高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省豫東部分名校2025屆高三下學(xué)期模擬測(cè)試（三）數(shù)學(xué)試題一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則的實(shí)部與虛部之和為（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】由復(fù)數(shù)，可得，則，所以復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部之和為.故選：D.2.如表是某公司員工月收入的資料.月收入/元45000180001000055005000340033001000人數(shù)111361111能夠反映該公司全體員工月收入水平的統(tǒng)計(jì)量是（）A.平均數(shù)和眾數(shù) B.平均數(shù)和中位數(shù)C.中位數(shù)和眾數(shù) D.平均數(shù)和方差【答案】C【解析】公司共有員工1+1+1+3+6+1+11+1=25人，該公司員工月收入的眾數(shù)為3300元，在25名員工中有13人這此數(shù)據(jù)之上，因此眾數(shù)能夠反映該公司全體員工月收入水平；月收入由小到大排列，3400為第13個(gè)數(shù)，因此該公司員工月收入的中位數(shù)為3400元；在25名員工中在此數(shù)據(jù)及以上的有13人，則中位數(shù)也能夠反映該公司全體員工月收入水平，而25名員工月收入的平均數(shù)元受極端數(shù)據(jù)45000、18000等影響，平均數(shù)偏離多數(shù)人的收入水平，而方差是表征數(shù)據(jù)波動(dòng)大小的量，所以能夠反映該公司全體員工月收入水平的統(tǒng)計(jì)量是中位數(shù)和眾數(shù).故選：C3.“其身正，不令而行；其身不正，雖令不從”出自《論語(yǔ)·子路》．意思是：當(dāng)政者本身言行端正，不用發(fā)號(hào)施令，大家自然起身效法，政令將會(huì)暢行無(wú)阻；如果當(dāng)政者本身言行不正，雖下命令，大家也不會(huì)服從遵守．根據(jù)上述材料，“身正”是“令行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】其身正，不令而行，即身正令行，故“身正”是“令行”的充分條件；又其身不正，雖令不從，即令行身正，所以“身正”是“令行”的必要條件，綜合知“身正”是“令行”的充要條件，故選：C．4.已知拋物線，過(guò)的焦點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，交的準(zhǔn)線于，且，則的方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】記的準(zhǔn)線與軸交點(diǎn)為，過(guò)分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，因?yàn)?，所以，即，由于，所以，由可知，所以，而，由可知，即的方程為．故C正確.故選：C.5.已知平面向量滿(mǎn)足，與的夾角為且，則的最大值為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】依題意，，由，得，即，當(dāng)且僅當(dāng)同向共線時(shí)取等號(hào)，于，解得，所以的最大值為.故選：B6.存在三個(gè)實(shí)數(shù)，使其分別滿(mǎn)足下述兩個(gè)等式：（1）（2）其中M表示三個(gè)實(shí)數(shù)中的最小值，則（）A.M的最大值是 B.M的最大值是C.M的最小值是 D.M的最小值是【答案】B【解析】由已知得，中必有個(gè)正數(shù)，1個(gè)負(fù)數(shù)，設(shè)，，則，因?yàn)椋?，所以，即，所以，由得，，即，所以，故選：B．7.對(duì)于兩個(gè)實(shí)數(shù)，我們定義：，有下列說(shuō)法：①；②；③若，則.其中說(shuō)法正確的有（）A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)【答案】B【解析】?jī)蓚€(gè)實(shí)數(shù)，.①，故①錯(cuò)誤；②，故②正確；③若，由定義可得，令，，則等式左邊，右邊，故左邊右邊，即滿(mǎn)足條件，但當(dāng)，時(shí)，,即，不滿(mǎn)足，故③錯(cuò)誤；綜上所述，三個(gè)說(shuō)法中正確的只有1個(gè).故選：B.8.已知函數(shù)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】的定義域是，，令，所以，令，解得；令，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．要使恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，則，解得，此時(shí)，所以在上有唯一的零點(diǎn)，令，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以，所以在上有唯一的零點(diǎn)，綜上，當(dāng)時(shí)，在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且零點(diǎn)兩側(cè)的函數(shù)異號(hào)，所以a的取值范圍是．故選：D．二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.函數(shù)的圖象如圖所示，將其向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)D.函數(shù)在上單調(diào)遞減【答案】ABD【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)的圖象上，所以，且，所以.故A正確；因?yàn)?，由，，得函?shù)的對(duì)稱(chēng)中心為：，，當(dāng)時(shí)，得對(duì)稱(chēng)中心為：，故B正確；.其對(duì)稱(chēng)軸為：，，所以不是函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，故C錯(cuò)誤；，由，，.所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為：，，因?yàn)?，，所以函?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故D正確.故選：ABD10.設(shè)是一個(gè)非空集合，是的子集構(gòu)成的集合，如果同時(shí)滿(mǎn)足：①，②若，則且，那么稱(chēng)是的一個(gè)環(huán).則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則是環(huán)B.若，則存在的一個(gè)環(huán)，含有8個(gè)元素C.若，則存在的一個(gè)環(huán)，含有4個(gè)元素且D.若，則存在的一個(gè)環(huán)，含有7個(gè)元素且【答案】ABC【解析】由題意知：①，②若，則且，對(duì)于A，全集且，滿(mǎn)足且當(dāng)時(shí)，可得且，所以A正確；對(duì)于B，由的子集，共8個(gè)元素，若是的子集構(gòu)成的集合，所以集合有8個(gè)元素，所以B正確；對(duì)于C，若，可得，所以是個(gè)環(huán)，其中中含有4個(gè)元素，所以C正確；對(duì)于D，若，可得，，，，，且，所以集合中至少有8個(gè)元素，所以D錯(cuò)誤.故選：ABC.11.某企業(yè)使用新技術(shù)對(duì)某款芯片制造工藝進(jìn)行改進(jìn)．部分芯片由智能檢測(cè)系統(tǒng)進(jìn)行篩選，其中部分次品芯片會(huì)被淘汰，篩選后的芯片及未經(jīng)篩選的芯片進(jìn)入流水線由工人進(jìn)行抽樣檢驗(yàn)．記表示事件“某芯片通過(guò)智能檢測(cè)系統(tǒng)篩選”，表示事件“某芯片經(jīng)人工抽檢后合格”．改進(jìn)生產(chǎn)工藝后，該款芯片的某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取個(gè)，這個(gè)芯片中恰有個(gè)的質(zhì)量指標(biāo)位于區(qū)間，則下列說(shuō)法正確的是（）（參考數(shù)據(jù)：若，則）A.B.C.D.取得最大值時(shí)，的估計(jì)值為53【答案】ACD【解析】對(duì)于A，依題意，經(jīng)智能檢測(cè)系統(tǒng)篩選合格的條件下，通過(guò)人工抽檢合格的概率大于直接進(jìn)入人工抽檢合格的概率，即，A正確；對(duì)于B，由，得，又，于是，即，因此，即，則，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，C正確；對(duì)于D，，設(shè)，，解得，，由，解得，即，所以取得最大值時(shí)，的估計(jì)值為53，D正確.故選：ACD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設(shè)橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)作平行于軸的直線交于兩點(diǎn)，若，，則C的離心率為_(kāi)________.【答案】【解析】由題意知，，，所以，解得；又，所以，所以橢圓的離心率為．故答案為：．13.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.已知的面積為，，，則的值為_(kāi)___．【答案】【解析】因?yàn)?，所以＝，又，故解方程組，得由余弦定理得，解得.故答案為：14.已知圓臺(tái)的上?下底半徑分別為和，若圓臺(tái)外接球的球心在圓臺(tái)外，則圓臺(tái)的高的取值范圍是__________；若，圓臺(tái)的高為，且，則圓臺(tái)外接球表面積的最大值為_(kāi)_________．【答案】①.②.【解析】圓臺(tái)外接球的球心必在圓臺(tái)的軸線上，因?yàn)樵趫A臺(tái)外，則球心在下底面下方，設(shè)到下底面的距離為，則，所以，所以，所以圓臺(tái)的外接球表面積為，易知在時(shí)單調(diào)遞減，且，所以．故答案為：．四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）由，得，即，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，化簡(jiǎn)得，當(dāng)時(shí)，，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以；（2）由（1）知，所以，所以.16.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F且互相垂直的兩條動(dòng)直線分別與E交于點(diǎn)A，B和點(diǎn)C，D，當(dāng)時(shí)，．（1）求E的方程；（2）設(shè)線段AB，CD的中點(diǎn)分別為M，N，若直線AB的斜率為正，且，求直線AB和CD的方程．解：（1）由題意可知：，直線的斜率存在且不為0，此時(shí)直線AB、CD均與拋物線相交，設(shè)，則，聯(lián)立方程，消去可得，則，可得，若，根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性不妨令直線的傾斜角為，即，可得，解得，所以?huà)佄锞€的方程為.（2）由（1）可知：，，，且，則，即，同理可得：，由題意可知：，則，因?yàn)?，解得，則，，即，.17.如圖1，在邊長(zhǎng)為4的菱形中，，點(diǎn)M，N分別是邊，的中點(diǎn)，，．沿將翻折到的位置，連接，，，得到如圖2所示的五棱錐．（1）在翻折過(guò)程中是否總有平面平面？證明你的結(jié)論；（2）若平面平面，線段上是否存在一點(diǎn)Q，使得平面與平面所成角的余弦值為？若存在，試確定點(diǎn)Q的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（1）證明：折疊前，因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所以，由于分別是邊，的中點(diǎn)，所以，所以，折疊過(guò)程中，平面，所以平面，所以平面，由于平面，所以平面平面.（2）解：存在，理由如下：當(dāng)平面平面時(shí)，由于平面平面，平面，，所以平面，由于平面，所以，由此以為空間坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，依題意可知，，設(shè)，則，平面的法向量為，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，設(shè)平面與平面所成角為，由于平面與平面所成角的余弦值為，所以，解得,所以當(dāng)是的靠近的三等分點(diǎn)時(shí)，平面與平面所成角的余弦值為.18.在一個(gè)袋子中有若干紅球和白球（除顏色外均相同），袋中紅球數(shù)占總球數(shù)的比例為．（1）若有放回摸球，摸到紅球時(shí)停止．在第次沒(méi)有摸到紅球條件下，求第3次也沒(méi)有摸到紅球的概率；（2）某同學(xué)不知道比例，為估計(jì)的值，設(shè)計(jì)了如下兩種方案：方案一：從袋中進(jìn)行有放回摸球，摸出紅球或摸球次停止．方案二：從袋中進(jìn)行有放回摸球次．分別求兩個(gè)方案紅球出現(xiàn)頻率的數(shù)學(xué)期望，并以數(shù)學(xué)期望為依據(jù)，分析哪個(gè)方案估計(jì)的值更合理．解：（1）設(shè)事件“第2次沒(méi)有摸到紅球”，事件“第3次也沒(méi)有摸到紅球”，則，，所以；（2）“方案一”中紅球出現(xiàn)的頻率用隨機(jī)變量表示，則的可能取值為：，且，，，，，，所以的分布列為：01則，“方案二”中紅球出現(xiàn)的頻率用隨機(jī)變量表示，因?yàn)?，所以的分布列為：，即的分布列為?1所以，則，因?yàn)椋?，所以“方案二”估?jì)的值更合理.19.已知函數(shù)的定義域和值域分別為，若函數(shù)滿(mǎn)足：（i）的定義域?yàn)?；（ii）的值域?yàn)?；（iii），則稱(chēng)與具有關(guān)系.（1）若，判斷下列兩個(gè)函數(shù)是否與具有關(guān)系，并說(shuō)明理由；①；②.（2）若與具有關(guān)系，證明：函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)；（3）已知函數(shù)與具有關(guān)系，令.①判斷函數(shù)的單調(diào)性；②證明：.解：（1）根據(jù)題意知的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，①的定義域?yàn)?，值域?yàn)椋瑵M(mǎn)足（i）（ii