熱點(diǎn)題型?選填題攻略

專題09平面解析幾何(H^一大題型)

o------題型歸納?定方向-----------?>

題型012021-2025年高考+春考真題..............................................................1

題型02直線與方程...........................................................................2

題型03圓與方程..............................................................................3

題型04圓與方程的應(yīng)用........................................................................3

題型05圓錐曲線的概念辨析...................................................................4

題型06圓錐曲線的綜合應(yīng)用...................................................................4

題型07角度問(wèn)題..............................................................................5

題型08向量問(wèn)題..............................................................................5

題型09與數(shù)列結(jié)合問(wèn)題........................................................................6

題型10空間中軌跡問(wèn)題........................................................................6

題型11選擇壓軸辨析題........................................................................6

?>-----------題型探析?明規(guī)律-----------o

【解題規(guī)律?提分快招】

1、判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法

⑴幾何法：利用d與r的關(guān)系.

(2)代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用△判斷.

(3)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過(guò)定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交.

2、根據(jù)條件求橢圓方程的主要方法

(1)定義法：根據(jù)題目所給條件確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足橢圓的定義.

(2)待定系數(shù)法：根據(jù)題目所給的條件確定橢圓中的a,b.當(dāng)不知焦點(diǎn)在哪一個(gè)坐標(biāo)軸上時(shí)，一般可設(shè)所求橢

圓的方程為mx2+ny2=l(m>0,n>0,n#n),不必考慮焦點(diǎn)位置，用待定系數(shù)法求出m,n的值即可.

3、⑴雙曲線漸近線的求法：求雙曲線提一祭=1(。>0,打。)的漸近線的方法是令最爺=°，即得兩漸近線方

(2)在雙曲線的幾何性質(zhì)中重點(diǎn)是漸近線方程和離心率，在雙曲線/一方=1(°>0,b>0)中，離心率e與雙曲

h

線的漸近線的斜率—滿足關(guān)系式e2=l+貶

題型012021-2025年高考+春考真題

【典例1-1].(2025?上海)已知雙曲線弓-上f=1(a>0)的左、右焦點(diǎn)分別為乃、F1.通過(guò)尸2且傾

ab-a

斜角為2L的直線與雙曲線交于第一象限的點(diǎn)A,延長(zhǎng)AF2至B使得A8=AFi.若△BQ放的面積為3a，

3

則a的值為二n_.

【分析】由題意作圖，根據(jù)三角形面積公式以及直線方程，結(jié)合雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，可得答案.

22

【解答】解：已知三-上年=1，

/八c?

ab-a

則■=6-a2>0,

解得，

22

^c=Va+b=V6>

貝人F2(V6,0)-

設(shè)B(XB,中)，

又△8尸由2的面積為3、后，

則卷?EBI"恒"21=%lyB1=3^6'

解得中=-3,

由題意可得直線AB的斜率，

O

則方程為，

將9=-3代入上式，

則-3=加(XB-V6)，

解得XB=V6-73)

22

由題意可得|AF[I-|AF2|=|AB|-|AF2|=|BF2|=7(V6-V3-V6)+(-3-0)=2A/3-

易知a=V3.

故答案為：V3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了雙曲線的性質(zhì)，重點(diǎn)考查了雙曲線的定義，屬中檔題.

【典例1-2].（2024?上海）已知拋物線y2=4x上有一點(diǎn)尸到準(zhǔn)線的距離為9,那么尸到x軸的距離為_啦_

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合拋物線的定義，即可求解.

【解答】解：設(shè)P坐標(biāo)為（xo,yo）,

P到準(zhǔn)線的距離為9,即刈+1=9,解得尤0=8,代入拋物線方程，可得，

故尸到x軸的距離為

故答案為：4A/2.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查拋物線的定義，屬于基礎(chǔ)題.

【典例1-3].（2024?上海）直線x-y+l=0的傾斜角大小為45°.

【分析】求出直線的斜率，根據(jù)直線斜率與傾斜角的關(guān)系，即可求得傾斜角的大小.

【解答】解：由直線x-y+l=0變形得：y—x+1,

設(shè)直線的傾斜角為a,即tana=l,

因?yàn)閍e[0,180°）,

所以a=45°.

故答案為：45°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線的傾斜角的求法，以及特殊角的三角函數(shù)值.熟練掌握直線傾斜角與斜率的關(guān)系

是解本題的關(guān)鍵，同時(shí)注意直線傾斜角的范圍，屬基礎(chǔ)題.

【典例1一4】.（2024?上海）三角形三邊長(zhǎng)為5,6,7,則以邊長(zhǎng)為6的兩個(gè)頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，過(guò)另外一個(gè)頂點(diǎn)

的雙曲線的離心率為3.

【分析】利用雙曲線的定義、離心率的計(jì)算公式即可得出結(jié)論.

【解答】解：由雙曲線的定義，2c=6,2a=2,

解得c=3,a=l,

.-.e=—=3.

a

故答案為：3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了雙曲線的定義、離心率的計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

【典例1-5].（2023?上海）已知圓/+、2-4彳-%=0的面積為11,則"1=-3.

【分析】先把圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再結(jié)合圓的半徑為1求解即可.

【解答】解：圓/+/-4.X-〃7=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：（X-2）2+y2=4+%,

:圓的面積為It,.?.圓的半徑為1,

?\m=-3.

故答案為：-3.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題.

【典例1-6].（2023?上海）已知圓C的一般方程為/+2%+9=0,則圓C的半徑為1.

【分析】把圓C的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，可得圓C的圓心和半徑.

【解答】解：根據(jù)圓C的一般方程為/+2x+y2=0,可得圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（X+1）2+/=1,

故圓C的圓心為（-1,0）,半徑為1,

故答案為：1.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓的一般方程和標(biāo)準(zhǔn)方程，屬基礎(chǔ)題.

2

【典例1-7].（2022?上海）已知Pi（xi,yi）,P2（X2,”）兩點(diǎn)均在雙曲線「：三-/=1（fl>0）的右

a

支上，若xix2>yiy2恒成立，則實(shí)數(shù)4的取值范圍為11,+8）.

【分析】取尸2的對(duì)稱點(diǎn)尸3（X2,-"），結(jié)合XLX2>yiy2,可得OP；?OP；〉。，然后可得漸近線夾角N

MONW9U。，代入漸近線斜率計(jì)算即可求得.

【解答】解：設(shè)尸2的對(duì)稱點(diǎn)尸3（X2,-”）仍在雙曲線右支，由XlX2>yiy2,

得xix2-yiy2>0,即op；恒成立，

???/尸10尸3恒為銳角，即NMONW90。，

/.其中一條漸近線y=的斜率」W1,

aa

?*Cl19

所以實(shí)數(shù)〃的取值范圍為[1，+8）.

故答案為：[1,+8）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了雙曲線的性質(zhì)，是中檔題.

2

【典例1-8].（2022?上海）雙曲線與-尸=1的實(shí)軸長(zhǎng)為6

9

【分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)可得。=3,實(shí)軸長(zhǎng)為2a=6.

2

【解答】解：由雙曲線2_-y2=i,可知：a=3,

9

所以雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)2a=6.

故答案為：6.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.

【典例1-9].（2021?上海）直線尤=-2與直線J5x-y+l=0的夾角為

【分析】先求出直線的斜率，可得它們的傾斜角，從而求出兩條直線的夾角.

【解答】解：???直線x=-2的斜率不存在，傾斜角為工L,

2

直線Ex-y+l=0的斜率為遙，傾斜角為工，

3

故直線x=-2與直線遂龍7+1=0的夾角為2L-2L=2L,

236

故答案為：2L.

6

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線的斜率和傾斜角，兩條直線的夾角，屬于基礎(chǔ)題.

【典例1-10】.（2021?上海）^x2+y2-2x-4y=o,求圓心坐標(biāo)為（1,2）.

【分析】將一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，然后確定其圓心坐標(biāo)即可.

【解答】解：由/+/-2x-4y=0,可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-1）2+（y-2）2=5,

所以圓心坐標(biāo)為（1,2）.

故答案為：（1,2）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的一般方程和標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

【典例1-11】.（2021?上海）已知拋物線/=2內(nèi)（p>0）,若第一象限的A,2在拋物線上，焦點(diǎn)為R|AF|

=2,|BF|=4,|AB|=3,求直線AB的斜率為—零

【分析】將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，根據(jù)已知條件結(jié)合斜率的定義，求出直線

AB的斜率即可.

【解答】解：如圖所示，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為/，作AC，/于點(diǎn)C,2。，/于點(diǎn)。，AEL2D于點(diǎn)E,

由拋物線的定義，可得AC=A尸=2,BD=BF=4,

?,-BE=4-2=2,AE=VAB2-BE2=79^4=V5-

直線AB的斜率

故答案為：叵.

2

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線斜率的定義與計(jì)算，拋物線的定義等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

2

【典例1-12】.（2021?上海）已知橢圓工2+4=1（0<6<1）的左、右焦點(diǎn)為四、F1,以。為頂點(diǎn)，F(xiàn)2

b2

為焦點(diǎn)作拋物線交橢圓于P,且/尸為仍=45°,則拋物線的準(zhǔn)線方程是x=l-M.

【分析】先設(shè)出橢圓的左右焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得拋物線的方程，設(shè)出直線尸為的方程并與拋物線方程聯(lián)

立，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)，由此可得尸放_(tái)LPLF2,進(jìn)而可以求出尸Q,P上的長(zhǎng)度，再由橢圓的定義即可求解.

【解答】解：設(shè)為（-c,0）,F2（c,0）,則拋物線y2=4cx,

f2_

直線PF1：y=x+c,聯(lián)立方程組（丫=4cx,解得尤=c,y=2c,

,y=x+c

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（c,2c）,所以「尸2，四尸2,又PF

所以PR

則c=V2-b

所以拋物線的準(zhǔn)線方程為：X=-C=1-

故答案為：x=l-圾.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線的定義以及橢圓的定義和性質(zhì)，考查了學(xué)生的運(yùn)算推理能力，屬于中檔題.

【典例1-13】.（2023?上海）已知P,。是曲線r上兩點(diǎn)，若存在〃點(diǎn)，使得曲線r上任意一點(diǎn)P都存在

。使得I"尸|?|MQ|=1,則稱曲線「是“自相關(guān)曲線”.現(xiàn)有如下兩個(gè)命題：①任意橢圓都是“自相關(guān)曲線”；

②存在雙曲線是“自相關(guān)曲線”，則（）

A.①成立，②成立B.①成立，②不成立

C.①不成立，②成立D.①不成立，②不成立

【分析】根據(jù)定義結(jié)合圖象，驗(yàn)證|MP|?|MQ=1是否恒成立即可.

【解答】解：；橢圓是封閉的，總可以找到滿足題意的M點(diǎn)，使得|MP|?|MQ=1成立，故①正確，

在雙曲線中，1PM,”分一+8,\PM\min=0,當(dāng)|PM=0時(shí)，。點(diǎn)不存在；

當(dāng)|PMwh=〃，0<〃Wl時(shí)，\QM\=1,

n

但當(dāng)1PM=2>］，此時(shí)|QM=H這與1PM根而=〃矛盾，故②錯(cuò)誤.

nn2

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查與曲線方程有關(guān)的新定義，根據(jù)條件結(jié)合圖象驗(yàn)證|MP|?|MQ=1是否成立是解決本

題的關(guān)鍵，是中檔題.

【典例1-14】.（2022?上海）設(shè)集合Q={（x,y）|（x-左）2+（y-M）2=4|）t|,依Z}

①存在直線/,使得集合。中不存在點(diǎn)在/上，而存在點(diǎn)在/兩側(cè)；

②存在直線/，使得集合。中存在無(wú)數(shù)點(diǎn)在/上；（）

A.①成立②成立B.①成立②不成立

C.①不成立②成立D.①不成立②不成立

【分析】分k=0，k>0,k<0,求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡，即可判定.

【解答】解：當(dāng)％=0時(shí)，集合。={（x,y）|（尤-左）2+（y-M）2=4|川，蛇Z}={（0,0））,

當(dāng)4>0時(shí)，集合Q={（x,y）|（x-Z）2+（y-啟）2=4\k\,依Z},

表示圓心為（鼠層），半徑為「=2，"了的圓，

圓的圓心在直線y=/上，半徑廠=/（%）=2《單調(diào)遞增，

相鄰兩個(gè)圓的圓心距d=Q（k+1-k）2+[（k+1）2-k2]2=J4k2+4k+2'相鄰兩個(gè)圓的半徑之和為/

=2Vk+2Vk+l，

因?yàn)橛薪?，故相鄰兩個(gè)圓之間的位置關(guān)系可能相離，

當(dāng)％<0時(shí)，同左>0的情況，故存在直線/,使得集合。中不存在點(diǎn)在/上，而存在點(diǎn)在/兩側(cè)，故①正

確，

若直線/斜率不存在，顯然不成立，

設(shè)直線/：y^mx+n,若考慮直線/與圓（尤-左）2+（y-必）2=4肉的焦點(diǎn)個(gè)數(shù)，

d=」嗎也^",r=2\Q7L

給定7”,w,當(dāng)左足夠大時(shí)，均有d>r,

故直線/只與有限個(gè)圓相交，②錯(cuò)誤.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了動(dòng)點(diǎn)的軌跡、直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.

題型02直線與方程

【典例2-1】.（2024?上海嘉定?一模）直線3尤-?+1=。的傾斜角為.（用反三角函數(shù)表示）

【典例2-21.（24-25高三上?上海?階段練習(xí)）直線/過(guò)點(diǎn)（1,2）,法向量“=（1,2）,貝門的一般式方程為.

【變式2-1】.（24-25高三上?上海?階段練習(xí)）設(shè)meR,若直線y=耀》-1與直線x+2y+3=0互相垂直，則

【變式2-2].（2023?上海靜安?一模）若直線x+2y+3=0與直線2x+〃少+10=。平行，則這兩條直線間的

距離是.

【變式2-3].（2024?上海長(zhǎng)寧?二模）直線2x-y-3=0與直線尤-3、-5=。的夾角大小為.

題型03圓與方程

【典例3-1】?（24-25高三上?上海金山?期末）以C（3,4）為圓心且過(guò)點(diǎn)（1,-3）的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.

【典例3-2].（2024?上海普陀?模擬預(yù)測(cè)）已知圓尤2+/-4》-〃7=0的周長(zhǎng)為2兀，則實(shí)數(shù)m的值為.

【變式3-1】.（24-25高三上?上海?開學(xué)考試）已知圓G：（x+3『+（y-4）=1與圓C?：/+（>-獷=16外

切，則實(shí)數(shù)后=.

【變式3-1].（24-25高三上?上海?開學(xué)考試）已知圓C:（x+2）2+（y-4）2=1,則圓心C到直線

/:丘+丫-左+3=0的最大距離為.

題型04圓與方程的應(yīng)用

【典例4-1】.（2024?上海.模擬預(yù)測(cè)）平面點(diǎn)集｛（x,y）|（x-cos行+（y-sine『=9,6eR｝所構(gòu)成區(qū)域的面積

為.

【典例4-21.（2024.上海.模擬預(yù)測(cè)）正方形草地ABCD邊長(zhǎng)L2,E到A5AD距離為0.2,歹到BC,C￡>距離為

0.4,有個(gè)圓形通道經(jīng)過(guò)瓦尸，且經(jīng)過(guò)上一點(diǎn)，求圓形通道的周長(zhǎng).（精確到0.01）

【變式4-1】.（24-25高三上?上海黃浦?期末）i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)4滿足|Z|-l+i|W0,復(fù)數(shù)z?滿足

|z2|=|z2+l-i|,則|Zj-Zzl的最小值為.

【變式4-2].（24-25高三上?上海嘉定?期中）設(shè)函數(shù)〃x）=V-8x,若點(diǎn)P（x,y）滿足/（x）+/（—y）W32,

〃y）W0,記點(diǎn)尸構(gòu)成的圖形為。，則。的面積是.

【變式4-3].（24-25高三上?上海?期中）已知實(shí)數(shù)占、%、%、%滿足k+y：=2,尤;+貨=2,xlx2+yly2=0,

記vv=k]+必-20|+卜2+%—2忘|,則w的最大值是.

_—>—>—>—>—>—>DTT

【變式4-4】.（24-25高三上?上海?期中）已知平面向量°,4c,e滿足lal=4/e|=l,|b-a|=l,<a,e>=不，且

對(duì)任意的實(shí)數(shù)7,均有卜-e閆c-2e|?則小的最小值為

題型05圓錐曲線的概念辨析

2

【典例5-11.（2024?上海崇明?一模）雙曲線犬-匕=1的漸近線方程是________.

4

【典例5-2].（2024?上海青浦.二模）橢圓二+9=1（4>1）的離心率為且,貝i]a=.

a2

【變式5-11.（2024.上海靜安.一模）到點(diǎn)月（-3,0）,B（3,0）距離之和為10的動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡方程為.

【變式5-2】.（2022?上海浦東新?一模）若方程4/+02=4左表示雙曲線，則此雙曲線的虛軸長(zhǎng)等于（）

A.2&B.2sPkC.mD.Q

【變式5-3].（23-24高三下?上海?階段練習(xí)）若拋物線/=陽(yáng)的焦點(diǎn)到它的準(zhǔn)線距離為1,則實(shí)數(shù)加=—

【變式5-4】.（23-24高三下.上海.階段練習(xí)）將拋物線C:/=4x關(guān)于直線y=x對(duì)稱，得到拋物線Q,則

拋物線Q的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為.

22

【變式5-5].（2024高三.全國(guó)?專題練習(xí)）已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線」—+"^=1的離心率此6,

6+2左2k-3

則上的取值范圍是.

題型06圓錐曲線的綜合應(yīng)用

22

【典例6-1].（2023?上海虹口?一模）已知F是橢圓C/Z+匕=1與拋物線C2：y2=2px（p>0）的一個(gè)共同

43一

焦點(diǎn)，G與G相交于A,8兩點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)等于（）

22

【典例6-2].（2024?上海普陀?一模）設(shè)橢圓c：W+4=l（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為小%,左頂點(diǎn)

為A’若橢圓C的離心率為上則喘的值為

2

【變式6-1】.（24-25高三上?上海浦東新?期末）已知雙曲線爐-21=1的左、右焦點(diǎn)分別為％、F2,雙曲

3

線上的點(diǎn)尸在第一象限，且尸外與雙曲線的一條漸近線平行，則尸耳外的面積為.

【變式6-2].（24-25高三上?上海?期中）已知拋物線石：/=4尤，圓C:f+y2=2x,過(guò)圓心C作斜率為左的

直線/與拋物線E和圓C交于四點(diǎn)，自上而下依次為A,M,N,B,^\AM\+\NB\=2\AW\,則左的值為

（）

A.土&B.±73C.土變D.土立

23

22

【變式6-3].（2024高三?上海?專題練習(xí)）已知雙曲線「-二=1（。>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)分別是耳，F(xiàn),,

a'b"

經(jīng)過(guò)歹2的直線與雙曲線的右支相交于P,。兩點(diǎn)，且|助|:|尸。|:|。片|=2:2:1,則雙曲線的離心率等于（）

A.&B.gC.2D.3

【變式6-4].（23-24高三下?上海?期中）設(shè)不月為雙曲線「a一匯=1左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在r的右支上，

99

線段E"與r的左支相交于點(diǎn)N,且用=WM，則閨N卜.

22

【變式6-5】.（2024?上海?模擬預(yù)測(cè)）橢圓三+七=1（“>6>。）的左、右焦點(diǎn)分別為片,不，過(guò)F2作x軸的

ab

垂線交橢圓于尸,。，若片PQ為等腰直角三角形，則橢圓的離心率為.

題型07角度問(wèn)題

22

【典例7-1】?（23-24高三下?上海青浦?階段練習(xí)）已知耳片（c,0）為雙曲線C:二-2=l（a>0,b>0）

ab

的兩個(gè)焦點(diǎn)，尸為C虛軸的一個(gè)端點(diǎn)，4尸6=120。，則C的漸近線方程為.

22

【變式7-1】.（2023?上海閔行?模擬預(yù)測(cè)）己知橢圓與+為=1（“>6>0）的左右焦點(diǎn)分別為耳,鳥，橢圓存

ab

在一點(diǎn)P,若N￡P(guān)B=120,則橢圓的離心率取值范圍為（）

題型08向量問(wèn)題

2

【典例8-1].（2024?上海閔行二模）雙曲線「尤2-21=1的左右焦點(diǎn)分別為久、K,過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與

6

「相交于4B兩點(diǎn)，若閨回=2|與4],則鳥4書3=.

【變式8-1】.（23-24高三下?上海?階段練習(xí)）設(shè)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線y=4無(wú)的焦點(diǎn)，A是拋物線上

一點(diǎn)，若O4A尸=-4,則點(diǎn)A的個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

題型09與數(shù)列結(jié)合問(wèn)題

【典例9-1].（2024?上海?三模）已知橢圓C的焦點(diǎn)用、尸2都在x軸上，尸為橢圓C上一點(diǎn)，尸片外的周長(zhǎng)

為6,且閨居|「閭成等差數(shù)列，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

【變式.（2020?上海?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列｛。,｝的前〃項(xiàng)和為S,,%=3,5“=34,+|+1（”€^^）已知公，

2（q_i、

F?是雙曲線C：上-9=1的左右焦點(diǎn)，p（〃eN*）,若此上周-上閭對(duì)“eN*恒成立，則實(shí)數(shù)

方的取值范圍是.

題型10空間中軌跡問(wèn)題

【典例10-1].（23-24高三下.上海?開學(xué)考試）已知四棱錐P-45co的底面為矩形，尸￡），平面ABC。，點(diǎn)

。為側(cè)棱抬（不含端點(diǎn)的線段）上動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)。在平面P3C上的射影在（）

A.棱尸8上B.△P3C內(nèi)部C.△P3C外部D.不確定

【變式10-1].（2023?上海閔行?一模）已知點(diǎn)尸在正方體ABC。-ABIGR的表面上，尸到三個(gè)平面ABC。、

AD0A、A叫人中的兩個(gè)平面的距離相等，且尸到剩下一個(gè)平面的距離與尸到此正方體的中心的距離相等，

則滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為.

題型11選擇壓軸辨析題

【典例11-1].（23-24高三上.上海寶山?期末）考慮這樣的等腰三角形：它的三個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓

C:1+y2=im>i）上，且其中恰有兩個(gè)頂點(diǎn)為橢圓c的頂點(diǎn).關(guān)于這樣的等腰三角形有多少個(gè)，有兩個(gè)命題:

a

命題①：滿足條件的三角形至少有12個(gè).命題②：滿足條件的三角形最多有20個(gè).關(guān)于這兩個(gè)命題的真假有

如下判斷，正確的是（）

A.命題①正確；命題②錯(cuò)誤.B.命題①錯(cuò)誤；命題②正確.

C.命題①，②均正確.D.命題①，②均錯(cuò)誤.

【變式11-1].（2023?上海青浦?一模）定義：如果曲線段C可以一筆畫出，那么稱曲線段C為單軌道曲線，

比如圓、橢圓都是單軌道曲線；如果曲線段C由兩條單軌道曲線構(gòu)成，那么稱曲線段C為雙軌道曲線.對(duì)

于曲線r+1）2+產(chǎn)J（x-1）2+產(chǎn)=向加>0）有如下命題:P：存在常數(shù)加，使得曲線「為單軌道曲線；

存在常數(shù)機(jī)，使得曲線「為雙軌道曲線.下列判斷正確的是（）.

A.P和q均為真命題B.P和4均為假命題

C.P為真命題，4為假命題D.P為假命題，4為真命題

【變式11-2].（23-24高三上?上海虹口?期末）已知曲線r的對(duì)稱中心為。，若對(duì)于r上的任意一點(diǎn)A,都

存在「上兩點(diǎn)8,C,使得。為VABC的重心，則稱曲線「為“自穩(wěn)定曲線”.現(xiàn)有如下兩個(gè)命題：

①任意橢圓都是“自穩(wěn)定曲線”；②存在雙曲線是“自穩(wěn)定曲線”.

則（）

A.①是假命題，②是真命題B.①是真命題，②是假命題

C.①②都是假命題D.①②都是真命題

【變式11-31.（2023?上海黃浦?三模）曲線C*：f+y*=4（*CUeQ）,下列兩個(gè)命題：

命題甲：當(dāng)左=；時(shí)，曲線與坐標(biāo)軸圍成的面積小于128；

命題乙：當(dāng)仁2”，〃eN-時(shí)，曲線圍成的面積總大于4；

下面說(shuō)法正確的是（）

A.甲是真命題，乙是真命題B.甲是真命題，乙是假命題

C.甲是假命題，乙是真命題D.甲是假命題，乙是假命題

*>----------題型通關(guān)?沖高考-----------O

一、填空題

1.（2024.上海.模擬預(yù)測(cè)）已知方程二+1=1表示的曲線是橢圓，則實(shí)數(shù)％的取值范圍是_________.

k—48—k

2.（2024?上海奉賢?一模）已知拋物線d=ayS>0）上有一點(diǎn)尸到準(zhǔn)線的距離為6,點(diǎn)P到x軸的距離為4,

則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.

3.（2024?上海楊浦?一模）中國(guó)探月工程又稱“嫦娥工程”，是中國(guó)航天活動(dòng)的第三個(gè)里程碑.在探月過(guò)程中，

月球探測(cè)器需要進(jìn)行變軌，即從一條橢圓軌道變到另一條不同的橢圓軌道上.若變軌前后的兩條橢圓軌道均

以月球中心為一個(gè)焦點(diǎn)，變軌后橢圓軌道上的點(diǎn)與月球中心的距離最小值保持不變，而距離最大值擴(kuò)大為

變軌前的4倍，橢圓軌道的離心率擴(kuò)大為變軌前的2.5倍，則變軌前的橢圓軌道的離心率為.（精

確到0.01）

22

4.（2024.上海閔行.一模）已知耳、罵分別為橢圓L+上=1的左、右焦點(diǎn)，過(guò)百的直線交橢圓于A、3兩

42

點(diǎn).若秋?隹=0,則在包g=.

5.（2024.上海浦東新.三模）已知點(diǎn)A、B位于拋物線丁=2力（0>0）上，|AB|=20,點(diǎn)M為線段.的中

點(diǎn)，記點(diǎn)/到y(tǒng)軸的距離為壯若d的最小值為7,則當(dāng)1取該最小值時(shí)，直線43的斜率左（左>。）為.

6.（2024.上海奉賢.三模）已知正方體ABCZ）-A8C2的棱長(zhǎng)為3,E2,心為正方形ABCD邊上

的七個(gè)兩兩不同的點(diǎn).若對(duì)任意的點(diǎn)片，存在點(diǎn)4""e{l,2,，口,*））.使得直線44與平面4月4以及平

面CREj所成角大小均為聿，則正整數(shù)k的最大值為.

二、單選題

22

7.（2023?上海嘉定?三模）已知雙曲線「:二-2=1（。>0,6>0）的離心率為e,點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0力），若「上

ab

的任意一點(diǎn)尸都滿足|尸卻乂，則（）

A1/J+百R1+6

A.[<e<--------B.e>-------

22

「I,z1+小n.1+^5

C.l<e<-------u.e>-------

22

2222

8.（2022.上海黃浦.二模）將曲線R+卷=l（Q0）與曲線5+1_=l（xW0）合成的曲線記作C.設(shè)％為實(shí)

數(shù)，斜率為左的直線與C交于A8兩點(diǎn)，尸為線段"的中點(diǎn)，有下列兩個(gè)結(jié)論：①存在左,使得點(diǎn)尸的軌

跡總落在某個(gè)橢圓上；②存在心使得點(diǎn)尸的軌跡總落在某條直線上，那么（）.

A.①②均正確B.①②均錯(cuò)誤

C.①正確，②錯(cuò)誤D.①錯(cuò)誤，②正確

熱點(diǎn)題型?選填題攻略

專題09平面解析幾何(H^一大題型)

?>-----------題型歸納?定方向-----------O

題型012021-2025年高考+春考真題............................................................1

題型02直線與方程...........................................................................8

題型03圓與方程..............................................................................9

題型04圓與方程的應(yīng)用.......................................................................10

題型05圓錐曲線的概念辨析...................................................................15

題型06圓錐曲線的綜合應(yīng)用...................................................................17

題型07角度問(wèn)題.............................................................................21

題型08向量問(wèn)題.............................................................................23

題型09與數(shù)列結(jié)合問(wèn)題.......................................................................24

題型10空間中軌跡問(wèn)題.......................................................................25

題型11選擇壓軸辨析題.......................................................................27

?>-----------題型探析?明規(guī)律----------?>

【解題規(guī)律?提分快招】

1、判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法

(1)幾何法：利用d與r的關(guān)系.

(2)代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用A判斷.

(3)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過(guò)定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交.

2、根據(jù)條件求橢圓方程的主要方法

(1)定義法：根據(jù)題目所給條件確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足橢圓的定義.

(2)待定系數(shù)法：根據(jù)題目所給的條件確定橢圓中的a,b.當(dāng)不知焦點(diǎn)在哪一個(gè)坐標(biāo)軸上時(shí)，一般可設(shè)所求橢

圓的方程為mx2+ny2=l(m>0,n>0,n#n),不必考慮焦點(diǎn)位置，用待定系數(shù)法求出m,n的值即可.

3、⑴雙曲線漸近線的求法：求雙曲線5T=l(a>0,b>0)的漸近線的方法是令*0,即得兩漸近線方

程

(2)在雙曲線的幾何性質(zhì)中重點(diǎn)是漸近線方程和離心率，在雙曲線，一g=l(a>0,方>0)中，離心率e與雙曲

h

線的漸近線的斜率仁土字滿足關(guān)系式e2=l+收

題型012021-2025年高考+春考真題

22

【典例1-1].(2025?上海)已知雙曲線三?-上[7=1(a>0)的左、右焦點(diǎn)分別為乃、F2.通過(guò)尸2且傾

ab-a

斜角為子的直線與雙曲線交于第一象限的點(diǎn)4延長(zhǎng)AF2至B使得乃.若AB乃放的面積為3a，

則a的值為—愿

【分析】由題意作圖，根據(jù)三角形面積公式以及直線方程，結(jié)合雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，可得答案.

22

【解析】解：已知0-上丁=1，

ab-a

則廿=6-〃2>o,

解得，

又。^^=后

則，F(xiàn)2(V6,0)，

設(shè)B(XB,中)，

又ABBE的面積為3旄，

則S/kBF：1蔣，|yBl'1?^2|=76|yBl=3V6>

解得yB=-3,

由題意可得直線AB的斜率ta6班，

則方程為，

將中=-3代入上式，

則-3二五(XB-V6)，

解得xB=V6-V3，

22

由題意可得|AFi|-|AF2|=|AB|-|AF2|=|BF2|=7(V6-V3-V6)+(-3-0)=2A/3，

易知a=V3.

故答案為：Vs-

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了雙曲線的性質(zhì)，重點(diǎn)考查了雙曲線的定義，屬中檔題.

【典例1-2].(2024?上海)已知拋物線/=4x上有一點(diǎn)尸到準(zhǔn)線的距離為9,那么P到x軸的距離為_小歷

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合拋物線的定義，即可求解.

【解析】解：設(shè)P坐標(biāo)為（xo,yo）,

P到準(zhǔn)線的距離為9,即xo+l=9,解得xo=8,代入拋物線方程，可得，

故尸至【Jx軸的距離為472.

故答案為：4^2?

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查拋物線的定義，屬于基礎(chǔ)題.

【典例1-3].（2024?上海）直線x-y+l=0的傾斜角大小為45。.

【分析】求出直線的斜率，根據(jù)直線斜率與傾斜角的關(guān)系，即可求得傾斜角的大小.

【解析】解：由直線x-y+l=0變形得：>=尤+1,

設(shè)直線的傾斜角為a,即tana=l,

因?yàn)閍d[0,180°）,

所以a=45°.

故答案為：45°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線的傾斜角的求法，以及特殊角的三角函數(shù)值.熟練掌握直線傾斜角與斜率的關(guān)系

是解本題的關(guān)鍵，同時(shí)注意直線傾斜角的范圍，屬基礎(chǔ)題.

【典例1-4】.（2024?上海）三角形三邊長(zhǎng)為5,6,7,則以邊長(zhǎng)為6的兩個(gè)頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，過(guò)另外一個(gè)頂點(diǎn)

的雙曲線的離心率為3.

【分析】利用雙曲線的定義、離心率的計(jì)算公式即可得出結(jié)論.

【解析】解：由雙曲線的定義，2c=6,2a=2,

解得c=3,a=\,

.-.e=—=3.

a

故答案為：3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了雙曲線的定義、離心率的計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

【典例1-5].（2023?上海）已知圓f+y2-4x-m=0的面積為兀，則m=-3.

【分析】先把圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再結(jié)合圓的半徑為1求解即可.

【解析】解：圓/+9-4x-?；癁闃?biāo)準(zhǔn)方程為：（x-2）?+;/=4+機(jī)，

..,圓的面積為兀，.?.圓的半徑為1,

.,.4+m=L

.*.m=-3.

故答案為：-3.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題.

【典例1-6].（2023?上海）已知圓C的一般方程為f+2了+廿=0,則圓C的半徑為1.

【分析】把圓C的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，可得圓C的圓心和半徑.

【解析】解：根據(jù)圓C的一般方程為W+2x+/=0,可得圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+1）2+y2=l,

故圓C的圓心為（-1,0）,半徑為1,

故答案為：1.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓的一般方程和標(biāo)準(zhǔn)方程，屬基礎(chǔ)題.

2

【典例1-7].（2022?上海）已知PiCxi,yi）,P2（X2,"）兩點(diǎn)均在雙曲線「^—-^=1（?>0）的右

a

支上，若xix2>yiy2恒成立，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍為:1,+8）.

【分析】取尸2的對(duì)稱點(diǎn)（X2,-"），結(jié)合xix2>yiy2,可得op；?op；>0,然后可得漸近線夾角N

MON490。,代入漸近線斜率計(jì)算即可求得.

【解析】解：設(shè)尸2的對(duì)稱點(diǎn)尸3（X2,-"）仍在雙曲線右支，由XLX2>yiy2,

得x\x2-yiy2>0,即op；?op；>0恒成立，

:.NP1OP3恒為銳角,即NMONS90。,

其中一條漸近線尸2X的斜率工揖,

aa

a>\,

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍為口，+8）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了雙曲線的性質(zhì)，是中檔題.

2

【典例1-8].（2022?上海）雙曲線3_-/=1的實(shí)軸長(zhǎng)為6

9

【分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)可得〃=3,實(shí)軸長(zhǎng)為2〃=6.

2

【解析】解：由雙曲線工一-/=1,可知：。=3,

9

所以雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)2a=6.

故答案為：6.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.

【典例1-9].（2021?上海）直線x=-2與直線?x-y+l=0的夾角為—

6

【分析】先求出直線的斜率，可得它們的傾斜角，從而求出兩條直線的夾角.

【解析】解：?.?直線x=-2的斜率不存在，傾斜角為

2

直線J§x-y+l=0的斜率為?，傾斜角為《，

故直線x=-2與直線我x-y+l=o的夾角為?，

236

故答案為：—.

6

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線的斜率和傾斜角，兩條直線的夾角，屬于基礎(chǔ)題.

【典例1.10】.（2021?