高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省名校2025屆高三適應(yīng)性演練聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，若，則（）A. B.0 C.1 D.或0【答案】A【解析】由可知或，解得或；又因?yàn)闀r(shí)，集合中的元素不滿足互異性，舍去；所以.故選：A2.已知為虛數(shù)單位，且，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由，得，而，則，，所以.故選：C3.正四棱錐底面邊長與側(cè)棱長均為為空間任一點(diǎn)，且滿足，則線段長度的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】取底面正方形中心，中點(diǎn)，連結(jié)，以為原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，因?yàn)?，得，所以點(diǎn)在以為球心，以1為半徑的球面上，且，則，即線段長度的取值范圍為.故選：C4.將函數(shù)的圖象上的點(diǎn)沿軸左右平移個(gè)單位長度后，正好位于函數(shù)的圖象上，則（）A.的最小值為 B.的最小值為C.的最小值為 D.的最小值為【答案】D【解析】依題意，，若點(diǎn)沿軸向左平移個(gè)單位長度所得點(diǎn)，則，若點(diǎn)沿軸向左平移個(gè)單位長度所得點(diǎn)，則，由，得或，解得或，所以.故選：D5.正項(xiàng)數(shù)列滿足，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】正項(xiàng)數(shù)列滿足，可得，兩式相減得，可得，當(dāng)時(shí)，，適合上式.所以，所以，所以.故選：B6.如圖正三棱柱底面邊長為2，高為6，點(diǎn)分別在棱上，且，若平面恰好將正三棱柱體積均分，則平面和平面夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，即，，又平面恰好將正三棱柱體積均分，所以點(diǎn)為的中點(diǎn)，延長與的延長線交于點(diǎn)，延長與的延長線交于點(diǎn)，連接，則為平面與平面的交線，因?yàn)?，，，，，所以，即，解得，所以；，即，解得，所以，在中由余弦定理，所以，所以，即，又平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，所以為平面和平面夾角，又，所以，即平面和平面夾角的余弦值為.故選：A7.已知橢圓與橢圓離心率相同，過左頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若恰為線段的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則的長軸長為（）A.5 B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)闄E圓與橢圓離心率相同，所以，所以，橢圓的左頂點(diǎn)，上頂點(diǎn)，又過左頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)的直線方程為，不妨設(shè)點(diǎn)在軸上方，過點(diǎn)作軸的垂線，則為的中點(diǎn)，則，所以，所以，解得（負(fù)值已舍去）所以的長軸長為.故選：B8.已知，則（）A. B.1 C. D.2【答案】D【解析】，，，設(shè)，則，原方程組可表示，即，由①得，由②得，兩式聯(lián)立得，，將的值代入中得，，則.故選：D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.甲乙二人統(tǒng)計(jì)變量和變量，得到一組數(shù)據(jù)并進(jìn)行回歸分析，甲同學(xué)首先求出變量的8個(gè)數(shù)據(jù)平均值為2，回歸直線方程，乙同學(xué)對(duì)甲的計(jì)算過程進(jìn)行檢查，發(fā)現(xiàn)甲將一數(shù)據(jù)錯(cuò)看成，甲乙二人將錯(cuò)誤修正后得到正確回歸直線方程，則（）A.變量的8個(gè)數(shù)據(jù)正確平均值為B.C.變量和變量正相關(guān)D.變量和變量的相關(guān)系數(shù)為4【答案】ABC【解析】由甲同學(xué)所得錯(cuò)誤的回歸直線方程過點(diǎn)得，并得到，，所以，，又甲將一數(shù)據(jù)錯(cuò)看成，所以實(shí)際應(yīng)為，，故正確的，，故A正確；又，，滿足，所以，解得，故B正確；又因?yàn)榛貧w直線方程的斜率為，所以變量和變量正相關(guān)，故C正確；根據(jù)變量和變量的相關(guān)系數(shù)的范圍為，故，故D錯(cuò)誤.故選：ABC10.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A.時(shí)，為直角三角形B.時(shí)，為銳角三角形C.為等腰三角形時(shí)，或D.外接圓半徑為時(shí)，【答案】ACD【解析】對(duì)于A，，所以，設(shè)點(diǎn)，由得，，得，所以，即，所以為直角三角形，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，滿足，，，所以，即，所以為直角三角形，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，不妨設(shè)點(diǎn)在雙曲線右支上時(shí)，則，只能是，或，當(dāng)時(shí)，可得，因?yàn)椋捎嘞叶ɡ淼?，即，解得，?dāng)，可得，因?yàn)?，由余弦定理得，即，解得，綜上為等腰三角形時(shí)，或，故C正確；對(duì)于D，設(shè)外接圓半徑為，由正弦定理得，所以，則或，設(shè)點(diǎn)，，，由余弦定理得，即，解得，當(dāng)時(shí)，，則，即，所以，當(dāng)時(shí)，，則，即，所以，因?yàn)?，所以舍去，綜上，故D正確.故選：ACD.11.若，滿足且的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域記為.滿足且的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域記為，則（）A.的面積為16 B.的周長為C.的面積為 D.的周長為【答案】AB【解析】由得，所以或或，表示兩條相交直線和一個(gè)圓，由，當(dāng)，方程為；以代替x方程不變，曲線關(guān)于y軸對(duì)稱；以代替y方程不變，曲線關(guān)于x軸對(duì)稱；以、代替x、y方程不變，曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；所以曲線既是軸對(duì)稱圖形也是中心對(duì)稱圖形；所以方程的曲線圍成的封閉圖形是一個(gè)以、、、為頂點(diǎn)的正方形．滿足且即，則或；所以滿足且的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域如圖1陰影部分.其的面積為，的周長為，故AB正確；滿足且即，則或；所以滿足且的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域如圖2陰影部分.其的面積為，的周長為，故CD錯(cuò)誤；故選：AB三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.的展開式中的系數(shù)為__________.【答案】【解析】因?yàn)?，其中展開式的通項(xiàng)為，所以的展開式中含的項(xiàng)為，所以的展開式中的系數(shù)為.故答案為：13.函數(shù)的極小值點(diǎn)為__________.【答案】【解析】因，則，令，則，則則得；得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則的極小值點(diǎn)為.故答案為：14.已知實(shí)數(shù)滿足不等式，則__________.【答案】8【解析】不等式，令函數(shù)，，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，于是，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則，于是，解得，所以.故答案為：8.四?解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.一個(gè)袋子中有2個(gè)紅球，2個(gè)白球和1個(gè)黑球，從中逐一取球，已知每個(gè)球被抽取的可能性相等.（1）若每次抽取后又放回，抽3次，分別求恰2次為紅球的概率及抽全三種顏色球的概率；（2）若每次抽取后不放回，求抽完紅球所需次數(shù)的分布列及均值.解：（1）抽取一次取到紅球的概率為，取到白球的概率為，取到黑球的概率為，∴抽取3次恰2次為紅球概率為；抽全三種顏色球的概率為，所以恰2次為紅球的概率為，抽全三種顏色球的概率為；（2）因?yàn)槊看纬槿『蟛环呕?，所以抽完紅球所需次數(shù)的可能取值為，，，，所以，，，，所以的分布列為：所以.16.數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn)從坐標(biāo)原點(diǎn)開始每次移動(dòng)若干個(gè)單位，第次移動(dòng)的規(guī)則如下：若為偶數(shù)，向右移動(dòng)個(gè)單位，若為奇數(shù)，向左移動(dòng)1個(gè)單位.動(dòng)點(diǎn)第次移動(dòng)完后，在數(shù)軸上的坐標(biāo)位置即為，且規(guī)定.（1）求；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.解：（1）由題意可得，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，則，，，，.（2）由（1）知，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，則當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，為奇數(shù)，有，，則，即，則，由累加法可得，，則，而符合上式，則當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為奇數(shù)，則，則，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為.17.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)存在大于1的極值點(diǎn)，證明：函數(shù)的極小值小于.（1）解：函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為.（2）證明：由函數(shù)存在大于1的極值點(diǎn)，設(shè)此極值點(diǎn)為，由（1）知1是的另一極值點(diǎn)，由，得，令函數(shù)，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，則，而，于是，因此，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，因此函數(shù)的極小值點(diǎn)不是1，應(yīng)為，函數(shù)的極小值為，且，，即，所以函數(shù)的極小值小于.18.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過作的垂線，該垂線與線段的垂直平分線交于點(diǎn)，記的軌跡為.（1）求的方程；（2）過點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，直線與直線分別交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為.（i）求的最大值；（ii）求四邊形面積的最小值.解：（1）連接，則，則根據(jù)拋物線的定義，點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線．則點(diǎn)的軌跡的方程為．（2）（i）依題意直線的斜率不為，設(shè)直線的方程為，，，，聯(lián)立，整理得，則，所以，，設(shè)，則，則，直線的方程為，同理：直線的方程為，令得，，，因?yàn)?，所以，，所以，，所以軸，軸，所以，取線段的中點(diǎn)為，則直線為線段的垂直平分線，所以，，所以，所以求最大，即最大，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)取最大值，即的最大值為；（ii）因?yàn)椋运倪呅蔚拿娣e，又，所以，所以當(dāng)時(shí)，此時(shí)四邊形的面積取得最小值.19.在空間中，過點(diǎn)作平面的垂線，垂足為，記.設(shè)為兩個(gè)不同的平面，為平面外的三點(diǎn)..（1）若，判斷直線與平面位置關(guān)系；（2）平面與平面夾角為銳角且交于直線，直線，求證：；（3）若對(duì)于任意點(diǎn)，恒有成立，求平面與平面夾角的大小.（1）解：已知，，可知，，所以.當(dāng)、兩點(diǎn)位于平面同側(cè)時(shí)，因?yàn)?，所以四邊形為平行四邊形，又因?yàn)橹本€不在平面內(nèi)，所以.當(dāng)、兩點(diǎn)位于平面兩側(cè)時(shí)，直線與平面相交.（2）證明：已知平面與平面夾角為銳角且交于直線，直線，，為平面，外的兩點(diǎn).因?yàn)橹本€PQ與平面、內(nèi)的直線平行，可得，.由已知得，設(shè)，，則于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn).由于平面與平面夾角為銳角，所以，兩點(diǎn)不在直線上，所以，四邊形為矩形，那么，又，直線，可得.由（1）知，，所以.在與中，（已證），，，所以，則.（3）解：由已知，設(shè)，，可得，，，.設(shè)平面與平面交線為直線，因?yàn)榍?/p>