壓軸專題13四邊形壓軸

背：技法全歸納

知識(shí)考點(diǎn)與解題策略

本專題主要知識(shí)點(diǎn)比較基礎(chǔ)，但需要結(jié)合相等、模型構(gòu)造、分類討論、相似等多

個(gè)知識(shí)點(diǎn)綜合來進(jìn)行分析，所以整體難度才會(huì)比較大。本質(zhì)還是根據(jù)相關(guān)性質(zhì)推

理出三角形相關(guān)的問題。

模型01平行四邊形的性質(zhì)與判定

性質(zhì)/圖形平行四邊形

邊兩組對(duì)邊平行且相等

角對(duì)角相等、鄰角互補(bǔ)

對(duì)角線互相平分

對(duì)稱性中心對(duì)稱圖形

判定方法:

(1)與邊有關(guān)的判定：

兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形

兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形

一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

(2)與角有關(guān)的判定：兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形

(3)與對(duì)角線有關(guān)的判定：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形

模型02菱形的性質(zhì)與判定

性質(zhì)/圖形菱形

邊四條邊相等

角對(duì)角相等、鄰角互補(bǔ)

對(duì)角線對(duì)角線互相垂直且平分

對(duì)稱性既是軸對(duì)稱，又是中心對(duì)稱

判定方法：

(1)先證平行四邊形，再證一組鄰邊相等；

(2)先證平行四邊形，再證對(duì)角線互相垂直;

(3)證四條邊都相等的四邊形；

(4)證對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形；

模型03矩形的性質(zhì)與判定

性質(zhì)/圖形矩形

邊對(duì)邊平行且相等

角四個(gè)角都是90°

對(duì)角線相等且互相平分

對(duì)稱性既是軸對(duì)稱，又是中心對(duì)稱

判定方法：

(1)先證平行四邊形，再證一個(gè)內(nèi)角是直角;

(2)先證平行四邊形，再證對(duì)角線相等；

(3)證三個(gè)角為直角；

模型04正方形的性質(zhì)與判定

性質(zhì)/圖形正方形

邊四條邊相等

角四個(gè)角都是90°

對(duì)角線對(duì)角線互相垂直、平分且相等

對(duì)稱性既是軸對(duì)稱，又是中心對(duì)稱

判定方法：

由菱形到正方形(1)有一個(gè)內(nèi)角是直角的菱形是正方形;

(2)對(duì)角線相等的菱形是正方形；

由矩形到正方形：(1)鄰邊相等的矩形是正方形；

(2)對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形。

典題固基礎(chǔ)

例題1如圖，菱形ABCD中，ZABC=60°,AB=4,點(diǎn)E是線段8。上一點(diǎn)(不含端點(diǎn))，將沿AE

翻折，的對(duì)應(yīng)邊與相交于點(diǎn)尸.

⑴當(dāng)/BAE=15。時(shí)，求E尸的長(zhǎng)；

(2)若/XABF是等腰三角形，求AF的長(zhǎng)；

(3)若EF=k-BE,求上的取值范圍.

s新題型特3

1.(2024?江蘇揚(yáng)州?一模)已知菱形ABC。中，點(diǎn)E是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，點(diǎn)/是邊AT＞上一點(diǎn)，連接EF、

BE、CF,

圖3

【特例探究】

⑴如圖1,若NABC=60。且EPCD,線段班、CT滿足的數(shù)量關(guān)系是.

(2)如圖2,若/ABC=90。且防_LAC,判定線段BE、CF滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

CF

⑶一般探究】如圖3,根據(jù)特例的探究,若4AC=o,=E凡請(qǐng)求出版的值(用含。的式子表示)；

(4)【發(fā)現(xiàn)應(yīng)用】如圖3,根據(jù)“一般探究”中的條件，若菱形邊長(zhǎng)為1,蕓=百，點(diǎn)尸在直線AD上運(yùn)動(dòng),

BE

則△CEF面積的最大值為.

2.(2022?江蘇徐州?中考真題)如圖，在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC=12,點(diǎn)尸在邊A8上，。、E

分別為BC、PC的中點(diǎn)，連接。E.過點(diǎn)E作8c的垂線，與8C、AC分別交于從G兩點(diǎn).連接。G,交

PC于點(diǎn)H.

AA

備用圖

(1)/EOC的度數(shù)為二

(2)連接PG,求AAPG的面積的最大值；

(3)PE與。G存在怎樣的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由；

⑷求笑的最大值.

CE

3.(2021.江蘇揚(yáng)州?中考真題)在一次數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，李老師設(shè)計(jì)了一份活動(dòng)單：

已知線段3c=2,使用作圖工具作Nft4c=30。，嘗試操作后思考：

(1)這樣的點(diǎn)A唯一嗎？

(2)點(diǎn)A的位置有什么特征？你有什么感悟？

“追夢(mèng)，，學(xué)習(xí)小組通過操作、觀察、討論后匯報(bào)：點(diǎn)A的位置不唯一，它在以為弦的圓弧上(點(diǎn)8、C除

外)，....小華同學(xué)畫出了符合要求的一條圓弧(如圖1).

-----P

圖1圖2備用圖

(1)小華同學(xué)提出了下列問題，請(qǐng)你幫助解決.

①該弧所在圓的半徑長(zhǎng)為__________；

②VABC面積的最大值為________；

(2)經(jīng)過比對(duì)發(fā)現(xiàn)，小明同學(xué)所畫的角的頂點(diǎn)不在小華所畫的圓弧上,而在如圖1所示的弓形內(nèi)部，我們

記為A-,請(qǐng)你利用圖1證明ZBAC>30°；

(3)請(qǐng)你運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，結(jié)合以上活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，解決問題：如圖2,已知矩形ABCD的邊長(zhǎng)AB=2,BC=3,

4

點(diǎn)尸在直線CD的左側(cè)，＞tanZZ)PC=-.

①線段所長(zhǎng)的最小值為；

2

②若5皿=十曲貝峨段加長(zhǎng)為——

4.矩形ABC。中，42=8,40=12.將矩形折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)P處，折痕為。E.

Ap

(1)如圖①，若點(diǎn)P恰好在邊BC上，連接AP,求妥的值;

DE

(2)如圖②，若E是AB的中點(diǎn)，EP的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)孔求8b的長(zhǎng)

4

5.(2023?江蘇淮安?三模)如圖，在uA3co中，AB=5,AD=13,tanZB=§,點(diǎn)尸是BC邊上一動(dòng)點(diǎn),

將/XAPB沿著”翻折，得到APB,.直線尸3'和A。邊所在直線交于點(diǎn)K.

(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)5'恰好落在邊上時(shí)，求的長(zhǎng).

(2)①如圖②，當(dāng)點(diǎn)B'落在?ABCD內(nèi)部時(shí)，試探索AK、PB、KB，的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

②當(dāng)點(diǎn)B'落在,ABCD外部時(shí)，①中探索的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？若成立，請(qǐng)說明理由；若不成立，請(qǐng)直接寫

出新的數(shù)量關(guān)系.

(3)當(dāng)點(diǎn)9恰好落在AD邊上時(shí)，點(diǎn)尸的位置記為凡.當(dāng)點(diǎn)尸從點(diǎn)［運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，直接寫出點(diǎn)K的運(yùn)動(dòng)路

徑長(zhǎng).

6.(2024?江蘇泰州?三模)如圖，點(diǎn)E、F、G、”分別在菱形ABC。的各邊上.

圖1圖2圖3備用圖

【初步認(rèn)識(shí)】

(1)如圖1,若AE=A"=CP=CG,則四邊形EFG/f一定是()

A.梯形B.矩形C.菱形D.正方形

【變式探究】

(2)如圖2,若AC、龍＞交于點(diǎn)0,E、H分別是AB、AD上一點(diǎn)，0E=0H,AE^AH,EO、HO的延

長(zhǎng)線分別交在8、BC于點(diǎn)G、F,求證：四邊形EFG〃是矩形.

【深入思考】

(3)如圖3,若AC、交于點(diǎn)。，且AO=10,OD=5,當(dāng)AH滿足什么條件時(shí)，可作出兩個(gè)不同矩形

EFGH,請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論.

(4)在(3)的條件下，設(shè)=AE=y,請(qǐng)?zhí)剿鳌放cx滿足的關(guān)系式.

7.(2024.江蘇揚(yáng)州.二模)如圖，點(diǎn)E是邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD邊AD上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE,將射線BE繞

點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°交邊CD于點(diǎn)E過點(diǎn)E作EHLBF,垂足為點(diǎn)連接交8E于G,在點(diǎn)E從點(diǎn)A

運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)過程中.

!10AED

昌昌

BB

備用圖

⑴直接寫出ZDAH的度數(shù)為°；

⑵連接CH,

①笠DF的比值是否為定值，是定值求出該比值，不是定值請(qǐng)說明理由;

Crz

②當(dāng)DH〃BE時(shí),直接寫出DE的長(zhǎng)；

⑶在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過程中，ABG的面積記為S1,EGH的面積記為S2,求出，-邑的最大值.

8.(2024?江蘇鎮(zhèn)江?二模)“折紙”是同學(xué)們經(jīng)常做的手工活動(dòng).

如圖1,矩形紙片ABC。，AB=8,AD=16,點(diǎn)。為其對(duì)稱中心，小明沿著過點(diǎn)0的直線"N將矩形紙片

進(jìn)行折疊，折痕交邊AD、BC于點(diǎn)M、N,點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為A、B',B'N交邊AD于點(diǎn)、E.

DC。⑼CDC

圖1圖2圖3

⑴如圖2,當(dāng)點(diǎn)9與點(diǎn)。重合時(shí)，AM=_；

(2)在上述折疊過程中，求證：

①，EMN為等腰三角形；

②(8_41/乂8-網(wǎng)=16；

⑶如圖3,AM^2,連結(jié)OD交B'N于點(diǎn)片連接OE,則OEF的面積為一.

9.(2024?江蘇南京.二模)用矩形紙片可以折疊出等邊三角形，但折疊會(huì)損耗矩形紙片的面積.能否將整

張矩形紙片無損耗地剪拼成一個(gè)等邊三角形呢？

(1)有些矩形紙片很容易剪拼成等邊三角形.如圖兩個(gè)矩形紙片只需剪1~2刀就可以拼成等邊三角形，請(qǐng)畫

出分割線，并做必要標(biāo)注.

?AB：BC=1：V3@AB:SC=V3:4

(2)任意矩形要剪拼成等邊三角形很難想到，不妨倒過來考慮，即研究將等邊三角形紙片剪拼成矩形，圖③

是一種可行的分割方案：

①求證：DM=GN；

②將圖③中甲、乙、丙三部分進(jìn)行平移或旋轉(zhuǎn)可以拼出矩形，在原圖中畫出拼接矩形的示意圖.

⑶如何將一張A4紙(如圖④，AB=21cm,2C=210cm)剪拼成等邊三角形？在圖中畫出分割線(標(biāo)注

必要的長(zhǎng)度或角度，寫出必要的文字說明).

10.(2024?江蘇鹽城?一模)綜合與實(shí)戰(zhàn)

【問題情境】最完美的四邊形是正方形，在“綜合與實(shí)戰(zhàn)”課上，老師和同學(xué)們一起對(duì)正方形進(jìn)行了再探究:

如圖1,正方形ABCD的對(duì)角線AC,80相交于點(diǎn)。.

【數(shù)學(xué)思考】老師首先提出了如下問題：

(1)如圖2,作△CQD關(guān)于CD的對(duì)稱圖形△CED,連接AE交于點(diǎn)F.試判斷。咒與。尸的數(shù)量關(guān)系,

并說明理由：

E

圖2

【深入探究】老師讓同學(xué)提出新的問題：

(2)善思小組提出問題：如圖3,以為直徑作P,點(diǎn)M為，尸上的動(dòng)點(diǎn)，連接CM,OM,若正方形

ABC。的邊長(zhǎng)為6cm,求△COM面積的最大值;

(3)智慧小組提出問題：如圖4,以BC為直徑作(P,點(diǎn)”為尸上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作對(duì)角線AC的垂

線，垂足為Q,若正方形A2CZ)的邊長(zhǎng)為6cm,求MQ+42的取值范圍.

四邊形ABC。是菱形，AC〃y軸.

①若點(diǎn)4(1,3),反比例函數(shù)y=：的圖像經(jīng)過點(diǎn)

求該反比例函數(shù)的表達(dá)式，并判斷點(diǎn)A是否在這個(gè)反比

例函數(shù)圖像上;

②是否存在點(diǎn)4(。,“，使得反比例函數(shù)y=：的圖像同時(shí)經(jīng)過點(diǎn)A、B?若存在，求人6滿足的關(guān)系式；若

不存在，說明理由.

(2)如圖2,菱形的頂點(diǎn)A,8和邊的中點(diǎn)￡在反比例函數(shù)匕＞0)圖像上，頂點(diǎn)C、。在反比例函

數(shù)%=0)圖像上，邊A8與y軸的交點(diǎn)為R

①求AF:班'的值;

②若勺&=-15,則菱形ABCD的面積為

12.（2024?江蘇蘇州?一模）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)：兩個(gè)正方形紙片的擺放.

將兩個(gè)邊長(zhǎng)為10cm的正方形紙片鉆8、AB'C'D'按圖①方式進(jìn)行擺放后，得到了8個(gè)陰影三角形，這些

三角形的周長(zhǎng)會(huì)有怎樣的特點(diǎn)呢？數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)小組經(jīng)過探究，有了如下3個(gè)發(fā)現(xiàn)：

圖①圖②圖③

發(fā)現(xiàn)1：圖①中的8個(gè)陰影三角形的周長(zhǎng)之和是一個(gè)定值，這個(gè)定值為cm；

發(fā)現(xiàn)2：將兩個(gè)正方形按圖②方式進(jìn)行擺放，其中3'。經(jīng)過點(diǎn)C,且AD與AB、AD都相交，交點(diǎn)分別為E、

F,則圖中的陰影三角形（AAEF）的周長(zhǎng)是一個(gè)定值，請(qǐng)你求出這個(gè)值；

發(fā)現(xiàn)3：在圖②的情形下，按圖③方式平移正方形紙片AB'C'D'，使得AD分別與AB、AO相交于點(diǎn)G、H,

3'C'分別與8C、C。相交于點(diǎn)/、N,則圖中的2個(gè)陰影三角形（AG”與,CMN）的周長(zhǎng)之和也是一

個(gè)定值，請(qǐng)你求出這個(gè)值.

13.（2024.江蘇泰州.一模）【定義呈現(xiàn)】有兩個(gè)內(nèi)角分別是它們對(duì)角的兩倍的四邊形叫做倍對(duì)角四邊形，

其中，這兩個(gè)內(nèi)角稱為倍角.例如：如圖1,在四邊形ABCD中，?A2?C,ZD=2ZB,那么我們就叫這

個(gè)四邊形是倍對(duì)角四邊形，其中/A,ND稱為倍角.

【定義理解】如圖1,四邊形ABCD是倍對(duì)角四邊形，且/A,/O是倍角.求NB+NC的度數(shù)；

【拓展提升】如圖2,四邊形BDEC是倍對(duì)角四邊形，且NOEC,NBDE是倍角,延長(zhǎng)3￡＞、CE交于點(diǎn)A.在

BC下方作等邊三角形延長(zhǎng)FC、OE交于點(diǎn)G.若鉆=AC,BC=2,FG=kAB,四邊形BDEC

的周長(zhǎng)記為/.

A

（1）用上的代數(shù)式表示/；

（2）如圖3,把題中的“AB=AC”條件舍去，其它條件不變.

①求證：CE=EG；

②探究」7是否為定值.如果是定值，求這個(gè)定值，如果不是，請(qǐng)說明理由.

k+\

14.（2024.江蘇泰州?一模）已知，點(diǎn)尸是邊長(zhǎng)為。為常數(shù)）的正方形內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn)，PELADE,

3c于P,連結(jié)尸￡>,EF,DE,DF,記APDE,尸，！PEF的面積分另U為跖，S2,S3,令PE=x,

PF=y.

（圖2）

（1）如圖1,點(diǎn)P在對(duì)角線AC上.

①求、+邑（用含。、x的代數(shù)式表示）

②是否存在實(shí)數(shù)左，使。+邑+/^的值與P點(diǎn)在AC上的位置無關(guān).若存在，請(qǐng)求出發(fā)的值；若不存在，請(qǐng)

說明理由;

X1

（2）若-=當(dāng)點(diǎn)尸在VABC內(nèi)部（不含邊界）時(shí)（如圖2）.

①求x的取值范圍;

②試說明：S.+S.的值隨著x的增大而增大.

15、在學(xué)習(xí)圖形的旋轉(zhuǎn)時(shí)，創(chuàng)新小組同學(xué)們借助三角形和菱形感受旋轉(zhuǎn)帶來圖形變化規(guī)律和性質(zhì).

【操作探究】

(1)如圖1,已知VABC,NC=90,將VABC繞著直角邊AC中點(diǎn)G旋轉(zhuǎn)，得到二所，當(dāng)一DEF的頂點(diǎn)。

恰好落在VABC的斜邊AB上時(shí)，斜邊DE與AC交于點(diǎn)X.

②證明：DGH~ADH.

【問題解決】

⑵在(1)的條件下，已知AC=4,3c=3,求C”的長(zhǎng).

【拓展提升】

(3)如圖2,在菱形ABCD中，AC=8,30=6,將菱形ABC。繞著A3中點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到菱形EFG”,

當(dāng)菱形EFGH的頂點(diǎn)E分別恰好落在菱形ABCD的AD邊和對(duì)角線8。上時(shí)，菱形EFGH的邊與3C邊相交

于點(diǎn)N,請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng).

圖2備用圖

16、綜合與探究.

【特例感知】

(1)如圖(a),E是正方形ABCD外一點(diǎn)，將線段AE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到？IF,連接OE,BF.求

證：DE=BF;

【類比遷移】

(2)如圖(b),在菱形ABC。中，AB=4,-3=60。，P是AB的中點(diǎn)，將線段上4,PO分別繞點(diǎn)P順時(shí)

針旋轉(zhuǎn)90。得到尸E,PF,PF交BC于點(diǎn)、G,連接CE,CF,求四邊形CEGF的面積；

【拓展提升】

4

(3)如圖(c),在平行四邊形ABCD中，AB=12,AD=10,28為銳角且滿足sinB=6.P是射線54

上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C,。同時(shí)繞點(diǎn)尸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到點(diǎn)G,D,當(dāng)△BCD為直角三角形時(shí)，直接寫出3尸

的長(zhǎng).

(圖(c)備用圖)

17.已知矩形ABC。中，AB=6,BC=8,點(diǎn)、E、尸分別在線段AB、BC上,把△上?尸沿直線E尸翻折，點(diǎn)

8落在點(diǎn)3'.

圖1圖2圖3

⑴當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí),

①如圖1,連接尸方，射線F3'交AD于點(diǎn)G,求證:點(diǎn)G在折痕,的垂直平分線上;

②如圖2,連接C3',若CEB'是直角三角形，貝|3尸=

③在點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)變化過程中，試判斷FG能否平分矩形ABC。的面積？若能，求出BF的值；若不能，則說明

理由;

(2)如圖3,若AE=4時(shí)，連接CB'、AB',求四邊形AB，CD面積的最小值.

18、(1)如圖，在矩形ABCD中，E為AD邊上一點(diǎn)，連接BE,

①若BE=BC,過C作交BE于點(diǎn)/，求證：AABE沿AFCB；

②若黑彩旗8=2。時(shí)，則BECF=

(2)如圖，在菱形ABCD中，cosA=1,過C作CE^AB交48的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,過E作跖工AD交AD于

點(diǎn)F,若S菱形鉆s=24時(shí)，求取的值.

(3)如圖，在平行四邊形ABCD中，ZA=60°,AB=6,AD=5,點(diǎn)E在CD上，且CE=2,點(diǎn)、F為BC上

一點(diǎn)，連接跖，過E作EG，跖交平行四邊形A3CD的邊于點(diǎn)G,若斯.EG=7道時(shí)，請(qǐng)直接寫出AG的

備用圖

19、我們把兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”，例如圖1,圖2,圖3中，AF,BE是VABC的

中線，AF±BE,垂足為P.像VABC這樣的三角形均為“中垂三角形”.設(shè)BC=。，AC=b,AB=c.

Si圖4

(1)［特例探索］

如圖1,當(dāng)NABE=45。,c=2忘時(shí)，a=，b=

如圖2,當(dāng)/ABE=30。，c=4時(shí)，a=,b=

(2)［歸納證明］

請(qǐng)你觀察(1)中的計(jì)算結(jié)果，猜想b2,0?三者之間的關(guān)系，用等式表示出來，并利用圖3證明你發(fā)現(xiàn)

的關(guān)系.

(3)［拓展應(yīng)用］

利用(2)中的結(jié)論，解答下列問題：在邊長(zhǎng)為3的菱形ABCD中，。為對(duì)角線AC中點(diǎn)，E,產(chǎn)分別為線段

A0,的中點(diǎn)，連接BE,CF并延長(zhǎng)交于點(diǎn)M.BM,CM分別交AD于點(diǎn)GH,如圖4所示，求

MG'+MH?的值.

壓軸專題13四邊形壓軸

技法全歸納

知識(shí)考點(diǎn)與解題策略

本專題主要知識(shí)點(diǎn)比較基礎(chǔ)，但需要結(jié)合相等、模型構(gòu)造、分類討論、相似等多

個(gè)知識(shí)點(diǎn)綜合來進(jìn)行分析，所以整體難度才會(huì)比較大。本質(zhì)還是根據(jù)相關(guān)性質(zhì)推

理出三角形相關(guān)的問題。

性質(zhì)/圖形平行四邊形

邊兩組對(duì)邊平行且相等

角對(duì)角相等、鄰角互補(bǔ)

對(duì)角線互相平分

對(duì)稱性中心對(duì)稱圖形

性質(zhì)/圖形菱形

邊四條邊相等

角對(duì)角相等、鄰角互補(bǔ)

對(duì)角線對(duì)角線互相垂直且平分

對(duì)稱性既是軸對(duì)稱，又是中心對(duì)稱

性質(zhì)/圖形矩形

邊對(duì)邊平行且相等

角四個(gè)角都是90°

對(duì)角線相等且互相平分

對(duì)稱性既是軸對(duì)稱，又是中心對(duì)稱

性質(zhì)/圖形正方形

邊四條邊相等

角四個(gè)角都是90°

對(duì)角線對(duì)角線互相垂直、平分且相等

對(duì)稱性既是軸對(duì)稱，又是中心對(duì)稱

學(xué)典題固基礎(chǔ)

例題1如圖，菱形ABC。中，ZABC=60°,AB=4,點(diǎn)E是線段8。上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），將ABE沿AE

翻折，AB的對(duì)應(yīng)邊AB'與8。相交于點(diǎn)F.

⑴當(dāng)/瓦9=15。時(shí)，求E尸的長(zhǎng)；

（2）若AAB尸是等腰三角形，求AF的長(zhǎng)；

⑶若EF=hBE,求左的取值范圍.

【答案】（1）2-冬8

3

⑵手或2指一2近

【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)可得VABC是等邊三角形，AC±BD,AO=2,BO=243,

ZBAF=ZFBA=30°,則=Ab=2括-O尸，根據(jù)勾股定理求出。/=氈，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)

3

可得OE=OA=2,即可得EF的長(zhǎng)；

（2）分兩種情況：①當(dāng)AF=6/時(shí)，②當(dāng)=B方時(shí)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分別求解即可；

（3）過點(diǎn)￡作9/，M于作ENLAb于N,根據(jù)三角形的面積公式可得變=空，則斯=英匹，

EFAFAB

AF

由防=上班得人=——，由點(diǎn)F在3。上可得AF的最大值為4,當(dāng)AFJ_BD,即點(diǎn)尸與點(diǎn)。重合時(shí)，項(xiàng)的

AB

值最小為。4=2,可得2WAFV4,即可得％的取值范圍.

【詳解】（1）菱形ABCD中，ZABC=60°,AB=4

VABC是等邊三角形，AC.LBD,AO=-AC,ZABD=ZCBD=-ZABC=30°

22

/.AO=2,BO=2s/3

由折疊得NBAE=ZFAE=15°

ZBAF=ZFBA=30°

：.BF=AF=2^/3-OF

在Rt.-.AOF中，OF2+O^AF2

/.OF2+22=^2-j3-OF^

.c口2有

??OF=-----

3

VZBAE=15°,NEBA=30。

ZAEO=45°

???/VLEO是等腰直角三角形，

：.OE=OA=2

9J3

/.EF=OE-OF=2—-—

3

（2）若是等腰三角形，分三種情況：

①當(dāng)AF=6F時(shí)

由（1）知，BF=AF=2^3-OF,OF=^~

3

4尸=2力一氈=迪

33

②當(dāng)A8=B/時(shí)，如圖1,

?/AB=4

BF=4

OF=BF-OB=4-26

AF=y/o^+OF2=,2?+（4一2⑹2=2&-272

綜上，AF的長(zhǎng)為也或4或2#-2拒；

3

（3）過點(diǎn)E作于/,作EN_LAb于N

由折疊得ZBAE=Z.FAE

：.EM=EN

—xABxEMAD

*ABE2_A3

S.AFE-XAFXENAF

2

S

ABE_心R乙E

又々

AFEEF

.BEAB

EFAF

???ET

?/EF=kBE

AF

AB

???點(diǎn)尸在8D上

???AF的最大值為4,當(dāng)AFLBD

即點(diǎn)尸與點(diǎn)。重合時(shí)，AF的值最小為。4=2

2<AF<4

?亭景】

???%的取值范圍為9yl

【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，考查了折疊的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理,

等腰三角形的性質(zhì)等，分類思想的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.

練新題型特訓(xùn)

1.（2024?江蘇揚(yáng)州?一模）已知菱形ABCD中，點(diǎn)E是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，點(diǎn)尸是邊AD上一點(diǎn)，連接EE、

BE、CF,

圖3

【特例探究】

⑴如圖1,若NABC=60。且EPCD,線段BE、CP滿足的數(shù)量關(guān)系是:

（2）如圖2,若/ABC=90。且EFLAC,判定線段BE、CT滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

CF

⑶【一般探究】如圖3,根據(jù)特例的探究,若=AE=E凡請(qǐng)求出版的值（用含。的式子表示）；

⑷【發(fā)現(xiàn)應(yīng)用】如圖3,根據(jù)“一般探究”中的條件’若菱形邊長(zhǎng)為1,第=6,點(diǎn)/在直線9上運(yùn)動(dòng),

則△CEF面積的最大值為.

【答案】（1）BE=CF

（2）CF=s/2BE，理由見解析

CF

(3)=2cosa

BE

(4)更

16

【分析】（1）證明△ABE絲△ACF（SAS）,即可得出結(jié)論;

（2）證明oABEsACF,即可得出結(jié)論；

AR4rCFAC

（3）過點(diǎn)3作30,4?于點(diǎn)0,先證明9M。-乙的，得到=再證明4245石6AC。得到▼二F，

AEAFBEAB

推出AC=2ABcosa,即可得出結(jié)論；

（4）連接8D交AC于點(diǎn)。，過點(diǎn)石作。于點(diǎn)H,由（3）推出NEE4=ND4C=NBAC=30。，設(shè)A￡=x,

則EF=x,求出LBE，S四，根據(jù)ABEsqACF,得至?。荨?（空］=（6丫=3,進(jìn)而求出

SABEyBE）''

s=--X2+-X,利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求出最值即可得出結(jié)果?

-CEF44

【詳解】（1）???四邊形ABC。是菱形，ZABC=60°,

：.AB=BC=CD=AD,AADC=ZABC=60°,

???NABC和AADC都是等邊三角形，

AB=AC,ZDAC=ZBAC=60°,

?:EFCD,

：.ZAFE=ZADC=60°f

???△A￡F是等邊三角形，ZBAE=ZCAF=60°,

：.AE=AF,

在4AB石和△ACF中,

AB=AC

</BAE=ZCAF,

AE=AF

：.AABE^AACF(SAS),

：.BE=CF；

故答案為：BE=CF,

(2)解：CF=叵BE，理由如下：

???四邊形ABC。是菱形，ZABC=90°,

：.AB=BC=CD=AD,ZADC=ZABC=90°,

：.ZBAC=ZDAC=45°fAC=y[2AB

■:EF1AC,

AF=4iAE，

.AC_AF

??商一瓦’

：.：ABE^ACF,

.BEAB_AB

CF~AC~CAB'

CF=y/2BE;

(3)如圖3,過點(diǎn)3作及9LAC于點(diǎn)。，

圖3

???四邊形ABCD是菱形，ZBAC=a,

.?.AB=BC,ZDAC=ZBAC=ZACB=a,

AE=EF,

：.ZAFE=ZDAC=a,

：.AABC^AEF,

.ABAC

*AE-AF

又?.?NZMC=NBAC=a,

：.：ABE^ACF,

.CFAC

?.=,

BEAB

?.,AB=BC,BO.LACf

AC=2AO,AO=AB-cosNBAC,

AC=2ABcosa,

.CF_2ABcosa

=2cosa;

*AB

(4)如圖4,連接8。交AC于點(diǎn)0,過點(diǎn)E作及/_LAD于點(diǎn)77,

C

圖4

CF

由(3)可得：ABES-ACF,~—=2cosABAC,ZEAF=ZEFA,

BE

2cosNBAC=6

ZEFA=ADAC=ABAC=30°,

設(shè)AE=x,則防=%，

???四邊形ABC。是菱形,

AC±BD,

：.BO=-AB=-xl=~,

222

SARF=~AE,BO=—X'—=—x

M￡2224

,.?AE=EF=x,ZDAC=30°,EHLAD,

**?EH=—AE=—x,AF=2,AH,

22

AF=2AH=2」AE2-EH2=2

S=-AF-EH=-xy/3x--x=—x2;

的AFF2224

:ABEs二ACF,

-C—CC_C

,?0,ACF一口.CEFTuAEF-、CEF丁

當(dāng)3省時(shí)，5皿有最大值：—.

216

故答案為：出.

16

【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定

和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形以及利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.本題的綜合性強(qiáng)，難

度大，屬于中考?jí)狠S題.熟練掌握菱形的性質(zhì)，證明三角形全等和相似，是解題的關(guān)鍵.

2.(2022.江蘇徐州?中考真題)如圖，在aABC中，NBAC=90。，AB=AC=12,點(diǎn)尸在邊A2上，D、E

分別為BC、PC的中點(diǎn)，連接。E.過點(diǎn)E作8C的垂線，與BC、AC分別交于尸、G兩點(diǎn).連接DG,交

PC于點(diǎn)H.

(D/EOC的度數(shù)為二

(2)連接PG,求AAPG的面積的最大值;

(3)PE與0G存在怎樣的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由;

⑷求笑的最大值.

CE

【答案】(1)45。

(2)9

@PE=DG,理由見解析

(4)2/1+1

2

【分析】(1)先說明NB=45。，再說明0E是△的中位線可得然后由平行線的性質(zhì)即可解答；

(2)先說明加和△GFC是等腰直角三角形可得Z)P=EF=12DE、GF=CF=^CG；設(shè)4P=x,則

22

BP=U-x,BP=n-x=2DE,然后通過三角形中位線、勾股定理、線段的和差用x表示出AG,再根據(jù)三角形

的面積公式列出表達(dá)式，最后運(yùn)用二次函數(shù)求最值即可；

(3)先證明△GPD絲△CTE,可得DG=CE,進(jìn)而可得PE=￡)G；由4GFD0ACFE可得NECF=NDGF,

進(jìn)而得到NGHE=/a7E=90。，即可說明DG、PK的位置關(guān)系；

(4)先說明△CE/sACDH得到C關(guān)F=C丹F，進(jìn)而得到CH笠C=F三?CD￥，然后將已經(jīng)求得的量代入可得CH笠=

CDCHCECECE

Z12I288然后根據(jù)“+：=(&+；］-222求最值即可.

【詳解】(1)解：：在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC=12

：.ZB=ZACB=45°

V,D、E分別為BC、PC的中點(diǎn)

：.DE//BP,DE=-BP

2

：.ZEDC=ZB=45°.

(2)解：如圖：連接PG

VZEDC=ZACB=45°fGF±DC

???△瓦/和△GR?是等腰直角三角形

：.DF=EF=^DE,GF=CF=—CG,

22

設(shè)AP=x,貝！|BP=12-x,BP=12-x=2DE

12-x12-x

：?DE='EF=^/T

2

?RtAAPC,

???PC=7AP2+AC2=42+144

CE=-Jx2+144

2

?：Rt4EFC

12+x

2A/2

CG=桓CF=12+'

?cAPC-AD人廠112-x12%-x2-(x-6)+36

??34A/G——AG=—x---=-----=--------

22244

所以當(dāng)x=6時(shí)，SzAPG有最大值9.

?：DF=EF,ZCFE=ZGFD,GF=CF

：.AGFD^ACFECSAS)

：.DG=CE

???石是PC的中點(diǎn)

：.PE=CE

：.PE=DG；

?：AGFDQACFE

：./ECF=/DGF

???ZCEF=ZPEG

：.ZGHE=ZEFC=90°,BPDGLPE,

(4)解：,:△GFD”MFE

：.ZCEF=ZCDH

又丁ZECF=ZDCH

:.XCEFs^CDH

,CECF

——，即CECH=CFCF

CDCH

.CHCFCD

'~CE~CE2

?：FC=^f^,CE=-VX2+144,CD，BC==6近

2,222

12+x

-6A/2x+1212

CH2&=12x

2

2X+144288

CE16+144%+12+-24

x+12

<12_12_]_2及+2_&+1

-27288-242472-24-2A/2-2-4-2

???笑的最大值為"里.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形中位線、平行線的性質(zhì)、二次函數(shù)求最值、全等三角形的判定與性質(zhì)、相

似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)成為解答本題的關(guān)鍵.

3.(2021?江蘇揚(yáng)州?中考真題)在一次數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，李老師設(shè)計(jì)了一份活動(dòng)單：

已知線段3c=2,使用作圖工具作N54C=30。，嘗試操作后思考：

(1)這樣的點(diǎn)A唯一嗎？

(2)點(diǎn)A的位置有什么特征？你有什么感悟？

“追夢(mèng)”學(xué)習(xí)小組通過操作、觀察、討論后匯報(bào)：點(diǎn)A的位置不唯一，它在以3c為弦的圓弧上(點(diǎn)3、C除

外)，…….小華同學(xué)畫出了符合要求的一條圓弧(如圖1).

(1)小華同學(xué)提出了下列問題，請(qǐng)你幫助解決.

①該弧所在圓的半徑長(zhǎng)為

②VABC面積的最大值為；

（2）經(jīng)過比對(duì)發(fā)現(xiàn)，小明同學(xué)所畫的角的頂點(diǎn)不在小華所畫的圓弧上，而在如圖1所示的弓形內(nèi)部，我們

記為W，請(qǐng)你利用圖1證明NBAC>30°；

（3）請(qǐng)你運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，結(jié)合以上活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，解決問題：如圖2,已知矩形ABC。的邊長(zhǎng)鉆=2,BC=3,

4

點(diǎn)尸在直線CO的左側(cè)，且tan/。尸C=§.

①線段尸8長(zhǎng)的最小值為；

2

②若StPCD=~SPAD,則線段PD長(zhǎng)為.

【答案】（1）①2；②6+2；（2）見解析；（3）①叵B；②逑或正

444

【分析】（1）①設(shè)。為圓心，連接80,CO,根據(jù)圓周角定理得到NBOC=60。，證明△OBC是等邊三角

形，可得半徑；

②過點(diǎn)。作8C的垂線，垂足為E,延長(zhǎng)EO,交圓于。，以BC為底，則當(dāng)A與。重合時(shí)，VABC的面積

最大，求出OE,根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可；

（2）延長(zhǎng)友V,交圓于點(diǎn)。，連接CD,利用三角形外角的性質(zhì)和圓周角定理證明即可；

41

⑶①根據(jù)tan"PC=§,連接尸。，設(shè)點(diǎn)。為尸￡>中點(diǎn)，以點(diǎn)。為圓心，萬尸。為半徑畫圓，可得點(diǎn)尸在

優(yōu)弧CPZ）上，連接8Q,與圓。交于尸，可得3P即為3尸的最小值，再計(jì)算出8。和圓。的半徑，相減即

可得到3P;

2

②根據(jù)AD,8和SPCD=-S詠推出點(diǎn)尸在/ADC的平分線上,從而找到點(diǎn)P的位置,過點(diǎn)C作CF，尸。，

垂足為尸，解直角三角形即可求出OP.

【詳解】解：（1）①設(shè)。為圓心，連接8。，CO,

ZBAC=30。，

ZBOC=60°,又OB=OC,

△03C是等邊三角形，

OB=OC=BC=2,即半徑為2；

②-VABC以3C為底邊，BC=2,

當(dāng)點(diǎn)A到3C的距離最大時(shí)，V4BC的面積最大，

如圖，過點(diǎn)。作BC的垂線，垂足為E,延長(zhǎng)EO,交圓于。，

BE=CE=l,DO=BO=2,

OE=y]BO2-BE2=5

DE=6+2,

,VABC的最大面積為gx2x(g+2)=g+2；

圖1

(2)如圖，延長(zhǎng)BA,交圓于點(diǎn)D,連接C。,

:點(diǎn)。在圓上，

1./BDC=/BAC,

ABAC=Z.BDC+ZACD,

■.NBAC>NBDC,

NBA'C>ABAC,即ZBAC>30°；

圖1

(3)①如圖，當(dāng)點(diǎn)尸在BC上，且PC=5時(shí)，

/PCD=90。,AB=CD=2,AD=BC=3,

CD4

'''tanNOPC=,為定值，

連接PO,設(shè)點(diǎn)。為BD中點(diǎn)，以點(diǎn)Q為圓心，!尸。為半徑畫圓，

2

二點(diǎn)尸在優(yōu)弧CPD上，連接B。，與圓。交于P,此時(shí)3P即為3尸的最小值，過點(diǎn)。作QELBE,垂足為￡,

丁點(diǎn)。為尸￡＞中點(diǎn),

I13

二點(diǎn)E為尸C中點(diǎn)，即。￡=耳8=1,PE=CE=-PC=~,

39

...BE=BC-CE=3——=一，

44

BQ=^BE2+QE2=,

PD=yJeD2+PC2=-,

2

???圓Q的半徑為=

224

BP=BQ-P'Q=^~5,即3P的最小值為甄-5；

44

△24。中AD邊上的高等于△PCD中CD邊上的高，

即點(diǎn)P到AD的距離和點(diǎn)P到CD的距離相等，

則點(diǎn)P到AD和C。的距離相等，即點(diǎn)尸在，ADC的平分線上，如圖,

過點(diǎn)C作CFLPD,垂足為尸，

PD平分上WC,

ZADP=NCDP=45。,

.?.V8B為等腰直角三角形，又CD=2,

CF=DF=3=五,

CF4

tanZDPC=—=-,

PF3

4

當(dāng)點(diǎn)尸在線段上時(shí)，PD=DF+PF=42+—=—；

44

當(dāng)點(diǎn)尸在線段DF上時(shí)，PD=DF-PF=y/2--=—.

44

考查了圓周角定理，三角形的面積，等邊三角形的判定和性質(zhì)，最值問題,

解直角三角形，三角形外角的性質(zhì)，勾股定理，知識(shí)點(diǎn)較多，難度較大，解題時(shí)要根據(jù)已知條件找到點(diǎn)尸的

軌跡.

4.矩形A8CD中，A8=8,AD=12.將矩形折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)P處，折痕為OE.

（1）如圖①，若點(diǎn)P恰好在邊BC上，連接AP,求一的值;

EP的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)R求B尸的長(zhǎng).

【分析】（1）如圖①中，取DE的中點(diǎn)M,連接PM.證明APOMs^DCP,利用相似三角形的性質(zhì)求解

即可.

（2）如圖②中，過點(diǎn)P作GH//BC交AB于G,交CD于H.設(shè)EG=x,則BG=4-x.證明AEGP^APHD,

EGPGEPI

推出——=——=—=-,推出PG=2EG=3x,DH=AG=4+x,在RtAPHD中，由PH2+DH2=PD2,可得(3x)

PHDHPD3

2+（4+x）2=122,求出X,再證明AEGPs^EBF,利用相似三角形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：（1）如圖①中，取DE的中點(diǎn)M,連接PM.

圖①

:四邊形ABCD是矩形,

???NBAD=NC=90。，

由翻折可知，AO=OP,AP±DE,N2=N3,NDAE=NDPE=90。，

在R3EPD中，VEM=MD,

???PM=EM=DM,

???N3=NMPD,

/.Z1=Z3+ZMPD=2Z3,

VZADP=2Z3,

???N1=NADP,

VAD//BC,

??.NADP=NDPC,

???N1=NDPC,

VZMOP=ZC=90°,

.'.△POM