2025年高考模擬考試

數(shù)學(xué)試題

2025.04

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂

黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案

寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選

項中，只有一項是符合題目要求的.

1.已知集合4={Ld-x-2>0},8={x|y=lg(x-l)},則做/)I8=()

A.[-1,1)B.(1,2)C.(1,2]D.卜1,+8)

2.已知l-2i是關(guān)于x的方程x2+ax+b=0(a,6eR)的一個根，則|。+削=()

A.2B.3C.5D.V29

3.已知圓錐的體積為述E,其側(cè)面展開圖是一個圓心角為多的扇形，則該圓錐的底面半

33

徑為()

A.yB.1C.V2D.2

4.若函數(shù)=”在[1,+動上單調(diào)遞減，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.(7<2B.a>2C.a<\D.a>\

5.已知{qj為等比數(shù)列，且%=1,則“。5=2”是"%=4”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6.已知函數(shù)/(力=5擊0》-685?！?6(0>。在區(qū)間0,y上有且僅有3個零點，則實數(shù)

。的取值范圍是()

試卷第1頁，共4頁

14型］22

A.T,TJc.4'T

7.若圓X2+J?_2辦-2y-l=0關(guān)于直線x+勿-2=0對稱，其中。＞0,b〉0,則

qb

的最小值為（）

5r-

A.2B.-C.4D.2+2J5

224

8.已知?是橢r圓+v的右焦點，直線了=］X交C于A,3兩點，若

AF1BF,則橢圓C的離心率為（）

A.—B.-C.—D.—

3333

二多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中,

有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.

9.已知A,8為隨機(jī)事件，且尸（4）=0.5,尸（3）=04,則下列結(jié)論正確的是（）

A.若A,8互斥，則尸（ZuB）=0.9

B.若A,8相互獨立，貝"（疝）=0.2

C.若A,8相互獨立，則尸（4U8）=0.7

D.若尸（H⑷=0.5,則尸（用可=0.3

10.已知函數(shù)/@）=8次-$詒（8牘）-1,則下列結(jié)論正確的是（）

A./（X）的圖象關(guān)于了軸對稱B.2%是“X）的一個周期

C./（x）在［0,兀］上為增函數(shù)D.以x：

11.已知正方體44GA的棱長為1,點尸在正方體的內(nèi)切球表面上運(yùn)動，且滿足

8P〃平面則下列結(jié)論正確的是（）

A.BPLBXDB.點尸的軌跡長度為兀

C.線段8尸長度的最小值為逅D.麗?西的最小值為1一把

63

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

⑵已知函數(shù)?。?黑：蒜.八貝巾助的值為----------

試卷第2頁，共4頁

|PF|

13.已知拋物線C:/=4y的焦點為尸，尸為C上的動點，點則后取最小值時,

直線P4的斜率為.

14.箱子中裝有4個紅球，2個黃球(除顏色外完全相同)，擲一枚質(zhì)地均勻的骰子1次，

如果點數(shù)為，(，=1,2,3,4,5,6),則從該箱子中一次性取出，個球.規(guī)定：依據(jù)，個球中紅球的個

數(shù)，判定甲的得分X,每一個紅球記1分；依據(jù)i個球中黃球的個數(shù)，判定乙的得分丫，每

一個黃球記2分.比如：若一次性取出了2個紅球，2個黃球，則判定甲得分X=2,乙得分

y=4.則在1次擲骰子取球的游戲中，尸(X>y)=.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或

演算步驟.

15.在VN8C中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,且a(2-cos3)=6(l+cos/).

(1)證明：b+c=2a；

(2)若V/8C的面積為?c,證明V4BC為等邊三角形.

16.如圖，在四棱錐尸-43co中，底面N5CZ)為矩形，￡為尸C的中點，PA=AD,PD1BE.

(1)證明：平面P4D_L平面/BCD；

(2)若尸。=40,直線尸5與平面PD4所成角的正切值等于2,求平面48E與平面PBC夾角

的余弦值.

17.已知雙曲線(。>0,6>0)的離心率為乎，且點/(4,3)在雙曲線C上,

(1)求C的方程；

⑵若直線/交C于尸，。兩點，4乙。的平分線與x軸垂直，求證：/的傾斜角為定值.

18.己知函數(shù)/(x)=xe—a,aeR.

⑴討論f(x)零點的個數(shù);

⑵若|/(x)|>ox(lnx+l),求實數(shù)。的取值范圍.

試卷第3頁，共4頁

19.將所有正整數(shù)按照如下規(guī)律形成數(shù)陣：

第1行123.......789

第2行101112.......979899

第3行100101102.......997998999

第4行100010011002.......999799989999

(1)將數(shù)列｛3"+1｝與數(shù)列｛2"｝的公共項按照從小到大的順序排列得到數(shù)列｛%｝,試確定&在

該數(shù)陣中的位置；

(2)將數(shù)陣中所有相鄰兩位數(shù)字(從左到右)出現(xiàn)12的所有正整數(shù)去掉并保持順序不變，得

到一個新數(shù)陣，記新數(shù)陣第"行中正整數(shù)的個數(shù)為，.

(i)求“，b2,b3■

(ii)求々.

試卷第4頁，共4頁

1.c

【分析】先求出集合45,再根據(jù)補(bǔ)集和交集運(yùn)算即可.

[詳解]A=^x\x2-x-2>0j=1x|x<-l^x>2},

B=[x\y=lg(x-l)}={x|x>l),

-1<x<21,

岳力)c5={x[l<xW2}=(1,2].

故選：C.

2.D

、/、[Q+ZJ—3—0

【分析】將l-2i代入/+辦+6=0化簡整理有(z。+6—3)—(4+2a)i=0,即4+24=0解

出。力，最后求復(fù)數(shù)的模即可.

【詳解】將l-2i代入/+°；(：+6=0有：(l-2i)2+a(l-2i)+/>=0,

、/、[Q+6—3=0[ci——2

化簡整理有(za+b-3H4+2a)i=0,即4+2°=。'解得-'

所以|a+=-\la2+b2=2)2+52=V29，

故選：D.

3.B

.2兀

【分析】設(shè)母線長為/,底面半徑為『，圓錐的高為〃，則有2何=子/即可得/=3r,再求高

h,進(jìn)而得圓錐的體積即可求解.

【詳解】設(shè)母線長為/,底面半徑為『，圓錐的高為〃，則有2口=手/=/=3r,

又力=J/?——=^9r2-r2=2y/2r>所以憶=；=；TU，x2V5r="^兀=/=l=r=l,

故選：B.

4.A

【分析】"x)=(；)/s是由>=(；)"與,=x2-"復(fù)合而成，先分析外層函數(shù)單調(diào)性，再根

據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性確定內(nèi)層函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而求出。的取值范圍.

【詳解】〃幻=(夕f是由尸(步與〃=/一ax復(fù)合而成，

答案第1頁，共17頁

在y=(g)"中，6=；，，所以y=(；)"在R上單調(diào)遞減.

因為“X)=j在［1,+向上單調(diào)遞減，且外層函數(shù)y=(1)u在R上單調(diào)遞減，

根據(jù)復(fù)合函數(shù)“同增異減''的原則，可知內(nèi)層函數(shù)w=/一辦在［1,+?0上單調(diào)遞增.

對于二次函數(shù)“=/一"，其圖象開口向上，對稱軸為

二次函數(shù)在對稱軸右側(cè)單調(diào)遞增，要使-亦在［1,+8)上單調(diào)遞增，

則對稱軸需滿足Wvi,解得aW2.

故選：A.

5.C

【分析】由等比中項的性質(zhì)及充分條件和必要條件的定義可得結(jié)果.

【詳解】由題意知，｛〃〃｝為等比數(shù)列，

當(dāng)4=2時，得4〃9=4,所以々9=4,故充分性成立；

當(dāng)g=4時，aj=a］a9=4,解得％=±2,

又4,%,為同號，所以為=2,故必要性成立.

所以9=2"是七9=4”的充要條件.

故選：C.

6.D

【分析】首先利用輔助角公式將函數(shù)〃x)化簡為/sin(vx+/)+左的形式，然后根據(jù)x的取值

范圍求出的取值范圍，再結(jié)合圖象與性質(zhì)，找出函數(shù)“X)在給定區(qū)間上有且僅有3個

零點時。的取值范圍.

【詳解】對/(；1)=5出《?：-6(：05。X+百進(jìn)行化簡：

/(x)=sincox-石cosa)x+=2sin^a)x-正

令〃x)=0,即2sin(o龍一1)+6=0,貝人山(0》一a=一￥.

根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，所以ox-1=2祈+￡或。x-g=2far+與，左eZ,解得工：2航+1

CD

答案第2頁，共17頁

2kjt+2兀7_

或》=-------，左￡Z.

CD

兀

因為工￡0,—且公〉0,

5兀

2兀

當(dāng)左=0時，_5兀，x2

%=—=—co

co30

4727T+——]]2兀+2兀47t

當(dāng)上=1時，3_3_1E，x4=-----------=—.

%3=-----------=------=-3CO

。CD3d)

所以實數(shù)Q的取值范圍是［4,羊).

故選：D.

7.C

【分析】由題意得直線工+如-2=0過圓心，即得。+6=2,利用基本不等式即可求解.

【詳解]由—+j；2_2aX_2y-]=0得(]-。)2+^-1)2=a2+2,

所以圓心為(〃/)，又圓關(guān)于直線'+勿-2=0對稱,

則直線工+“-2=0過圓心，即a+6=2,

所以+建二43駕匕4,

ababab

-8,

答案第3頁，共17頁

b_9a

當(dāng)且僅當(dāng)Z二了n;時，等號成立,

a+b=2\b=-

[2

所以雪色±1，+2-428-4=4,

abab

故選：C.

8.A

【分析】設(shè)橢圓的左焦點為片，由橢圓的對稱性可得四邊形4用片為矩形，再根據(jù)方程聯(lián)立

求得,再代入橢圓方程構(gòu)造齊次式即可得解.

fV24

【詳解】如圖，因為橢圓C：1r+}=1(。>6>0)關(guān)于原點對稱，直線y=g尤過原點，

所以A,8關(guān)于原點對稱，設(shè)橢圓的左焦點為耳，連接工耳，BK，

由橢圓的對稱性可得M周=忸見忸4|=1/尸I,

所以四邊形/用可為平行四邊形,

又因為《尸，5尸，所以平行四邊形/尸2耳是矩形,

所以/月，/尸，|。4卜|?？?c,所以點B在圓好+/=°2上,

則>二子，解得從。%],代入橢圓方程W+《=1,

x2+/=c2155JEb

又E—,可得:9

=1

c9e216e2

設(shè)e=￡(0<e<l),則上式可化為年+裝「

化簡可得9e4-50e2+25=0,即(9e?-5*?-5)=0,

因為0<e<l,所以9/-5=0,解得e=—.

3

所以橢圓C的離心率為好.

3

故選：A.

答案第4頁，共17頁

【分析】根據(jù)互斥事件、相互獨立事件的概率公式以及條件概率公式逐個計算，分別對每個

選項進(jìn)行分析判斷.

【詳解】對于A選項，若A,B互斥，根據(jù)互斥事件的概率加法公式尸尸(4)+尸(3).

已知P(N)=0.5,尸(8)=0.4,則尸(/18)=0.5+0.4=0.9,所以A選項正確.

對于B選項，若A,B相互獨立，則A與否也相互獨立.

因為尸(耳)=1一尸(3)=1-0.4=0.6,所以尸(/與)=「(4)尸(與)=0.5x0.6=0.3/0.2,所以B選

項錯誤.

對于C選項，若A,B相互獨立，貝l]P(/B)=P(⑷尸(8)=0.5x0.4=0.2.

根據(jù)概率的加法公式尸(4j8)=尸Q)+尸⑻-尸(48),將尸Q)=0.5,尸⑶=0.4,

P(42)=0.2代入可得：

PUuS)=0.5+0.4-0.2=0.7,所以C選項正確.

對于D選項，已知產(chǎn)(刃4)=^^=0.5,P(A)=0.5,則=0.5x0.5=0.25.

尸⑷

尸(1)=1一尸(4)=1-0.5=0.5,P(BA)=P{B}-P(AB)=0.4-0.25=0.15.

根據(jù)條件概率公式尸(8|A)=二怨=器=0.3,所以D選項正確.

P(A)0.5

故選：ACD.

10.ABD

【分析】利用誘導(dǎo)公式證明/(x)=/(-x),結(jié)合偶函數(shù)定義可判斷A；利用/(x)=〃2兀+x)

可判斷B；利用三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷C；利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求得最值，可判斷

D.

【詳解】對于A,函數(shù)/(%)的定義域為A,關(guān)于原點對稱，

f(-x)=cos(-x)-sin(cos(-x))-1=cosx-sin(cosx)-1=/(x),

答案第5頁，共17頁

所以「(X)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，故A正確；

對于B,f(x+2n)=cos(x+2兀)-sin(cos(x+2無))-1=cosx-sin(cosx)-1=f(x),

所以〃x)的一個周期是2兀，故B正確；

對于C,令/=cosx,當(dāng)xe［0,可時,t=cosx在［0,兀］上單調(diào)遞減,

且y=sin/在上單調(diào)遞增，則夕=-sin/在［-1,1］上單調(diào)遞減，

所以f(x)=cosx-sin(cosx)-l在［0,兀］上單調(diào)遞減函數(shù)，故C錯誤；

對于D,因為—IKcosxWl,令f=cosx,

則9=f-siii￡-l,求導(dǎo)得y'=l-cos/,

由于COS/E［—1,1］,所以y'=l-cos/ZO,y=/—sin￡—l單調(diào)遞增.

當(dāng)￡=1時，V取得最大值l—sinl—l=-sinl；

當(dāng)1時，V取得最小值-1-sin(-1)-l=sinl-2.

因為sinl>sinN=,所以一sinl<-sin4=一,Wf(x)<，故D正確.

4242v72

故選：ABD.

11.ACD

【分析】根據(jù)平面/CQ//平面40G，可得點?的軌跡是平面45G與正方體內(nèi)切球的交線,

建立空間直角坐標(biāo)，利用數(shù)量積公式計算，依次判斷可選項可求得結(jié)果.

【詳解】以。為原點，分別以。所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則。(0,0,0),力(1,0,0),c(o,i,o),5(1,1,0),A(0,0,1),4(1,1」)，4(I,O,I)，G(O1」)，

正方體的內(nèi)切球的球心為正方體的中心。佶，!，與，半徑r=1，

(222J2

平面ZCR的法向量亢：就=(一1,1,0),福=(-1,0,1),設(shè)萬=(x4,z),

n-AC=0\—x+y=0(、

由—?，即.C，令X=l,貝［|y=l,Z=l,所以力=(w.

n-AD1=0［-x+z=0

對于選項A,^0=(-1,-1,-1),因為3尸〃平面NCR,所以而?萬=0，而吊5=-拓，

所以麗?麗=0,即8P_L81。，A正確.

答案第6頁，共17頁

對于選項B,因為AP//平面/C0,平面4c2〃平面//G，

所以點p的軌跡是平面42G與正方體內(nèi)切球的交線，此交線為圓，記圓心為a.

設(shè)平面48G與正方體的中心O的距離d,設(shè)平面48G的法向量為m,

M=(O,-l,l)，BQ=(-1,0,1),

m-BA,=0-b+c=0

設(shè)麗=(a,6,c),由<」，可得

一〃+c=0'

m-BCl=0

令a=l,則成=(1,1,1).西=］，一七)，

-1---1-1_1_

OA-m

{222V3,

點O到平面48G的距離為Cal一_

同6

22

.".圓O1的半徑為rx=yjr—d=

，圓的周長/=2叫="兀，即點尸的軌跡長度為"兀，B錯誤.

133

12

對于選項C,2。=斗，點「在球面上，BOX=4BO-d=92V6

6~T

線段時長度的最小值為畋-乎-￡=充,C選項正確.

對于選項D,設(shè)而與南夾角為8,屬=(-1,0,1),|藍(lán)卜也.

、

V2(/7>

在平面直角坐標(biāo)系中,P(x,y),Ol0,—,

26

7\7I)

匹

—BP=^fx,y-^

㈤2,令x="cosO,廣理+如sinO,

、6>666

而.前旦X巫yC=lHsin［。

'22-23

所以而?星的最小值為1-,D選項正確.

故選：ACD

答案第7頁，共17頁

【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是確定點P的軌跡為平面42G與正方體內(nèi)切球的交

線，此交線為圓，結(jié)合條件計算圓的半徑，結(jié)合點與圓的位置關(guān)系求解計算.

12.-2

【分析】由分段函數(shù)先求/[J]，再求/即可.

【詳解】由題意有/（；]=43+1=2+1=3,所以

/[/Q]]=/（3）=-log2（3+l）=-log24=-2,

故答案為：-2.

13.匕好

2

【分析】設(shè)點P（x,y）,由拋物線的定義有|尸司=了+1,兩點間的距離公式有

,______________M=壯+廳=]_1

|P/|=J（x-iy+（y+l）2,即（x_i）2+（y+i[=j+],只需聲的最大值即

可.

【詳解】由題意得下（0』），設(shè)點尸（xj）,貝1|/=4了，由拋物線的定義有|尸耳=>+1,

2

______________M=(y+i)]

K=J(x-iy+(y+l)2，所以尼甲一(x-l)2+(y+lf-

x-1x-l_4|(x-l)|__4

又

了+1—+1.+1(x-lj+2|x-l|+5|x-i|+^-^+2

411|x-l|

答案第8頁，共17頁

由卜一"+向+2”2卜一卜高+2=2/5+2,

當(dāng)且僅當(dāng)歸7=島,

即x=l-若時，等號成立,

所以周％-1|+冊+2'3=\，所以(U]J與J

rU

兇_]>_J_2_5+5

所以|P4「G-1Y―3-小門5—610,

白廣丁+

當(dāng)x=l-芯時，_3-石，得點尸[1-指,1I

2I2)

3-a.

所以"'+1-V5,

3=7^7=M

故答案為：匕好

【分析】利用條件概率和乘法公式分類討論，最后利用全概率公式即可求解.

【詳解】設(shè)擲骰子得到的點數(shù)i的概率為尸（。，則尸［）=，"=1,2,…,6,

當(dāng)7=1時，i=l的概率為若X>Y,則需取出的1個球是紅球的概率為

6

「1）

p（x>祚=1）寸§，

121

所以耳（x>y）=p（i）尸（x>y|z-=i）=/x§=§,

當(dāng)，=2時，，=2的概率為1，若X>Y,則需取出的2個球都是紅球的概率為

答案第9頁，共17頁

p(x>y|/=2)=||=|)

i21

所以5(x>y)=p(2)/(丫>口=2)=$==后,

當(dāng)，=3時，z，=3的概率為若X>Y,則需取出的3個球都是紅球的概率為

P(X>*=3)=,=：,所以月(X>y)=P(3)P(X>琲=3)=；X；=9，

當(dāng)，=4時，i=4的概率為若X>Y,則有兩種可能的情況：第一種情況為取出的4個球

6

都是紅球有C：種，

第二種情況為取出的4個球種有3個紅球，1個黃球，有C；c；種，所以概率為

P(X>葉=4)=獨*=，

131

所以正(x>y)=p(4)/(X>Y|i=4)=$

當(dāng)，=5時，i=5的概率為若X>Y,則需取出全部4個紅球，1個黃球,

6

「4rli

111

所以P(X>抨=5)=安=￡所以寫(X>y)=?⑸尸(x>y>=5)__V_—_____

63-18

當(dāng)，=6時，x=y不滿足題意，

所以綜上尸(x>y)=L+,+L+L+,=U.

故答案為：

15.(1)證明見解析；

(2)證明見解析.

【分析】(1)根據(jù)正弦定理進(jìn)行邊換角并結(jié)合三角恒等變換得2sin/=sin8+sinC,再利用

正弦定理角換邊即可；

(2)利用三角形面積公式得4=?,再結(jié)合余弦定理即可得到6=c,則得其為等邊三角形.

【詳解】(1)由正弦定理得sin/(2-cos8)=sin2(1+cosN),

即2sin-sinAcos5=sin5+sinBcosA,

所以2sin/=sin5+sin^4cosB+cosAsinB,

答案第10頁，共17頁

所以2sin4=sin5+sin(4+B),

所以2sin4=sinB+sinC,由正弦定理得2a=b+c.

(2)因為LbcsinZ，所以sin4=4^,

242

因為2q=b+c,所以A為銳角，所以Z=?.

由余弦定理得/=ft2+c2-2bccosA=b2+c2—be

又。=野，代人化簡得6=c,

所以。=6=c,

所以V/2C為等邊三角形.

16.(1)證明見解析;

源

19

【分析】(1)根據(jù)線面垂直的判定得尸D_L平面從而有尸。_L42,再利用面面垂直

的判定即可證明；

(2)建立合適的空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)線面角定義得/3=4,再求出相關(guān)法向量即可得到,

面面角余弦值.

【詳解】(1)設(shè)尸為尸。的中點，連接力尸，斯，

因為E為PC的中點，所以防//CD,叱=1c。，

2

又ABIICD,AB=CD,所以EF〃AB,EF==AB,

2

所以4F與BE必相交.

因為尸N=4D,所以4F_LP。，

又PD1BE,且4EIBE=E,BEu平面ABEF,

所以「。，平面/3EF,又因為N8u平面/3EF,所以尸D_L48,

又4D1AB,PDc4D=D,PD,40u平面尸40,所以4B_L平面尸4D,

又/8u平面/BCD,所以平面尸ND_L平面'/BCD.

(2)設(shè)0,G分別為4D,8C的中點，因為P/=4D=P￡>,所以

又平面尸ND_L平面/BCD,平面上4。c平面/BCD=ND,POu平面PND,

所以PO_L平面4SCD,因為O/,OGu平面/BCD,

所以尸O，CM,PO,OG,又。ILOG,

答案第11頁，共17頁

所以，以。為坐標(biāo)原點，$OA,0G,<^$所在直線分別為x軸，y軸，z軸,

建立空間直角坐標(biāo)系.

由(1)知48_L平面尸4D,所以//P8即為直線網(wǎng)與平面尸/。所成的角，

所以tan/APB=---=2,設(shè)AP=2,貝！JAB=4,

AP

所以1(1,0,0),3(1,4,0),C(-l,4,0),。(-1,0,0),尸(0,0,&.

因為PD_L平面43EF,所以平面相￡的法向量為藍(lán)=麗=(-1,0,-兩.

設(shè)平面尸的法向量為及=(xj,z)，

又前=(-2,0,0),P5=(l,4,^/3),

n-BC=-2x=0-f—

所以＜_r，取〃=(0,6,4),

n-PB=x+4y—yj3z=0

所以平面ABE與平面PBC夾角的余弦值為

17.(Ed=l

(2)證明見解析，直線/的傾斜角為定值3三兀

，士

【分析】(1)由題意即可得「一力一丁即又點/(4,3)在雙曲線C上，即可解出

22,24

c=a+b

a,b-

(2)設(shè)直線/的方程為了=丘+6,與雙曲線方程聯(lián)立，得韋達(dá)定理，又NP/0的平分線與x

軸垂直，得鼬+的2=0,即得2打X2+0-3-%&+工2)-8e-3)=0,代入韋達(dá)定理即可

得證.

答案第12頁，共17頁

【詳解】（1）由題意有「n一￡一7n/=又點4（4,3）在雙曲線C上，所以，-、=1,

c1=a2+b2

解得/=4方=3,所以雙曲線C的方程為「一

（2）由已知得直線/的斜率存在，設(shè)其方程為了=履+6,設(shè)尸（陽,凹）,。（乙,外）

y=kx+b

22一(產(chǎn)-助

所以xJin3-4428X-4/-12=0,

二1

[43

^y,A=(-8^)2-4(3-4^2)(-4/)2-12)=48(62-4^2+3)>0,

8kb4廿+12

由韋達(dá)定理有：國+%=2

3-止'玉”2―3-4k

又因為乙以。的平分線與X軸垂直，所以儲戶+心2=0,

即勺+弋=0,所以（必一3）（々-4）+（乃一3）（占一4）=0,即

2kxix?+（b—3—4"再+%2）-8（b—3）=0,

所以_2左￥+j+0_3_4左｝8泌，80—3）=0,

3-4/、>3-4A：2Vr

即一24（左+1）9+4左一3）=0,所以左=-1或6=3-4左，

當(dāng)6=3-4左時，直線/的方程為了=履+3-4左=先卜-4）+3,即直線/過點幺（4,3）,不符合

題意，

3九

所以左二一1,設(shè)傾斜角為研0工。<兀），即左=tani=—l,?,

3兀

即直線/的傾斜角為定值

4

18.（1）答案見解析;

答案第13頁，共17頁

(幻、

(2)-80.

I7

【分析】(1)令/(x)=0,則〃=在3設(shè)g(x)=xe",利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性和最值，從而

得到其零點個數(shù)；

(2)首先分析得aWO時成立，再分離參數(shù)得1元+：+1，對xe[L+s)恒成立，利用

—>----X----e)

ae

導(dǎo)數(shù)研究右邊的最值即可.

【詳解】(1)/(幻=0時，a3,

令g(x)=xex,則g\x)=(x+l)ex,

所以,X<-1時,g'(X)<0,g(X)在(F,-l)上單調(diào)遞減,

X>-1時，g'(x)>0,g(x)在(-1,+00)上單調(diào)遞增，

又x<0時，g(x)<0,x3—co時，g(x)-0,x=-l時，g(%)min=g(-l)=-1,

%f+8時，g(X)f+CO,

所以，①當(dāng)。<-L時，〃x)無零點，

e

②。=一工或a?0時，/(x)有1個零點，

e

③當(dāng)時，“X)有2個零點.

e

(2)當(dāng)a?0時，由％>0得

所以，|/(%)|>Qx(lnx+l)等價于猶“一?！?(lnx+1)對％￡(0,+8)恒成立.

即ex>?^lnx+—+1^對XE(0,+8)恒成立，

1X—1

令/?(1)=lnx+—Fl,x>0,貝！]〃'(n)=——,

xx

當(dāng)X￡(O,1),〃(X)<0,當(dāng)X￡(l,+8),Y(X)>0,

??41)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減，在(1,+8)內(nèi)單調(diào)遞增，

h(x)>h(y)=2,又e、>0

er>Q[nx+對XE(0,+8)個亙成立

所以，aWO時成立，

答案第14頁，共17頁

當(dāng)〃>O,X￡1O，B時，Qx(lnx+l)<0,顯然成立.

當(dāng)?！?,X￡L+8)時，

I/(x)|>〃x(lnx+1)等價于xex-a>ax(\nx+1)或xex-a<-ax(lnx+1),

e]、e

即一>Inxd----bl或一<-InxH-----1

axax

PXie

對于一<-lnx+——1,取x=l,得一<0,與〃〉0矛盾，故不成立,

axa

-.tTe》1Hn1InxH----F1L+s)恒成立,

對于——>lnx+—+l,即1x，對XE

ax->x

ae

i1111

AInxHF1「]\m?—