù)恰好為i天”，“事務(wù)Bj表示一輛B型車在一周內(nèi)出租天數(shù)恰好為j天”，其中i，j＝1,2,3，…，7，則該公司一輛A型車，一輛B型車一周內(nèi)合計出租天數(shù)恰好為4天的概率為P(A1B3＋A2B2＋A3B1)＝P(A1B3)＋P(A2B2)＋P(A3B1)＝P(A1)P(B3)＋P(A2)P(B2)＋P(A3)P(B1)＝eq\f(5,100)×eq\f(20,100)＋eq\f(10,100)×eq\f(20,100)＋eq\f(30,100)×eq\f(14,100)＝eq\f(9,125)，故該公司一輛A型車，一輛B型車一周內(nèi)合計出租天數(shù)恰好為4天的概率為eq\f(9,125).(3)①設(shè)X為A型車出租的天數(shù)，則X的概率分布為X1234567P0.050.100.300.350.150.030.02設(shè)Y為B型車出租的天數(shù)，則Y的概率分布為Y1234567P0.140.200.200.160.150.100.05E(X)＝1×0.05＋2×0.10＋3×0.30＋4×0.35＋5×0.15＋6×0.03＋7×0.02＝3.62，E(Y)＝1×0.14＋2×0.20＋3×0.20＋4×0.16＋5×0.15＋6×0.10＋7×0.05＝3.48.②一輛A類車型的出租車一個星期出租天數(shù)的均值為3.62天，B類車型的出租車一個星期出租天數(shù)的均值為3.48天，故選擇A類型的出租車更加合理．7．2024年春節(jié)期間，某超市打算舉辦一次有獎促銷活動，若顧客一次消費達到400元則可參與一次抽獎活動，超市設(shè)計了兩種抽獎方案.方案一：一個不透亮的盒子中裝有30個質(zhì)地勻稱且大小相同的小球，其中10個紅球，20個白球，攪拌勻稱后，顧客從中隨機抽取一個球，若抽到紅球則顧客獲得60元的返金券，若抽到白球則獲得20元的返金券，且顧客有放回地抽取3次.方案二：一個不透亮的盒子中裝有30個質(zhì)地勻稱且大小相同的小球，其中10個紅球，20個白球，攪拌勻稱后，顧客從中隨機抽取一個球，若抽到紅球則顧客獲得80元的返金券，若抽到白球則未中獎，且顧客有放回地抽取3次.（1）現(xiàn)有兩位顧客均獲得抽獎機會，且都按方案一抽獎，試求這兩位顧客均獲得180元返金券的概率；（2）若某顧客獲得抽獎機會.①試分別計算他選擇兩種抽獎方案最終獲得返金券的數(shù)學期望；②為了吸引顧客消費，讓顧客獲得更多金額的返金券，該超市應(yīng)選擇哪一種抽獎方案進行促銷活動？【答案】(1)(2)①②第一種抽獎方案.【解析】（1）選擇方案一，則每一次摸到紅球的概率為設(shè)“每位顧客獲得180元返金劵”為事務(wù)A，則所以兩位顧客均獲得180元返金劵的概率（2）①若選擇抽獎方案一，則每一次摸到紅球的概率為，每一次摸到白球的概率為.設(shè)獲得返金劵金額為元，則可能的取值為60，100，140，180.則；；；.所以選擇抽獎方案一，該顧客獲得返金劵金額的數(shù)學期望為（元）若選擇抽獎方案二，設(shè)三次摸球的過程中，摸到紅球的次數(shù)為，最終獲得返金劵的金額為元，則，故所以選擇抽獎方案二，該顧客獲得返金劵金額的數(shù)學期望為（元）.②即，所以該超市應(yīng)選擇第一種抽獎方案8．某工廠的檢驗員為了檢測生產(chǎn)線上生產(chǎn)零件的狀況,從產(chǎn)品中隨機抽取了個進行測量,依據(jù)所測量的數(shù)據(jù)畫出頻率分布直方圖如下:注:尺寸數(shù)據(jù)在內(nèi)的零件為合格品,頻率作為概率.(Ⅰ)從產(chǎn)品中隨機抽取件,合格品的個數(shù)為,求的分布列與期望；(Ⅱ)從產(chǎn)品中隨機抽取件,全是合格品的概率不小于,求的最大值；(Ⅲ)為了提高產(chǎn)品合格率,現(xiàn)提出兩種不同的改進方案進行試驗.若按方案進行試驗后,隨機抽取件產(chǎn)品,不合格個數(shù)的期望是；若按方案試驗后,抽取件產(chǎn)品,不合格個數(shù)的期望是,你會選擇哪個改進方案?【答案】(Ⅰ)分布列見解析，；(Ⅱ)；(Ⅲ)選擇方案.【解析】(Ⅰ)由直方圖可知,抽出產(chǎn)品為合格品的頻率為,即抽出產(chǎn)品為合格品的概率為,從產(chǎn)品中隨機抽取件,合格品的個數(shù)的全部可能取值為且,,,,,所以的分布列為故數(shù)學期望(Ⅱ)隨機抽取件,全是合格品的概率為,依題意,故的最大值為.(Ⅲ)按方案隨機抽取產(chǎn)品不合格的概率是,隨機抽取件產(chǎn)品,不合格個數(shù)；按方案隨機抽取產(chǎn)品不合格的概率是,隨機抽取件產(chǎn)品,不合格個數(shù),依題意,,解得,因為,所以應(yīng)選擇方案.9.．我國年新年賀歲大片《流浪地球》自上映以來引發(fā)了社會的廣泛關(guān)注，受到了觀眾的普遍好評.假設(shè)男性觀眾認為《流浪地球》好看的概率為，女性觀眾認為《流浪地球》好看的概率為.某機構(gòu)就《流浪地球》是否好看的問題隨機采訪了名觀眾（其中男女）.（1）求這名觀眾中女性認為好看的人數(shù)比男性認為好看的人數(shù)多的概率；（2）設(shè)表示這名觀眾中認為《流浪地球》好看的人數(shù)，求的分布列.【答案】（1）（2）見解析【解析】（1）設(shè)事務(wù)表示“這名觀眾中女性認為好看的人數(shù)比男性認為好看的人數(shù)多”，X，Y分別表示女性和男性認為好看的人數(shù)則.（2）的可能取值為，，，，，，，，，，的分布列為10．某機器生產(chǎn)商，對一次性購買兩臺機器的客戶推出兩種超過質(zhì)保期后兩年內(nèi)的延保修理方案：方案一：交納延保金元，在延保的兩年內(nèi)可免費修理次，超過次每次收取修理費元;方案二：交納延保金元，在延保的兩年內(nèi)可免費修理次，超過次每次收取修理費元.某工廠打算一次性購買兩臺這種機器，現(xiàn)需決策在購買機器時應(yīng)購買哪種延保方案，為此搜集并整理了臺這種機器超過質(zhì)保期后延保兩年內(nèi)修理的次數(shù)，統(tǒng)計得下表：修理次數(shù)0123機器臺數(shù)20104030以上臺機器修理次數(shù)的頻率代替一臺機器修理次數(shù)發(fā)生的概率，記表示這兩臺機器超過質(zhì)保期后延保兩年內(nèi)共需修理的次數(shù).求的分布列；以所需延保金與修理費用之和的期望值為決策依據(jù)，該工廠選擇哪種延保方案更合算？【答案】(1)見解析；(2)見解析【解析】（1）全部可能的取值為，，，，，，的分布列為（2）選擇延保方案一，所需費用元的分布列為：(元)選擇延保方案二，所需費用元的分布列為：(元)當，即時，選擇方案二當，即時，選擇方案一，方案二均可當，即時，選擇方案