高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省南陽市六校2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題考生注意：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的：1.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則（）A.0.05 B.0.1 C.0.3 D.0.4【答案】B【解析】根據(jù)正態(tài)分布的基本性質(zhì)可知，對(duì)稱軸為.故選：B.2.如圖，均為直角三角形，為直角頂點(diǎn)，，且，設(shè)這些直角三角形的周長從小到大組成的數(shù)列為an，則（）A B. C. D.【答案】C【解析】根據(jù)題意，這些直角三角形是相似的，并且相鄰兩個(gè)三角形的相似比為，從而這些三角形的周長從小到大組成的數(shù)列an是等比數(shù)列，公比，首項(xiàng)為的周長，因此.故選：C.3.已知函數(shù)，且，則實(shí)數(shù)（）A.1 B.2 C. D.【答案】B【解析】由題意知，所以，所以，又，所以.故選：B4.已知是正項(xiàng)等比數(shù)列，若成等差數(shù)列，則（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】D【解析】設(shè)等比數(shù)列an的公比為.因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，可得，即，整理可得，解得或（舍去）.所以.故選：D.5.已知為虛數(shù)單位，則的展開式中的系數(shù)為（）A. B.10 C. D.15【答案】C【解析】展開式的通項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，因此的系數(shù)為.故選：C6.已知數(shù)列an滿足，且，設(shè)，則數(shù)列bn的前2024項(xiàng)和為（）A.674 B.673 C.-673 D.-674【答案】D【解析】因?yàn)槠鏀?shù)與奇數(shù)之和為偶數(shù)，奇數(shù)與偶數(shù)之和為奇數(shù)，所以數(shù)列an的各項(xiàng)的奇偶情況依次為奇?偶?奇?奇?偶?奇所以數(shù)列bn各項(xiàng)依次為，故數(shù)列bn以3為周期，且相鄰3項(xiàng)之和為-1因?yàn)?，所以?shù)列bn的前2024項(xiàng)和為.故選：D.7.已知函數(shù)若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，恒成立等價(jià)于恒成立，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以.當(dāng)時(shí)，恒成立等價(jià)于恒成立.記，則在區(qū)間0,+∞上為增函數(shù)，并且零點(diǎn)為，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，因此，所以.綜上，.故選：A.8.已知雙曲線，如圖，過的右焦點(diǎn)作直線與的兩條漸近線分別交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，若，且，則的離心率為（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】在中，因,可設(shè)，則，因，則,即，則，故.由三角形相似可知，因此.又因，所以.設(shè)，則，故，又中，，故得，即，從而，故得，從而離心率為.故選：B.二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.假定生男孩和生女孩是等可能的，已知一個(gè)家庭中共有3個(gè)孩子，用表示事件“該家庭中既有男孩又有女孩”，用表示事件“該家庭中最多有1個(gè)女孩”，則（）A. B.C. D.與相互獨(dú)立【答案】ACD【解析】，故A正確.，所以，故B錯(cuò)誤，C正確.因?yàn)椋耘c相互獨(dú)立，故D正確.故選：ACD.10.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則下列說法中正確的是（）A.一定為等差數(shù)列B.可能為等比數(shù)列C.若，則一定為遞增數(shù)列D.若，則存在，使得【答案】BD【解析】對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，，該通項(xiàng)公式為一次函數(shù)形式，所以從第二項(xiàng)起為等差數(shù)列，所以數(shù)列是等差數(shù)列的條件只需滿足當(dāng)時(shí)滿足的通項(xiàng)公式即可，即當(dāng)，，所以只有當(dāng)時(shí)，才是等差數(shù)列，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，，滿足要求，故B正確；對(duì)于C：若，則，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，因此，從而，故D正確.故選：BD11.已知函數(shù)，若不等式恰有一個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值不可能是（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】因?yàn)?，所以，?若，不等式化為，此不等式對(duì)任意恒成立，不符合條件.若，不等式化為，即恰有一個(gè)整數(shù)解.記，則，當(dāng)，；當(dāng)，；可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，并且，因此恰有一個(gè)整數(shù)解時(shí)，實(shí)數(shù)的取值不可能是B，C，D.故選：BCD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.將4個(gè)不同編號(hào)的球放到3個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子至少放一個(gè)球，則不同的分配方法共有________種.【答案】【解析】由題意，將4個(gè)不同編號(hào)的球放到3個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子至少放一個(gè)球，先將4個(gè)不同編號(hào)的球分成3組，共有種不同的分法；再將分好的3組放到3個(gè)不同的盒子中，共有種不同的方法，由分步計(jì)數(shù)原理可得，共有種不同的分配方法.故答案為：.13.已知點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則的最小值是__________.【答案】【解析】由得，故圓的圓心為，半徑為1，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，如圖可知，故此時(shí)的最小值是直線斜率的最大值的倒數(shù)，令，即，則圓心到該直線的距離滿足，兩邊平方整理得，解得，故此時(shí)的最小值是，又，故的最小值為.故答案為：.14.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)f'x定義域均為，且為偶函數(shù)，若時(shí)，，且，則不等式的解集為__________.【答案】【解析】因?yàn)闀r(shí)，，所以，即，因此，從而在上單調(diào)遞增，又是上的偶函數(shù)，且是偶函數(shù)，所以，即是上的偶函數(shù)，故在上單調(diào)遞減，由于，因此，又即，即，所以，故由的單調(diào)性和偶函數(shù)特點(diǎn)可知，因此的取值范圍為.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，平面.（1）若，求；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.解：（1）由平面，平面，.，且平面，所以平面.而平面，.四邊形是正方形，與重合，.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，.設(shè)n=x,y,z為平面則，即，可取.設(shè)為直線與平面所成的角，則，即直線與平面所成角的正弦值為.16.揚(yáng)子鱷是中國特有的一種小型鱷類，是國家一級(jí)重點(diǎn)保護(hù)野生動(dòng)物，活動(dòng)區(qū)域主要在長江下游流域.研究人員為了解揚(yáng)子鱷的生長發(fā)育情況，隨機(jī)抽取了6只揚(yáng)子鱷，測量它們的頭長（單位與體長（單位：），得到如下數(shù)據(jù)：樣本編號(hào)123456頭長1515.315.316.616.817體長125128130138142153并計(jì)算得（1）求這6只揚(yáng)子鱷的平均頭長與平均體長；（2）求揚(yáng)子鱷的頭長與體長的樣本相關(guān)系數(shù)；（精確到0.01）（3）已知與可以用模型進(jìn)行擬合，若某只揚(yáng)子鱷頭長為，利用所給數(shù)據(jù)估計(jì)這只揚(yáng)子鱷的體長.附：相關(guān)系數(shù).解：（1）平均頭長為，平均體長為.（2）由題可知（3）由題意知.所以，所以，令，得，因此估計(jì)這只揚(yáng)子鱷的體長為.17.已知數(shù)列an滿足，當(dāng)時(shí)，.（1）求an（2）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：.（參考結(jié)論：當(dāng)時(shí)，.）解：（1）當(dāng)時(shí)，.又，因此an的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）知，因此.因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，此時(shí).綜上，.18.已知函數(shù)，其中.（1）討論在區(qū)間上的單調(diào)性；（2）若，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在唯一的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）函數(shù)，求導(dǎo)得，設(shè)，則.而，則當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，于是，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.（2）函數(shù)，求導(dǎo)得，若，由（1）知在上恒成立，從而在內(nèi)無極值點(diǎn)，不符合題意；若，設(shè)，則，且，設(shè)，則在上恒成立，因此在上單調(diào)遞減，若，即，則在上恒成立，因此在上單調(diào)遞增，則上恒成立，從而單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)，不符合題意；若，即，則在上存在零點(diǎn)，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，所以要使有極值點(diǎn)，必須有，即，從而的取值范圍是.19.已知拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離為為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作直線分別與相切于點(diǎn).（1）求的方程；（2）證明：直線過定點(diǎn)