大題仿真卷06（A組+B組+C組）

（模式：5道解答題滿(mǎn)分：78分限時(shí)：70分鐘）

?>-------A組.鞏固提升----------O

一、解答題

1.已知AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,C,且耳=2csinA.

⑴求sinC的值；

⑵若c=3,求AABC面積S的最大值.

2.在如圖所示的圓錐中底面半徑為2,尸是頂點(diǎn)，。是底面的圓心，4、8是圓周上兩點(diǎn)，且OALOB.

⑴若圓錐的側(cè)面積為6兀，求圓錐的體積；

⑵設(shè)圓錐的高為2,M是線(xiàn)段AB上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足PMLAB,求直線(xiàn)PM與平面POB所成角的大小.

3.某區(qū)體育老師為了了解初中學(xué)生的性別和喜歡籃球是否有關(guān)，隨機(jī)調(diào)查了該區(qū)1000名初中學(xué)生，得到

成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的分類(lèi)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，如下表所示：

是否喜歡籃球

性別合計(jì)

喜歡不喜歡

男生350250600

女生250150400

合計(jì)6004001000

⑴依據(jù)a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為該區(qū)初中學(xué)生的性別與喜歡籃球有關(guān)聯(lián)；

⑵用按性別比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法從參與調(diào)查的，喜歡籃球的600名初中學(xué)生中抽取12名學(xué)生做

進(jìn)一步調(diào)查，將這12名學(xué)生作為一個(gè)樣本，從中隨機(jī)抽取3人，用X表示隨機(jī)抽取的3人中女生的人數(shù),

求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

附：參考數(shù)據(jù)

2n(ad-bc^

Z/+加+4…地+而其中n-a+b+c+d-

a0.10.050.010.0050.001

xa2.7063.8416.6357.87910.828

4.已知圓。:一+/=1,雙曲線(xiàn)r：尤2一與=1,直線(xiàn)/：y=H+〃,其中1eR,b>0.

b

(1)當(dāng)6=2時(shí)，求雙曲線(xiàn)r的離心率；

(2)若/與圓o相切，證明：/與雙曲線(xiàn)r的左右兩支各有一個(gè)公共點(diǎn)；

⑶設(shè)/與y軸交于點(diǎn)p,與圓。交于點(diǎn)A、B,與雙曲線(xiàn)r的左右兩支分別交于點(diǎn)c、D,四個(gè)點(diǎn)從左至右

依次為C、A、B、D.當(dāng)％=變時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)6,使得西.定=麗.麗成立？若存在，求出6的值；

2

若不存在，說(shuō)明理由.

5.九章算術(shù)是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，斑斕奪目的數(shù)學(xué)知識(shí)中函數(shù)尤為耀眼，加上數(shù)列知識(shí)的

加持，猶如錦上添花.下面讓我們通過(guò)下面這題來(lái)體會(huì)函數(shù)與數(shù)列之間的聯(lián)系.已知〃x)=lnx+J,

g(x)=/(x)-x.

⑴求函數(shù)“X)的單調(diào)區(qū)間

(2)若數(shù)列”“=e”(e為自然底數(shù))，bn=f(an),Sn=b｝+b3+b5+--+b2n_l,北=￡⑥，5eN*,求使得不

Z=1

等式：e〃2+S,>e7；成立的正整數(shù)〃的取值范圍

⑶數(shù)列｛1｝滿(mǎn)足。<4<1，，向=/(%)，〃?^^證明：對(duì)任意的〃?^^8卜［?。?lt;0.

O---------------B組?能力強(qiáng)化----------?>

一、解答題

1.在直四棱柱A5CD—ABIG，中，AB//CD,ABA.AD,AB=2,AZ>=3,DC=4

⑴求證：48〃平面。CGQ；

⑵若四棱柱ABCD-A4GQ體積為36,求二面角\-BD-A大小.

2.已知函數(shù)/（r）=-2sin（x+2（p）,網(wǎng)<々.

（1）若函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，求。的值，并求函數(shù)/■（%）的單調(diào)減區(qū)間;

7Tjr

（2）當(dāng)。=-工時(shí)，若存在xeo.-,使等式r（x）-〃x）+機(jī)=0成立，求實(shí)數(shù)優(yōu)的取值范圍.

O

3.某校準(zhǔn)備在體育鍛煉時(shí)間提供三項(xiàng)體育活動(dòng)供學(xué)生選擇.為了解該校學(xué)生對(duì)"三項(xiàng)體育活動(dòng)中要有籃球”

這種觀(guān)點(diǎn)的態(tài)度（態(tài)度分為同意和不同意），隨機(jī)調(diào)查了200名學(xué)生，得到的反饋數(shù)據(jù)如下：（單位：人）

男生女生合計(jì)

同意7050120

不同意305080

合計(jì)100100200

⑴能否有95%的把握認(rèn)為學(xué)生對(duì)"三項(xiàng)體育活動(dòng)中要有籃球”這種觀(guān)點(diǎn)的態(tài)度與性別有關(guān)？

⑵假設(shè)現(xiàn)有足球、籃球、跳繩這三項(xiàng)體育活動(dòng)供學(xué)生選擇.

①若甲、乙兩名學(xué)生從這三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)中隨機(jī)選一種假設(shè)他們選擇各項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的概率相同并且相互獨(dú)立互不影

響.記事件A為“學(xué)生甲選擇足球"，事件B為"甲、乙兩名學(xué)生都沒(méi)有選擇籃球"，求并判斷事件A,

B是否獨(dú)立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

②若該校所有學(xué)生每分鐘跳繩個(gè)數(shù)X?N085,169）.根據(jù)往年經(jīng)驗(yàn)，該校學(xué)生經(jīng)過(guò)訓(xùn)練后，跳繩個(gè)數(shù)都有

明顯進(jìn)步.假設(shè)經(jīng)過(guò)訓(xùn)練后每人每分鐘跳繩個(gè)數(shù)比開(kāi)始時(shí)個(gè)數(shù)均增加10個(gè)，若該校有1000名學(xué)生，請(qǐng)預(yù)

估經(jīng)過(guò)訓(xùn)練后該校每分鐘跳169個(gè)以上的學(xué)生人數(shù)（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）.

參考公式和數(shù)據(jù)：/2=7―"匕尻）其中〃=a+b+c+d,P（z2>3,841）^0.05.若

X?N（MQ2）,p（|x-4<o'卜0.6827,尸（國(guó)-“<2o■卜0.9545,P（|X-“<3」卜0,9973.

22

4.已知橢圓C:土+2=1（0＜8＜2）,設(shè)過(guò)點(diǎn)AQ,。）的直線(xiàn)/交橢圓C于跖N兩點(diǎn)，交直線(xiàn)x=4于點(diǎn)P,點(diǎn)

4b

E為直線(xiàn)尤=1上不同于點(diǎn)A的任意一點(diǎn).

⑴橢圓C的離心率為求6的值；

（2）若IAMIZ1,求6的取值范圍；

⑶若6=1,記直線(xiàn)EM,EN,砂的斜率分別為尤，K，耳，問(wèn)是否存在尢，k2,%的某種排列牖，%,

期（其中用中間={L2,3},使得的，ki2,如成等差數(shù)列或等比數(shù)列？若存在,寫(xiě)出結(jié)論，并加以證明;

若不存在，說(shuō)明理由.

5.設(shè)函數(shù)y=〃x）的定義域?yàn)?。，若存在?shí)數(shù)左，使得對(duì)于任意xe。，都有左，則稱(chēng)函數(shù)y=

有上界，實(shí)數(shù)％的最小值為函數(shù)y=/（x）的上確界；記集合叫={/（引丫=與在區(qū)間（。,+8）上是嚴(yán)格增

函數(shù)};

2

（1）求函數(shù)＞=—；（2〈尤＜6）的上確界；

⑵若/（X）=d-欣+2xlnxeM,求〃的最大值；

⑶設(shè)函數(shù)y=一定義域?yàn)椋ā?+“）；若〃耳€河2,且'=〃”有上界，求證：〃“＜。，且存在函數(shù)

y=f（x）,它的上確界為o；

0----------------C組?高分突破-----------?＞

一、解答題

1.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)面是正三角形，側(cè)面底面是

尸8的中點(diǎn).

⑴求證：平面P2C；

（2）求側(cè)面PCD與底面ABCD所成二面角的正切值.

hA-9hx

2.已知函數(shù)/（%）=空&-—4（。＞0/wl）是定義在R上的奇函數(shù).

b+2b

⑴求〃x）的解析式；

⑵存在尤e[2,3],使得“（X）22'-2成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

3.網(wǎng)購(gòu)生鮮蔬菜成為很多家庭日常消費(fèi)的新選擇.某小區(qū)物業(yè)對(duì)本小區(qū)三月份參與網(wǎng)購(gòu)生鮮蔬菜的家庭的

網(wǎng)購(gòu)次數(shù)進(jìn)行調(diào)查，從一單元和二單元參與網(wǎng)購(gòu)生鮮蔬菜的家庭中各隨機(jī)抽取10戶(hù)，分別記為A組和2組，

這20戶(hù)家庭三月份網(wǎng)購(gòu)生鮮蔬菜的次數(shù)如下圖:

4組8組

9805

87531124

9621478

03359

假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且各戶(hù)網(wǎng)購(gòu)生鮮蔬菜的情況互不影響.

⑴從一單元和二單元參與網(wǎng)購(gòu)生鮮蔬菜的家庭中各隨機(jī)抽取1戶(hù)，記這兩戶(hù)中三月份網(wǎng)購(gòu)生鮮蔬菜次數(shù)大

于20的戶(hù)數(shù)為X,估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望同X］：

⑵從A組和2組中分別隨機(jī)抽取2戶(hù)家庭，記《為A組中抽取的兩戶(hù)家庭三月份網(wǎng)購(gòu)生鮮蔬菜次數(shù)大于20

的戶(hù)數(shù)，2為B組中抽取的兩戶(hù)家庭三月份網(wǎng)購(gòu)生鮮蔬菜次數(shù)大于20戶(hù)數(shù)，比較方差。［均與。底］的大

小.

2

4.已知拋物線(xiàn)n：y2=4x,r2:y=2x,直線(xiàn)/交拋物線(xiàn)「I于點(diǎn)A、D,交拋物線(xiàn)一于點(diǎn)3、C,其中點(diǎn)A、

B位于第一象限.

⑴若點(diǎn)A到拋物線(xiàn)口焦點(diǎn)的距離為2,求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

(2)若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,4),且線(xiàn)段AC的中點(diǎn)在x軸上，求原點(diǎn)。到直線(xiàn)/的距離；

(3)若羽=2麗，求△AOD與ABOC的面積之比.

5.設(shè)f>l,n>l,?eN,若正項(xiàng)數(shù)列｛〃“｝滿(mǎn)足;a.<%+i<。"，則稱(chēng)數(shù)列｛外｝具有性質(zhì)"?⑺".

⑴設(shè)根21,〃zeN,若數(shù)列10,7,m,4,3具有性質(zhì)"⑵"，求滿(mǎn)足條件的機(jī)的值；

⑵設(shè)數(shù)列｛〃”｝的通項(xiàng)公式為4問(wèn)是否存在?使得數(shù)列｛〃”｝具有性質(zhì)"尸⑺"？若存在，求出滿(mǎn)

足條件的/的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

⑶設(shè)函數(shù)y=〃尤)的表達(dá)式為=ln(e*-l)-lnx,數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S”,且滿(mǎn)足生=|,

?,1+1=/(??)，證明：數(shù)列｛叫具有性質(zhì)"尸⑶"，并比較S“與1-5的大小.

大題仿真卷06（A組+B組+C組）

（模式：5道解答題滿(mǎn)分：78分限時(shí)：70分鐘）

就----------A組.鞏固提升------------?>

一、解答題

1.已知AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且&a=2csinA.

⑴求sinC的值;

⑵若c=3,求面積S的最大值.

【答案】（1）乎

⑵唯

4

【分析】（1）由正弦定理即可得sinC=E；

2

（2）由余弦定理結(jié)合重要不等式可得仍取值范圍，再由三角形的面積公式S/c=；MsinC可求出面積的

最大值.

【解析】（1）由題意可知，y/3a=2csinA,

由正弦定理得百sinA=2sinCsinA,

因?yàn)锳CG（0,TC）,所以sinAwO,

BPsinC=.

2

（2）由（1）可知sinC=走，

2

所以c=m或c=g.

在VABC中，由余弦定理得

AB2=AC2+BC2-2ACxBCcosC,

TT

當(dāng)C=§時(shí)，c=3,

9=b2+a2-lab--=b2+a2-ab>2ab-ab=ab,

2

當(dāng)且僅當(dāng)〃=b=3時(shí)取等號(hào)，即而49,

故VASC的面積SAABC=；〃bsinC=^-ab<^^--

當(dāng)。=?時(shí)，c=3,

9=/+/+lab--=b2+a2+ab>lab+ab=3ab,

2

當(dāng)且僅當(dāng)4=。=有時(shí)取等號(hào)，即而43,

故VASC的面積S=—absinC=^-ab<^^--

△ABC244

綜上所述，VA5C的面積最大值為冬叵.

4

2.在如圖所示的圓錐中底面半徑為2,尸是頂點(diǎn)，。是底面的圓心，A、B是圓周上兩點(diǎn)，且OALOB.

⑴若圓錐的側(cè)面積為6兀，求圓錐的體積；

⑵設(shè)圓錐的高為2,M是線(xiàn)段AB上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足PMLAB,求直線(xiàn)PM與平面尸08所成角的大小.

【答案】⑴手兀

(2)arctan

【分析】(1)由圓錐側(cè)面積公式求得母線(xiàn)長(zhǎng)，可得圓錐的高，進(jìn)而由圓錐的體積公式計(jì)算即可；

(2)由條件得點(diǎn)”是線(xiàn)段43中點(diǎn)，取。8中點(diǎn)N,則又PO1MN,所以平面尸03,

從而/MPN是直線(xiàn)與平面尸03所成的角，計(jì)算即可.

【解析】(1)設(shè)圓錐底面半徑為「，母線(xiàn)長(zhǎng)為/,r=2,

則側(cè)面積3=兀〃=2兀/=6兀，解得/=3,

于是圓錐的高po=《s=芯,

圓錐的體積V」兀X2?x^=述兀.

33

(2)中，PA=PB,PMLAB,則點(diǎn)Af是線(xiàn)段A3中點(diǎn),

取08中點(diǎn)N,連接MN,PN,則MN〃Q4,

又Q4_LO3,則M7V_LO3,

由直線(xiàn)尸O_L平面AOB,肱Vu平面A0B,得尸O_LACV,

結(jié)合M2V_LO3,且POnO8=O,P0,0Bu平面POB,

所以的V_L平面POB,

因此直線(xiàn)PN是PM在平面POB內(nèi)的射影，

從而NMPN是直線(xiàn)PM與平面POB所成的角，

■：ON=^OB=1,PO=2,:.PN7Po'ON?=亞，

又MN=goA=l,^tanZMPN=—=J^,

2PN5

所以Z.MPN=arctan-

5

即直線(xiàn)PM與平面尸08所成的角為arctan

5

3.某區(qū)體育老師為了了解初中學(xué)生的性別和喜歡籃球是否有關(guān)，隨機(jī)調(diào)查了該區(qū)1000名初中學(xué)生，得到

成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的分類(lèi)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，如下表所示:

是否喜歡籃球

性別合計(jì)

喜歡不喜歡

男生350250600

女生250150400

合計(jì)6004001000

(1)依據(jù)夕=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為該區(qū)初中學(xué)生的性別與喜歡籃球有關(guān)聯(lián)；

(2)用按性別比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法從參與調(diào)查的，喜歡籃球的600名初中學(xué)生中抽取12名學(xué)生做

進(jìn)一步調(diào)查，將這12名學(xué)生作為一個(gè)樣本，從中隨機(jī)抽取3人，用X表示隨機(jī)抽取的3人中女生的人數(shù),

求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

附：參考數(shù)據(jù)

2n(ad-bc^

Z/+加+4…地+而其中n-a+b+c+d-

a0.10.050.010.0050.001

xa2.7063.8416.6357.87910.828

【答案】⑴不能

(2)分布列見(jiàn)解析，：

【分析】(1)計(jì)算/,與。=0.05比較，根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的原理即可得結(jié)論；

(2)求出男生人數(shù)，根據(jù)超幾何分布的概率計(jì)算可得分布列，進(jìn)而求得數(shù)學(xué)期望.

【解析】(1)零假設(shè)：該區(qū)初中學(xué)生的性別與喜歡籃球無(wú)關(guān)，

1000(350xl50-250x250)2(35x15-25x25)2

則/?1.736<3.84b

600x400x600x40060x4x6x4

依據(jù)a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒(méi)有理由認(rèn)為假設(shè)不成立,

即不能認(rèn)為該區(qū)初中學(xué)生的性別與喜歡籃球有關(guān)聯(lián)；

(2)由題意按性別比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取的12名學(xué)生中男生有7名，女生有5名,

則X的取值可能為：0,1,2,3,

則尸(x=o)=/=￡,P(X=1)=/21

^12^^1244,

C2cl7cjc°_1

尸(x=°)=^=至，P(X=1)

C^2-22

故X的分布列為

X0123

72171

P

44石2222

791715

數(shù)學(xué)期望雙對(duì)小石+卜石+2x至+3x"i

2

4.已知圓。:/+丫2=1,雙曲線(xiàn)「：尤2直線(xiàn)/：丫=6+6,其中％eR,6>0.

(1)當(dāng)6=2時(shí)，求雙曲線(xiàn)「的離心率；

(2)若/與圓。相切，證明：/與雙曲線(xiàn)「的左右兩支各有一個(gè)公共點(diǎn)；

(3)設(shè)/與>軸交于點(diǎn)P,與圓。交于點(diǎn)A、B,與雙曲線(xiàn)「的左右兩支分別交于點(diǎn)C、D,四個(gè)點(diǎn)從左至右

依次為C、A、8、D.當(dāng)％=交時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)6,使得西?定=麗.而成立？若存在，求出6的值；

2

若不存在，說(shuō)明理由.

【答案】（1）百

（2）證明見(jiàn)解析

2

【分析】（1）根據(jù)離心率公式即可；

（2）聯(lián)立雙曲線(xiàn)和直線(xiàn)方程，根據(jù)韋達(dá)定理即可證明；

（3）聯(lián)立圓和直線(xiàn)方程，得到韋達(dá)定理式和判別式，再聯(lián)立雙曲線(xiàn)方程和直線(xiàn)方程，得到韋達(dá)定理和判別

式，再將向量點(diǎn)乘式化成橫坐標(biāo)關(guān)系，再代入化簡(jiǎn)即可.

【解析】（1）由題意，a2=l,b2=4,所以，°2=/+〃=5,

因此，雙曲線(xiàn)「的離心率e=$=6

a

⑵由直線(xiàn),與圓。相切‘得焉=［，即6=由＞。,

聯(lián)立

即d—2附x-26'O,

該一元二次方程的判別式△=4k乎+8b2=4b2卜2+2）＞0,

因此有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,

且兩根之積為-2。2＜0,因此兩根一正一負(fù),

即/與雙曲線(xiàn)r的左右兩支各有一個(gè)公共點(diǎn).

（3）設(shè)A（玉,%）,3（%2，%）,0（電，為＞。（尤4，%），

-2kb

X+X=---y

x+y=l,得（1+左2）*2+2左6無(wú)+匕2_1=0,勺2?1+k2

聯(lián)立得

y=kx+b、'b2-l

由4＞?？傻茫?.

2kb

_/_

X2一爐j得僅2_左2卜2_2如_2〃=0,

聯(lián)立得

-2b2

y=kx+b

lb--k2>0,

4＞0且分別交于左右兩支可得

b2-k2>0.

又麗?京=麗?麗，又c、A、B、。四個(gè)點(diǎn)在同一直線(xiàn)上,

困困=1網(wǎng)附=募=胃

二五=&,還可得三=巴

x2x3玉x4

-2kb\2kb丫

"人b~~k2)…臨…EHTB俎._2b~_b--1

b2-l-2b2F+lk2-b2

]+k2b2-k2

%=正代入后化簡(jiǎn)可得：4/+62一3=0,解得6=±3，由匕>0,得b=?

222

經(jīng)檢驗(yàn)，止匕時(shí)/與r兩支分別有交點(diǎn),

b=立為唯一滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)6.

2

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三問(wèn)的關(guān)鍵是多次聯(lián)立，得到韋達(dá)定理，再將向量式化簡(jiǎn)得五=①，即

x2x3

U+尤2)=(W+Z),再代入韋達(dá)定理式計(jì)算即可.

xxx2x3x4

5.九章算術(shù)是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，斑斕奪目的數(shù)學(xué)知識(shí)中函數(shù)尤為耀眼，加上數(shù)列知識(shí)的

加持，猶如錦上添花.下面讓我們通過(guò)下面這題來(lái)體會(huì)函數(shù)與數(shù)列之間的聯(lián)系.已知/(x)=lnx+',

g(x)=/(x)-x.

⑴求函數(shù)〃x)的單調(diào)區(qū)間

(2)若數(shù)歹S"=e"(e為自然底數(shù))，2=/(%)，Sn=bl+b3+b5+-+b2n_l,T“=￡b?,i,n?N*,求使得不

i=l

等式：e〃2+s“>e7；成立的正整數(shù)鼠的取值范圍

(3)數(shù)歹￡%}滿(mǎn)足O<G<1,c?+1=/(c?),“eN*.證明：對(duì)任意的〃eN*,g2ko.

ICn+2—Cn+3)

【答案】(1)答案見(jiàn)解析

(2){weN"|>e}

(3)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)利用分組求和法求S“Z，代入不等式運(yùn)算求解即可;

(3)利用導(dǎo)數(shù)可求得當(dāng)x>l時(shí)，g(x)<g⑴=0,結(jié)合根據(jù)函數(shù)/(x),g(x)的單調(diào)性分析證明.

【解析】(1)因?yàn)?r)=lnx+L定義域?yàn)?0,+s),且r(x)=L-』=4，

XXXX

令r(x)<0,解得0<x<l；令/'(x)>0,解得x><

所以函數(shù)/Xx)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+9).

(2)因?yàn)?=e",貝=/(a“)=lne“+4r="+ef,

e

可得=4+&+々---Hi=(l+e)+(3+e------1-[2〃—1+e仁〃。]

=(l+3+---+2n-l)+[e-1+e-3+---+e_(2M_1)J

〃(1+2”叫叫1-")[

2l-e-2

T*=￡*=%+4+%+…+甌=(2+e-2)+(4+L)+…+(2〃+e-2”)

i=l

=(2+4+---+2n)+(e-2+e-4???+e-2n)

n(2+2n)?叫“)[

21-e-2

即e/+/+二1一小

〃〃

對(duì)于不等式:加+Sn>eT“,>e(+l)+

整理得〃〉e,

所以使得不等式：en2+S?>e7；成立的正整數(shù)n的取值范圍卜￡N*|〃〉e}.

(3)因?yàn)間(x)=F(x)-％=lnx+L-%,的定義域?yàn)?0,+8),

x

且，，、11,-x2+x-lx2-x+lj+4c恒成立,

g(x)=------2-1=-----2—=-------2—=------f——<0

XXXXX

且g⑴=0,所以當(dāng)X>1時(shí)，g(尤)<g⑴=0,

由(1)可知數(shù)"X)在(0,1)單調(diào)遞減，在(1,+8)單調(diào)遞增，

因?yàn)镃]C（O,1）,所以°?=/（。）>1,c3=f（c2）>l,:"+i=/（g）＞l，

又因?yàn)間(x)<g(l)=O,則%+2-C"+1=/(C.+1)-C"+1<O,所以呢+2<c.+i，

又因?yàn)間(x)在(1,+C0)單調(diào)遞減，所以g(c“+2)>g(c?+l),

1,1,

cln

即+Inc?+2-?+2>+c”+i-c“+i,即0>cn+3-cn+2>cn+2-cn+l,

Cn+2Cn+\

所以CM-g+2>C.+2-C“+3>0,則g戶(hù)>1,所以j—「+2]<0.

Cn+2Cn+3\Cn+2~Cn+3J

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題，方法如下：

(1)直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式〃x)>g(x)(或)(x)<g(x))轉(zhuǎn)化為證明/(x)-g(x)>0(或

“X)-g(X)<0),進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)Mx)=/'(X)-g⑺；

(2)適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見(jiàn)放縮結(jié)論；

(3)構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).

g----------------B組?能力強(qiáng)化------------O

一、解答題

1.在直四棱柱ABCD-ABCQi中，ABHCD,ABLAD,AB=2,AD=3,OC=4

⑴求證：4瓦/平面。CCQ；

⑵若四棱柱ABCD-A瓦G2體積為36,求二面角A-BD-A大小.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析

6,2而

(2)arctan-----

3

【分析】(1)利用直四棱柱的性質(zhì)及線(xiàn)面平行的判定定理，可證平面A3片A〃平面DCG2,再由面面平

行的性質(zhì)定理，即可得證；

(2)先根據(jù)棱柱的體積公式求得AA，再利用二面角的定義，求解即可.

【解析】(1)由題意知，AAJIDD,,

因?yàn)锳A之平面DCCQ,平面。CCQ,

所以A41//平面。CCQ,

因?yàn)锳B//OC,且ABC平面DCCQ,DCu平面。CCQ,

所以AB〃平面DCCQ,

又A41nAs=A,AA、ABu平面A陽(yáng)A，

所以平面ABBiA//平面。CCQ,

因?yàn)锳Bu平面AB與4，

所以AB〃平面。CCQ.

(2)由題意知，底面A2CD為直角梯形，

所以梯形ABCD的面積S=(2+；＞3=9,

因?yàn)樗睦庵鵄BC。-A瓦的體積為36,

所以招=m=4,

過(guò)A作AE上或)于E,連接4足，

因?yàn)槔齙L平面ABC。，且B￡?u平面45cD,

所以

又A41nM=A,、AEu平面也再，

所以平面相E,

因?yàn)锳Eu平面AA]E,所以

所以Z^EA即為二面角A.-BD-A的平面角，

在RtZkABD中，AEBD=ABAD,

e、…ABAD2x36713

所以鉆=口八=r~7=不"，

BDV22+3213

F-C|..tanZAiEA=^-=^==^^-日口,“〉.2屈

所以AE6^/1^3,即Z^EA=arctan-------，

133

故二面角A.-BD-A的大小為arctan冬叵.

3

2.已知函數(shù)/(x)=-2sin(x+2(p),|^|<^.

⑴若函數(shù)〃尤)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，求。的值，并求函數(shù)〃尤)的單調(diào)減區(qū)間;

兀TT7T

(2)當(dāng)。=一自時(shí)，若存在xe0,-,使等式r(x)-/(x)+加=0成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

6o2

【答案】(1)答案見(jiàn)解析

C1

⑵一t

【分析】(1)根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性求出9,再根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)求出其單調(diào)遞減區(qū)間.

(2)先求出抬］,再換元,令尤)，而,等價(jià)為〃2=_/+/在我上成立，求出

二次函數(shù)的最值即得解.

【解析】(1)因?yàn)楹瘮?shù)〃x)=-2sin(x+2叫的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),

所以功J+EhZ'解得

又|夕|<］，所以展:或9=_

當(dāng)。弋時(shí)，/(x)=-2sinfx+j=-2cosx,

所以"%)的單調(diào)減區(qū)間為［-兀+2E,2E］,林Z；

當(dāng)夕=_:時(shí),/(x)=-2sin2cosx,

所以/(X)的單調(diào)減區(qū)間為［2E,71+2E］,keZ；

綜上可得：當(dāng)。弋時(shí)“對(duì)的單調(diào)減區(qū)間為［-兀+2E,2E］,左eZ；

當(dāng)9=一：時(shí)〃x)的單調(diào)減區(qū)間為［2杭兀+2E］,keZ.

71

(2)當(dāng)/=-/時(shí)/(x)=-2sinX~~

6

因?yàn)闊o(wú)e，所以-gwx-gvg,

_2J336

/.~~~-sin［--1--2sin^x-y^<A/3

所以〃x)e［T,括］,令/=〃x),

則等式fW-/(x)+m=0成立等價(jià)為機(jī)=_/+/在，已［-1,道］上成立,

2/1丫1

m=—t+t=—\t—H—，

I2j4

當(dāng)，=一1時(shí)，機(jī)取得最小值-2；當(dāng)/時(shí)，加取得最大值;,

24

故機(jī)的取值范圍是-4

3.某校準(zhǔn)備在體育鍛煉時(shí)間提供三項(xiàng)體育活動(dòng)供學(xué)生選擇.為了解該校學(xué)生對(duì)“三項(xiàng)體育活動(dòng)中要有籃球”

這種觀(guān)點(diǎn)的態(tài)度（態(tài)度分為同意和不同意），隨機(jī)調(diào)查了200名學(xué)生，得到的反饋數(shù)據(jù)如下：（單位：人）

男生女生合計(jì)

同意7050120

不同意305080

合計(jì)100100200

（1）能否有95%的把握認(rèn)為學(xué)生對(duì)“三項(xiàng)體育活動(dòng)中要有籃球”這種觀(guān)點(diǎn)的態(tài)度與性別有關(guān)？

（2）假設(shè)現(xiàn)有足球、籃球、跳繩這三項(xiàng)體育活動(dòng)供學(xué)生選擇.

①若甲、乙兩名學(xué)生從這三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)中隨機(jī)選一種假設(shè)他們選擇各項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的概率相同并且相互獨(dú)立互不影

響.記事件A為“學(xué)生甲選擇足球”，事件B為“甲、乙兩名學(xué)生都沒(méi)有選擇籃球”，求P（3|A）,并判斷事件

A,8是否獨(dú)立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

②若該校所有學(xué)生每分鐘跳繩個(gè)數(shù)X?N（185,169）.根據(jù)往年經(jīng)驗(yàn)，該校學(xué)生經(jīng)過(guò)訓(xùn)練后，跳繩個(gè)數(shù)都有

明顯進(jìn)步.假設(shè)經(jīng)過(guò)訓(xùn)練后每人每分鐘跳繩個(gè)數(shù)比開(kāi)始時(shí)個(gè)數(shù)均增加10個(gè)，若該校有1000名學(xué)生，請(qǐng)預(yù)

估經(jīng)過(guò)訓(xùn)練后該校每分鐘跳169個(gè)以上的學(xué)生人數(shù)（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）.

參考公式和數(shù)據(jù)：犬~"叱尸）其中〃=4+b+c+d,P（2>3.841）^0.05.若

［a+b）［c+d）［a+c）［b+d）'Z'

X?N（",吟,P（|X-//|<cr）~0.6827,尸2cr）。0.9545,尸<3cr）=0,9973.

【答案】（1）有關(guān)

2

⑵①尸（例㈤=§,不獨(dú)立，理由見(jiàn)解析；②977

【分析】（1）計(jì)算出卡方，即可判斷；

（2）①求出尸（A）,尸⑻，P（BA）,再由條件概率公式求出尸（8|A）,由相互獨(dú)立事件的定義即可判斷；

②由已知，經(jīng)過(guò)訓(xùn)練后每人每分鐘跳繩個(gè)數(shù)XLN（195,169）,根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)求出尸（%>182）,從而

估計(jì)出人數(shù).

【解析】（1）提出假設(shè)凡,：學(xué)生對(duì)該問(wèn)題的態(tài)度與性別無(wú)關(guān).

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可求得，K2=200x（70*50-50x30）2=25?8.333>3.841.

120x80x100x1003

因?yàn)楫?dāng)”0成立時(shí)，K2之3.841的概率約為0.05,

所以有95%的把握認(rèn)為，學(xué)生對(duì)該觀(guān)點(diǎn)的態(tài)度與性別有關(guān).

（2）①因?yàn)槭录嗀為“學(xué)生甲選擇足球”，事件B為“甲、乙兩名學(xué)生都沒(méi)有選擇籃球”,

所以事件為“學(xué)生甲選擇足球，學(xué)生乙不選擇籃球”，

17?419?

所以尸（A）="P（B）=-x-=-,P（AB）=-x-=-,

2

P（AB）9..2

所以尸（叫A）=

P（A）=J=3

3

因?yàn)槭ˋB）WP（A）P（B）,所以事件A、B不獨(dú)立.

②記經(jīng)過(guò)訓(xùn)練后每人每分鐘跳繩個(gè)數(shù)為X-

由已知，經(jīng)過(guò)訓(xùn)練后每人每分鐘跳繩個(gè)數(shù)及?N（195,169）.

因?yàn)?69=195-26,所以尸（%>169）=P（X|>〃一2b）=；+；xO.9545=0.97725.

所以0.97725x1000=977.257977（人）.

所以經(jīng)過(guò)訓(xùn)練后該校每分鐘跳169個(gè)以上人數(shù)約為977.

22

4.已知橢圓C:土+2=1（0<6<2）,設(shè)過(guò)點(diǎn)A（l,0）的直線(xiàn)/交橢圓C于M,N兩點(diǎn)，交直線(xiàn)尤=4于點(diǎn)P,點(diǎn)

4b1

E為直線(xiàn)％=1上不同于點(diǎn)A的任意一點(diǎn).

（1）橢圓C的離心率為《，求6的值；

⑵若求6的取值范圍；

（3）若6=1,記直線(xiàn)EM,EN,EP的斜率分別為匕,網(wǎng),問(wèn)是否存在k2,網(wǎng)的某種排列的,ki2,

如（其中&%%}={1，2,3},使得如，ki2,&3成等差數(shù)列或等比數(shù)列？若存在，寫(xiě)出結(jié)論，并加以證明；

若不存在，說(shuō)明理由.

【答案】⑴/

⑵詆2）

（3）左，%，心或勺，《成等差數(shù)列

c1

【分析】（1）根據(jù)題意可得。=2,結(jié)合e=￡=求得c,進(jìn)而求得8；

a2

（2）設(shè)點(diǎn)加（%,%）,表示出|AM|,結(jié)合可得玉4^^,結(jié)合-W2可得不等式，即可求得答

4—Z?

案；

（3）設(shè)點(diǎn)EQJ）,辦0,①若直線(xiàn)/斜率為0,直接驗(yàn)證；②直線(xiàn)/斜率不為0,設(shè)直線(xiàn)/：尤=盛+1（切片。），

3

/\/\7Vi—,%一/——t

N（w，%）,貝岫=trr，^=TT7,k3-mt,與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理求

%]1%21鼠3m__

33m

解.

【解析】(1)由題意知，/=4,故。=2,

「1_____

又離心率e="=5，故c=l,于是bNa2-c2=行

22

(2)設(shè)點(diǎn)加國(guó)M),其中血+與=1,一2V為V2且無(wú)產(chǎn)1,

4b

2bZ2b2

，只需24

4-b24-b2

又0<6<2,故應(yīng)。<2,

所以6的取值范圍是[五,2).

(3)人,月，心或履，匕，K成等差數(shù)列,證明如下:

若6=1,則C：H+y2=i,設(shè)點(diǎn)口1/）,”0.

4

①若直線(xiàn)/斜率為0,則點(diǎn)尸(4,0),不妨令點(diǎn)M(2,0),N(-2,0),

則％1=—，，k[=q,k3=——,止匕時(shí)后1,k2,%的任意排列勺1，勺2,%13均不成等比數(shù)列，k[,/，&或左2,

%，K成等差數(shù)列.

3

②直線(xiàn)/斜率不為0,設(shè)直線(xiàn)/：x=7"y+l(〃zw0),N(X2M,則點(diǎn)尸|4,

m

x=my+1

由2得（機(jī)之+4）/+2沖_3=0,A=16（m2+3）＞0,

14'

-2m

故M+%=

%%=版+4'

3

,y,—t,%—t——t

因?yàn)榫W(wǎng)=一，3-mt

%k=31_3f

3m

,,y.-ty-ty,-ty-t

所以…=岸+Q什R版9

二%(%-，)+。(%-。=2%%一心+必)

町為my^2

-62mt

=療+4+/+4=6-2制=2k,

-3m3m3,

m2+4

所以K，3h或與,所凡成等差數(shù)列.

綜合上述,%,%，92或右,月，匕成等差數(shù)列.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第三問(wèn)與數(shù)列進(jìn)行了綜合，關(guān)鍵在于判斷出結(jié)論，進(jìn)而證明.先由直線(xiàn)/斜率為o

時(shí)，直接驗(yàn)證尢，%,右或右,k3,左成等差數(shù)列；直線(xiàn)/斜率不為。時(shí)，結(jié)合直線(xiàn)方程聯(lián)立橢圓方程，利

用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合進(jìn)行化簡(jiǎn)驗(yàn)證.

5.設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)椤?，若存在?shí)數(shù)3使得對(duì)于任意xeD,都有則稱(chēng)函數(shù)y=/(x)

有上界，實(shí)數(shù)上的最小值為函數(shù)y=〃x)的上確界；記集合以={〃x)>=與在區(qū)間(0,+8)上是嚴(yán)格增

函數(shù)};

2

(1)求函數(shù)y=——-(2<%<6)的上確界；

無(wú)一1

(2)若/(x)=x3一版2+2xlnxeM],求〃的最大值；

⑶設(shè)函數(shù)y=一定義域?yàn)?。,+巧；若〃x)e“2,且y=f("有上界，求證：/(%)<0,且存在函數(shù)

y=〃"，它的上確界為o；

【答案】(1)2

(2)4

(3)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)由函數(shù)的單調(diào)性求出值域再根據(jù)題意可得；

(2)求出的表達(dá)式，求導(dǎo)，再利用y=?在(0,+“)上嚴(yán)格遞增得到導(dǎo)函數(shù)大于等于零恒成立，

XX

然后利用基本不等式求出最小值即可；

(3)假設(shè)存在，由單調(diào)性可得J〉](I〉0，再取兀2>玉，且%2〉\可得I。)>"2J’推出

①②互相矛盾，然后令/(%)=-工,%>0,根據(jù)題意求出值域最后確定上確界即可.

X

o

【解析】(1)因?yàn)楹瘮?shù)>=「在區(qū)間(2,6)上嚴(yán)格遞減，

所以函數(shù)>=27(2<%<6)的值域?yàn)樽?21，

X-115)

2

所以函數(shù)y=--(2<x<6)的上確界為2.

x-1

(2)y==x2-to+21nx,y'=2無(wú)一/z+2,x>0,

xx

因?yàn)橛浖螹n={f(x)y=坐在區(qū)間(0,+8)上是嚴(yán)格增函數(shù)},

所以yN0恒成立，

因?yàn)?x-〃+2w2j2xx2-/z=4-/z,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)取等號(hào)，所以Y4,

xVx

所以分的最大值為4.

(3)證明：因?yàn)楹瘮?shù)y=〃x)有上界，設(shè)〃力《人,

假設(shè)存在不?。,+°°),使得/(尤o)上。，

設(shè)%＞為,

因?yàn)閥=/(x)eM2,所以y=駕在(0,+8)上嚴(yán)格遞增，進(jìn)而工里＞上出＞0,

X玉豌)

得/(現(xiàn))>0水>0,

取…，且。扁，

由于工2＞玉，得至!J/y＞/(J，①

x2%

1

由。忌，得與＞9號(hào)'②

顯然①②兩式矛盾，所以假設(shè)不成立,

即對(duì)任意x?0,+oo),均有〃x)＜0,

令"一%＞。，則—T

3

因?yàn)楫?dāng)%＞o時(shí)，y=—＞o,

%

所以y=4在(0,+8)上嚴(yán)格遞增，y=/(x)eM2,

x

因?yàn)?(%)=-L%＞。的值域?yàn)?-°°,o)，

x

所以函數(shù)〃尤)=-工的上確界為零.

X

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:

(1)第二問(wèn)的關(guān)鍵是導(dǎo)函數(shù)大于等于零恒成立，用基本不等式求解;

Ikx；再得到與與當(dāng)馬>%,得

(2)第三問(wèn)關(guān)鍵是根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)能夠想到取馬>

yfM玉x2x2

到等〉等矛盾.

o-----------c組?高分突破-----------<>

一、解答題

1.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABC。為正方形，側(cè)面