第十六章二次根式知識(shí)歸納與題型突破（題型清單）

01思維導(dǎo)圖

1.二次根式的概念

二次根式2.二次根式有無意義的條件

3.二次顆的性質(zhì)

1.最簡二次根式

最簡二次根式與同類二次根式

二次根式2.同類二;欠根式

1.二次根式的乘法

2.二次取的觸

二次根式的運(yùn)算

3.二次根式的除法

4.二次根式的混合運(yùn)算

02知識(shí)速記

一、二次根式

1.二次根式的概念

1.二次根式的概念:一般地，我們把形如疝a20）的式子的式子叫做二次根式，“/"稱為稱為二次根

號(hào).如百，師A都是二次根式.

2.二次根式滿足條件：（1）必須含有二次根號(hào)（2）被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù).

2.二次根式有無意義的條件

1.二次根式有意義：被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，即血有意義oa20；

2.二次根式無意義：被開方數(shù)為負(fù)數(shù)，即、6無意義oa<0；

3.二次根式的性質(zhì)

1.二次根式G（?>0）的非負(fù)性

1

4a（。20）表示。的算術(shù)平方根，也就是說，4a（。20）是一個(gè)非負(fù)數(shù)，即（?>0）.

2.二次根式的性質(zhì)：（?>0）

3.二次根式J7的性質(zhì)：J於=|。|={-^1<0）

最簡二次根式與同類二次根式

1.最簡二次根式

（1）最簡二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母，（2）被開方數(shù)中不含能開方開得盡得因數(shù)或因式

（2）化簡二次根式的一般方法

方法舉例

將被開方數(shù)中能開得盡得因數(shù)或因式進(jìn)行開方V8=74^2=141

若被開方數(shù)中含有帶分?jǐn)?shù)，先將被開方

V3V373^33

數(shù)化成假分?jǐn)?shù)

若被開方數(shù)中含有小數(shù)，先將小數(shù)化成阿=、e=、匹=巫

viovioo10

化去根分?jǐn)?shù)

號(hào)下的

若被開方數(shù)時(shí)分式，先將分式分母化成1~5a__15a-3c_1_15ac__J15℃

\nifc~]12^2-3C~\36^,22~6bc

分母能轉(zhuǎn)化為平方的形式，再進(jìn)行開方運(yùn)算C

(a>0,b>0,c>0)

被開方數(shù)時(shí)多項(xiàng)式的要先因式分解Jx'Zxy+y?={(x+y)2=x+y(GO,y>0)

（3）分母有理化

分母有理化：當(dāng)分母含有根式時(shí)，依據(jù)分式的基本性質(zhì)化去分母中的根號(hào)。

方法：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，將分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根號(hào).

2.同類二次根式

（1）同類二次根式概念：化簡后被開方數(shù)相同的二次根式叫做同類二次根式。

（2）合并同類二次根式的方法：把根號(hào)外的因數(shù)（式）相加，根指數(shù)和被開方數(shù)不變，合并的依據(jù)式乘

法分配律，如mV+〃后=（〃2+”）y（a20）

三'二次根式的運(yùn)算

1.二次根式的乘法

（1）二次根式的乘法法則：VI-Vb=V^b（G>0,^>0）（二次根式相乘，把被開方數(shù)相乘，根的指數(shù)不

2

變)

(2)二次根式的乘法法則的推廣：

①Va-Vb-Vc=Jabc(a>0,￡?>0,c>0)

QaVb-cVd=ocVbd(^>0,f/>0),即當(dāng)二次根式前面有系數(shù)時(shí)，可類比單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的法則進(jìn)

行計(jì)算，即將系數(shù)之積作為系數(shù)，被開方數(shù)之積作為被開方數(shù).

(3)二次根式的乘法法則的逆用：=VI-VF(o>0^>0)(二次根式的乘法法則的逆用實(shí)為積的算

數(shù)平方根的性質(zhì))

(4)二次根式的乘法法則的逆用的推廣：V^d=V^-Vb-V^-V^(a>0,Z?>0,c>0,J>0)

2.二次根式的除法

(1)二次根式的除法法則：=(a>0,b>0)(二次根式相除，把被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變)

(2)二次根式的除法法則的推廣：Q?GJ"6+c(a20/〉0,c>0).

3.二次根式的除法

(1)二次根式加減法則：先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并。

(2)二次根式加減運(yùn)算的步驟：

①化：將各個(gè)二次根式化成最簡二次根式；

②找：找出化簡后被開方數(shù)相同的二次根式；

③合：合并被開方數(shù)相同的二次根式一一將“系數(shù)”相加作為和的系數(shù)，根指數(shù)與被開方數(shù)保持不變。

4.二次根式的混合運(yùn)算

二次根式的混合運(yùn)算順序與整式的混合運(yùn)算順序一樣：先乘方，再乘除，最后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)

里面的(或先去掉括號(hào))

03題型歸納

題型一判斷是否為二次根式

例題：(23-24八年級(jí)下?廣西河池?期中)下列各式中，一定是二次根式的是()

A.RB.屈C.^27D.7m2+1

3

鞏固訓(xùn)練

1.下列根式是二次根式的是（）.

A.次B.y/aC.也D.

2.下列式子一定是二次根式的是（）

A.yj-x-2B.y[xc.7772D.47^2

3.x為實(shí)數(shù)，下列式子一定有意義的是（)

A.y/x2+1B.J%'+工C.-^―D-5

x2-l

4.下列各式中，一定是二次根式的是（)

A.&B.y/~2C.Ja+2D.J/+1

5.下列各式中，一定是二次根式的是（)

A.7?2-2B.J-+3C.3D.2a

題型二求二次根式的值

例題：（23-24八年級(jí)下?浙江衢州?期中）當(dāng)x=-2時(shí)，二次根式J-3x+10的值為（）

A.2B.±2C.4D.±4

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24八年級(jí)下?浙江杭州?期中）當(dāng)Q=6時(shí)，二次根式Ja-2的值為（）

A.1B.2C.3D.4

2.（23-24九年級(jí)上?海南彳詹州?期末）當(dāng)x=-l時(shí),二次根式元+7的值為（）

A.±2B.2c.—2D.

3.（23-24八年級(jí)下.浙江杭州?期末）當(dāng)犬=1時(shí)，二次根式^/^的值為（）

A.4B.76C.6D.2

題型三根據(jù)二次根式有意義條件求范圍

例題：（23-24八年級(jí)下?遼寧營口?期末）若二次根式?^與有意義，則實(shí)數(shù)尤的取值范圍是（)

A.xw3B.x>3C.x>-3D.x<3

鞏固訓(xùn)練

4

1.（23-24八年級(jí)下.山東聊城.期末）若二次根式真二2x有意義，則x的取值范圍是（）.

3333

A.x之一B.xW—C*.x>—D.x<—

2222

2.（23-24八年級(jí)下.新疆和田?期中）使療7+V7Z7有意義的字母元的取值范圍（）

A.全體實(shí)數(shù)B.x<2C.x>^D.-4<x<2

3.（2024.貴州銅仁.一模）若VT與在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是.

4.（2024?湖北?模擬預(yù)測(cè)）當(dāng)x取何值時(shí)，二次根式五巨有意義：.

z-3

5.（24-25八年級(jí)下?吉林?階段練習(xí)）使式子避三有意義的尤的取值范圍是.

2+x

題型四根據(jù)二次根式有意義求值

例題：（23-24八年級(jí)下.吉林松原?期中）若y=Jx-4+，4-x+5,則12xy=.

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24八年級(jí)下?四川綿陽?期中）已知衣V為實(shí)數(shù)，且、="與+病不+3,則x+V的值為

2.（23-24八年級(jí)下.湖北荊州?階段練習(xí)）己知實(shí)數(shù)x,y滿足y=++則歷的小數(shù)部分

是.

3.（23-24八年級(jí)下.山東煙臺(tái).期中）已知y=G?+57+2,則爐=.

題型五二次根式的乘除混合運(yùn)算

例題：（2024八年級(jí)下?安徽?專題練習(xí)）計(jì)算：2疵x』+3五.

4

鞏固訓(xùn)練

2.計(jì)算:

(1)7454-

5

3.計(jì)算:

(2)|V^?^-|7^^3^(a>0,10).

4.計(jì)算：

⑴后x回一幾；

(4)87^￥+2痣喘(“>0,6>0).

5.計(jì)算：

(1)75x5/2x2^4-2^/5；

題型六最簡二次根式的判斷

例題：（23-24九年級(jí)上?河南洛陽?期中）下列二次根式，是最簡二次根式的是（）

A?《a2+及B.〃C.5

鞏固訓(xùn)練

1.下列二次根式中的最簡二次根式是（)

A."B.弧C.行D.V(M2

6

2.下列根式中，最簡二次根式是（）

la

A.125aB.Ja2卡力C.D.VO5

V2

3.下列二次根式中，是最簡二次根式的是（）

la

A.歷B.724C.D.2yjmn

u

4.下列選項(xiàng)中的式子，是最簡二次根式的是（)

A.B.1243C.d36nlD.J，+2

5.下列二次根式中，是最簡二次根式的是（）

41

A.拒B.V?C.D-國

題型七化為最簡二次根式

例題：（23-24八年級(jí)上.廣東佛山.階段練習(xí)）化簡：瓜=；4=.

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24八年級(jí)上?廣東肇慶?階段練習(xí)）化簡：段=,￡=.

2.（23-24八年級(jí)下.浙江?期中）化簡成最簡二次根式：5屈=_;6A=_.

3.（22-23八年級(jí)上?寧夏銀川?階段練習(xí)）化簡：

（1虐⑵后⑶后

4.（23-24八年級(jí)?全國?假期作業(yè)）把下列二次根式化為最簡二次根式：

（1）后；（2）J|；（3）字；（5）2（a,b,c均大于。）.

題型八同類二次根式的判斷

例題：（23-24八年級(jí)下.江西上饒.期中）下列根式中，與也是同類二次根式的是（）

A.724B.712C.4D.后

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24八年級(jí)下.江蘇淮安?期末）下列二次根式中，與石是同類二次根式的是（）

A.A/0.5B.y/30C.J25D.J-

1

2.（2023?廣西來賓?一模）下列各組二次根式中，屬于同類二次根式的是（）

A.莊和厲B.而和廊IC.J和4D.￡和一而

3.（23-24七年級(jí)下.上海浦東新?階段練習(xí)）下列各組二次根式中，為同類二次根式的是（）

A.；n和3夜B.?和&^

C.相和￡D.6和加

題型九二次根式的加減運(yùn)算

例題：（24-25八年級(jí)上?全國?課后作業(yè)）計(jì)算:

⑴臣+3(2)2A/3-3V12+5V27.

鞏固訓(xùn)練

1.計(jì)算：2A/12-12^1+3748.

2.計(jì)算:

(1)A/8+A/32-A/2

(2)#+y/27-耶

3.計(jì)算：

(D《一瓦+421

4.計(jì)算:

(1)1囪一5|+艮+W-0.125；

(2)727+5j--^+-V45；

V52

5.計(jì)算：

(1)2^+3712-5/48

(2)血+3上

(3)病--+2y/20-y/45+—

V52

8

題型十二次根式的混合運(yùn)算

例題：（23-24八年級(jí)下?山西太原?單元測(cè)試）計(jì)算:

鞏固訓(xùn)練

1.計(jì)算.

⑴場(chǎng)+R+；

（2）2>/3X^-A/48-A/3+（2-A/6）（2+A/6）.

2.計(jì)算：

⑴（2+有了一（3_2衣）（3+2拒）；

（2）2月一26+?。?2君.

3.計(jì)算：

⑴"回+（癢兀）°_陰+應(yīng)；

(1)V18X72-V25+^(-3)2

(2)(76-^)(A/6+A/5)+(2>^-3A/2)2

5.計(jì)算

(1)V8+A/32-V2；

C、屈X也

0----/=-;

V6

(3)(2+⑹x(2一⑹一卜一同；

(4)(TT-I)0-(1)-'+^27.

9

題型十一比較二次根式的大小

例題：（23-24八年級(jí)下?浙江寧波?開學(xué)考試）比較大?。?/p>

（1）715+^/178；

（2）^2014-72015_______A/2015-A/2016.

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24八年級(jí)下.江蘇宿遷?階段練習(xí)）比較下列實(shí)數(shù)的大?。?瓜2而.

2.（23-24七年級(jí)下.上海?期末）比較大小：-273-3血.（填“>”，"="，或“<”）

3.（23-24八年級(jí)下?河北邢臺(tái)?期末）比較大?。?+6己v（填“〈”或“=”）

題型十二已知字母的值，化簡求值

例題：（23-24八年級(jí)下.云南曲靖?階段練習(xí)）計(jì)算：已知，x=2-6，y=2+6,求尤?+y2-xy的值.

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24八年級(jí)下?河北承德?期末）若x=7?+l,y=V5-l,求下列各式的值.

（1）無+>;

（2）（x+y）2-（x-y）2.

2.（23-24八年級(jí)下.廣東汕尾.期末）已知。=#+2,6=近-2,求下列代數(shù)式的值

；

（2）cr-2ab+b2.

3.（23-24八年級(jí)下?海南省直轄縣級(jí)單位?期中）已知a=3+S，6=3-"求下列各式的值：

（l）o+Z?和ab；

（2）a1+ab+b2.

題型十三已知條件式，化簡求值

例題：（23-24八年級(jí)下?甘肅武威?期中）已知x+y=-5,xy=4求的值.

鞏固訓(xùn)練

10

1.（2024?湖南懷化.一模）已矢口實(shí)數(shù)x滿足J（2021-x『+Jx-2022=x,求尤-202F的值.

2.（23-24八年級(jí)下.福建廈門.階段練習(xí)）若x,y為實(shí)數(shù)，且y=4岳=T+3G7+1,求近2x二y"的值.

3.（22-23八年級(jí)上?山西運(yùn)城?期末）若為實(shí)數(shù)，且y=。1-4尤+,4x-l+=.求上+2+工+J±+2一工

的值.

11

第十六章二次根式知識(shí)歸納與題型突破（題型清單）

01思維導(dǎo)圖

1.二次根式的概念

二次根式2.二次根式有無意義的條件

3.二次顆的性質(zhì)

1.最簡二次根式

最簡二次根式與同類二次根式

二次根式2.同類二;欠根式

1.二次根式的乘法

2.二次取的觸

二次根式的運(yùn)算

3.二次根式的除法

4.二次根式的混合運(yùn)算

02知識(shí)速記

一、二次根式

1.二次根式的概念

1.二次根式的概念:一般地，我們把形如疝a20）的式子的式子叫做二次根式，“/"稱為稱為二次根

號(hào).如百，師A都是二次根式.

2.二次根式滿足條件：（1）必須含有二次根號(hào)（2）被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù).

2.二次根式有無意義的條件

1.二次根式有意義：被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，即血有意義oa20；

2.二次根式無意義：被開方數(shù)為負(fù)數(shù)，即、6無意義oa<0；

3.二次根式的性質(zhì)

1.二次根式G（?>0）的非負(fù)性

12

4a（。20）表示。的算術(shù)平方根，也就是說，4a（。20）是一個(gè)非負(fù)數(shù)，即（?>0）.

2.二次根式的性質(zhì)：（?>0）

3.二次根式J7的性質(zhì)：J於=|。|={-^1<0）

最簡二次根式與同類二次根式

1.最簡二次根式

（1）最簡二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母，（2）被開方數(shù)中不含能開方開得盡得因數(shù)或因式

（2）化簡二次根式的一般方法

方法舉例

將被開方數(shù)中能開得盡得因數(shù)或因式進(jìn)行開方V8=74^2=141

若被開方數(shù)中含有帶分?jǐn)?shù)，先將被開方

V3V373^33

數(shù)化成假分?jǐn)?shù)

若被開方數(shù)中含有小數(shù)，先將小數(shù)化成阿=、e=、匹=巫

viovioo10

化去根分?jǐn)?shù)

號(hào)下的

若被開方數(shù)時(shí)分式，先將分式分母化成1~5a__15a-3c_1_15ac__J15℃

\nifc~]12^2-3C~\36^,22~6bc

分母能轉(zhuǎn)化為平方的形式，再進(jìn)行開方運(yùn)算C

(a>0,b>0,c>0)

被開方數(shù)時(shí)多項(xiàng)式的要先因式分解Jx'Zxy+y?={(x+y)2=x+y(GO,y>0)

（3）分母有理化

分母有理化：當(dāng)分母含有根式時(shí)，依據(jù)分式的基本性質(zhì)化去分母中的根號(hào)。

方法：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，將分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根號(hào).

2.同類二次根式

（1）同類二次根式概念：化簡后被開方數(shù)相同的二次根式叫做同類二次根式。

（2）合并同類二次根式的方法：把根號(hào)外的因數(shù)（式）相加，根指數(shù)和被開方數(shù)不變，合并的依據(jù)式乘

法分配律，如mV+〃后=（〃2+”）y（a20）

三'二次根式的運(yùn)算

1.二次根式的乘法

（1）二次根式的乘法法則：VI-Vb=V^b（G>0,^>0）（二次根式相乘，把被開方數(shù)相乘，根的指數(shù)不

13

變)

(2)二次根式的乘法法則的推廣：

①Va-Vb-Vc=Jabc(a>0,￡?>0,c>0)

QaVb-cVd=ocVbd(^>0,f/>0),即當(dāng)二次根式前面有系數(shù)時(shí)，可類比單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的法則進(jìn)

行計(jì)算，即將系數(shù)之積作為系數(shù)，被開方數(shù)之積作為被開方數(shù).

(3)二次根式的乘法法則的逆用：=VI-VF(o>0^>0)(二次根式的乘法法則的逆用實(shí)為積的算

數(shù)平方根的性質(zhì))

(4)二次根式的乘法法則的逆用的推廣：V^d=V^-Vb-V^-V^(a>0,Z?>0,c>0,J>0)

2.二次根式的除法

(1)二次根式的除法法則：=(a>0,b>0)(二次根式相除，把被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變)

(2)二次根式的除法法則的推廣：Q?GJ"6+c(a20/〉0,c>0).

3.二次根式的除法

(1)二次根式加減法則：先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并。

(2)二次根式加減運(yùn)算的步驟：

①化：將各個(gè)二次根式化成最簡二次根式；

②找：找出化簡后被開方數(shù)相同的二次根式；

③合：合并被開方數(shù)相同的二次根式一一將“系數(shù)”相加作為和的系數(shù)，根指數(shù)與被開方數(shù)保持不變。

4.二次根式的混合運(yùn)算

二次根式的混合運(yùn)算順序與整式的混合運(yùn)算順序一樣：先乘方，再乘除，最后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)

里面的(或先去掉括號(hào))

03題型歸納

題型一判斷是否為二次根式

例題：(23-24八年級(jí)下?廣西河池?期中)下列各式中，一定是二次根式的是()

A.RB.屈C.^27D.7m2+1

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【答案】D

【分析】本題考查二次根式的定義，掌握其定義是解決此題的關(guān)鍵.

形如后（.20）的代數(shù)式叫做二次根式，其中。叫做被開方數(shù)，據(jù)此逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】解：A、啟中的被開方數(shù)T<0,故不是二次根式，不符合題意；

B、島中的。不一定大于等于0,故不是二次根式，不符合題意；

C、場(chǎng)是三次根式，故不是二次根式，不符合題意；

。、J一+1是二次根式,符合題意，

故選：D.

鞏固訓(xùn)練

1.下列根式是二次根式的是（）.

A.次B.4aC.百D.2-2

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】求二次根式中的參數(shù)

【分析】本題考查了二次根式.熟練掌握二次根式的定義是解題的關(guān)鍵.形如的式子是二次根式.

根據(jù)二次根式的定義判斷作答即可.

【詳解】解：由題意知，正，&,2以不是二次根式，目是二次根式，

:.A、B、D不符合要求；C符合要求；

故選：C.

2.下列式子一定是二次根式的是（）

A.yJ-x-2B.C.Jd+2D.yjx2-2

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】二次根式有意義的條件

【分析】本題主要考查了二次根式的定義，理解二次根式中被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解決問題的關(guān)鍵.

一般地，我們把形如后（。上0）的式子叫做二次根式.直接利用二次根式的定義分別分析得出答案.

【詳解】解：A.當(dāng)x>-2時(shí)，原式無意義，故A不一定不是二次根式；

B.當(dāng)x<0時(shí)，原式無意義，故B不一定是二次根式；

C./+2>o恒成立，故C一定是二次根式；

15

D.當(dāng)d-2<0時(shí)，原式無意義，故D不一定是二次根式；

故選：C.

3.尤為實(shí)數(shù)，下列式子一定有意義的是（）

A.yjx2+1B.J-2+xC.彳2_]D.攝

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】二次根式有意義的條件、分式有意義的條件

【分析】本題主要考查了二次根式和分式有意義的條件，

根據(jù)二次根式有意義的條件判斷A,B,再根據(jù)分式有意義的條件判斷C,D.

【詳解】因?yàn)闊o?+121,所以斤石有意義，則A符合題意；

當(dāng)x=-J時(shí)，尤?+》=（一9了+（一J一±=一之<0,二次根式行彳無意義，則B不符合題意；

444161616

當(dāng)％=±1時(shí)，x2-l=o,分式F二無意義，則C不符合題意；

X-1

當(dāng)x=0時(shí)，爐=0,分式與無意義,則D不符合題意.

故選：A.

4.下列各式中，一定是二次根式的是（）

A.yfaB.y/^2C.Ja+2D.J/十]

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】二次根式有意義的條件

【分析】本題考查了二次根式，根據(jù)二次根式的定義“一般地，我們把形如右（。20）的式子叫做二次根式

即可判斷.

【詳解】解：A、當(dāng)“<0時(shí)，不是二次根式，選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；

B、被開方數(shù)是負(fù)數(shù)，選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；

C、當(dāng)。+2<0時(shí)，不是二次根式，選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；

D、因?yàn)樗?7W是二次根式，選項(xiàng)說法正確，符合題意；

故選：D.

5.下列各式中，一定是二次根式的是（）

A.正—2B.J/+3C.3D.百

【答案】B

16

【知識(shí)點(diǎn)】二次根式有意義的條件

【分析】本題考查了二次根式的定義，掌握二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)二次根式的

定義：一般地，我們把形如6（。20）的式子叫做二次根式，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可.

【詳解】解：A、被開方數(shù)有可能是負(fù)數(shù)，二次根式無意義，故此選項(xiàng)不合題意；

B、是二次根式，故此選項(xiàng)符合題意；

C、是有理數(shù)，不符合二次根式的定義，故此選項(xiàng)不合題意；

D、時(shí)，被開方數(shù)是負(fù)數(shù)，二次根式無意義，故此選項(xiàng)不合題意；

故選：B.

題型二求二次根式的值

例題：（23-24八年級(jí)下?浙江衢州?期中）當(dāng)x=-2時(shí)，二次根式J-3X+10的值為（）

A.2B.i2C.4D.+4

【答案】C

【分析】本題考查求二次根式的值，先將x=-2代入，再利用二次根式的性質(zhì)化簡求解即可.

【詳解】當(dāng)x=-2時(shí)，

y/—3x+10=3x（-2）+10=-716=4.

故選：C.

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24八年級(jí)下?浙江杭州?期中）當(dāng)。=6時(shí)，二次根式7^1的值為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】本題主要考查二次根式求值，將。=6代入二次根式，直接求解即可.

【詳解】解：當(dāng)a=6時(shí)，y/a—2=“6-2=A/4=2

故選：B.

2.（23-24九年級(jí)上?海南僧州?期末）當(dāng)x=-l時(shí)，二次根式）3尤+7的值為（）

A.±2B.2C.-2D.y/2

【答案】B

【分析】本題主要考查了二次根式的基本性質(zhì)及化簡，二次根式的定義，把x=-1代入原式化簡即可.

17

【詳解】解：當(dāng)x=-l時(shí)，原式=53%（一1）+7=6=2,

故選：B.

3.（23-24八年級(jí)下.浙江杭州.期末）當(dāng)x=l時(shí)，二次根式后7的值為（）

A.4B.76C.6D.2

【答案】D

【分析】本題考查二次根式的定義，把x=l代入求值即可.

【詳解】解：當(dāng)了=1時(shí)，二次根式^^二I=^/^=l=a=2,

故選：D.

題型三根據(jù)二次根式有意義條件求范圍

例題：（23-24八年級(jí)下?遼寧營口?期末）若二次根式G與有意義，則實(shí)數(shù)無的取值范圍是（）

A.B.x>3C.x>-3D.x<3

【答案】B

【分析】此題主要考查了二次根式有意義的條件，解答此題的關(guān)鍵是掌握二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù).

根據(jù)二次根式有意義的條件，可得：x-320,據(jù)此求出實(shí)數(shù)x的取值范圍即可.

【詳解】解：二次根式?^有意義，

x—320,

解得：x>3.

故選：B.

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24八年級(jí)下.山東聊城.期末）若二次根式萬“有意義，則x的取值范圍是（）.

A.x—B.xW—C.x>—D.x<—

2222

【答案】B

【分析】本題考查的是二次根式的意義和性質(zhì).概念：式子GgNO）叫二次根式.性質(zhì)：二次根式被開方

數(shù)必須為非負(fù)數(shù)，否則二次根式無意義.掌握二次根式被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)二次根式性質(zhì)，被開方數(shù)大于等于0,列不等式求解.

【詳解】解：由題意得，3-2^>0,

18

3

解得「W].

故選：B.

2.（23-24八年級(jí)下?新疆和田?期中）使萬7+有意義的字母x的取值范圍（）

A.全體實(shí)數(shù)B.x<2C.x>-4D.-4<x<2

【答案】C

【分析】本題考查二次根式有意義的條件，根據(jù)二次根式的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：由題意，得：x+4>0,解得：龍NT；

故選C.

3.（2024.貴州銅仁.一模）若&方在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)尤的取值范圍是.

【答案】x>3

【知識(shí)點(diǎn)】二次根式有意義的條件、求一元一次不等式的解集

【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件，解一元一次不等式等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握二次根式有意義

的條件是解題的關(guān)鍵.

由二次根式有意義的條件可得一元一次不等式，解之，即可得解.

【詳解】解：由二次根式有意義的條件可得：x-320,

解得：x>3,

故答案為：x>3.

4.（2024?湖北?模擬預(yù)測(cè)）當(dāng)尤取何值時(shí)，二次根式五巨有意義：.

x-3

【答案】xNl且"3.

【知識(shí)點(diǎn)】分式有意義的條件、二次根式有意義的條件

【分析】此題考查的是二次根式有意義的條件和分式有意義的條件，根據(jù)條件列出不等式是解決此題的關(guān)

鍵.

二次根式有意義的條件：被開方數(shù)20,分式有意義的條件分母*0,列出不等式即可.

【詳解】解：由題意可得：

x-lzo,X-3H0

x21且xw3.

故答案為：xNl且XH3.

5.（24-25八年級(jí)下?吉林?階段練習(xí)）使式子建三有意義的尤的取值范圍是.

2+x

19

【答案】E且無彳-2

【知識(shí)點(diǎn)】分式有意義的條件、二次根式有意義的條件、求不等式組的解集

【分析】本題考查了分式和二次根式有意義的條件.根據(jù)分式的分母不能為0、二次根式的被開方數(shù)大于或

等于。列出式子求解即可得.

2+xw0

【詳解】解：由題意得:

l-x>0

解得xW1且xw—2，

故答案為：無W1且xw-2.

題型四根據(jù)二次根式有意義求值

例題：（23-24八年級(jí)下.吉林松原?期中）若y=J尤-4+j4-%+5,則12xy=

【答案】2屈

【分析】本題主要考查了二次根式的非負(fù)性、代數(shù)式求值等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)二次根式的非負(fù)性求得x、y的值

成為解題的關(guān)鍵.

先根據(jù)二次根式的非負(fù)性求得x,進(jìn)而求得.然后代入計(jì)算即可.

【詳解】解：y=y/x—4+\j4--x+5,

x-4>0

,解得:x=4,

4-x>0

***y=5,

/.12xy=,2x4x5=25/15.

故答案為：2M.

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24八年級(jí)下?四川綿陽?期中）已知X、V為實(shí)數(shù)，且y=+J6-3X+3,則*+＞的值為.

【答案】5

【分析】此題主要考查了二次根式有意義的條件，直接利用二次根式有意義的條件得出x的值，進(jìn)而得出y

的值，進(jìn)而得出答案.

【詳解】解：Vy=y[^2+y/6-3x+3,

20

.Jx-2>0

，，[6-3x>0，

/.x=2,

y=3,

.\x+y=5,

故答案為：5.

2.（23-24八年級(jí)下?湖北荊州?階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x,y滿足y=J—+VTi+3,則而的小數(shù)部分

是.

【答案】46-21-2+46

【分析】本題考查二次根式有意義的條件及無理數(shù)的估算，結(jié)合已知條件求得尤，y的值是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)二次根式有意義的條件求得的值，然后求出而，利用無理數(shù)的估算求得小數(shù)部分.

【詳解】解：由題意可得：x-2>0,2-%>0,

貝IJ尤=2,y=0+0+3=3,

貝II=J2*3=底,

4<6<9,

/.2<^6<3,

則而的小整數(shù)部分是2,小數(shù)部分是花-2,

故答案為：娓-2.

3.（23-24八年級(jí)下.山東煙臺(tái).期中）已知y=^/^：?+戶7+2,則.

【答案】25

【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，掌握二次根式有意義的條件，求出x的值是解題關(guān)鍵；利用二

次根式有意義的條件進(jìn)行求解即可；

fx-5>0

【詳解】解：由題意知：<、八，

[5-

解得：尤=5,

「?y=2,

:.xy=25,

21

故答案為：25；

題型五二次根式的乘除混合運(yùn)算

例題：（2。24八年級(jí)下.安徽.專題練習(xí)）計(jì)算：2屈三3日

【答案】X

【分析】本題考查了二次根式的乘除法的應(yīng)用,根據(jù)二次根式的乘除法法則，系數(shù)相乘除，被開方數(shù)相

乘除，根指數(shù)不變，計(jì)算后求出即可.

【詳解】解：2瓦…

2x2x112

43

鞏固訓(xùn)練

【答案】⑴竽

（2）-|

【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的乘除混合運(yùn)算

【分析】此題考查了二次根式的乘除混合運(yùn)算,解題的關(guān)鍵是掌握以上運(yùn)算法則.

（1）根據(jù)二次根式的乘除混合運(yùn)算法則求解即可;

（2）根據(jù)二次根式的乘除混合運(yùn)算法則求解即可.

40

=;

3

22

【答案】(1)15小

⑵-絲舟

8

【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的乘除混合運(yùn)算

【分析】本題考查的是二次根式的乘除混合運(yùn)算，掌握運(yùn)算法則與運(yùn)算順序是解本題的關(guān)鍵;

(1)按照從左至右的順序進(jìn)行計(jì)算即可；

(2)按照從左至右的順序進(jìn)行計(jì)算即可；

【詳解】(1)解：原式=[1X|XT)J45+：X5

=J45x5x5

=156；

(2)原式

_3”5x5

--4V2

23

(2)-c^byfab

【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的乘除混合運(yùn)算

【分析】本題主要考查了二次根式的乘除法計(jì)算：

（1）先把帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，再根據(jù)二次根式乘除法計(jì)算法則求解即可;

（2）根據(jù)二次根式乘除法計(jì)算法則求解即可.

【詳解】（1）解：原式=

2

3

=--y/a5b5

b

=—c^byfab?

4.計(jì)算：

(1)727x750-76;

24

(4)87^?十2疝］￡(a>0,b>0).

【答案】(1)15

(2)20A/6

⑶一，

(4)華揚(yáng)

【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的乘除混合運(yùn)算

【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算

(1)根據(jù)二次根式乘除法法則計(jì)算即可；

(2)根據(jù)二次根式乘除法法則計(jì)算即可；

(3)根據(jù)二次根式乘除法法則計(jì)算即可；

(4)根據(jù)二次根式乘除法法則計(jì)算即可.

【詳解】(1)解：原式=3+X5也+氐=15戈+瓜=15

(2)原式=3x2：)45」X§

3V53

=2x7600=20A/6;

(3)1M5^3X(--)X2./—xl5x—=--x5=--；

8V3244

5.計(jì)算:

(1)如乂區(qū)2及:2也；

【答案】⑴2

25

⑵-4石

⑶332

4

(4)-今疝

m

【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的乘除混合運(yùn)算

【分析】本題主要考查了二次根式的乘除法計(jì)算，熟知二次根式的乘除法計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵.

(1)先計(jì)算二次根式乘法，再計(jì)算二次根式除法即可得到答案；

(2)直接根據(jù)二次根式乘法計(jì)算法則求解即可；

(3)把根號(hào)外面的式子進(jìn)行乘除法計(jì)算，再把根號(hào)里面的式子根據(jù)二次根式的乘除法計(jì)算法則計(jì)算，據(jù)此

可得答案；

(4)把根號(hào)外面的式子進(jìn)行乘除法計(jì)算，再把根號(hào)里面的式子根據(jù)二次根式的乘除法計(jì)算法則計(jì)算，據(jù)此

可得答案.

【詳解】(1)解：原式=V^x2x2+2行

=4乒2出

=2；

(2)解:原式=^^*2限］-：9)

=-4百；

(3)解：原式=町2.匕％4,

26

n

題型六最簡二次根式的判斷

例題：（23-24九年級(jí)上.河南洛陽?期中）下列二次根式，是最簡二次根式的是（）

A.y/a2+b2B.飆C.V18D.

【答案】A

【分析】本題考查了最簡二次根式，滿足以下兩個(gè)條件：①被開方數(shù)不含分母；②被開方數(shù)中不含能開得

盡方的因數(shù)或因式，像這樣的二次根式叫做最簡二次根式，由此判斷即可.

【詳解】解:A、77壽是最簡二次根式，故此選項(xiàng)符合題意；

8、被開方數(shù)含有能開得盡方的因數(shù)4,所以不是最簡二次根式，故此選項(xiàng)不符合題意；

a被開方數(shù)含有能開得盡方的因數(shù)9,所以不是最簡二次根式，故此選項(xiàng)不符合題意；

D,被開方數(shù)含有分母，所以不是最簡二次根式，故此選項(xiàng)不符合題意；

故選：A.

鞏固訓(xùn)練

1.下列二次根式中的最簡二次根式是（）

A.74B.C.-J5D.V0.12

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】最簡二次根式的判斷

【分析】本題考查了最簡二次根式的概念，掌握滿足最簡二次根式的條件：被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式

是整式，被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式是關(guān)鍵.利用最簡二次根式的概念判斷每個(gè)選項(xiàng)即可.

【詳解】解：A、74=2,不是最簡二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；

B、庖=9,不是最簡二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意;

C、石是最簡二次根式，故本選項(xiàng)符合題意;

27

D、疝#，不是最簡二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意.

故選：C.

2.下列根式中，最簡二次根式是（）

A.而B.址+/C.★D.Vol

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】最簡二次根式的判斷

【分析】本題考查了最簡二次根式的判斷，熟練掌握最簡二次根式的定義是解題的關(guān)鍵：最簡二次根式應(yīng)

滿足兩個(gè)條件：①被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，字母因式是整式；②被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式.

按照最簡二次根式的定義逐項(xiàng)分析判斷即可.

【詳解】解：A.反，被開方數(shù)254含有能開得盡方的因數(shù)25,不是最簡二次根式，故選項(xiàng)A不符合題

思；

B.而定，被開方數(shù)的字母因式是整式，且被開方