大題仿真卷04（A組+B組+C組）

（模式：5道解答題滿分：78分限時(shí)：70分鐘）

*---------A組.鞏固提升----------?>

一、解答題

1.如圖，四棱錐尸―ABCD中，B4_L平面ABCD,AB//CD,PA=AB=AD=2,CD=1,ZADC=90°,

⑴求證：CE〃平面PAD；

（2）求點(diǎn)B到平面PCF的距離.

2.已知數(shù)歹!J{%}滿足log2%+i=l+bg2。"，且4=2.

⑴求生。的值；

⑵若數(shù)歹|{4+4}為嚴(yán)格增數(shù)列，其中％是常數(shù)，求2的取值范圍.

an

3.我國風(fēng)云系列衛(wèi)星可以監(jiān)測氣象和國土資源情況.某地區(qū)水文研究人員為了了解汛期人工測雨量x（單位:

dm）與遙測雨量》（單位：dm）的關(guān)系，統(tǒng)計(jì)得到該地區(qū)10組雨量數(shù)據(jù)如下：

樣本號(hào)，12345678910

人工測雨量占5.387.996.376.717.535.534.184.046.024.23

遙測雨量為5.438.076.576.147.955.564.274.156.044.49

Xf0.050.080.20.570.420.030.090.110.020.26

101010_

并計(jì)算得2X=353.6,Xy；=361.7,=357.3,是葭33.62，亍-34.42，孫^34.02.

i=lz=li=l

（1）求該地區(qū)汛期遙測雨量y與人工測雨量尤的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）,并判斷它們是否具有線性相關(guān)

關(guān)系；

（2）規(guī)定:數(shù)組（4％）滿足歸-引<0.1為“I類誤差”；滿足%|<0.3為“n類誤差”;滿足

為“ni類誤差”.為進(jìn)一步研究，該地區(qū)水文研究人員從“I類誤差”、“n類誤差”中隨機(jī)抽取3組數(shù)據(jù)與“in類

誤差”數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，記抽到“I類誤差”的數(shù)據(jù)的組數(shù)為X,求X的概率分布與數(shù)學(xué)期望.

￡(%-可(》-9)

附：相關(guān)系數(shù)r=I「,，7304.5?17.4.

位(%一可苣(乂一寸

Vz=li=l

4.己知雙曲線「三-f=1,居，尸2分別為其左、右焦點(diǎn).

45

⑴求耳，F(xiàn)2的坐標(biāo)和雙曲線r的漸近線方程；

(2)如圖，尸是雙曲線「右支在第一象限內(nèi)一點(diǎn)，圓c是APK鳥的內(nèi)切圓，設(shè)圓與尸月，PF2,耳月分別切

于點(diǎn)。，E,F,當(dāng)圓C的面積為4兀時(shí)，求直線尸工的斜率；

(3)是否存在過點(diǎn)F?的直線/與雙曲線E的左右兩支分別交于A,8兩點(diǎn)，且使得/￡48=/百助，若存在,

求出直線/的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.

5.已知尤>0,記〃x)=e*,g(x)=x*,h(x)=Ing(x).

⑴試將y=/(x)、y=g(x)、y=M尤)中的一個(gè)函數(shù)表示為另外兩個(gè)函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)；

⑵借助(1)的結(jié)果，求函數(shù)y=g(2x)的導(dǎo)函數(shù)和最小值；

(3)記〃(尤)="X)-'⑴+4+匹。是實(shí)常數(shù),函數(shù)y=H(x)的導(dǎo)函數(shù)是y'=4'(x).已知函數(shù)y="(無)(元)

有三個(gè)不相同的零點(diǎn)玉、%、X3.求證：xrx2-x3<1.

O----------------B組?能力強(qiáng)化----------?>

一、解答題

1.在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為鱉席.如圖，已知四面體尸-ABC中，PAL

平面ABC,PA=BC=1.

(1)若AB=1,PC=6求證：四面體尸-ABC是鱉席，并求該四面體的體積;

(2)若四面體尸-ABC是鱉膈，當(dāng)AC=a(a>l)時(shí)，求二面角A—3C-P的平面角的大小.

2.已知｛4｝是公差為d的等差數(shù)列，前九項(xiàng)和為S”,%的平均值為4,%，/，%，/的平均值為12.

2

⑴求證:Sn=n；

⑵是否存在實(shí)數(shù)使得包對(duì)任意

4T<1“eN*恒成立，若存在，求出?的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說明

%

理由.

3.燒烤是某地的特色美食，今年春季一場始于煙火、歸于真誠的邂逅，讓無數(shù)人前往“趕烤”.當(dāng)?shù)啬碂镜?/p>

推出150元的燒烤套餐，調(diào)研發(fā)現(xiàn)，燒烤店成本y（單位：千元，包含人工成本、原料成本、場地成本、設(shè)

備損耗等各類成本）與每天賣出套餐數(shù)x（單位：份）的關(guān)系如下：

X13467

y56.577.58

y與x可用回歸方程y=&lgx+g（其中&卷為常數(shù)）進(jìn)行模擬.

參考數(shù)據(jù)與公式：設(shè)/=1改，則

55

Ty之(--9)

?=1i-i

6.8

￡日-□(〉廠9)_

線性回歸直線y=中，G=J-----------------,b=y-at.

Z=1

O4080120160200箱數(shù)

（1）填寫表格中的三個(gè)數(shù)據(jù)，并預(yù)測該燒烤店一天賣出100份的利潤是多少元.（利潤=售價(jià)-成本，結(jié)果精確

到1元）

（2）據(jù)統(tǒng)計(jì)，由于燒烤的火爆，飲料需求也激增.4月份的連續(xù)16天中某品牌飲料每天為該地配送的箱數(shù)的頻

率分布直方圖如圖，用這16天的情況來估計(jì)相應(yīng)的概率.供貨商擬購置“輛小貨車專門運(yùn)輸該品牌飲料，一

輛貨車每天只能運(yùn)營一趟，每輛車每趟最多只能裝載40箱該飲料，滿載發(fā)車，否則不發(fā)車.若發(fā)車，則每輛

車每趟可獲利500元；若未發(fā)車，則每輛車每天平均虧損200元.若〃=3或4,請(qǐng)從每天的利潤期望角度給

出你的建議.

4.已知橢圓C：E+」=1僅＞0),A(0,6),B(0,-&).橢圓C內(nèi)部的一點(diǎn)過點(diǎn)T作直線AT

交橢圓于M,作直線BT交橢圓于N.M、N是不同的兩點(diǎn).

(1)若橢圓C的離心率是無，求6的值；

2

(2)設(shè)的面積是岳，2WW的面積是$2,若餐=5,8=1時(shí)，求才的值；

⑶若點(diǎn)。(x“,y“)，滿足怎且乂＞%,則稱點(diǎn)U在點(diǎn)V的左上方.求證：當(dāng)■時(shí)，點(diǎn)N在點(diǎn)M

的左上方.

5.定義：若曲線G和曲線C?有公共點(diǎn)P,且曲線G在點(diǎn)p處的切線與曲線g在點(diǎn)尸處的切線重合，則稱

G與c?在點(diǎn)尸處“一線切，，.

⑴已知圓(*-。)2+/=/(『＞0)與曲線＞=/在點(diǎn)(1,1)處“一線切”，求實(shí)數(shù)a的值;

(2)設(shè)/(x)=\+2x+a,g(x)=ln(尤+1),若曲線，=f(x)與曲線y=g(x)在點(diǎn)尸處“一線切”,求實(shí)數(shù)。的值;

(3)定義在R上的函數(shù)y=/(x)的圖象為連續(xù)曲線，函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)函數(shù)為y=/'(x),對(duì)任意的尤eR,都

Jr(刈州(刈

成立.是否存在點(diǎn)尸使得曲線＞=/(x)sinx和曲線y=1在點(diǎn)尸處“一線切”？若存在,請(qǐng)求

]/(x)|<A/2

出點(diǎn)尸的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由.

0------c組?高分突破-----------O

一、解答題

1.如圖，四邊形ABCO是圓柱底面的內(nèi)接四邊形，AC是圓柱的底面直徑，PC是圓柱的母線，E是AC與

的交點(diǎn)，AB=AD,=60°.

A

V,

⑴記圓柱的體積為xT7,四棱錐尸-ABCD的體積為匕，求才；

V2

⑵設(shè)點(diǎn)廠在線段”上，PA=4PF,PC=4CE,求二面角尸-CD-夕的余弦值.

2.已知向量a=(2cosx,l),Z?=|-cos|x+/],—1,%￡0,—.

⑴若％=求4電；

⑵記”無)=。/，若對(duì)于任意和馬€0卷，,(占)-/(々)歸2恒成立，求力的最小值.

3.為了檢測某種抗病毒疫苗的免疫效果，需要進(jìn)行動(dòng)物與人體試驗(yàn).研究人員將疫苗注射到200只小白鼠體

內(nèi)，一段時(shí)間后測量小白鼠的某項(xiàng)指標(biāo)值，按[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]分組，繪制頻

率分布直方圖如圖所示.實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)小白鼠體內(nèi)產(chǎn)生抗體的共有160只，這160只小白鼠中的該項(xiàng)指標(biāo)值不小

于60的有110只，假設(shè)小白鼠注射疫苗后是否產(chǎn)生抗體相互獨(dú)立.

A頻率

0.025.............T~?

oO875

7

.SOO0X5

OO6Z5

.O

20406080100指標(biāo)數(shù)

指標(biāo)值

抗體合計(jì)

小于60不小于60

有抗體

沒有抗體

合計(jì)

(1)填寫上面的2x2歹?聯(lián)表，并根據(jù)表中數(shù)據(jù)及￡=005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷能否認(rèn)為注射疫苗后小白鼠產(chǎn)

生抗體與指標(biāo)值不小于60有關(guān)；(單位：只)

(2)為檢驗(yàn)疫苗兩次接種的免疫抗體性，對(duì)第一次注射疫苗后沒有產(chǎn)生抗體的40只小白鼠進(jìn)行第二次注射疫

苗，結(jié)果又有20只小白鼠產(chǎn)生抗體用頻率估計(jì)概率，記一只小白鼠注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的概率是P,

并以。作為人體注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的概率，進(jìn)行人體接種試驗(yàn)，記100個(gè)人注射2次疫苗后產(chǎn)生抗

體的數(shù)量為隨機(jī)變量X.求P的值，并求隨機(jī)變量X的方差.

參考公式：%=(4+b)(c+d)(a+c)S+d)(其中+d為樣本谷星)

0.500.400.250.150.1000.0500.025

k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.024

22

4.設(shè)A,8是雙曲線H：會(huì)-云=1(。＞0,6＞0)上的兩點(diǎn).直線/與雙曲線”的交點(diǎn)為P,。兩點(diǎn).

⑴若雙曲線”的離心率是白，且點(diǎn)在雙曲線”上，求雙曲線H的方程；

22

(2)設(shè)A、8分別是雙曲線H：*-==1(。＞0力＞0)的左、右頂點(diǎn)，直線/平行于y軸.求直線A尸與8Q

cib

斜率的乘積，并求直線4尸與2。的交點(diǎn)M的軌跡方程；

⑶設(shè)雙曲線Mx2-y2=l,其中凡一也1),可①1),點(diǎn)M是拋物線C：/=2y上不同于點(diǎn)A、B的動(dòng)

點(diǎn)，且直線MA與雙曲線H相交于另一點(diǎn)尸，直線M2與雙曲線H相交于另一點(diǎn)。，問：直線PQ是否恒過

某一定點(diǎn)？若是，求該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由.

5.已知數(shù)列｛%｝滿足|令-0+1|〈|生+1-令+2](，=1,2,,,"-2).

⑴若數(shù)列｛〃“｝的前4項(xiàng)分別為4,2,a3,1,求生的取值范圍；

⑵已知數(shù)列｛為｝中各項(xiàng)互不相同.令以=|%-。局(加=1,2,求證：數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列的充要條件

是數(shù)列也“｝是常數(shù)列；

陽一1

(3)已知數(shù)列｛%｝是根(機(jī)EN且加23)個(gè)連續(xù)正整數(shù)1,2,加的一個(gè)排歹(J.若/-=m+2,求

k=l

m的所有取值.

大題仿真卷04（A組+B組+C組）

（模式：5道解答題滿分：78分限時(shí)：70分鐘）

?>-------A組?鞏固提升----------O

一、解答題

1.如圖，四棱錐尸—ABCD中，PA_L平面ABC。，ABHCD,R4=A5=AD=2,CD=1,ZADC=90°,

E,尸分別為的中點(diǎn).

P

⑴求證：CE〃平面PAD；

⑵求點(diǎn)B到平面PCF的距離.

【答案】（1）證明見解析

（2）乎

【分析】（1）設(shè)G是E4的中點(diǎn)，連接GE,DG,證明四邊形COGE是平行四邊形，可得CE//DG,再根據(jù)

線面平行的判定定理即可得證；

（2）先證明CFLPb,再利用等體積法求解即可.

【解析】（1）證明：取上4中點(diǎn)G,連接GE、GD,

由于E是尸B的中點(diǎn)，則GE〃/LB,GE=^-AB,

2

由于CD〃AB,CD=-AB=1,所以GEHCD,GE=CD,

2

所以四邊形CDGE是平行四邊形，所以CE//GD,

由于CEtzPAD上，OGu平面PAD,

所以CE//平面PAD

（2）設(shè)點(diǎn)8到平面PCR的距離為〃，

因?yàn)镽4J_平面A5a）,CPu平面ABCZ）,所以PA_LCF,

由于CD//AF,CD=AF,所以四邊形ADCF是平行四邊形，

由于NADC=90。，所以CF_LAB,

由于ABPA=A,A3,A4u平面R4B,

所以CP_L平面

又PPu平面所以CFLP產(chǎn)，

在RtAR4/中，PF=d*+f=5所以黑嘰=:中"/=石，又S^cF-CF-BF=1.

2

由Vp-BCF=%—PCF得;$△BCF?*孔PCF'h,

Q.P41X2_2A/5

^h=BCF

S.PCF

所以/Z=R1,即點(diǎn)3到平面PCF的距離為其I.

55

2.已知數(shù)歹!){/}滿足log2%+i=l+log2"“，且4=2.

(1)求旬)的值；

(2)若數(shù)列｛?！?4｝為嚴(yán)格增數(shù)列，其中4是常數(shù)，求2的取值范圍.

an

【答案】⑴％。=1024

(2)2<8

【分析】(1)根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)可得%+i=2a“，即可判斷｛%｝為等比數(shù)列，即可根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)求解,

(2)利用作差法可得2<2?向?qū)φ麛?shù)"恒成立，即可求解.

a,

【解析】(1)log??=l+loga?,得log?。"]=log2(2a")，故%何=2%,即4=2.

2+12an

又q=2*0,故數(shù)列他“｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.

從而，0T=2".所以為)=1024.

(2)設(shè)數(shù)列｛2｝滿足b”=a”+—=2"+9，

an2

因?yàn)閿?shù)列｛么｝為嚴(yán)格增數(shù)列，

故bn+1-bn=(2向+券)-(2"+§>0對(duì)正整數(shù)〃恒成立，

即/1<22"M對(duì)正整數(shù)〃恒成立，

當(dāng)”=1時(shí)，22用取到最小值8.所以4<8.

3.我國風(fēng)云系列衛(wèi)星可以監(jiān)測氣象和國土資源情況.某地區(qū)水文研究人員為了了解汛期人工測雨量尤（單位:

dm）與遙測雨量y（單位：dm）的關(guān)系，統(tǒng)計(jì)得到該地區(qū)10組雨量數(shù)據(jù)如下：

樣本號(hào)i12345678910

人工測雨量為5.387.996.376.717.535.534.184.046.024.23

遙測雨量為5.438.076.576.147.955.564.274.156.044.49

升一,0.050.080.20.570.420.030.090.110.020.26

101010_

并計(jì)算得=353.6,^y.=361.7,工％%=357.3,￡-33.62-~34,42>xy~34.02.

i=li=li=l

（1）求該地區(qū)汛期遙測雨量y與人工測雨量尤的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）,并判斷它們是否具有線性相關(guān)

關(guān)系；

（2）規(guī)定：數(shù)組滿足X-y|<0.1為“I類誤差”；滿足0」<,—引<。3為“II類誤差”；滿足1%-引之0.3

為“HI類誤差”.為進(jìn)一步研究，該地區(qū)水文研究人員從“I類誤差”、“U類誤差”中隨機(jī)抽取3組數(shù)據(jù)與“皿類

誤差”數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，記抽到“I類誤差”的數(shù)據(jù)的組數(shù)為X,求X的概率分布與數(shù)學(xué)期望.

€（%一可（》一引

附：相關(guān)系數(shù)廠=/“，7304.5?17.4.

J》—）苣5-W

Vi=li=l

【答案】（1）0.98,汛期遙測雨量y與人工測雨量x有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系；

（2）分布列見解析，號(hào).

O

【分析】（1）根據(jù)參考公式和數(shù)據(jù)，代入求相關(guān)系數(shù)，即可判斷相關(guān)性強(qiáng)或弱;

（2）根據(jù)條件可知X的所有可能取值為0,1,2,3,再根據(jù)超幾何分別求分布列和數(shù)學(xué)期望.

10

2（%-?。▉V-歹）

［解析］（1）因?yàn)?=.

店（%-元）比（%-刃2

V/=1i=l

代入已知數(shù)據(jù)，

357.3-10x34.0217.13

得r=-［=-1?0.98

^（353.6-10x33.62）x（361.7-10x34.42）V304.5

（2）依題意，“i類誤差”有5組，“n類誤差”有3組，“in類誤差”有2組.

若從"I類誤差”和"II類誤差”數(shù)據(jù)中抽取3組，

抽到“I類誤差”的組數(shù)X的所有可能取值為0,1,2,3.

則…)=lH，P(X=1)爺15

56

尸(X=2)=等C2cl15尸(X=3)=汾105

562855628

所以X的概率分布為

X0123

115155

P

56562828

所以X的數(shù)學(xué)期望E(X)=lxm+2x冬+3'三==.

5628288

另解：因?yàn)閄~"(3,5,8),所以E(x)=W=^.

OO

4.已知雙曲線「三-反=1,片，尸2分別為其左、右焦點(diǎn).

45

(1)求乙，尸2的坐標(biāo)和雙曲線「的漸近線方程；

(2)如圖，P是雙曲線r右支在第一象限內(nèi)一點(diǎn)，圓c是APK鳥的內(nèi)切圓，設(shè)圓與Pfj,PF2,4居分別切于

點(diǎn)。，E,F,當(dāng)圓C的面積為4兀時(shí)，求直線尸瑞的斜率；

⑶是否存在過點(diǎn)F2的直線/與雙曲線E的左右兩支分別交于A,8兩點(diǎn)，且使得/443=/片氏4,若存在，

求出直線/的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】⑴月(-3,0),8(3,0),y=土1x

(2)1;

(3)存在，y=±^-(x-3).

【分析】(1)直接根據(jù)題干給的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求得答案；

(2)由雙曲線的定義以及切線的性質(zhì)可得圓的半徑r=2,再借助于點(diǎn)到直線的距離公式求直線尸工的斜率；

(3)假設(shè)存在直線I,由"B="BA得由A|=山內(nèi)，取45的中點(diǎn)M，則也心=-1,進(jìn)而得需+4=9；

又利用:2得4y：=5焉-15不，于是聯(lián)立方程組可得〃的坐標(biāo)，從而得到直線/的斜率并得出直線/

五一互=1

,45

的方程.

22

【解析】(1)因?yàn)殡p曲線廠土-匕=1,所以片=4萬=5,所以c=3,

45

即耳(—3,0),其(3,0),

所以雙曲線「的漸近線方程是y=±@x;

2

(2)由題意可知|尸。1=1PEI,1)|=|耳尸|,\F1F\=\F1E\,

所以1尸耳191=(1尸0+］。用-(1尸?+|%|)4期|-|%目?用-|房|=2〃=4,

二尸(2,0),即尸是橢圓右頂點(diǎn)

設(shè)圓C的半徑為廠(廠＞。)，因?yàn)閳AC的面積為4兀，貝!］兀r=4兀，即r=2,

CFIF^,

...設(shè)直線尸工的斜率為上,則直線尸弱的方程為＞=MX-3),^kx-y-3k=0,

由圓心C到直線尸工的距離等于圓的半徑,

\2k-2-3k\

可得=2,

J/+1

4

解得直線尸居的斜率為k=g

(3)假設(shè)存在過點(diǎn)F2的直線/與雙曲線E的左右兩支分別交于A,8兩點(diǎn)，且使得/々AB/F】BA,

設(shè)B(x2,y2),A3中點(diǎn)為M5,%),又月(-3,0),苞(3,0),

由Nf;A3=Nf;R4,可知AKAB為等腰三角形，|丹川=|片3|,且直線/不與無軸重合,

于是耳M_LA8,即片

上.人=一1

因此左F［M'—1，￥+y：=9(i),點(diǎn)A,B在雙曲線r上,

玉)+3XQ—3

T=i①

4

所以2

2

尤2上=1②

.45

%M%_5

①一②化簡整理得:%%=5

xx-x4

玉+%2%一%24012

則討就《可得登己［，化=5"15/(11),

|婷+葉=944?旅

聯(lián)立(I)(II)得2=3君-5%-12=0,得無()=一］或%=3(舍)，所以M—?)--------

14%2=5X0-15X033

由服/=：，得鼬=士等，所以直線/的方程為好士等。-3).

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：針對(duì)類似于/片48=/片胡的角度問題，一般情況下會(huì)轉(zhuǎn)化垂直問題，再結(jié)合垂直

時(shí)的斜率之積為-1即可解決問題.

5.已知尤>0,記〃尤)=e*,g(x)=x1,/z(x)=Ing(尤).

⑴試將y=/(x)、y=g(x)、y=中的一個(gè)函數(shù)表示為另外兩個(gè)函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)；

⑵借助(1)的結(jié)果，求函數(shù)y=g(2x)的導(dǎo)函數(shù)和最小值；

(3)記H(x)="無)一"⑴+J+”，。是實(shí)常數(shù),函數(shù)y=H(x)的導(dǎo)函數(shù)是y'=H'(x).已知函數(shù)y="(無)?〃'(尤)

X

有三個(gè)不相同的零點(diǎn)玉、馬、F.求證：%?3?馬<1.

【答案】(l)g(x)=/(Mx))

(2)g'(2x)=2(2x)”(ln2x+l),最小值為

(3)見解析.

【分析】⑴直接計(jì)算>="x))=V=g(x)即可；

(2)利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得，(2x)=2(2x)2Xln2x+l),再結(jié)合導(dǎo)數(shù)和函數(shù)最值的關(guān)系即可得到答案；

(3)首先求出“，(x)=(e'+,(xT),求出其單調(diào)性，假設(shè)4=1,再利用函數(shù)K(x)=H(x)的單調(diào)

性即可證明.

［解析］(1)y=f(/i(x))=e,,(x)=e~=elnx，=**=□=g(x)

(2)利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可求得g'(2x)=2(2x)2，(ln2x+l),

令g'(2x)=2(2%)2l(ln2x+l)=0，可求得：

令g'(2尤)=0,x>0,/.(2x)2x>0,所以ln2x+l=0,

解得2x=J,當(dāng)0<2x</時(shí)，g'(2x)<0,此時(shí)g(2x)單調(diào)遞減，

當(dāng)2元時(shí)，g'(2x)>0,此時(shí)g(2x)單調(diào)遞增，

1

所以函數(shù)y=g(2x)的最小值為估下.

(3)H(x)-----------------F尤+〃=---1nx+%+a

XX

由/r(x)=^^」+i/(i)jx+x2=3+犬卜一1),

XXX尤

,x>0,.\ev+x>0,

令”(x)>0,解得尤>1,此時(shí)H(x)單調(diào)遞增，

令a'(x)<0,解得x<l,此時(shí)“(%)單調(diào)遞減，

因?yàn)楹瘮?shù)>="。>"'。)有三個(gè)不相同的零點(diǎn)和馬飛.

而3=〃'(尤)的零點(diǎn)為1,不妨設(shè)鼻=1,則，=印》的零點(diǎn)為八,尤2.

不妨設(shè)占〈尤2,則°<尤1<1<%,>1，*(%)=?(%)=0.

玉

令K(x)=8(x)-

11112.(1)

令p(x)=e'+尤一xej，則(x)=e"+1-e-7=e'+1+,

所以當(dāng)xe(0,1)時(shí),p，(x)>0,所以當(dāng)xe(0,1)吐p(x)是嚴(yán)格單調(diào)遞增的，

所以當(dāng)無e(0,1)時(shí),p(x)<p(l)=0,

所以當(dāng)xe((U)吐K'(x)>0,

則K(x)=H(x)-H(J在(0,1)上單調(diào)遞增，

所以在(0,1)上，K(x)=8(x)-X]￡]<K⑴=0,所以理為)-〃\<0.

(1、

又〃(%)="(蒼)=0,所以8優(yōu))一方-<0,

I石J

即

又函數(shù)y=H(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增，所以％<J,

即xtx2<1.

綜上,芯馬龍3<1.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第三問的關(guān)鍵需要求出函數(shù)"(X)的單調(diào)性，再得到其導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，從而得到三

個(gè)零點(diǎn)中的一個(gè)具體值，再假設(shè)W=l,則題目轉(zhuǎn)化為證明尤2再次構(gòu)造函數(shù)K(x)="(x)-利

用導(dǎo)函數(shù)得到其單調(diào)性，從而證明不等式成立.

*>-------------B組?能力強(qiáng)化----------O

一、解答題

1.在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為鱉膈.如圖，已知四面體尸-ABC中，PAL

平面ABC,PA=BC=1.

(1)若AB=1,PC=V3,求證：四面體P-ABC是鱉膈，并求該四面體的體積；

(2)若四面體尸-ABC是鱉膈，當(dāng)47=。(。>1)時(shí)，求二面角A—3C-P的平面角的大小.

【答案】⑴證明見解析，VP_ABC=1

6

(2)arctan———-或arctan—

a2-la

【分析】(1)借助線面垂直證明面面垂直，結(jié)合題目所給長度，運(yùn)用勾股定理證明四面全為直角三角形即

可，體積借助體積公式計(jì)算即可得；

TTTT

(2)根據(jù)題意，會(huì)出現(xiàn)兩種情況，即=x或44圓=彳，分類討論計(jì)算即可得.

22

【解析】(1)平面ABC,AB.ACu平面ABC,

:.PA±AB>PA±AC,

:.APAC,為直角三角形，

在直角，己4c中，|的=叫=及,

在直角中，|產(chǎn)耳=JPA2+PB2=血,

.,.在VABC中，有|AC「=|AB『+|BC「，

.-.AB1BC,故VABC為直角三角形，

在△_?3c中，有|PC『=|P3『+|BC「，

故PBL3C,故△P3C為直角三角形,

故四面體P-ABC四個(gè)面都是直角三角形，即四面體P-ABC是鱉膈，

VP-ABC=3^.ABC?I尸H=§X5Xlxlx1=];

（2）Q4_L平面A5C,5Cu平面ABC,

.\PA±BCf

由AC=a>l=AB,

故一朋C不可能是直角，

TT

若NA8C=],則有AB_LBC,

又PA_LBC,PA.ABu平面PAAB=A,

故BC_L平面F4B,又尸3u平面P4B,

故3cl.P3,

，//郎是二面角人一臺(tái)^^-2的平面角，

2

QAC=a,BC=1,AB=Va-1>..tanZPBA=^J_;

所以二面角A-3C-P的平面角的大小為arctan四三.

a2-l

若ZAC3=],

同理可得ZACP是二面角A-BC-P的平面角，

Ap1

所以tanZACP==；=一,

ACa

所以二面角的平面角的大小為arctan-,

a

綜上所述，二面角A-BC-P的平面角的大小為詆3旺I或arctanl.

a2-la

2.已知｛〃〃｝是公差為d的等差數(shù)列，前〃項(xiàng)和為5“,％,%,。3，。4的平均值為4,%,〃6，%，。8的平均值為12.

2

⑴求證：Sn=n；

⑵是否存在實(shí)數(shù)上使得4包T<1對(duì)任意〃eN*恒成立，若存在，求出t的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說明

an

理由.

【答案】（1）證明過程見解析；

（2）不存在，理由見解析

【分析】（1）由等差數(shù)列通項(xiàng)公式基本量計(jì)算得到公差為2,首項(xiàng)為1,從而得到前n項(xiàng)和；

（2）假設(shè)存在/,使3—<1對(duì)任意"CN*恒成立，變形為二</<二+2對(duì)任意“eN*恒成立，結(jié)

an2幾-12n-\

2

合當(dāng)〃EN*時(shí)，0<------<2,求出，>2且,42,因此符合題意得，不存在.

2n-l

【解析】（1）由題意得：■+%+%+%—q+電+/+。4=44=8,解得：d=2,

44

由q+〃2+/+4=4%+6d=16,解得：%=1,

c〃（九一1）,

所以——--d=n+n9-n=n9；

（2）假設(shè)存在t,使4包T<1對(duì)任意〃eN*恒成立，

an

則一1</一[1+2]<1對(duì)任意〃€N*恒成立，

Ian）

22

即<t<---+2對(duì)任意N*恒成立，

2n-l2n-lne

2

當(dāng)〃eN*時(shí)，0<；^W2,

2”一1

所以r>2且芯2,因此符合題意得/不存在，證畢.

3.燒烤是某地的特色美食，今年春季一場始于煙火、歸于真誠的邂逅，讓無數(shù)人前往“趕烤”.當(dāng)?shù)啬碂镜?/p>

推出150元的燒烤套餐，調(diào)研發(fā)現(xiàn)，燒烤店成本y（單位：千元，包含人工成本、原料成本、場地成本、設(shè)

備損耗等各類成本）與每天賣出套餐數(shù)無（單位：份）的關(guān)系如下：

Xi3467

y56.577.58

,與x可用回歸方程y=&lg尤+B（其中白花為常數(shù)）進(jìn)行模擬.

參考數(shù)據(jù)與公式：設(shè);Igx,則

TyZ&-7）（%-歹）

Z=1i=l

6.8

七（-）（%-歹）_

線性回歸直線y=〃+5中，&=「----------f-正.

su-n2

i=\

O4080120160200箱數(shù)

（1）填寫表格中的三個(gè)數(shù)據(jù)，并預(yù)測該燒烤店一天賣出100份的利潤是多少元.（利潤=售價(jià)-成本，結(jié)果精確

到1元）

（2）據(jù)統(tǒng)計(jì)，由于燒烤的火爆，飲料需求也激增.4月份的連續(xù)16天中某品牌飲料每天為該地配送的箱數(shù)的頻

率分布直方圖如圖，用這16天的情況來估計(jì)相應(yīng)的概率.供貨商擬購置九輛小貨車專門運(yùn)輸該品牌飲料，一

輛貨車每天只能運(yùn)營一趟，每輛車每趟最多只能裝載40箱該飲料，滿載發(fā)車，否則不發(fā)車.若發(fā)車，則每輛

車每趟可獲利500元；若未發(fā)車，則每輛車每天平均虧損200元.若〃=3或4,請(qǐng)從每天的利潤期望角度給

出你的建議.

【答案】（1）表格見解析，3236（元）

（2）建議購買3輛車

【分析】（1）根據(jù)表格與參考公式計(jì)算數(shù)據(jù)補(bǔ)全空并求出回歸方程、估計(jì)成本即可；

（2）由頻率分布直方圖得出送貨箱數(shù)的概率，再由離散型隨機(jī)變量的分布列與期望公式得出購3輛車和購

4輛車時(shí)每天的利潤的分布列，比較期望大小即可.

【解析】（1）由表格及公式通過計(jì)算器可計(jì)算得彳=坨1+33++坨6+坨7=段要-0.54

補(bǔ)全填空如下:

5

￡5包一?。ù酰?

7yy-za-n

Z=1Z=1

0.546.81.530.45

5

根據(jù)題意，&=口----------S,

su-n2

Z=1

所以成=歹一應(yīng)彳=6.8—3.4x0.54=4.964

所以y=3.4+4.964,

又t=lgx,所以y=3.41gx+4.964,

所以x=100時(shí)，y=6.8+4.964=11.764（千元）,

即賣出100份的成本為11764元，

故利潤15000—11764=3236（元）.

(2)根據(jù)頻率分布直方圖，可知送貨箱數(shù)的概率分布表為:

箱數(shù)[40,80）[80,120）[120,160）[160,200]

11￡

P

8428

設(shè)該運(yùn)輸戶購3輛車和購4輛車時(shí)每天的利潤分別為幾B元,

則乂的可能取值為1500,800,100,其分布列為：

X1500800100

511

P

848

feE（y,）=|xl500+^x800+|xl00=1150,

右的可能取值為2000,1300,600,-100,其分布列為:

20001300600-100

111

P

8248

^E（K）=-x2000+-xl300+-x600+1ix（-100）=1037.5<E（1；）,

8248

即購置3輛小貨車的利潤更高，建議購買3輛車.

4.已知橢圓C：E+上=1僅>0),4(0,6),3(0,詢.橢圓C內(nèi)部的一點(diǎn)H?>0),過點(diǎn)T作直線AT

交橢圓于M,作直線BT交橢圓于N.M、N是不同的兩點(diǎn).

(1)若橢圓C的離心率是無，求6的值；

2

(2)設(shè)△BT河的面積是航，AA77V的面積是S2,若曾=5,8=1時(shí)，求，的值；

(3)若點(diǎn)U(x“,y")，V(%,%)滿足工“<%且為>?,,則稱點(diǎn)U在點(diǎn)V的左上方.求證：當(dāng)■時(shí)，點(diǎn)N在點(diǎn)M

的左上方.

【答案】(1)6的值為1或4

(2)1

(3)證明見解析

【分析】(1)分0<6<2,2兩種情況結(jié)合離心率計(jì)算式可得答案；

(2)聯(lián)立直線AM的方程與橢圓方程可得與，聯(lián)立直線珈的方程與橢圓方程可得結(jié)合圖形可得

q-\TB\\TM\sinZBTMq2Q

譽(yù)=]-----------------，后結(jié)合NB7M+ZA77V=兀，及弦長公式可得f=/,即可得答案;

?^\TA\-\TN\-sinZATN?1+1

(3)聯(lián)立直線與橢圓方程可得尤M，XN,后結(jié)合在橢圓內(nèi)部可得“,大小，又由題意可得為,W大

小，即可證明結(jié)論.

【解析】⑴因?yàn)闄E圓C的離心率是g

當(dāng)。<b<2時(shí)，樂苧’得i

當(dāng)b>2時(shí)，旦二爐N,得6=4；

2b

所以6的值為1或4；

(2)由題意，直線A4的斜率幻”存在，直線的斜率上皿存在,

k上」,直線AM的方程尸-白+1,設(shè)MM%).

A"t2t

2

t+124?

則早=0=>無M

11r+1

y二一五況+i

尢上一上,3

直線BN的方程1五-I，設(shè)NQN，%).

丫2

T+^=1

t2+923XN_12?

則~=^^XN=

3]t2+9

k五Xi

^\TB\-\TM\-sinZBTM

由圖,

||L4|-|7W|-sinZA77V

注意到ZBTM+ZATN=￡，則sinZ.BTM=sinZATN.

2

又健+

附=H+=博-4|>\TM\=J1+="一XM

4r/-3t

2

klt+i7TT*+9

5=/=1

IK4I-I7NI-|x-xjx-x|ntt3-3t7TT

rrwt---5----

klr+9產(chǎn)+9

(3)由題意，直線AM的斜率心”存在，直線的斜率%v存在,

二一〃1-2〃

,_2_-2b,直線AM的方程y=fx+。，設(shè)M(天”，加).

一1-26

y=2t而+(l-2b]2+b2t2246(1-26)4b(2b-1)t

則22------------7i-----^+―一工=0n無M

迎+也=1tt

、4b2~

_；+”l+2b,直線BN的方程y=?x-b,設(shè)NGNQN).

“丁一丁2t

2(

(I+2&)+&￥246(1+26)4b2b+1)t

則72*N/=°n/

(i+2沖2+甘干

又根據(jù)題意知后＞；,；＞為,所以%＞1＞為.所以當(dāng)?時(shí)，點(diǎn)N在點(diǎn)M的左上方.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題涉及由離心率求參數(shù)，橢圓中的面積問題，及橢圓新定義，難度極大.(1)因不知

焦點(diǎn)位置，故需分情況討論；(2)問關(guān)鍵是用得到f關(guān)于l的表達(dá)式；(3)類似于(2),可得知，赤，后

d2

利用作差法即可比較大小.

5.定義：若曲線G和曲線G有公共點(diǎn)p且曲線3在點(diǎn)p處的切線與曲線。2在點(diǎn)尸處的切線重合，則稱

G與c?在點(diǎn)尸處“一線切”.

⑴已知圓(*-。)2+丁=/&＞0)與曲線,=/在點(diǎn)(1,1)處“一線切”，求實(shí)數(shù)。的值;

⑵設(shè)/(x)=V+2x+a,g(x)=ln(x+l),若曲線y=/(x)與曲線y=g(x)在點(diǎn)尸處“一線切”，求實(shí)數(shù)a的值;

(3)定義在R上的函數(shù)y=/(x)的圖象為連續(xù)曲線，函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)函數(shù)為y=f(x),對(duì)任意的xeR,都

!/(刈邛(刈

成立.是否存在點(diǎn)尸使得曲線＞=