第二章綜合素質(zhì)評價

一、選擇題（每題3分，共30分）

1.cos30°的值為（）

1

AV3RcV3D

22-3

2.在△/回中，ZC=90°,若sin4=；,則cos8的值為（）

1A/2A/3

A-B.^~C.2D.TT

3.如圖，在由邊長相等的小正方形組成的網(wǎng)格中,點、A,B,C,D,￡都在網(wǎng)格的格點上,

則的正弦值為（

4.如圖，一艘海輪位于燈塔夕的北偏東55°方向上距離燈塔夕6海里的/處，若海輪沿正南

方向航行到燈塔尸的正東方向，則海輪航行的路線/刀的長是（）

A.6海里B.6cos55°海里C.6sin55°海里D.6tan55°海里

5.如圖，ZACB=45°,ZPRQ=125°,AC=PR=3,△/以底邊6。上的高為A,△時?底邊

上的高為演則有（

A.h、=hz

B.hKhz

C.h;h?

D.以上都有可能

6.如圖，窗子高AB=mm,窗子外面上方0.2m的點。處安裝水平遮陽板CD,且5=1m,

當太陽光線與水平線夾角。=60°時，光線剛好不能直接射入室內(nèi)，，則勿的值是

（）C,_

V

1mm/

[/

A.^3+0.8B.73+0.2

C.—0.2D.—0.8

7.如圖，一架飛機在點/處測得水平地面上一個標志物P的俯角為a,水平飛行/千米后到

達點8處，又測得標志物刀的俯角為￡,那么此時飛機離地面的高度為（）

ManQtanJ3一、,

A.-——----千米r

tanP一tana

ManQtanB▼、“

B------;——^千米

tanci—tanP

c-------%一^千米

tana—tanP

D-一總-----千米

tanP—tana

（第74）（第8題）

8.如圖，利用四個全等的直角三角形拼成的“趙爽弦圖”中，小正方形的面積是1,大正方

形的面積是25,直角三角形中較大的銳角為￡,則tan￡的值為（）

9.如圖，在平面直角坐標系中，點N,6分別在x軸負半軸和y軸正半軸上，點。在加上,

OCOB=13,連接NC,過點。作冰〃"交"'的延長線于點夕.若點夕的坐標為（1,

1）,則tanN月CO的值是（）

11

A.-B.3C.-D.2

O乙

2

10.[2025?濰坊諸城市模擬]如圖，將菱形紙片力皿沿過點。的直線折疊，使點。落在射線

。上的點￡處，折痕。5交”于點夕.若N"C=30°,小=4,貝I]以=()

A.冊一書B.2y[6-2y[2D.2班+2*

二、填空題(每題3分，共18分)

11.在△A56'中，若個sin/一1十(tan2?-1)2=0,則NC=.

60

12.如圖，點—(12,a)在反比例函數(shù)y=—(x〉0)的圖象上，方_Lx軸于點〃，連接冰，則tan

X

N/W的值為.

13.如圖，在RtZkZ■中，ZACB=9Q°,〃是的中點，過〃點作/方的垂線交/C于點名

4

AC=16,cosA=~,則4F的長為.

5

14.某人沿著有一定坡度的坡面前進了10米，此時他與水平地面的垂直距離為2仍米，則這

個坡面的坡度為.

15.如圖，某建筑物的頂部有一塊標識牌5，小明在斜坡上的8處測得標識牌頂部。的仰角

為45°,沿斜坡走下來在地面上的/處測得標識牌底部。的仰角為60°,已知斜坡47的

坡角為30°,AB=AB=IQm,則標識牌切的高度是.

3

b

(第16M)

16.已知三條平行線，相鄰兩條平行線間的距離相等，我們把三個頂點分別在這樣的三條平行

線上的三角形稱為格線三角形.如圖，已知等腰直角三角形NW為格線三角形，且N&C

=90°,那么直線笈與直線c所夾銳角a的正切值為.

三、解答題(17?19題每題8分，20題10分，21,22題每題12分，23題14分，共72分)

17.計算：

(1)cos45°—|tan30°sin600+cos230°；

(2)(sin30°)1X(sin60°—cos45°)一^\J(1—tan60°)2.

18.[2025?泰安校級月考]根據(jù)下列條件解直角三角形.

(1)在低△力8。中，ZC=90°,6=5,c=10；

(2)在中，ZC=90°,N力=30°,SAABC=20y[3.

4

3

19.如圖，在中，回心5,sinZ^=-

(1)求a'的長；

⑵龍是力。邊上的高，請補全圖形，并求應(yīng)'的長.

20.山東夏津黃河故道的古桑樹群因其在防沙治沙、生物多樣性保護、生物資源利用和農(nóng)業(yè)景

觀維持等方面具有多功能價值，被聯(lián)合國糧農(nóng)組織收錄為“全球重要農(nóng)業(yè)文化遺產(chǎn)”，如

今以古桑樹群為核心不斷滋養(yǎng)和豐富著夏津的文化成果和農(nóng)業(yè)發(fā)展.五一期間，劉老師帶

領(lǐng)數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們對其中一棵桑樹的高度進行了相關(guān)測量.如圖，他們先在地面上

的4處測得桑樹樹頂。點的仰角為34°,然后向桑樹的正下方前進6米后到達6處，測得

桑樹樹頂。點的仰角為45°,已知測角儀的高度為1米，請你根據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)計算出桑樹的

高度.（結(jié)果精確到1m.參考數(shù)據(jù)：sin34°^0.56,cos34°^0.83,tan34°^0.67）

5

21.[2025?濰坊濰城區(qū)月考]如圖，某公園中的四個景點鋪設(shè)了游覽步道（步道可以騎行），組

成一個四邊形/灰〃為了方便，在景點。的正東方向設(shè)置了休息區(qū)弘其中休息區(qū)〃在景

點/的南偏西30°方向1600米處，景點力在景點8的北偏東75°方向，景點8和休息

區(qū)〃相距100端米（N力跳90°）,景點。分別在休息區(qū)欣景點力的正東方向和正南方

向.

（1）求步道AB的長度（結(jié)果保留根號）；

⑵小明和小瑩騎共享單車到景點/游玩，他們同時從休息區(qū)〃出發(fā)，小明沿人方一/路線,

速度為每分鐘300米；小瑩沿尸。一/路線，速度為每分鐘200米.請通過計算說明，小

明和小瑩誰先到達景點4（參考數(shù)據(jù)：隹q1.4,gl.7）

北

22.【知識再現(xiàn)】如圖①，在忒△/以中,ZC=90°,ZJ,ZB,NC的對邊分別為a,b,c.

abab.ab

VsinA=isinB=—,Ac=----

ccsinAsinE?,sinAsinB

6

【拓展探究】如圖②，在銳角三角形/以中，ZJ,/B,NC的對邊分別為a,b,c.

請?zhí)骄恳蝗?，一」?之間的關(guān)系，并寫出探究過程.

sinAsinbsinC

【解決問題】如圖③，為測量點/到河對岸點6的距離，選取與點/在河岸同一側(cè)的點C,

測得月C=120m,ZA=75°,NC=60°.請用拓展探究中的結(jié)論，求點/到點8的距離.

7

23.根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù).

探究紙傘中的數(shù)學(xué)問題

我國紙傘制作工藝十分巧妙，如圖

素①，NP是傘柄，傘骨且

材AE=~AB,AF=^:AC,〃為傘圈，DE

OO

11

=DF.傘完全張開時N&C=120°

傘圈。能沿著傘柄滑動，如圖②是A

素完全收攏時傘骨的示意圖,此時傘如)

材圈〃滑動到)的位置，且N,E,療

2D'三點共線，測得=50cm,P

力￡=20cm(參考數(shù)據(jù)：勺24.5)

學(xué)習(xí)小組的同學(xué)經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn):雨

往往是斜打的，且都是平行的.如

圖③，某一天，雨線陰與地面的小C

B

夾角為70°,小明站在完全張開

素H

的傘的傘圈。的正下方G處，記為P

材

GH,此時，發(fā)現(xiàn)身上被雨淋濕，測

3

得陰=180C^BNLMN)(參考數(shù)產(chǎn)

據(jù)：tan70°^2.747,sin70°fGM

③

^0.940,cos70°^0.342,y

1.732)

問題解決

任

(1)求證：NP是N&C的平分

務(wù)判斷NP的位置

線；

1

任

(2)當傘從完全張開到完全收

務(wù)探究傘圈移動的距離

攏時，求傘圈。移動的距離；

2

8

(3)求傘至少向下移動多少厘

任

米，才能使小明站在G處時身

務(wù)擬定撐傘方案

上不被雨淋濕.(直接寫出答

3

案，結(jié)果精確到0.1cm)

9

答案

、LA2.A3.D4.B

B【點撥】如圖，分別作出兩個三角形的高4,A.

§：

125"一上

R

O

'：ZACB=4：5,AC=5,：.h,=AC*sin450=5sin45°.VZW=125°,PR=5,：.h2

=PR-sin(180°-125°)=5sin55°.Vsin55°>sin45°,:.h〉h?

7.A【點撥】作心"交居于點C,...gE,BC=—,：,m=AC-BC=-

8.A【點撥】由題意知，小正方形的邊長為1,大正方形的邊長為5.設(shè)直角三角形中較短直

角邊的長為x,則有（l+x）2+f=25.解得x=3（負值不合題意，已舍去），較長直角邊

4

的長為x+1=4,tan=-

o

i句、OCCPOC1CP1,

9.B【點撥】'：OP//AB,.?.,=”：％：的=1：3，不過點刀作軸

DbACDUZACN

于點0,易知。?！ㄊ?,：.0Q\AO=CP\AC=1：2,ZACO=ZAPQ.VP（1,1）,：.PQ=OQ=

AQ

1,A0=20Q=2,.,.AQ=3,tanZAPQ=~^=3,tanXACO=tanXAPQ=3.

10.D【點撥】作"，"于E：四邊形力皿是菱形，ZABC=30°,：.ZD=30°,AD=CD,

180°—/D

:./DAC=/DCA=---------=75°.由折疊的性質(zhì)可知，/￡=/〃=30°,:./APE=/

物c—N￡=45°,...易得/尸=抨=/。?cos45°=2*,：.EF=~~~：.PE=

PF+BF=2y[2+2^6.

10

。5251

一、11.10512.-13.-14.—

15.(15—5m)m【點撥】過點8作〃人必交班的延長線于點弘過點8作冽U2于點兒

由題意知龐，力￡,.?.四邊形砌卯為矩形，：.BN=ME,9三颯在中，49=10m,

ZBAM=30°,：.AM=AB*cosZBAM=5\[3m,BM=AB-sin/BAM=5m.在Rt△力龐中，

AE=10m,/DAE=60°,:.DE=AE?tanN%￡=

10mm.在中，BN=ME=AE+AM=(10+5A/3)m,Z6W=45°,：.CN=BN-tan

Z6W=(10+5-\/3)m.,：EN=BM=^m,...5龐=10+5^+5—10函=(15—

5^/3)m.

16.|【點撥】

I/

c_

如圖，過點8作廢La于點E,延長旗交直線c于點F,過點。作々aa于點D,則N如

=//座=90°.設(shè)平行線a,6間的距離為，由a〃6〃c,相鄰兩條平行線間的距離相等，

易知"CD=2d,BE=BF=d.,：ZCAB=90°,N如=90°,：.ZDCA+ZDAC=90°,

jZDCA=NEAB,

ZEAB+ZDAC=90°,I.N2O=N￡46.在△曲和△力破中，｛NCDA=NAE8,:.XCDA

VAC=AB,

手△力幽(AAS)./.AE=CD=2d,AD=BE=4.,.易得CF=DE=AE+AD=2d+d=3d.'：BF=d,

BFd1

'an0=清獷亍

11

18.【解】⑴根據(jù)勾股定理可得對二m=54，

a5mA。

VsinA=-=^~=^~/3,：.ZA=6Q°,

c102

.?.N￡=180°-ZC-ZJ=180°-90°-60°=30°.

(2)'：ZC=9Q°,N力=30°,.?.N6=180°-ZC-ZA=180°-90°—30°=60°

tan8=tan60°=~=^3,b=-\[3a.

*.*S^ABc=^ab=~a?-^3a=20\[3,

a=2^/10,b=-\/3a=2'\[3Q,

c=.a?+A=4，I3.

19.【解】(1)如圖，過點/作4aBe于點〃

一Aq3

在Rt△力劭中，'：AB=5,sir\ZABC=~,

5

3

'.AD=AB,sinNA5C=5X『=3,

5

.?.劭=占=？=4.

'：AB=AC,ADLBC,：.BC=2BD=8.

⑵補全圖形如圖所示.

'：AB=AC,：.AACB=AABC,

3

sin^ACB=sinAABC=~.

5

324

:.BE=BC?sinZ^C?=8X-=—

55

12

20.【解】連接）并延長交功于點瓶由題易得，EMLCD,AB=EF=6米,BF=DM=1米,

設(shè)QUx米，

VZW=45°,:.FM=CM=x米.

,砂=6米，.?.^^（x+6）米.

.,。CMx

在A中，/CEM=34°,.*.tanZ6W^tan34°o=—67,

MEx+6

，ml2.2,即2米，

/.CD=CM+MD^\2.2+1心13（米）.

答：桑樹的高度約為13米.

21.【解】（1）由題意得，ZDAM=30°,ZBAD=75°,ZD=90°,441600米，BM=\000^2

米，

:./BAM=/BAD—/DAM=73°-30°=45°.

過點〃作磔，N8于〃則=/嬲仁90°,

：.ZAMH=18Q°-90°-45°=45°=ZBAM,

：.AH=MH=AM*sin45°=1600X坐=800鏡（米），

/.=N（］000的—（80球產(chǎn)=600陋（米）,

/.AB=AH+BH=80（h/2+600-72=140球（米）.

答：步道N8的長度為1400明米.

（2）'：AM=\600米，ZDAM=30°,N〃=90°,

：.DM=^AM=8QQ^z,AD=AM>cos30°=1600X平=800第（米），

路線M-D-A的路程為MD+AD=（800+800m）米，

???小瑩到達景點4所用的時間為（800+80。45）+200=4+4*40.8（分鐘）.

?路線―6—N的路程為姐+"=1000^2+140（h/2=2400鏡（米），

??.小明到達景點/所用的時間為2400^2+300=8/=11.2（分鐘）.

V10,8<11.2,

13

??.小瑩先到達景點4

22.【解】【拓展探究】作切，”于點〃4￡，比■于點￡

AEAE

在低△/龐中,B=^=-

CDCDCDCDAEAE

同理,sin=-，sinZ^4C=~=~,sinZBCA=~T^=~T.

bCaACbACb

/.AE=csinB,CD=asinB,CD=bsin/BAC,AE=Z?sinNBCA,

/.csinB=bsinXBCA,asinB=bsinXBAC.

bcab

sinBsinABCA9sinABACsinB

.abc

,sinABACsinBsinABCA

【解決問題】在△/■中，Z^=180°-ZA-Z