河南省新鄉(xiāng)市2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若直線與互相垂直，則（

）A．0 B． C． D．2．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則（

）A．1 B．2 C． D．3．在的展開式中，的系數(shù)為（

）A．250 B．500 C． D．4．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前4項(xiàng)和為30，且，則（

）A．1 B．2 C．4 D．85．曲線在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B． C． D．6．已知直線與函數(shù)，的圖象分別交于點(diǎn)、，當(dāng)取得最小值時，（

）A． B． C． D．7．記棱長為2的正方體的內(nèi)切球?yàn)榍蚴乔騉的一條直徑，P為該正方體表面上的動點(diǎn)，則的最大值為（

）A．1 B．2 C．3 D．48．將一根長為3的鐵絲截成9段，使其組成一個正三棱柱的框架（鐵絲長等于正三棱柱所有棱的長度之和），則該正三棱柱的體積最大為（

）A． B． C． D．二、多選題9．記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知，則（

）A． B． C． D．10．已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．若為奇函數(shù)，則B．的圖象關(guān)于直線對稱C．若，則的單調(diào)遞增區(qū)間為D．當(dāng)時，在上單調(diào)遞增11．已知表示中最小的數(shù)，表示中最大的數(shù).若數(shù)列，都只有項(xiàng)，且都是由數(shù)字，，，，，，，隨機(jī)排列而成的（每個數(shù)字都出現(xiàn)，但不重復(fù)出現(xiàn)），記，，則（

）A．X的值可能為，，， B．的值可能為，，，C．的概率為 D．的概率為三、填空題12．某林業(yè)科學(xué)院培育新品種草莓，新培育的草莓單果質(zhì)量（單位：g）近似服從正態(tài)分布，現(xiàn)有該新品種草莓10000個，估計其中單果質(zhì)量超過的草莓有個．附：若，則．13．將6名志愿者安排到5個小區(qū)參加以“健康生活”為主題的宣傳活動，每名志愿者只去1個小區(qū)，每個小區(qū)至少安排1名志愿者，則不同的安排方法共有種．14．雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為是雙曲線C右支上一點(diǎn)，且直線的斜率為是面積為的直角三角形，則雙曲線C的實(shí)半軸長為．四、解答題15．已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓C上．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）直線與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)．①求m的取值范圍；②若，求的值．16．為了研究某中藥預(yù)防方對預(yù)防某種疾病的效果，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)后得到如下結(jié)果：單位：人服用情況患病情況患病不患病服用中藥預(yù)防方100900不服用中藥預(yù)防方400600（1）從參與該實(shí)驗(yàn)的人中任選1人，A表示事件“選到的人服用中藥預(yù)防方”，B表示事件“選到的人不患病”．利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，求的值．（2）以頻率作為概率，若每天從參與該實(shí)驗(yàn)且服用了中藥預(yù)防方的人中隨機(jī)抽取1人，連續(xù)抽10天，每天抽取的結(jié)果相互獨(dú)立，記這10天抽到的人中不患病的人數(shù)為X，求X的期望．17．如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，．（1）證明：平面平面．（2）若二面角的余弦值為，求四棱錐的體積．18．已知函數(shù)．（1）求的極值；（2）求的單調(diào)區(qū)間；（3）若，求a的取值范圍．19．某商家為吸引顧客，準(zhǔn)備了兩份獎品，凡是進(jìn)店消費(fèi)即可參與抽獎，獎品被抽完即抽獎活動終止．抽獎的規(guī)則如下：在一個不透明的盒子中有放回地取球（小球大小和質(zhì)地相同），取出紅球，則不獲獎，取出白球，則獲獎．剛開始盒子中有個白球和個紅球，參與抽獎的顧客從盒子中隨機(jī)抽取1個球，若不獲獎，則將球放回，該顧客抽獎結(jié)束，下一名顧客繼續(xù)抽獎．若獲獎，則將球放回后再往盒子中加個紅球，該顧客再繼續(xù)抽獎．若第二次抽獎不獲獎，則將球放回，該顧客只獲得一份獎品，抽獎結(jié)束，下一名顧客繼續(xù)抽獎；若第二次抽獎獲獎，則該顧客獲得兩份獎品，整個抽獎活動結(jié)束．該活動深受顧客喜歡，假設(shè)這兩份獎品沒被抽完前始終有顧客參與抽獎．（1）求第名和第名顧客各抽中一份獎品的概率；（2）求這兩份獎品都被第名顧客抽取的概率；（3）求由第名顧客終止抽獎活動的概率．

參考答案1．【答案】B【詳解】由題意可知直線的斜率，當(dāng)時，直線的斜率不存在，不滿足；當(dāng)時，直線的斜率，由，得，即，解得．故選B2．【答案】D【詳解】當(dāng)時，，又，則．當(dāng)時，，又，所以，解得：．故選D3．【答案】C【詳解】由二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式可得，，令，解得，所以的系數(shù)為．故選C4．【答案】D【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則，又，解得，故．故選D.5．【答案】A【詳解】，所求切線方程為．故選A.6．【答案】A【詳解】由題意可得，令函數(shù)，則．由可得，由可得，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，即的最小值為，此時．故選A.7．【答案】B【詳解】由題意可得，球O的半徑為1．．當(dāng)P為正方體頂點(diǎn)時等號成立，故選B8．【答案】C【詳解】設(shè)正三棱柱的底面邊長為x，側(cè)棱長為y，則，即．正三棱柱的體積．當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，V取得最大值，最大值為．故選C.9．【答案】ABD【詳解】解得：所以，A，B，D正確，，C錯誤．故選ABD10．【答案】BCD【詳解】A選項(xiàng)，的定義域?yàn)?，若為奇函?shù)，則，解得，A錯誤．B選項(xiàng)，，所以的圖象關(guān)于直線對稱，B正確．C選項(xiàng)，若，則．令，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，C正確．D選項(xiàng)，，當(dāng)時，，故．令，即，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，D正確．故選BCD11．【答案】ACD【詳解】將1，2，3，4，5，6，7，8平均分成組，有種分法.X的值可能為，，，，A正確；不妨設(shè)，若，，，中的最大值為，則，，，中的最大值為，有種情況，此時.若，，，中的最大值為，則，，，中的最大值為，有種情況，此時.若，，，中的最大值為，則，，，中的最大值為，有種情況，此時.若，，，中的最大值為，則，，，中的最大值為，有種情況，此時.，，，.，C正確；又的值可能為，，，，B錯誤；不妨設(shè)若，，，中的最小值為，則，，，中的最小值為，有種情況，此時.若，，，中的最小值為，則，，，中的最小值為，有種情況，此時.若，，，中的最小值為，則，，，中的最小值為，有種情況，此時.若，，，中的最小值為，則，，，中的最小值為，有種情況，此時.，，，.，D正確.故選ACD.12．【答案】1587【詳解】由可知，故其中單果質(zhì)量超過的草莓約有個．13．【答案】1800【詳解】先將2名志愿者看作一組，選法有種，再將5組志愿者分配到5個小區(qū)，分法有種，故不同的安排方法有種．14．【答案】/【詳解】由題可知，點(diǎn)P在第四象限，．設(shè)．由，求得．因?yàn)?，所以，求得，即．由正弦定理可得．設(shè)，得．由，得，則，，又，解得．15．【答案】（1）（2）①；②．【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓C上，所以．橢圓C的離心率為，解得．故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）聯(lián)立得．①，解得，所以m的取值范圍為．②因?yàn)?，所以，解得．?6．【答案】（1）（2）9【詳解】（1）由題意可得，．．（2）從參與該實(shí)驗(yàn)且服用了中藥預(yù)防方的人中隨機(jī)抽取1人，不患病的概率為．由已知得，則．17．【答案】（1）證明見解析（2）【詳解】（1）因?yàn)?，，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?；?）作，垂足為E，連接，因?yàn)椋?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，則，取，設(shè)平面的法向量為，則，取，，解得（舍去），即，四棱錐的體積.18．【答案】（1）極小值為，無極大值．（2）答案見解析（3）．【詳解】（1）．令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．在處取得極小值，極小值為，無極大值．（2）的定義域?yàn)椋?，則為常函數(shù)，無單調(diào)區(qū)間．若，則的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間．（3）因?yàn)?，所以，即．令函?shù)，上式等價于．在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增．因?yàn)楫?dāng)時，，當(dāng)時，，所以，即．因?yàn)椋裕裕蔭的取值范圍是．19．【答案】（1）（2）（3）【詳解】（1）由題意可得第名和第名顧客各抽中一份獎品，即第名顧客抽取的是紅球；第名顧客第一次抽取的是白球，第二次抽取的是紅球；第名顧客抽取的是白球.故第名和第名顧客各抽中一份獎品的概率為.（2）這兩份獎品被第名顧客抽走的概率為，被第名顧客抽走的概率為，被第名顧客抽走的概率為，，被第名顧客抽走的概率為.（3）設(shè)由第名顧客終止抽獎的概率為，則，以下