高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省開封市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每個小題給岀的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，且注意到，從而.故選：A.2.下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】函數(shù)、函數(shù)與函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減.故選：C.3.已知命題p：，；命題q：，，則（）A.p和q都是真命題 B.和q都是真命題C.p和都是真命題 D.和都是真命題【答案】B【解析】對于而言，取，則有，故是假命題，是真命題，對于而言，取，則有，故是真命題，是假命題，綜上，和都是真命題.故選：B.4.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則，由函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則，所以，即.故選：A.5.已知p：，那么命題p的一個必要不充分條件是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解得0<x<2.對于選項A，，反之不能推出，所以是命題p的一個充分不必要條件，故A錯誤；對于選項B，，反之不能推出，所以是命題p的一個必要不充分條件，故B正確；對于選項C，0<x<2不能推出，反之也不能推出，所以是命題p的一個既不充分也不必要條件，故C錯誤；對于選項D，0<x<2是命題p的充要條件，故D錯誤.故選：B6.設(shè)函數(shù)定義域為，滿足，且，若在上單調(diào)遞增，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由函數(shù)的定義域為，滿足，即，則函數(shù)奇函數(shù)，且，由函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，可得下表：所以不等式的解集為.故選：B.7.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因為在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，所以；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，所以，即；同時，在處，，即，即，因為，所以，即，解得或（舍去），綜上：，即.故選：B.8.某廠以x千克/小時的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品（生產(chǎn)條件要求），每小時可獲得利潤元，要使生產(chǎn)100千克該產(chǎn)品獲得的利潤最大，該廠應(yīng)選取的生產(chǎn)速度是（）A.2千克/小時 B.3千克/小時C.4千克/小時 D.6千克/小時【答案】C【解析】由題意得，生產(chǎn)100千克該產(chǎn)品獲得的利潤為，，令，，則，故當(dāng)時，最大，此時.故選：C二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9.下列命題中正確的是（）A.命題：“，”的否定是“，”B函數(shù)（且）恒過定點C.已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為D.若函數(shù)，則【答案】BCD【解析】A選項，“”的否定是“”，A錯誤；B選項，且，當(dāng)時，，故函數(shù)（且）恒過定點，B正確；C選項，由得：，故函數(shù)的定義域為，C正確；D選項，，且，故，D正確.故選：BCD.10.已知定義在上的函數(shù)在上單調(diào)遞增，且為偶函數(shù)，則（）A.直線是的對稱軸B.是的對稱中心C.D.不等式的解集為【答案】AD【解析】因為為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對稱，所以圖象對稱軸為直線，故A正確，B錯誤；又在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，所以，故C錯誤；由不等式結(jié)合的對稱性及單調(diào)性，得，即，即，解得或，所以不等式的解集為，故D正確，故選：AD．11.已知函數(shù)，有如下四個結(jié)論：①函數(shù)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞減；②函數(shù)的值域為；③函數(shù)的圖象是中心對稱圖形；④方程有且只有一個實根.其中所有正確結(jié)論的序號是（）A.① B.② C.③ D.④【答案】CD【解析】對于①，由題意得的定義域為，，所以在上遞增，①錯誤；對于②，由于，則，，，，所以的值域為，②錯誤；對于③，由于，所以是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，③正確；對于④，由得，，構(gòu)造函數(shù)，則在上單調(diào)遞增，又當(dāng)，此時；當(dāng)，此時，所以的圖象與x軸只有一個交點，即方程有且只有一個實根，④正確.綜上所述，正確結(jié)論的序號是③④.故答案選：CD.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共計15分.）12.設(shè)函數(shù)的定義域為I，如果，都有，且，已知函數(shù)的最大值為2，則可以是___________．【答案】（答案不唯一）【解析】依題意可知是偶函數(shù)，且最大值為，所以符合題意.故答案為：（答案不唯一）13.已知正數(shù)m，n滿足，則的最小值是__________.【答案】4【解析】由，可得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，因為正數(shù)m，n，所以，又因為，即時等號成立，的最小值是.故答案為：.14.已知函數(shù)若，則的取值范圍為______.【答案】【解析】對于函數(shù)（i）當(dāng)，則，解得，故此時不存在；（ii）當(dāng)，則，解得或，故此時的取值范圍為；（iii）當(dāng)，則，即，其中，不等式恒成立，故此時的取值范圍為.綜上，的取值范圍為.故答案為：．四、解答題（本題共5小題，共計77分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.分別求解下面兩個問題.（1）化簡求值：；（2）函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時，，求：當(dāng)時，的解析式.解：（1）,,.（2）當(dāng)時，，則，由函數(shù)為偶函數(shù)，則，所以當(dāng)時，.16.已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值為1，最大值為10.（1）求，的值；（2）設(shè)，利用定義證明：函數(shù)在上是增函數(shù).（1）解：因為，二次函數(shù)對稱軸為，所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，從而得，解得；（2）證明：由(1)得，則，設(shè)任意的，且，則，，因為，，，所以，，所以，所以在上的增函數(shù).17.某商場經(jīng)營一批進價為30元/件的商品，在市場試銷中發(fā)現(xiàn)，此商品的銷售單價x（單位：元）與日銷售量y（單位：件）之間有如下表所示的關(guān)系.x…30404550…y…6030150…（1）根據(jù)表中提供數(shù)據(jù)描出實數(shù)對的對應(yīng)點，根據(jù)畫出的點猜想y與x之間的函數(shù)關(guān)系，并寫出一個函數(shù)解析式；（2）設(shè)經(jīng)營此商品的日銷售利潤為P（單位：元），根據(jù)上述關(guān)系，寫出P關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求銷售單價為多少元時，才能獲得最大日銷售利潤？解：（1）如圖，猜想y與x是一次函數(shù)關(guān)系，設(shè).將代入得,解得.∴y與x的一次函數(shù)解析式為.（2），當(dāng)時，.∴銷售單價為40元時，才能獲得最大日銷售利潤300元.18.已知函數(shù)為偶函數(shù).（1）求出a的值，并寫出單調(diào)區(qū)間；（2）若存在使得不等式成立，求實數(shù)b的取值范圍.解：（1）因為，所以，由偶函數(shù)知，解得；即，由對勾函數(shù)知，當(dāng)時，即時函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，即時函數(shù)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）由題意可得，即，令，；解一：，則在上有解，即.若，即，此時，解得，∴；若，即，此時，解得，此時無解；綜上，；解二：由得，令，則.，所以.解三：由得，令，則，，所以.19.對于函數(shù)，若存在，使成立，則稱為的不動點．已知函數(shù)．（1）若對任意實數(shù)，