三角函數(shù)專題訓(xùn)練100題

閱卷人

一'單選題

得分

1.如圖，菱形ZBCD的對(duì)角線交于點(diǎn)。，4E1BC于點(diǎn)E,若cos乙4BC=3AB=10,貝!MC的長為

)

A.12B.10C.4V5D.2A/5

2.如圖，在平行四邊形ABCD中，AB為O。的直徑，O。與DC相切于點(diǎn)E,與AD相交于點(diǎn)F,

已知48=12,ZC=60°,則圖中陰影部分面積是（）

B.36-12vl-37r

C.36—98一3兀D.36-6V3-6n

3.如圖，4B為。。的直徑，弦CO與直徑4B平行，弦BC與弦40,。。分別交于點(diǎn)E,F.若

)

「V5

T,丁

4.如圖，將矩形繞點(diǎn)C沿著順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。到矩形A'B'C'D'的位置，AB=2,AD=4,則

陰影部分的面積為（)

A.金兀-4A/3B.事兀一2V3^C.^7r—4V3D.§兀-2A/3^

5.如圖，將矩形ABCD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至矩形AB'C'D位置，此時(shí)AC的中點(diǎn)恰好與D點(diǎn)重合，AB'交

CD于點(diǎn)E,若AB=3,則4AEC的面積為（）

A.3B.1.5C.2V3D.V3

6.如圖為某大壩的橫斷面，斜坡AB的坡比i=l：2,背水坡CD的坡比i=l：1,若AB的長度為

6西米，則斜坡CD的長度為（）.

D.米

7.如圖，正六邊形ABCDEF外作正方形OEGH,連接AH、BE交于點(diǎn)0,求需的值（）

D.2一乃

JC-3

8.如圖，數(shù)學(xué)興趣小組用測角儀和皮尺測量一座信號(hào)塔CD的高度，信號(hào)塔CD對(duì)面有一座高15米的

瞭望塔測得瞭望塔底B與信號(hào)塔底。之間的距離為25米，若從瞭望塔頂部4測得信號(hào)塔頂C的仰

角為a,則信號(hào)塔CD的高為()

A.(15+3")米B.(15+25?s譏a)米

C.(15+需；戊)米D.(15+25-tana)米

9.在△ABC中，NC=90°,cosA=|,貝ijtanB=()

4

A.4Bc-D.

5-155

10.如圖，在2x2正方形網(wǎng)格中，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的△ABC的面積等于|,貝Ijsin/CAB=()

B.WD.3

10

閱卷人

二'填空題

得分

11.如圖，已知M為線段的中點(diǎn)，4E與BD交于點(diǎn)C,ADME=AA==45°,DM交AC于點(diǎn)

F,ME交BC于點(diǎn)G,連接FG,如果4B=4VX/F=3,那么FG的長為

12.如圖，在△ABC中，/ACB=90。，點(diǎn)D為AB邊的中點(diǎn)，連接CD,若BC=4,CD=3,則

cosZB的值為

ft

H

13.如圖，已知邊長為2的正方形OABC在直角坐標(biāo)系中，OA與y軸的夾角為30。，則點(diǎn)C的坐標(biāo)

為.

14.如圖，Rt△力BC中，乙4cB=90。，一同學(xué)利用直尺和圓規(guī)完成如下操作：

①以點(diǎn)C為圓心，以CB為半徑畫弧，交于點(diǎn)G；分別以點(diǎn)G,B為圓心，以大于的長為半

徑畫弧，兩弧交點(diǎn)K,作射線CK；

②以點(diǎn)B為圓心，以適當(dāng)?shù)拈L為半徑畫弧，交BC于點(diǎn)M,交ZB的延長線于點(diǎn)N；分別以點(diǎn)M,

N為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P,作直線交AC的延長線于點(diǎn)D,交射線CK

于點(diǎn)E.

請(qǐng)你觀察圖形，根據(jù)操作結(jié)果解答下列問題；

(1)線段CD與CE的大小關(guān)系是；

(2)過點(diǎn)D作DF1AB交力B的延長線于點(diǎn)F,若力C=12,BC=5,貝UtanZDBF的值為.

15.計(jì)算：tanl°-tan2°-tan3°.......tan87°-tan88o,tan89°=

16.計(jì)算：tan45°+J（2-V5）2+出之=.

17.如圖，已知OC經(jīng)過原點(diǎn)，與坐標(biāo)軸分別交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0,28），點(diǎn)D在。C

上，若乙4。。=30°,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為.

18.如圖，在矩形ABCD中，AB=2DA,以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑的圓弧交DC于點(diǎn)E,交AD的

延長線于點(diǎn)F,設(shè)DA=2,圖中陰影部分的面積為.

19.在中，乙4BC=90°,BDLAC,垂足為點(diǎn)D,如果ZB=5,BD=2,那么

cosC=?

20.如圖所示，河壩橫斷面迎水坡AB的坡比為1：2（坡比是坡面的鉛直高度BC與水平寬度AC之

比），壩高BC=3zn,則坡面AB的長度是m.

閱卷人

三'計(jì)算題

得分

21.雷峰塔是杭州市西湖景區(qū)的地標(biāo)性建筑，是“西湖十景”之一、中國九大名塔之一，為中國首座

彩色銅雕寶塔.某數(shù)學(xué)興趣小組用無人機(jī)測量雷峰塔4B的高度，測量方案為：如圖，先將無人機(jī)垂

直上升至距離地面200m的P點(diǎn)，測得雷峰塔頂端A的俯角為22。；再將無人機(jī)沿雷峰塔的方向水平

飛行120m到達(dá)點(diǎn)Q,測得雷峰塔底端B的俯角為45。，求雷峰塔4B的高度.（參考數(shù)據(jù)：s譏22。。

0.37,cos22°?0.93,tan22°?0.40）

pQ

23?計(jì)算(仃-2)°—3tan3(r++8)之.

24.先化簡，再求代數(shù)式(二不—與的值，其中a=2sin60。+tm45。.

u-r1a乙一1Cl-r1

25.先化簡，再求代數(shù)式a?、4a+4+咯一i的值,其中。=2sin45。.

a2+aa+1

26.計(jì)算：(-l)2024+2cos300+(2024-7r)0-2tan45°.

27.(1)計(jì)算:V9+(TT+1)°+2sin60°+|2-V3|；

(2)解方程：2(%—3)2=3—x.

28.(1)化簡：(a+2產(chǎn)—(a+3)(a—1)；

(2)計(jì)算：6sin60°+(TT-100)°-V27+|-2|.

29.計(jì)算：2tan45°-.^-2sin260°.

sin30°no

30.計(jì)算VH+lV5-212tan60°+(1)L

閱卷人

-----------------四、解答題

得分

31.如圖，已知是。。的直徑，點(diǎn)C在。。上，點(diǎn)E在4B上，作DE14B交4C的延長線于點(diǎn)

過點(diǎn)C作O。的切線CF交DE于點(diǎn)工

(1)求證：CF=DF.

(2)若點(diǎn)C為4。中點(diǎn)，CF=孕，sin^ADE=j,求。。的半徑.

45

32.圖1、圖2均是8義8的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，線段AB,CD,MN的端點(diǎn)

均在格點(diǎn)上，BC與AD相交于點(diǎn)E,回答下列問題：

D

圖1圖2

△ABE的周長

(1)在圖1中，tanzDXB=

ACDE的周長

(2)在圖2中請(qǐng)用一把無刻度的尺子，畫出線段MN三等分點(diǎn)P,Q.(保留作圖痕跡)

33.為了充分利用四邊形余料，小明設(shè)計(jì)了不同的方案裁剪正方形，裁剪方案與數(shù)據(jù)如下表:

方案設(shè)計(jì)方案1方案2

Z)C1J

G

裁剪方案示意圖M

AEBANB

說明圖中的正方形4EFG和正方形MNPQ四個(gè)頂點(diǎn)都在原四邊形的邊上

測量數(shù)據(jù)AD=9dm,CD=2dm,AB=14dm,Z-A=乙D=90°；

任務(wù)1:探尋邊

填空：BC=______▲______dm,sinB=_______▲______；

角

任務(wù)2：比較面

計(jì)算或推理：正方形4EFG和正方形MNPQ邊長之比；

積

任務(wù)3：應(yīng)用實(shí)若在△BEF余料上再截取一個(gè)最大正方形，正方形的邊長為▲

踐dm.

34.如圖，已知AB是。。的直徑.點(diǎn)P在的延長線上，點(diǎn)D是。。上一點(diǎn).連接P0,過點(diǎn)B作

BE垂直于PD,交PC的延長線于點(diǎn)C、連接4。并延長，交BE于點(diǎn)E,且AB=BE

E

C

D

(1)求證：PC是O。的切線；

(2)若PA=2,tcmB=*求O。半徑的長.

35.如圖，AB為。。的直徑，D、E是。。上的兩點(diǎn)，過D作。。的切線交AB的延長線于點(diǎn)C,

連接AD,BE,BD.

(2)若tanABED=mAC=18.求。。的半徑.

36.如圖，燈塔B位于港口力的北偏東58。方向，且A、B之間的距離為30km,燈塔C位于燈塔B的正

東方向，且B、C之間的距離為10km,一艘輪船從港口4出發(fā)，沿正南方向航行到達(dá)。處，測得燈塔C

位于北偏東37。方向上，這時(shí)，。處距離港口4有多遠(yuǎn)(結(jié)果取整數(shù))？(參考數(shù)據(jù)：sin58o=0.85,

cos58°?0.53,tan58°?1.60,sin37°?0.60,cos37°?0.80,tan37°?0.75)

37.惠州泗州塔始建于唐朝，是一座八角七層的樓閣式石專塔，如圖所示，為了測量塔高A。，已知在

C處測得塔頂?shù)难鼋且?C。=45°,朝塔腳前進(jìn)CB=16米到B點(diǎn)，在B處測得塔頂?shù)难鼋且?B。=

60°,已知乙40B=90。，請(qǐng)求出塔高A。約為多少米.(b=1.7,結(jié)果精確到個(gè)位)

A

圖1圖2

38.如圖，為了測量甲樓CD的高度，由于甲樓的底部D不能直接到達(dá)，于是，測量人員在乙樓的頂

部A測得甲樓的頂C的仰角是65。，底部D的俯角是45。，已知乙樓48的高度是12米，求甲樓CD的

高度.（參考數(shù)據(jù)：sin65°?0.91,cos65°?0.42,tan65°?2.14,結(jié)果精確到0.1米）

□

□

□

□

□

-

6□

T5°□

J45

X□

BD

39.如圖為某游樂場摩天輪簡化示意圖，摩天輪最低端與地面的距離忽略不計(jì)，即可看作摩天輪與

地面相切于點(diǎn)C,摩天輪最外端圓的直徑約為120米.夜晚，小明坐在透明座艙旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)B,測得

到地面的距離為90米，即BD=90米.

(1)小明所在位置距摩天輪的中心O的水平距離；

(2)當(dāng)小明再次轉(zhuǎn)到與到地面的距離為90米時(shí)，求小明走過的路程.

40.如圖1是一種手機(jī)支架，由托板、支撐板和底座構(gòu)成，手機(jī)放置在托板上，圖2是其側(cè)面結(jié)構(gòu)

示意圖，量得托板力B=120nun,支撐板CD=110mm,底座DE,托板AB固定在支撐板頂端C處,

且CB=40mm,托板4B可繞點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)，支撐板CO可繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng).

A

C

々DLL--------L---------E

圖1圖2

(1)若乙DCB=70°,乙CDE=60°,求點(diǎn)A到直線OE的距離.(精確到0.1mm)

(2)為了觀看舒適，在(1)的情況下，把繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)20。后，再將CD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋

轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B落在直線OE上，求CD旋轉(zhuǎn)的角度大約是多少度？

參考數(shù)據(jù):(sin40°?0.643,cos40°?0.766,tan40°?0.839,sin20°?0.342,cos20°?0.940,

tan20°x0.364,V3?1.732).

41.某鎮(zhèn)為創(chuàng)建特色小鎮(zhèn)，助力鄉(xiāng)村振興，決定在轄區(qū)的一條河上修建一座步行觀光橋.如圖，河

旁有一座小山，山高BC=80m,點(diǎn)C、A與河岸E、F在同一水平線上，從山頂B處測得河岸E和

對(duì)岸F的俯角分別為乙DBE=45。，乙DBF=31。.若在此處建橋，求河寬EF的長.(結(jié)果精確到

1m)[參考數(shù)據(jù)：sin31°?0.52,cos310工0.86,tan31°?0,60]

42.小張是“科技協(xié)會(huì)”的一名會(huì)員，他設(shè)計(jì)了一款距離測量儀器，這款儀器的最大測量距離為34米

(測量距離為兩點(diǎn)所連線段的長度).為了測試這款儀器的性能，小張來到一座小山坡.從山腳A處

開始，作為測量點(diǎn)，手持儀器沿斜坡AB向上走.已知ACLBC,AC=19.2米，BC=8米.

(1)求tan/A的值；

(2)小張到達(dá)B后繼續(xù)測試，先走一段水平路面BD,BDHAC,長為2.8米，再沿另一斜坡DE

向上走，直到G點(diǎn)，此時(shí)G,A兩點(diǎn)之間達(dá)到最大測量距離34米，且斜坡DE的仰角為45。.請(qǐng)求

出DG的長度.(結(jié)果保留一位小數(shù)，在整個(gè)測量過程中，小張所走的路線在同一平面內(nèi):

V2=1.41,V3=1.73）

43.如圖所示，漁船在4處看到燈塔C在北偏東60。方向上，漁船向正東方向航行了12MH到達(dá)B處,

在B處看到燈塔C在正北方向上.

（1）求這時(shí)漁船與燈塔C的距離.

（2）若漁船繼續(xù)向正東方向行駛4km到達(dá)。處，求sin/BCD的值.

44.如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組在活動(dòng)課上測量學(xué)校旗桿高度.已知小明的眼睛與地面的距離AB是

1.7m,看旗桿頂部M的仰角為45。；小紅的眼睛與地面的距離CD是1.5加，看旗桿頂部M的仰角為

30°.兩人相距28米且位于旗桿兩側(cè)（點(diǎn)B,N,。在同一條直線上）.請(qǐng)求出旗桿MN的高度.（參考

數(shù)據(jù)：1.4,V3?1.7,結(jié)果保留整數(shù)）

45.如圖，已知斜坡4B長為60米，坡角（即NB4C）為30。，BCVAC,現(xiàn)計(jì)劃在斜坡中點(diǎn)。處挖去

部分坡體（用陰影表示），修建一個(gè)平行于水平線C4的平臺(tái)DE和一條新的斜坡BE.

□□

□□

□□

□□

（1）若修建的斜坡BE的坡角為45。，求平臺(tái)DE的長；（結(jié)果保留根號(hào)）

（2）一座建筑物距離A處30米遠(yuǎn)（即4G為30米），小明在。處測得建筑物頂部H的仰角（即

乙HDM）為30。，點(diǎn)4G,H在同一個(gè)平面內(nèi)，點(diǎn)C,4G在同一條直線上，且HG1CG,求建筑物

的高度.（結(jié)果保留根號(hào)）

閱卷人

-----------------五、閱讀理解

得分

46.閱讀材料：關(guān)于三角函數(shù)有如下的公式：sin（a+P）=sinacosp+cosasinp,tan（a+p）=

:峨：喘.利用這些公式可以將兩角和的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化成兩個(gè)三角函數(shù)值的和（差），如tan75。

1—LClfluLClflp

=tan（30。+45。）=要4竟管3惠=1+三=3+^=2+有

1—tan450+tan30°]_]義與3

問題解決：根據(jù)以上閱讀材料，請(qǐng)選擇適當(dāng)?shù)墓浇獯鹣铝袉栴}

（1）求sin75°；

（2）如圖，邊長為2的正△ABC沿直線滾動(dòng)設(shè)當(dāng)△ABC滾動(dòng)240。時(shí)，C點(diǎn)的位置在C.當(dāng)

△ABC滾動(dòng)480。時(shí)，A點(diǎn)的位置在A.

①求tanNC4L的值；

②試確定^CAC+LCAA'的度數(shù).

47.某校綜合實(shí)踐小組為測量學(xué)校國旗旗桿的高度，甲、乙兩名同學(xué)設(shè)計(jì)了不同的測量方案.請(qǐng)閱

讀材料，完成下列問題.

如圖2,甲同學(xué)目高AB（眼睛到地面距離）1.60米，站在距離旗桿CD底部>0）米處，用簡

易測角儀測量觀察旗桿頂點(diǎn)C的仰角a（0°<a<90。），通過計(jì)算求出旗桿CD的高度.

（1）請(qǐng)用含有m,a的代數(shù)式表示旗桿CD的高度=米.

為了減少誤差，該同學(xué)進(jìn)行了五次測量并計(jì)算，統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)如下表.

序號(hào)離旗桿底部距離（單位：米）仰角旗桿的高度（單位：米）

1050°13.52

②1539°13.75

③2041°18.99

④2526°13.79

⑤3022°13.72

（2）觀察上表數(shù)據(jù)并判定第組數(shù)據(jù)測量有誤.（從“①，②，③，④，⑤”中選填）

（3）乙同學(xué)計(jì)劃用自制的立角三角板力FG（兩銳角大小不確定）和卷尺測量.如圖3,乙同學(xué)目

高ZB（1.60米），他調(diào)整位置，設(shè)法使斜邊ZG保持水平，邊AF與旗桿頂點(diǎn)C在同一直線上.請(qǐng)你幫

助乙同學(xué)確定哪些線段需要用卷尺測量，將測量得到的長度用字母a,b,c...表示，求旗桿CD的高

度（用含有a,b,c...的代數(shù)式表示）.

48.【閱讀理解】

在△ABC中，Z.BAC=90°,AB=AC,過點(diǎn)B、C分別作1的垂線，垂足分別為點(diǎn)D.

DE=；

（2）規(guī)律探究:

（I）如圖②，若直線1從圖①狀態(tài)開始繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)a（0<a<45°；,則線段BD、CE和DE

的數(shù)量關(guān)系為.

（II）如圖③，若直線1從圖①狀態(tài)開始繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)01（45。<&<90。），與線段BC相交

于點(diǎn)H,請(qǐng)?zhí)骄烤€段和DE的數(shù)量關(guān)系并說明理由；

（3）嘗試應(yīng)用：在圖③中，延長線段交線段AC于點(diǎn)F,若CE=3,求AF的長.

49.閱讀下列材料：

在AABC中，乙4,乙B,乙C所對(duì)的邊分別為a,b,c,求證：-Ar=

證明：如圖1,過點(diǎn)C作CD1AB于點(diǎn)D,則

在Rt△BCD中，CD=asinB,

在RtLACD中，CD=bsinA,

a_b

■■asinB=bsmA,

sin4-sinB

圖3

根據(jù)上面的材料解決下列問題：

b

(1)如圖2,在AABC中,乙4,乙B,/.C所對(duì)的邊分別為a,b,c求證:

sinB一

c

sinC*

(2)為了辦好湖南省首屆旅游發(fā)展大會(huì),張家界市積極優(yōu)化旅游環(huán)境.如圖3,規(guī)劃中的一

片三角形區(qū)域需美化，已知乙4=67。，Z.B=53°,AC=80米，求這片區(qū)域的面積.(結(jié)果保

留根號(hào).參考數(shù)據(jù)：sin53°?0.8,sin67°?0.9)

a

閱讀下列材料：在AABC中，乙乙B,所對(duì)的邊分別為a,b,c,求證:

50.4,ZCsin/

b

sinB'

證明：如圖①，過點(diǎn)C作CDLAB于點(diǎn)D,則:

在Rt△BCD中，CD=asinfi,

在Rt△ACD中，CD=bsinA,

???asinB=bsinA.

.?_b

??sinA-sin

根據(jù)上面的材料解決下列問題:

b

(1)如圖②，在4ABC中，乙4,乙B,乙C所對(duì)的邊分別為a,b,c,求證:

sin8

c

sinC;

(2)為了辦好湖南省首屆旅游發(fā)展大會(huì)，張家界市積極優(yōu)化旅游環(huán)境.如圖③，規(guī)劃中的

一片三角形區(qū)域需美化，已知乙4=67。，=53。，4C=80米，求這片區(qū)域的面積（結(jié)果保

留根號(hào)，參考數(shù)據(jù)：sin53°?0.8,sin67°?0.9）.

51.“彼此讓一讓，路寬心更寬”，斑馬線前禮讓行人是城市文明的一種具體體現(xiàn)，也是司機(jī)理應(yīng)履

行的一項(xiàng)法定義務(wù)，我市在錦惠路人民醫(yī)院等路段設(shè)立了“禮讓行人”交通標(biāo)識(shí).某數(shù)學(xué)小組在老師

的指導(dǎo)下對(duì)某路口的交通情況進(jìn)行了如下探究.

問題情景：如圖，某無紅綠燈的路口有一行人從點(diǎn)力處出發(fā)，通過斑馬線AD時(shí)，正好有一輛位于車

道中間的小汽車從點(diǎn)B（小汽車前沿中點(diǎn)）沿該車道中間直線勻速朝斑馬線駛?cè)?已知行人的速度是

lm/s,小汽車的速度為30km",每個(gè)車道寬3m,雙向車道中間有寬0.5小的隔離帶.若小汽車與行人

通過同一路口的時(shí)間差在5s內(nèi)（不包含5s）,則存在交通安全隱患，此時(shí)要求小汽車“禮讓行人”.

問題思考與解決：

0.5m

3m+3m3m

非

機(jī)

動(dòng)

車

道

DMODDlDDOnODDM

（1）若4BAC=76°,

①計(jì)算此時(shí)小汽車到斑馬線的距離BC；

②若在B點(diǎn)時(shí)小汽車司機(jī)發(fā)現(xiàn)行人后，立即減速慢行，結(jié)果在行人到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，小汽車前沿離行人

還有1m,此時(shí)司機(jī)停車“禮讓行人”，求小汽車在這一段的平均速度.

（2）若小汽車剛好不需要“禮讓行人”，求NBAC的度數(shù).

（參考數(shù)據(jù)：tan72°?3,tan76°?4,tan86°?14）

52.閱讀與思考

閱讀下列材料，并解決后面的問題.

在銳角AABC中，乙4,乙B,NC的對(duì)邊分別是a,b,c,過C作CE1/B于E（如圖1）,貝UsinB=

等,sin/=華,^CE=asmB,CE=bsinA,^asinB=bsinA,即磊=島.同理有薪=

ac_b所pja_b_c

sin4'sinC-sinB''sinA—sinB—sinC即：在一個(gè)銳角三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比

相等.

運(yùn)用上述結(jié)論和有關(guān)定理，在銳角三角形中，已知三個(gè)元素（至少有一條邊），就可以求出其余三

個(gè)未知元素.根據(jù)上述材料，完成下列各題：

（1）如圖1,在△ABC中，44=60。，ZC=45°,BC=30,貝！MB=；

（2）如圖2,一艘輪船位于燈塔P的南偏東60。方向，距離燈塔50海里的A處，它沿正北方向

航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔北偏東45。方向上的B處，此時(shí)B處與燈塔的距離為海里；

（結(jié)果保留根號(hào)）

（3）在（2）的條件下，試求75。的正弦值.（結(jié)果保留根號(hào)）

53.閱讀下面的材料，并回答所提出的問題：如圖所示，在銳角三角形ABC中，求證：$二$

smBsine

這個(gè)三角形不是一個(gè)直角三角形，不能直接使用銳角三角函數(shù)的知識(shí)去處理，所以必須構(gòu)造直角

三角形，過點(diǎn)A作401BC,垂足為D,則在RtAABD和RMACD中由正弦定義可完成證明.

解：如圖，過點(diǎn)A作ZD1BC,,垂足為D,

在Rt△ABD中，sinB=則4。=csinB

Rt△4CD中,sinC=臆,則40=hsinC

所以csinB=bsinC,曰nb_c

sinB-sinC

（1）在上述分析證明過程中，主要用到了下列三種數(shù)學(xué)思想方法的哪一種（)

A.數(shù)形結(jié)合的思想；B.轉(zhuǎn)化的思想；C.分類的思想

(2)用上述思想方法解答下面問題.

在△ABC中，ZC=60°,AC=6,BC=8,，求AB和△ABC的面積.

(3)用上述結(jié)論解答下面的問題(不必添加輔助線)

在銳角三角形4BC中，AC=10,AB=5V6,Zf=60°,求＜8的度數(shù).

54.閱讀以下資料：

在△ABC中，若記內(nèi)角A,B,C所對(duì)的三條邊分別為a,b,c,貝kosZ=日芷二必，或?qū)懗?/p>

2bc

22

a^=b+c-2bccos4這稱為余弦定理.余弦定理可以在已知三角形三條邊的情況下，求出任意一個(gè)

角的余弦值；也可以在已知兩條邊和任意一個(gè)角的情況下，求出第三條邊.

請(qǐng)嘗試解決以下問題：

(1)若(a+b+c)(a—b+c)=3ac,求角B的值；

(2)若A=60°,且a=gc,求2的值.

c

55.閱讀與思考：

請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù).

利用我們所學(xué)習(xí)的三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)可以解決許多關(guān)于三角形邊長、角度、面積等問題.如圖

31-12,在銳角三角形ABC中，乙4,乙B,ZC的對(duì)邊分別是a,b,c,過點(diǎn)B作BH1AC

于點(diǎn)H,貝Ucos4=^=?,即44=c?cos4,于是CH=b-c?cos/.4RtAABH

BAc

2222222222

中，BH=AB-AH,在中，BH=BC-CHf/.c-ccos71=a-(b-

c-cosA)2,整理得a2=b2+c2—2bc-cos4

任務(wù):

圖31-12

(1)b2=，c2=

(2)已知△ABC中,乙4,z_B,Z-C所對(duì)邊分別是a,b,c,a=V5/b=2,cosC=

求c.

56.閱讀材料:

關(guān)于三角函數(shù)還有如下的公式：sin(a±B)=sinacoSjS±cosasin^；

/,小tana+tan6/八、tancr—tanfi

tan(a+S)=1飛記tan^；tan(a—/?)=.2.心呼

利用這些公式可以將一些不是特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)來求值.

,al+1CO*"匚。QnoAtan450-tan30°1一學(xué)(3—右)(3—問12-673?萬

例：tanl5。=tan(45°-30°)=*>5。.30。==(3+a(3-a==2一K

根據(jù)以上閱讀材料，請(qǐng)選擇適當(dāng)?shù)墓浇獯鹣旅鎲栴}

(1)計(jì)算：sinl5°；

(2)烏蒙鐵塔是六盤水市標(biāo)志性建筑物之一(圖1),小華想用所學(xué)知識(shí)來測量該鐵塔的高度，如

圖2,小華站在離塔底A距離7米的C處，測得塔頂?shù)难鼋菫?5。，小華的眼睛離地面的距離DC為

1.62米，請(qǐng)幫助小華求出烏蒙鐵塔的高度.(精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)百=1.732,V2=1,414)

57.閱讀理解學(xué)習(xí):

在學(xué)習(xí)《解直角二角形》這一章時(shí)，小迪同學(xué)勤學(xué)好問，在課外學(xué)習(xí)活動(dòng)中，探究發(fā)現(xiàn)，三角形的

面積、邊、角之間存在一定的數(shù)量關(guān)系，下面是她的學(xué)習(xí)筆記.請(qǐng)仔細(xì)閱讀下列材料并完成相應(yīng)的任

務(wù).

【閱讀材料】：在^ABC中，乙4,NB/C的對(duì)邊分別記為a,b,c,AABC的面積記為S^BC，過點(diǎn)人作A。1

BC,垂足為。，則

AD

??,sinB=AD=AB?sinB

111

???SAARC=KBC?AD=TTBC-AB?sinB=-^a?c-sinB

△ABL222

同理可得：S〉A(chǔ)BC=sinAS.Bc='b?sinC

即：S4/BC=勃?c?sinH=^a-c-sinB=?b-sinC...①

由以上推理得結(jié)論①：三角形的面積等于兩邊及其夾角正弦積的一半.

又，：abcW0,將等式聶.c-sinA=ia'c-sinB=ia-b-sinC兩邊同除以鼻be得?,?史”"="普

2222ab

sinC小

由以上推理得結(jié)論②：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比值相等.

【理解應(yīng)用】請(qǐng)你學(xué)習(xí)上述閱讀材料解答以下問題：

如圖，甲船以24次海里/時(shí)的速度向正北方向航行，當(dāng)甲船位于4處時(shí)，乙船位于甲船的南偏西75。

方向的B處，且乙船從B處沿北偏東15。方向勻速直線航行，當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)。處時(shí)，乙船航行

到甲船的南偏西60。方向的C處，此時(shí)兩船相距8b海里.

(1)求AADC的面積；

(2)求乙船航行的路程是多少海里(結(jié)果保留根號(hào)).

58.【閱讀材料】關(guān)于三角函數(shù)有如下的公式：①cos(a+3)=cosacosS—sinasinf；②sin(a+

8)=sinacosS+cosasin/?；③tan(a+6)=京(1一tana-taniSg0).利用這些公式可以

將一些不是特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)來求值，如tanl05°=tan(45°+60°)=

tan45+tan60_1+V3_(1+V^)(1+V^)_4+21/3_反、

l-tan45-tan60l-lxV3(1—V3)(l+V3)—2)

【學(xué)以致用】根據(jù)上面的知識(shí)，你可以選擇適當(dāng)?shù)墓浇鉀Q下面的實(shí)際問題：

(1)求cos75。的值；

(2)如圖，一架直升機(jī)在一建筑物CD上方的點(diǎn)A處測得建筑物頂端點(diǎn)D的俯角a為60。，底端點(diǎn)

C的俯角。為75。，此時(shí)直升機(jī)與建筑物的水平距離BC為42m,求建筑物的高;

（3）疫情封控期間，直升機(jī)給該建筑物的居民投放物資，試求飛機(jī)從點(diǎn)A處往正東方向飛多

遠(yuǎn)，居民在點(diǎn)D處看飛機(jī)的仰角恰好是30。.

59.材料閱讀:

光從空氣針射入水中時(shí)，傳播方向

發(fā)生了偏折，這種現(xiàn)象叫做光的折

\法線空氣

射.我們把入射角a的正弦值和折射

角0的正弦值之比稱為折射率（n）,

X水

即n=舞，已知光線從空氣進(jìn)入水

中時(shí)的折射率為/

問題解答：

如圖，矩形ABCD為盛滿水的水槽、一束光線從點(diǎn)P射向水面上的點(diǎn)。，折射后照到水槽底部的

點(diǎn)Q,測得ZNOQ=37。，NQ=12cm.若P,O,C三點(diǎn)在同一條直線上，請(qǐng)依據(jù)相關(guān)材料求CQ的

長.（結(jié)果精確到0.1cm；參考數(shù)據(jù)：sin37°?f,cos37°?1tan37°

b54

60.閱讀理解學(xué)習(xí)：

在學(xué)習(xí)《解直角三角形》這一章時(shí)，小迪同學(xué)勤學(xué)好問，在課外學(xué)習(xí)活動(dòng)中，探究發(fā)現(xiàn)，三角形

的面積、邊、角之間存在一定的數(shù)量關(guān)系，下面是她的學(xué)習(xí)筆記.請(qǐng)仔細(xì)閱讀下列材料并完成相應(yīng)

的任務(wù).

【閱讀材料】：在△ABC中，乙4,乙B,ZC的對(duì)邊分別記為a,b,c,△ABC的面積記為S^BC，過

點(diǎn)4作401BC,垂足為。，則

AD

??,sinB=AD=AB-sinB.

AD

111

?

??△A以=K2BC?AD=2KBC-AB-sinB=2不。?c,sinB-

同理可得：S^ABC=。?sEA,S>ABC=,b?sinC.

即：S△力BC=qb?c?sinA=?c?sinB=?b?sinC…①.

由以上推理得結(jié)論①：三角形的面積等于兩邊及其夾角正弦積的一半.

又??,abcW0,將等式鼻?c-sinA=ia-c-sinB=ia-h-sinC兩邊同除以5abe得，，包竺=

2222a

sinB_sinC偽

b~c

由以上推理得結(jié)論②：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比值相等.

【理解應(yīng)用】請(qǐng)你學(xué)習(xí)上述閱讀材料解答以下問題：

如圖，甲船以24海里/時(shí)的速度向正北方向航行，當(dāng)甲船位于4處時(shí)，乙船位于甲船的南偏西75。

方向的B處，且乙船從B處沿北偏東15。方向勻速直線航行，當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)。處時(shí)，乙船航

行到甲船的南偏西60。方向的C處，此時(shí)兩船相距8海里.

（2）求乙船航行的路程是多少海里（結(jié)果保留根號(hào)）.

閱卷人

得分

61.如圖，以AD為直徑的半圓。經(jīng)過RtAABC斜邊AB的兩個(gè)端點(diǎn)，半圓。與直角邊力C交于點(diǎn)E,且

B,E兩點(diǎn)是半圓弧的三等分點(diǎn).

C

A

D0ADOA

ffll1也

（1）在圖1中，請(qǐng)僅用無刻度的直尺,按要求完成下列作圖（作圖過程用虛線，作圖結(jié)果用實(shí)線

）.

①畫一條和BC平行的弦；②畫BE的中點(diǎn)M.

（2）如圖2,已知。。的半徑為4,求圖中兩個(gè)陰影部分面積的和.

62.如圖，正六邊形4BCDEF,請(qǐng)僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖（保留作圖痕跡）.

（1）在圖1的正六邊形ABCDEF內(nèi)部作一點(diǎn)M,連接4M,使得aBAM=60°.

（2）在圖2的正六邊形ABCDE/內(nèi)部作一點(diǎn)N,連接4N,使得tan/BAN=*.

63.圖①、圖②、圖③均是3X3的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，線段4B的端點(diǎn)和

點(diǎn)P均在格點(diǎn)上.請(qǐng)按要求完成作圖，不寫作法，保留作圖痕跡.

（1）在圖①中畫一條以P為端點(diǎn)的射線PC,使其平分線段4B,點(diǎn)C在線段ZB上；

（2）在圖②中畫一條以P為端點(diǎn)的射線PD,使其分線段4B為1：3兩部分，點(diǎn)D在線段2B

上；

（3）在圖③中畫一條以P為端點(diǎn)的射線PE,使tan/PEB=1,點(diǎn)E在線段4B上.

64.圖①、圖②、圖③均是3X3的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方B、P、Q均在格點(diǎn)上.請(qǐng)按要求完成作

圖，保留作圖痕跡.

（1）在線段AB上找一點(diǎn)C,使其平分線段AB；

（2）在線段AB上找一點(diǎn)D,使其分線段AB為1：3兩部分;

（3）在線段AB上找一點(diǎn)E,使tan/PEB=l.

65.如圖是由36個(gè)邊長為1的小正方形組成的9X4的網(wǎng)格，△ABC的頂點(diǎn)即是網(wǎng)格的頂點(diǎn).

(1)求tanzABC；

(2)在圖中找一個(gè)格點(diǎn)D,利用AABD和AZBC說明“有兩條邊和一個(gè)角相等的兩個(gè)三角形全等

是假命題.

閱卷人

得分

66.如圖，矩形。4BC的頂點(diǎn)A、C分別在％、y軸的正半軸上，點(diǎn)。為對(duì)角線08的中點(diǎn)，點(diǎn)

E(4,n)在邊A3上，反比例函數(shù)y=[(k。0)在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點(diǎn)。、E,且tan/BCU4.

(1)①直接寫出邊A3的長為-4^.

②求反比例函數(shù)的解析式.

(2)若反比例函數(shù)的圖象與矩形的邊3C交于點(diǎn)R將矩形折疊，使點(diǎn)O與點(diǎn)尸重合，折痕分別

與x、y軸正半軸交于點(diǎn)H、G,求線段OG的長.

67.R3A5C中，/ACB=90。，點(diǎn)。在AC上，以O(shè)C為半徑的圓交A3于點(diǎn)。，交AC于點(diǎn)E,且

BD=BC.

(2)連接08交。。于點(diǎn)產(chǎn)，若AD=百，AE=1,求弧C歹的長.

68.圖1是疫情期間測溫員用“額溫槍”對(duì)小紅測溫時(shí)的實(shí)景圖，圖2是其側(cè)面示意圖，其中槍柄BC

與手臂MC始終在同一直線上，槍身BA與額頭保持垂直量得胳膊MN=28cm,MB=42cm,肘關(guān)節(jié)

M與槍身端點(diǎn)4之間的水平寬度為25.3cm（即MP的長度），槍身BA=8.5cm.

G

圖2

圖1

（1）求乙4BC的度數(shù)；

（2）測溫時(shí)規(guī)定槍身端點(diǎn)/與額頭距離范圍為3~5cm.在圖2中，若測得ZBMN=68,6。，小紅與

測溫員之間距離為50cm問此時(shí)槍身端點(diǎn)2與小紅額頭的距離是否在規(guī)定范圍內(nèi)？并說明理由.（結(jié)果

保留小數(shù)點(diǎn)后一位）

（參考數(shù)據(jù)：sin66.4°?0.92,cos66.4°=0.40,sin23.6°?0.40,V2?1.414）

69.如圖，。。是△ABC的外接圓，4。是。。的直徑，F(xiàn)是4。延長線上一點(diǎn)，連接CD,CF,且

乙DCF=乙CAD.

%

Q

I)

\//

\\//

FC

(1)求證：CF是。。的切線；

⑵若cosB=|,求器的值.

70.如圖，。。上有4B,C三點(diǎn)，AC是直徑，點(diǎn)。是初的中點(diǎn)，連接CD交AB于點(diǎn)E,點(diǎn)尸在AB延

長線上，且FC=FE.

（2）求證：CF是。。的切線；

（3）若sinFjBE=6,求。E的值.

71.麥積山位于甘肅省天水市麥積區(qū)，是小隴山中的一座孤峰，因山形酷似麥垛而得名.麥積山石

窟始建于384-417年，存有221座洞窟、10632身泥塑石雕、1300余平方米壁畫，以其精美的泥塑

藝術(shù)聞名世界，被譽(yù)為東方雕塑藝術(shù)陳列館.某學(xué)習(xí)小組把測量本城市麥積山（圖②）最高點(diǎn)離地

面的高度作為一次課題活動(dòng)，同學(xué)們制定了測量方案，并完成了實(shí)地測量，測得結(jié)果如下表：

課題測量麥積山最高點(diǎn)離地面的高度

B

示意

圖

cEA

圖1

圖2

如圖2,麥積山的最高點(diǎn)B到地面的高度為B4在測點(diǎn)C用儀器測得點(diǎn)B的仰角為a,

說明前進(jìn)一段距離到達(dá)測點(diǎn)E,再用該儀器測得點(diǎn)B的仰角為口，且點(diǎn)A,B,C,D,E,F

均在同一豎直平面內(nèi)，點(diǎn)A,C,E在同一條直線上.

CE

的

a的度數(shù)6的度數(shù)儀器CD（EF）的高度

測量長

數(shù)據(jù)度

24

38°42°1.5米

米

請(qǐng)你根據(jù)上表中的測量數(shù)據(jù)，幫助該小組求出麥積山最高點(diǎn)離地面的高度（結(jié)果保留一位小

數(shù)）.（參考數(shù)據(jù)：sin38°?0.62,cos38°?0.77,tan38°?0.78,sin42°?0.67,cos42°?0.74,

tan42°?0.90)

72.已知：如圖，AO是。O的半徑，AC為。O的弦，點(diǎn)F為的中點(diǎn)，OF交AC于點(diǎn)E,AC=10,

EF=3-

（1）求AO的長；

（2）過點(diǎn)C作CDJ