查漏知識(shí)02初中數(shù)學(xué)中考?？寄Ｐ?/p>

知識(shí)點(diǎn)概覽

目錄

知識(shí)一三角形中的倒角模型..........................................2

模型1.三角形中的倒角模型之Z”字模型.......................................................2

模型2.三角形中的倒角模型之“8”字模型.......................................................2

模型3.三角形中的倒角模型之燕尾模型........................................................3

模型4.三角形中的倒角模型之雙內(nèi)角角平分線模型.............................................3

模型5.三角形中的倒角模型之一內(nèi)角一外角雙角平分線模型.....................................4

模型6.三角形中的倒角模型之雙外角角平分線模型.............................................5

模型7.三角形中的倒角模型之高線與角平分線分線模型.........................................5

知識(shí)二全等三角形模型..............................................6

模型1.全等三角形模型之截長(zhǎng)補(bǔ)短模型........................................................6

模型2.全等三角形模型之倍長(zhǎng)中線模型........................................................7

模型3.全等三角形模型之一線三等角模型......................................................7

模型4.全等三角形模型之手拉手模型..........................................................8

模型5.全等三角形模型之半角模型...........................................................10

模型6.全等三角形模型之90。-90。對(duì)角互補(bǔ)型..................................................12

模型7.全等三角形模型之60。-120。對(duì)角互補(bǔ)型.................................................13

模型8.全等三角形模型a—180。%對(duì)角互補(bǔ)型.................................................14

模型9.全等三角形模型之正方形中的十字架型................................................15

知識(shí)三相似三角形模型.............................................16

模型1.相似三角形模型之"”字模型..........................................................16

模型2.相似三角形模型之“JT字模型（“8”字模型）.............................................17

模型3.相似三角形模型之“4臚字模型（“N8”字模型）..........................................17

模型4.相似三角形模型之“母子型”模型（共邊共角模型）......................................18

模型5.相似三角形模型之一線三等角模型.....................................................19

模型6.相似三角形模型之手拉手模型.........................................................20

模型7.相似三角形模型之半角模型...........................................................21

模型8.相似三角形模型之對(duì)角互補(bǔ)模型......................................................23

模型9.相似三角形模型之矩形中的十字架型..................................................25

模型10.相似三角形模型之等邊三角形中的斜十字型...........................................26

CGC

必記核心知識(shí)點(diǎn)

知識(shí)一三角形中的倒角模型

模型1.三角形中的倒角模型之“4”字模型

如圖，B、C分別是/D/E兩邊上的點(diǎn)，連結(jié)2C,形狀類似于英文字母4故我們把它稱為Z”字模型。

N1、/2分別為23、/4的外角;

結(jié)論:①/l+N2=N/+180°；@Z3+Z4=ZD+ZE

證明:@'：Zl=ZA+ZACB.,.Z1=Z^+18O°-Z2/1+/2=//+180°。

②在zUBC中，//+/3+/4=180。；在AADE中，ZA+ZD+ZE=1SO°：.Z3+Z4=ZD+ZE.,

模型2.三角形中的倒角模型之“8”字模型

條件：如圖1,AD,2C相交于點(diǎn)O,連接48、CD；結(jié)論：?ZA+ZB=ZC+ZD；②

AB+CD<AD+BC。

證明：在A48O中，ZA+ZB+ZAOB=\SO°；

在ACOZ）中，ZC+ZD+ZCOD=180。；

,/ZAOB=ZCOD：.ZA+ZB=ZC+ZD；

在AABO中，AB<AO+BO-,在AC。。中，CD<CO+DO；

：.AB+CD<AO+BO+CO+DO=AD+BC；：.AB+CD<AD+BC。

2）8字模型（加角平分線）

條件：如圖2,線段NP平分N34D,線段CP平分/BCD；結(jié)論：2NP=NB+ND

證明：?線段/尸平分/胡。，線段CP平分/BCDZBAP=ZPAD,/BCP=/PCD

VZBCP+ZP=ZBAP+ZB①ZPAD+ZP=ZPCD+ZD②

①+②得2NP=N3+ND,貝UNP=；(N8+ZD),2ZP=ZB+ZD

模型3.三角形中的倒角模型之燕尾模型

圖1圖2

基本模型：條件：如圖1,凹四邊形N3CA；結(jié)論：?ZBCD=ZA+ZB+ZD；②AB+AD>BC+CD。

證明：連接/C并延長(zhǎng)至點(diǎn)尸；在A42C中，ZBCP=ZBAC+ZB；在△44CD中，ZDCP=ZCAD+ZD；

又；NBAD=/BAC+/DAC,ZBCD=ZBCP+ZDCP；：,ZBAD+ZB+ZD=ZBCDo

延長(zhǎng)2c交/。于點(diǎn)尸；在A420中，AB+AQ>BC+CQ；在△CD0中，CQ+QD>CD。

即：AB+AQ+CQ+QD>BC+CQ+CD,ikAB+AD>BC+CDQ

拓展模型1：條件：如圖2,8。平分N/8C,平分N/DC；結(jié)論：ZO=1（N/+/C）。

2

證明：平分//8C,OD平分//DC；AZABO=^-ZABC；/ADO=L/ADC；

22

根據(jù)飛鏢模型：ZBOD=ZABO+ZADO+ZA=LZABC+1ZADC+ZA；ZBCD=ZABC+ZADC+ZA；

22

：.2ZBOD=ZABC+ZADC+2ZA=ZBCD+ZA；即N。/（N/+NC）。

2

模型4.三角形中的倒角模型之雙內(nèi)角角平分線模型

1）兩內(nèi)角平分線的夾角模型

條件：如圖1,在△NBC中，//2C和的平分線BP,CP交于點(diǎn)尸；結(jié)論：/尸=90。+；//。

證明：：/4BC和//C5的平分線AP,CP交于點(diǎn)、P,：.NPBC=g/4BC,NPCB=g/ACB。

：.ZP^180°-(NPBC+NPCB)=180°-1(ZABC+ZACB)=180°-1(180°-ZA)=90。+-ZA

222

2)凸多邊形雙內(nèi)角平分線的夾角模型1

條件：如圖2,BP、CP平分/4BC、/DCB,兩條角平分線相交于點(diǎn)尸；結(jié)論：2NP=/4+/D。

證明："：BP、CP平分/ABC、ZDCB,：.ZPBC=-ZABC,ZPCB=-ZDCB

22o

AZP=180°-(ZPBC+ZPCB)=180°-1(NABC+/DCB)=180°--(360°-ZA-ZD)=-(ZA+

222

ND)。即：2ZP=ZA+ZDc

3)凸多邊形雙內(nèi)角平分線的夾角模型2

條件：如圖3,CP、DP平分/BCD、ZCDE,兩條角平分線相交于點(diǎn)P；結(jié)論：

2ZP=ZA+ZB+ZE-180°=

證明：；CP、DP平分/BCD、ZCDE,：.ZPCD=^ZBCD,ZPDC=^ZCDEo

；./尸=180°-(/PCD+NPDC)=180°-1(/BCD+/CDE)=180°-1(540°-ZA-ZD-ZE)=/A+

22

即：

ZD+ZE-90°O12ZP=ZA+ZDO+ZE-1SO°

模型5.三角形中的倒角模型之一內(nèi)角一外角雙角平分線模型

1)一個(gè)內(nèi)角一個(gè)外角平分線的夾角模型

條件:如圖1,在A48C中,8尸平分48GCP平分NNC8的外角，兩條角平分線相交于點(diǎn)尸;結(jié)論：=

證明：?:BP、CP平分N/8C、/ACD,：.ZPBC=-ZABC,ZPCD=-ZACD

22o

AZP=ZPCD-ZPBC=-(ZACD-ZABC)=-ZA

22'

2)一個(gè)內(nèi)角一個(gè)外角平分線的夾角模型(累計(jì)平分線)

條件：如圖2,"a,ZABC,N/CD的平分線相交于點(diǎn)4，/片8口/月。的平分線相交于點(diǎn)￡,

NP?BC,的平分線相交于點(diǎn)鳥……以此類推；結(jié)論：/匕的度數(shù)是美.

證明：；陰、CPi平分N4BC、ZACD,：.ZPBC=^ZABC,ZPCD=^ZACDo

AZP}=ZPlCD-ZP]BC=L(/ACD-/ABC)=LzA^La同理：ZP2=1ZP^J-a,/P,產(chǎn)幺

2222222"

模型6.三角形中的倒角模型之雙外角角平分線模型

I)兩外角平分線的夾角模型

條件：如圖1,在△N8C中，BO,CO是418。的外角平分線；結(jié)論：ZO=90°-^ZA.

證明：:BO、CO平分NCBE、ZBCF,：.ZOBC=-ZEBC,ZOCB=-ZBCF

22o

AZO=180°-(ZOBC+ZOCB)=180°-1(/EBC+/BCF)=180°--(ZA+ZACB+ZABC+ZA)

22

=180°-1(180°+/4)=90°+-ZA

22

2)旁心模型旁心：三角形的一條內(nèi)角平分線與其他兩個(gè)角的外角平分線交于一點(diǎn)

條件：如圖2,BD平分/ABC,CD平分N/C5的外角，兩條角平分線相交于點(diǎn)A結(jié)論：AD平分/

CADo

證明：如圖3,過點(diǎn)。作DNLAC、DHLBC,

,:BD平分N/8C,CD平分/NC8的外角，

：.DH=DM,DH=DN,：.DM=DN,二/。平分NG4D。

模型7.三角形中的倒角模型之高線與角平分線分線模型

1)條件：如圖1,在O8C中，AD,/E分別是AZBC的高和角平分線，結(jié)論：NDAE=g(ZC-/B).

2)條件：如圖2,尸為。BC的角平分線NE的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，EDL8C于。，結(jié)論：

NDFA=g(NC-NB).

AA

A

JB

"FF

圖1圖2

1)證明：平分N8/C,；.NE4C=gNBAC,

?：ZBAC=1800-ZB-ZC,：.NE/C=J(180°-NB-NC)=90°-|z5-1zC,

/.ZEAD=ZEAC-ZDAC=90°-|zc-(900-ZC)=1(ZC-Z5);

ZEAG=^(ZC-ZB),

2)證明：如圖，過A作NG_L8c于G,由(2)可知:

■.■AGIBC,ZAGB=90°,FDIBC,:.ZFDC=90°,:.ZAGD=ZFDC,:.FD//AG,

ZAFD=ZEAG,ZAFD=1(ZC-Z5).

知識(shí)二全等三角形模型

模型1.全等三角形模型之截長(zhǎng)補(bǔ)短模型

A

?BZ^——

BDLBD

，/

c，

條件：4D為的角平分線，ZB=2ZCo結(jié)論：AB+BD=ACo

證明：法1(截長(zhǎng)法)：在線段NC上截取線段/夕=/瓦連接。及

為A42C的角平分線，/.ZBAD=ZB'AD,'：AD=AD.,：.AABD^AABfD(SAS)

:./B=N4B'D,BD=B'D,VZS=2ZC,:./AB'D=2/C,；./AB'D=2NC,：.ZBfDC=ZC,

C.B'C^B'D,：.BD=B'C,\'AB'+B'C^AC,：.AB+BD=AC.

法2(補(bǔ)短法)：延長(zhǎng)48至點(diǎn)。使得NC=/C,連接2。。

為AIBC的角平分線，/.ZC'AD=ZCAD,\'AD=AD,：.AC'AD^ACAD(SAS)

AZC=ZC,,:NB=2/C,：.ZB=2ZC,/.ZBDC'=ZC,:.BC'=BD,

'：AB+BC'=AC,：.AB+BD=ACo

模型2.全等三角形模型之倍長(zhǎng)中線模型

1）倍長(zhǎng)中線模型（中線型）

證明：延長(zhǎng)/。至點(diǎn)￡,使連結(jié)CE。

為ZU5c的中線，：.BD=CD,VZBDA=ZCDE,：.AABD^AECD（SAS）

2）倍長(zhǎng)類中線模型（中點(diǎn)型）

條件：A48C中，。為BC邊的中點(diǎn)，E為AB邊上一點(diǎn)、（不同于端點(diǎn)）。結(jié)論：AEDB義MDC。

證明：延長(zhǎng)ED,DF=DE,連接CF。

?.?。為8c邊的中點(diǎn)，：.BD=DC,VZBDE=ZCDF,：.4EDB咨AFDC（SAS）

模型3.全等三角形模型之一線三等角模型

1）一線三等角（K型圖）模型（同側(cè)型）

銳角一線三等角直角一線三等角（“K型圖”）鈍角一線三等角

條件：NA=NCED=NB,AE=DE；結(jié)論：4ABE2ECD,AB+CD=BC.,

2）一線三等角（K型圖）模型（異側(cè)型）

銳角一線三等角直角一線三等角鈍角一線三等角

條件：ZDCF=ZABC=ZAED,AE=DE；結(jié)論："BE*ECD,AB-CD=BC.

1）（同側(cè)型）證明：:NAEC=NB+/BAE,ZB=ZAED,：.ZAEC=ZAED+ZBAE,

'：ZAEC=ZAED+ZCED,：,ZBAE=ZCED.

在和AECZ）中，ZB=ZC,ZBAE=ZCED,AE=ED；：."BE*ECD,

:.AB=EC,BE=CD,;BC=BE+EC,：.AB+CD=BCo

2）（異側(cè)型）證明：,：ZDCF=ZABC,：.ZECD=ZABE,

'：ZABC=ZAEB+ZA,ZAED=ZAEB+ZCED,ZABC=ZAED,

：.ZAEB+ZA=ZAEB+ZCED,/.//=NCED,

在和4ECL（中，ZA=ZCED,NECD=NABE,AE=ED；:."BE=AECD,

：.ABEC,BE=CD,'：BC=EC-BE,：.AB-CD=BC.

模型4.全等三角形模型之手拉手模型

1）雙等邊三角形型

條件：AZBC和△DCE均為等邊三角形，C為公共點(diǎn)；連接BE,交于點(diǎn)兒

結(jié)論：①4ACD咨4BCE；?BE=AD；③/4RW=/3cM=60。；④CF平分/BFD。

證明：和均為等邊三角形，:.BC=AC,CE=CD,ZBCA=ZECD=60°

：.ZBCA+ZACE=ZECD+ZACE,即：ZBCE=ZACD,：.AACD^^\BCE（SAS）,

：.BE=AD,ZCBE=ZCAD,又,；/CMB=/AMF,：.ZAFM=ZBCM=60°,

過點(diǎn)C作瓦則NCQ2=NCP/=90°,又〈NCBE=NCAD,BC=AC,:ZCQqAACPCAAS）

，C0=CP,根據(jù)角平分線的判定可得：CF平分NBFD。

2)雙等腰直角三角形型

條件：△/8C和△OCE均為等腰直角三角形，C為公共點(diǎn)；連接BE,AD交于■點(diǎn)、N。

結(jié)論：①LACD會(huì)LBCE；?BE=AD；③N/MW=N8CAf=90。；④)CN平分/BND。

證明：和△OCE均為等腰直角三角形，：.BC=AC,CE=CD,ZBCA=ZECD=90°

：.ZBCA+ZACE=ZECD+ZACE,即/2CE=N/CD,；.AACD當(dāng)ABCE(SAS),

：.BE=AD,ZCBE=ZCAD,又,：/CMB=/AMN,：.ZANM=ZBCM=90°,

過點(diǎn)C作瓦則NCQ2=NCP/=90°,又；NCBE=NC4D,BC=AC,：.4BCQ當(dāng)AACPCAAS)

：.CQ=CP,根據(jù)角平分線的判定可得：CN平分NBA?。

3)雙等腰三角形型

條件：BC=AC,CE=CD,ZBCA=ZECD,C為公共點(diǎn)；連接BE,交于點(diǎn)幾

結(jié)論：①AACD0ABCE；?BE=AD；?ZBCM=ZAFM；④CF平分/BFD。

證明：VZBCA=ZECD,：.ZBCA+ZACE=ZECD+ZACE,即/BC￡=//CZ),

又,：BC=4C,CE=CD,；.AACD當(dāng)ABCE(SAS),：.BE=AD,ZCBE=ZCAD,

又,：NCMB=NAMF,：.ZBCM=ZAFM,過點(diǎn)C作瓦則/CQ8=/CP/=90。,

又,；/CBE=/CAD,BC=AC,：.^BCQ^/\ACP(44S)

.?.CQ=CP,根據(jù)角平分線的判定可得：CF平濟(jì)/BFD。

4)雙正方形形型

條件：四邊形N8CD和四邊形CEFG都是正方形，C為公共點(diǎn)；連接8G,ED交于點(diǎn)N。

結(jié)論：①△BCGgADCE；②BG=DE；③NBCM=/DNM=9G。；④CN平分N3NE。

證明：：四邊形N5CD和四邊形CEFG都是正方形，：.BC=AC,CE=CG,ZBCD=ZECG=90°

：.ZBCD+ZDCG=ZECG+ZDCG,即N2CG=/DCE,：./\BCG^/\DCE(.SAS),

：.BG=DE,ZCBG=ZCDE,又,：/CMB=/DMN,：.ZBCM=ZDNM=90°,

過點(diǎn)C作則NCPD=NCP8=90°,又,：Z.CBG=/CDE,BC=DC,：./\BCQ^^DCP（AAS）

：.CQ=CP,根據(jù)角平分線的判定可得：CN平分/BND。

模型5.全等三角形模型之半角模型

1）正方形半角模型

條件：四邊形48co是正方形，NEC尸=45。；結(jié)論：①ABCE會(huì)ADCG；②XCEF空XCGF；③EF=BE+

DF；④A/EF的周長(zhǎng)=249；⑤CE、CF分別平分N8EF和/EFD。

證明：將△CAE■繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至△CDG,即△C8Eg△CDG,

:.NECB=NGCD,ZB=ZCDG=90°,BE=DG,CE=CG；

是正方形，ZB=ZCDF=ZBCD=90°,BA=DA；：.ZCDG+ZCDF=180°,故尸、D、G共線。

VZECF=45°,：.ZBCE+ZDCF=45°,：.ZGCD+ZDCF=ZGCF=45°,：.ZECF=ZGCF=45°,

'：CF=CF,:.^CEF%ACGF,：.EF=GF,VGF=DG+DF,：.GF=BE+DF,：.EF=BE+DF,

AN斯的周長(zhǎng)=￡尸+/￡+/尸=3￡+。尸+/E+4F=4B+4D=24B,過點(diǎn)C作CH_LEF,則NCWE=90。，

「△C斯絲△CGR.?.CD=CH（全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等），再利用此證得：LCBE會(huì)ACHE,

：.ZHEC=ZCBE,同理可證：ZHFC=ZDFC,即CE、。尸分別平分尸和/EFD。

2）等腰直角三角形半角模型

A

條件：A4BC是等腰直角三角形（NA4c=90。，4B=AC）,ZDAE=45°；

結(jié)論：①△2/。絲△C4G；②4DAE當(dāng)AGAE；③NECG==90°；@DE2=BD2+EC2；

證明：將繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至A4CG,即△8/。絲△C4G,

AZBAD=ZCAG,ZB=ZGCA=45°,AD=AG,BD=CG；

VZDAE=45°,：.ZBAD+ZEAC=45°,：.ZCAG+ZEAC=ZGAE=45°,：.ZDAE=ZGAE=45°,

,；AE=AE,:.ADAE沿AGAE,：.ED=EG,:A/8C是等腰直角三角形，/.ZACB=45°,：.ZECG=90°,

：.GE2=GAEC2,；.DE'=BD^+EC1；

3）等邊三角形半角模型（120。-60。型）

條件：A4BC是等邊三角形，A2DC是等腰三角形，S.BD=CD,ZBDC=120°,NED尸=60。；

結(jié)論：①ABDE會(huì)"DG；②△瓦）廠名△GOG③EF=BE+CF；④ANE/的周長(zhǎng)=2/8；

⑤DE、。尸分別平分跖和NEFC。

證明：將△O8E繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。至△DCG,即△BDEg/XCOG,

/.ZEDB=ZGDC,ZDBE=ZDCG,BE=GC,DE=DG；

VZBDC=120°,ZEDF=6Q°,：.ZBDE+ZCDF=60°,：.ZGDC+ZCDF=ZGDF=60°,故/GDF=/EDF,

'：DF=DF,MEDF迫AGDF,：.EF=GF,,：GF=CG+CF,：.GF=BE+CF,：.EF=BE+CF,

：.\AEF的周長(zhǎng)=￡F+/E+/尸uBE+CF+NE+N尸=AB+/C=2/3,

過點(diǎn)D作DHJLEF,DM.LGF,則/。陟=/。吹=90。，

?：AEDF”AGDF,（全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等），再利用證得：ADHFeXDMF,

:./HFD=/MFD,同理可證：/BFD=/FED,BPDE,。尸分別平分N3EF和/EFC。

4）等邊三角形半角模型（60。-30。型）

條件：A4BC是等邊三角形，NEAD=30°；

結(jié)論：①ABDA0ACFA；②ADAE烏dFAE；③/ECF=120°；@DE2=(^BD+EC)2+^!1BD；

證明：將△A8。繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。至zMCF,即△上4。g△□廠,

AZBAD=ZCAF,ZB=ZFCA=60°,AD=AF,BD=CF；

VZDAE=30°,：.ZBAD+ZEAC=30°,：.ZCAF+ZEAC=ZFAE=30°,：.ZDAE=ZFAE=30°,

?；AE=AE,：./\DAE^/\FAE,；.ED=EF,：AN3c是等邊三角形，:./ACB=60°,：.ZECF=120°,

過點(diǎn)尸作打/12C,Z.ZFCH=60°,ZCFH=30°,：.CH=-CF=-BD,FH=—CF=—BD,

2222

;在直角三角形中：FE1=FH2+EH2,：.DE?=(；BD+EC)2"W

BD)2

模型6.全等三角形模型之90。-90。對(duì)角互補(bǔ)型

1）“共斜邊等腰直角三角形+直角三角形”模型（異側(cè)型）

條件：如圖，已知N/O8=/DCE=90。，OC平分/NOR

結(jié)論：①CD=CE,②。D+OE=COC,③S℃E=SCOE+SC8=LOC2-

UUCL△CC/￡ACC/ZJ2

證明：過點(diǎn)C作CM_L。。，CNLOB,:./CMD=NCNE=90°,：OC平分:.CM=CN,

又?：NAOB=NDCE=9。。,：.ZMCN=90°,：.ZMCD=ZNCE,:.△MCD^XNCE；：.CD=CE,

根據(jù)上述條件易證：四邊形ONCM為正方形，；./CON=45。，OM=ON,

又"?OD+OE=OM-DM+ON+NE,：.OD+OE=OM+ON=2ON=也OC,

AMCDdNCE,：.S.CD=S.CE，：,S=S^+S=S+S=-oc2

ODCEONCDACNEMNCDACMD*AONCM2

2）“斜邊等腰直角三角形+直角三角形”模型（同側(cè)型）

cA

條件：如圖，已知NOCE的一邊與4。的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)。，.N4O5=NDC￡=90。，OC平分NZOA

結(jié)論：①CD=CE,②0E—0D=4i0C,@scnF-Scnn=-OC^

ACC/CACO/J2

證明：過點(diǎn)CNLOB,:./CMD=NCNE=90。,：0C平分N/03,:.CM=CN,

又：ZAOB=ZDCE=90°,：,ZMCN=90°,：.ZMCD=ZNCE,

：.4MCD烏ANCE；：.CD=CE,MD=NE,根據(jù)上述條件易證：四邊形ONCKr為正方形，

：.ZCON=45°,OM=ON,又'：OE—OD=ON+NE-(DM-OM),：.OE~OD=ON+OM=2ON=41OC,

4MCD04NCE,：.S,eS^CE，S-S=S+S~(S-S=S+S=-<9C2.

ACr(n7￡FACcCnZEJnACrN/V2FJACcCn/TNV\^CC.MMUnAGM。/cAnCNCWrAMCAO7C72

模型7.全等三角形模型之60。-120。對(duì)角互補(bǔ)型

1)“等邊三角形對(duì)120。模型”⑴

條件：如圖，已知//O8=2NDC￡=120。，OC平分/4O8.

結(jié)論：①CD=CE,②OD+OE=OC,③S皿+S衣=立OC?.

證明：過點(diǎn)。作。1/_1。。，CNLOB,：./CMD=NCNE=90°,：OC平分N/02,:.CM=CN,

又,；NAOB=2NDCE=120。,：.ZAOB+ZDCE^1SO°,NC￡?O+/CEO=180°,

ZCDO+ZCDM^180°,:./MDC=/CEO,:.AMCD^^NCE；:.CD=CE,MD=NE,

,.?。。平分//。5,:.NCON=NCOM=60°,：.ON=OM=-OC,NC=MC=—OC.

22

又,/OE+OD=ON+NE+OM-DM,：.OE+OD=ON+OM=OC,

'：AMCD^ANCE,:,S,CD=S.CE，■■

SACOD+S&COE=SACMO-S^CMD+^CNE+^CON=CON+^^CMO

2)“等邊三角形對(duì)120。模型”(2)

條件：如圖，已知N/O2=2NDCE=120。，0c平分NDCE的一邊與3。的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)。，，

結(jié)論：①CD=CE,②OD-OE=OC,③S“S3*=皂0C。.

L.L.OUACCJJC4

證明：過點(diǎn)。作0/_10￡>,CNLOB,.\ZCMD=ZCNE=90°,：OC平分：.CM=CN,

又,：NAOB=2/DCE=120°,：.ZAOB+ZDCE=ISO°,ZAOB+ZMCN=\?,0o,：.ZDCE=ZMCN=60°

：.ZDCE-ZMCE=ZMCN-ZMCE,:./MCD=/NCE,：.4MCD沿ANCE；:.CD=CE,MD=NE,

丁八1G

：。。平分//。2,：./C0N=/COM=60°,：.ON=OM=-OC,NC=MC=—OC.

22

又,；OD-OE=OM+DM-(NE-ON),：.OD-OE=ON+OM=OC,

：.，：,(2

^MCD^ANCE,S&MCD=SANCESLCOD-SLCOE=S^CM0+-5CAI￡-SCOiV)=5cow+S^CM0=^-0C.>

模型8.全等三角形模型?—180°-?對(duì)角互補(bǔ)型

1)“a對(duì)180。-“模型”

條件：四邊形中，AP=BP,Z^+Z5=180°=結(jié)論：OP平分NAOB。

證明：過點(diǎn)P作尸￡_L04,PFLOB,：.ZAEP=ZBFP=90°,

'：Zyl+Z5=180°,ZOAP+APAE=\^°,：.ZEAP=ZBo

'：AP=BP,:.APAE會(huì)APBF,：.PE=PF,：.OP^^ZAOBo

注意：如下圖：①AP=BP,②乙4+/3=180°,③OP平分/4OB,以上三個(gè)條件可知二推一。

模型9.全等三角形模型之正方形中的十字架型

條件：1）如圖1,在正方形/8C。中，若E、尸分別是8C、CD上的點(diǎn)，AELBF；結(jié)論：AE=BF。

證明：,??四邊形/BCD是正方形，.?.Z48E=NC=90。，AB=BC,:.ZBFC+NCBF=90。

???AELBF,：.ZAEB+ZCBF=9Q°,ZAEB=ZBFC,AABE^ABCF（SAS）,：.AE=BF?

條件：2）如圖2,在正方形48。中，若￡、F、G分別是3C、CD、上的點(diǎn)，AELGF-,結(jié)論:

證明：在尸C上取一點(diǎn)P,使得G3=PF,連結(jié)BP。

???四邊形/BCD是正方形，；.48//C。，.?.四邊形瓦小G是平行四邊形，.,.GF//AP,GF=BP,

同1）中證明，可得/￡=GF。

條件：3）如圖3,正方形48CD中，若￡、F、G、〃分別是5C、CD、AB.40上的點(diǎn)，EHLGF-,

結(jié)論：HE=GFo

證明：在FC、2E上取一點(diǎn)P、Q,使得G2=PRAH=QE,連結(jié)AP、AQO

；四邊形28CD是正方形，.?.48//CD,.?.四邊形區(qū)叩G是平行四邊形，...GF〃BP,GF=BP,

同理可證得：四邊形ZQEH是平行四邊形，AQ=HF,同1）中證明，可得HE=GF。

知識(shí)三相似三角形模型

模型1.相似三角形模型之””字模型

字模型圖形（通常只有一個(gè)公共頂點(diǎn)）的兩個(gè)三角形有一個(gè)“公共角”（是對(duì)應(yīng)角），再有一個(gè)角相等或夾

這個(gè)公共角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，就可以判定這兩個(gè)三角形相似。

①””字模型②反”"字模型③同向雙””字模型④內(nèi)接矩形模型

圖1圖2

圖4

ADAEDE

①“4”字模型條件:如圖1,DE//BC-,結(jié)論：^ADEs^ABCo

ABACBC°

ADAEDE

證明:./ADE=NABC,ZAED=ZACB,：.^\ADE^^ABC,：.—=—=—。

ABACBC

②反””字模型條件：如圖2,/AED=/B；結(jié)論：AADE^/\ACB^—=—=—

ACABBCo

r、-ADAEDE

證明:（公共角）：.AADEs^ACB,：.—=一=—。

ACABBC

③同向雙“4”字模型條件：如圖3,EF//BC-,

結(jié)論：AAEF^AABC,AAEGSAABD,AAGFsAADCO雙=a=坦。

BDCDAD

證明：尸〃2C,/.ZAEF=ZABC,ZAFE=ZACB,：.AAEF^^ABC,

4DAEDE

同理可證：AAEGs^ABD,AAGFsAADC,—=一=—=

ABACBC

④內(nèi)接矩形模型條件：如圖4,A48C的內(nèi)接矩形。斯G的邊￡尸在8c邊上，D、G分別在/8、NC邊

上，且NM12C；結(jié)論：AADG^AABC,ZlADNs4ABM,AAGN^/\ACM^>DG_=AN_=AN_o

BCABAM

證明是矩形J.DG//EF,：.ZADG=ZABC,ZAGD=ZACB,：.AADG^/\ABC,

同理可證：AADNsAABM,AAGN^>/\ACM,；.空=任=空。

BCABAM

模型2.相似三角形模型之“X，字模型（“8”字模型）

“8”字模型圖形的兩個(gè)三角形有“對(duì)頂角，，，再有一個(gè)角相等或夾對(duì)頂角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例就可以判定這兩個(gè)

三角形相似.

①“8”字模型②反“8”字模型③平行雙“8”字模型④斜雙“8”字模型

①“8”字模型

~八上e人、“ABOA0B

條件：如圖1,AB//CD；結(jié)論：AAOBSACOD=一=——=—o

CDOC0D

、ABOAOB

證明；.N/=NC,NB=/D,：.AAOB^ACOD,：.—=—=—。

CDOCOD

②反“8”字模型

一,,p，-ABOAOB

條件：如圖2,/A=/D；結(jié)論：AAOBSADOCO一=―=―。

CDODOC

rABOAOB

證明=/.ZAOB=ZDOC,（對(duì)頂角）：./lAOB^ADOC,：.—=—=—。

CDODOC

③平行雙“8”字模型

條件：如圖3,AB//CD；結(jié)論：任=竺=烏。

DFCFCD

證明/.ZA=ZD,ZAEO=ZDFO,：.AAEO^/\DFO,

同理可證：ABEOsACFO,AABO^/\DCO,:.里=迫=迫。

DFCFCD

④斜雙“8”字模型

條件：如圖4,/1=/2；結(jié)論：AAOD^/\BOC,3s△￡>OC=Z_3=N4。

證明：：/l=N2,（對(duì)頂角），：.AAOD^/\BOC,：.AO:BO=DO:CO,BPAO.DO=BO:CO-,

?.,//05=ND0C（對(duì)頂角），：.AAOB^/\DOC,；./3=/4。

模型3.相似三角形模型之“NX，字模型（“48”字模型）

①一模型②兩””+“8”模型（反向雙””字模型）③四””+“8”模型

①一"4，+“8，，模型條件：如圖1,DE//BC；

結(jié)論：/lADEsAABC,/XDEF^ACBF.,=任=9=%=里=住。

ABACBCFCBF

?ADAEDE

證明：：￡>E〃8C,：.N4DE=/ABC,ZAED=ZACB,:.AADEs—BC,：.—=—=—。

ABACBC

'：DE//BC,：.ZFDE=ZFCB,ZDEF=ZCBF,：.ADEF^/\CBF,，竺=竺=也。

BCFCBF

.AD_AEDE_DF_FE

?,瓦一就一正一正一三°

②兩“N”+“8”模型條件：如圖2,DE//AF//BC；

結(jié)論：△DAFSADBC,△CAFSACED,=_L=J_+J_。

AFBCDE

證明：BC,ZDAF=ZB,ZDFA=ZDCB,：./\DAF^^DBC,:.尤=空。

DCBC

,JDE//AF,:./CAF=NE,ZCFA=ZCDE,：./\CAF^/\CED,:=空。

CDDE

兩式相加得到：竺+竺=王+更，即1=王+3￡,故」_=工+工。

DCDCBCDEBCDEAFBCDE

③四”，，+“8”模型3條件：如圖3,DE//GF//BC.；結(jié)論：AF=AG,—+—=—=—=—

BCDEAFAGGF

證明:同②中的證法，易證：X+J_=X,X+A=X