板塊十六相似與三角函數(shù)-----突破中考第1問

專題突破1證相似

典例精講

類型一旋轉(zhuǎn)相似

【例1】（2024武漢三調(diào)）如圖，在△ABC和ACDE中，zBAC=NCED=90。,4B=4C,CE=DE,點(diǎn)E在邊AB

上.求證:AACE-ABCD.

類型二十字架型相似

【例2】（2024武漢中考）如圖,在矩形ABCD中,E,F分別是AB,BC的中點(diǎn)，連接BD,EF.求證:ABCD-MBE.

典題精練

類型三K型相似

1.如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E,F,G分別在線段AB,BC,CD上，且NEFG=90。..求證：△EBF-^CG.

F

類型四蝶型相似

2.如圖,AD,BC交于點(diǎn)0,AOD0=C0-B0,求證：4AB04CD0.

專題突破2用相似

典例精講

類型一求比值

【例1】（2023武漢四調(diào)）如圖,D,E,F分別是MBC的邊AC,AB,BC上的點(diǎn)，連接DE,DF,EDUBC/ABC=NEDF.

(1)求證:NA=NCDF;

⑵若D是AC的中點(diǎn)，直接寫出要變的值.

、XABC

類型二證等積式

[例2]（2024上海）如圖,在矩形ABCD中,E為邊CD上一點(diǎn)且求證：AD2=DE-DC.

典題精練

類型三證角相等

1.如圖，在AABC和AADE中，啜=解=*求證:NBAD=NEAC.

/iLzUCinEi

類型四求線段長

2.如圖，在正方形ABCD中,AB=6,P是線段BC上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE回P4交CD于點(diǎn)E,連接AE.若BP=

2,求DE的長.

專題突破3三角函數(shù)的簡單證明與計(jì)算

典例精講

類型一求（或證）正弦值

【例1】如圖，在AABC中,AD^BC于點(diǎn)D,BF平分/ABC交AD于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)F,BC=5,AD=4,AC=2

遮求sinzBAD的值.

【例2】如圖,在矩形ABCD中，將SBD沿BD折疊得到△EBD,,連接AE.求證：smzAED=ff.

DU

AD

BC

E

典題精練

類型二求（或證）余弦值

1.如圖在AABC中/ACB=90°,D是AB的中點(diǎn),AC=6,BC=8.求（cos^ADCOC的值.

類型三求（或證）正切值

2.如圖在矩形ABCD中,E為AB上一點(diǎn),CF^CE交AD的延長線于點(diǎn)F.求證：tan/DBC=告

3.如圖,E為矩形ABCD的邊AD上一點(diǎn),AAD=4ED,CD=2ED,過點(diǎn)E作EC的垂線交AB于點(diǎn)F.求tan

ZECF的值

專題突破4解直角三角形——2024武漢中考熱點(diǎn)

典例精講

類型一利用三角函數(shù)值解直角三角形

[例1]（2024武漢三調(diào)）如圖是某公園滑梯的橫截面圖,AB是臺階，BG是一個(gè)平臺，GD是滑道，立柱

BC,EF垂直于地面AD且高度相同，AB與地面AD的夾角為451GD與地面AD的夾角為37。.若AC=3m,則滑

道GD的長度是m.（參考數(shù)據(jù):ssin37°?0.60,cos37°?0.80,tan37°^0.75）

類型二俯角、仰角

[例2]（2024武漢中考）黃鶴樓是武漢市著名的旅游景點(diǎn)，享有"天下江山第一樓”的美譽(yù).在一次綜合實(shí)

踐活動中，某數(shù)學(xué)小組用無人機(jī)測量黃鶴樓AB的高度.具體過程如下：如圖，將無人機(jī)垂直上升至距水平地面10

2m的C處，測得黃鶴樓頂端A的俯角為45。,，底端B的俯角為63°,則測得黃鶴樓的高度是m.（參考

數(shù)據(jù)：tan63°-2）

【例3】（2024深圳）如圖，為了測量某電子廠的高度，小明用高1.8m的測量儀EF測得頂端A的仰角為

45。,，小軍在小明的前面5m處用高1.5m的測量儀CD測得頂端A的仰角為53。,則電子廠AB的高度為（

)(參考數(shù)據(jù)：sin53"~1,cos53°?|,tan53°?

A.22.7mB.22.4mC.21.2m

典題精練

類型三方位角

1.一漁船在海上點(diǎn)A處測得燈塔C在它的北偏東60。方向，漁船向正東方向航行12海里到達(dá)點(diǎn)B處，測得

燈塔C在它的北偏東45。方向，若漁船繼續(xù)向正東方向航行,則漁船與燈塔C的最短距離是海里.

2.（2024瀘州）如圖，海中有一個(gè)小島C,某漁船在海中的點(diǎn)A測得小島C位于東北方向上，該漁船由西向東

航行一段時(shí)間后到達(dá)點(diǎn)B,測得小島C位于北偏西；30。方向上,再沿北偏東（60。方向繼續(xù)航行一段時(shí)間后到達(dá)

點(diǎn)D,這時(shí)測得小島C位于北偏西（60。方向上.已知點(diǎn)A,C相距30nmile.求C,D兩點(diǎn)間的距離（計(jì)算過程中

的數(shù)據(jù)不取近似值）.

類型四坡度、坡角

3.（2024眉山）如圖，斜坡CD的坡度i=1:2,,在斜坡上有一棵垂直于水平面的大樹AB，當(dāng)太陽光與水平面的

夾角為60。時(shí)，大樹在斜坡上的影子BE長為10米，則大樹AB的高為米.

4.（2024甘南州）某校數(shù)學(xué)興趣小組通過對如圖所示靠墻的遮陽篷進(jìn)行實(shí)際測量，得到以下數(shù)據(jù)：遮陽篷AB長

為5米，與水平面的夾角為16。,，且靠墻端離地高BC為4米.當(dāng)太陽光線AD與地面CE的夾角為45。時(shí)，求

陰影CD的長.（參考數(shù)據(jù):sinl60~0.28,cosl60~0.96,tanl6°~0.29）.

CDE

板塊十六相似與三角函數(shù)突破中考第1問

專題突破1證相似

典例精講

類型一旋轉(zhuǎn)相似

【例1】（2024武漢三調(diào)）如圖，在△ABC和ACDE中,/BAC=NCED=90o,AB=AC,CE=DE,點(diǎn)E在邊AB上.

求證:△ACE^ABCD.

解：：ZBAC=ZCED=90°,AB=AC,CE=DE,

A

.二△ABC和ACED是等腰直角三角形，

原皿=45。,

ZACB-ZECB=ZECD-ZECB,

/.ZACE=ZBCD,.\AACE^ABCD.

類型二十字架型相似

[例2]（2024武漢中考）如圖,在矩形ABCD中,E,F分別是AB,BC的中點(diǎn)，連接BD,EF.求證:△BCD-AFBE.

證明:YE,F分別是AB和BC中點(diǎn).?.察=?考

ADZ￡?C

四邊形ABCD是矩形,，AB=CD,ZEBF=ZC=90°,—=—,.-.ABCD△FBE.

CDBCB

F

典題精練

類型三K型相似

1.如圖，在矩形ABCD中點(diǎn)E,F,G分別在線段AB,BC,CD上，且乙EFG=90。..求證4EBF^AFCG.

證明:在矩形ABCD中,NB=NC=90。，

ZEFG=90°,.\ZEFB+ZGFC=90°,ZEFB+ZBEF=90°,

ZBEF=ZGFC,

又：ZB=ZC=90°,.\AEBF^>AFCG.

類型四蝶型相似

2.如圖,AD,BC交于點(diǎn)0,AOD0=C0-B0,求證:△ABO^ACDO.

證明：???AO-DO=CO-BO,.

CODO

又：ZAOB=ZCOD,/.AABO^ACDO.

專題突破2用相似

典例精講

類型一求比值

【例1】（2023武漢四調(diào)）如圖,D,E,F分別是△ABC的邊AC,AB,BC上的點(diǎn)，連接DE,DF,ED〃BC,NABC=NE

DF.

(1)求證:/A=/CDF;A

⑵若D是AC的中點(diǎn)，直接寫出修的值.

解:(1)：ED〃:BC,；./AED=/ABC,B

"?ZABC=ZEDF,.\/AED=/EDF,；.DF〃AB,；.ZA=ZCDF;

(2)VDF/7AB,.*.ZA=ZCDF,ZCFD=ZB,.\ACDF^ACAB,VD為AC中點(diǎn)，AC=2CD,二(皮>=

S^ABCAC

類型二證等積式

[例2]（2024上海）如圖在矩形ABCD中,E為邊CD上一點(diǎn)，且AELBD.求證：AD2=DEDC.

證明:在矩形ABCD中,/BAD=NADE=9(T,AB=DC,

ZABD+ZADB=90°.

VAEIBD,.1.ZDAE+ZADB=90°,.\ZABD=ZDAE,

.?.AADEABAD,,

BAAD

：.AD2=DEBA,VAB=DC,/.AD2=DEDC.

典題精練

類型三證角相等

1.如圖，在△ABC和^ADE中，黑=需=生求證:NBAD=NEAC.

證明：

；./BAC-/DAC=/DAE-/DAC,即/BAD=NEAC.

類型四求線段長

2.如圖，在正方形ABCD中.AB=6,P是線段BC上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE回P4交CD于點(diǎn)E,連接AE.若BP=2,

求DE的長.

解:設(shè)DE=x,貝!]EC=6-x.易證△ABP^APCE,

BPCE'26-X

.??久=/；.DE的長為T

專題突破3三角函數(shù)的簡單證明與計(jì)算

典例精講

類型一求（或證）正弦值

［例1］如圖，在△ABC中,ADJ_BC于點(diǎn)D,BF平分/ABC交AD于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)F,BC=5,AD=4,AC=

2強(qiáng)求sinZBAD的值.

解：AD^BC,AD=4,AC=20.CD=y/AC2-AD2=2,

BC=5,.\BD=BC-CD=5-2=3.

在RtAABD中，48=VBD2+AD2=5,sin^BAD=—=

AB5

【例2】如圖,在矩形ABCD中，將△ABD沿BD折疊得到△EBD,連接AE.求證：sin^AED=

證明:由題意得AE±BD,ZBED=ZBAD=90°.

ZAED+ZBEA=90°,ZDBE+ZBEA=90°,ZAED=ZDBE.

DF

sinZ.AED=sin4DBE=——.

典題精練

類型二求（或證）余弦值

1.如圖，在△ABC中,/ACB=9（r,D是AB的中點(diǎn),AC=6,BC=8.求cos/ADC的值.

解:過點(diǎn)C作CFLAB于點(diǎn)F.

ZACB=90。,AC=6,BC=8,AB=^AC2+BC2=10,

,?D是AB的中點(diǎn)CD=AD=5.

???CF^AB,.'.-AB-CF=-AC-BC,

，22，

*'-CFDF=yJCD2—CF2cosZ.ADC=—=—.

5'5'CD25

類型三求（或證）正切值

2.如圖，在矩形ABCD中,E為AB上一點(diǎn),CFLCE交AD的延長線于點(diǎn)F.求證：tan/DBC=9

證明:「四邊開鄉(xiāng)ABCD是矢巨形,???ZBCD=ZABC=ZADC=90°.

CF_LCE,ZECF=90°,ZECB+ZECD=ZECD+ZDCF=90°,

NECB=NDCF,又：ZABC=ZFDC=90O,.\AEBC^>AFDC,

CFCF

—tanzDBC=—

CEBCBC~CE'

3.如圖,E為矩形ABCD的邊AD上一點(diǎn),AD=4ED,CD=2ED過點(diǎn)E作EC的垂線交AB于點(diǎn)F.求tanZECF

的值.

解:設(shè)ED=x,AD=4ED=4x,CD=2ED=2x,AE=3x,

易證△AEF△噎=H=翁=|,???tan皿=阿=|.

專題突破4解直角三角形

典例精講

類型一利用三角函數(shù)值解直角三角形

[例1](2024武漢三調(diào))如圖是某公園滑梯的橫截面圖，AB是臺階，BG是一個(gè)平臺，GD是滑道，立柱B

C,EF垂直于地面AD且高度相同,AB與地面AD的夾角為45。,GD與地面AD的夾角為37。.若AC=3m,則滑道G

D的長度是二111.(參考數(shù)據(jù):ssin37°?0.60,cos37"?0.80,tan37°s0.75)

解:過點(diǎn)G作GHLAD于點(diǎn)H,

貝！JGH=EF=BC,由題意彳導(dǎo)/ACB=9(r,/A=45。,

/.△ACB是等腰直角三角形，

.?.AC=BC=3m,；立柱BC,EF垂直于地面AD且高度相同,

；.GH=BC=3m,在RtAGDH中sin37°=案，

則GD==總=5（爪）,故答案為5.

類型二俯角、仰角

[例2]（2024武漢中考）黃鶴樓是武漢市著名的旅游景點(diǎn)，享有“天下江山第一樓”的美譽(yù).在一次綜合實(shí)踐活

動中，某數(shù)學(xué)小組用無人機(jī)測量黃鶴樓AB的高度.具體過程如下：如圖，將無人機(jī)垂直上升至距水平地面102m的

C處,測得黃鶴樓頂端A的俯角為45。,，底端B的俯角為63。，則測得黃鶴樓的高度是51m.（參考數(shù)據(jù)：ttan6

3°?2）

解:過點(diǎn)C作CH〃BD,交BA的延長線于點(diǎn)H.

由題意得/ABD=/CDB=90。,

???乙AHC=180°-90°=90°,

四邊形BDCH是矩形,BH=CD=102m,

在RtABCH中，4BCH=63°,tanzBCH=—,

CH

BH102、

CH=-------x——=

tan63°2'"

在RtAACH中,NACH=45。，

/CAH=45o=NACH,，AH=CH=51m,；.AB=BH-AH=51m.故答案為51.

[例3]（2024深圳）如圖為了測量某電子廠的高度小明用高1.8m的測量儀EF測得頂端A的仰角為45。,

小軍在小明的前面5m處用高1.5m的測量儀CD測得頂端A的仰角為53。,則電子廠AB的高度為（A）（參考數(shù)

據(jù)：sin53°?-,cosSS0?-,tan53°?-）

A.22.7mB.22.4mC.21.2mD.23.0m

解:由題意得EF=BM=1.8m,CD=BN=1.5m,DF=5m,EM=BF,BD=CN,EM_LAB,CN_LAB.設(shè)BD=CN=xm,.*.EM=BF

二DF+BD=(x+5)m,在R3AEM中,NAEM=45°,??.AM=EM-tan450=(x+5)m,在RtAACN中，^ACN=53°,AN=

CN?tan53°^^x(m),

FDB

4

JAM+BM=AN+BN=AB,.??%+5+1.8=|x+1.5,???%=15.9,

AN=^x=21.2（m）,.-.AB=AN+BN=21.2+1.5=22.7（m）,

電子廠AB的高度約為22.7m,故選A.

典題精練

類型三方位角

1.一漁船在海上點(diǎn)A處測得燈塔C在它的北偏東60。方向，漁船向正東方向航行12海里到達(dá)點(diǎn)B處，測得燈

塔C在它的北偏東45。方向，若漁船繼續(xù)向正東方向航行，則漁船與燈塔C的最短距離是—（6V3+6）_海里.

解:過點(diǎn)C作CH_LAB于點(diǎn)H.VZDAC=60°,ZCBE=45°,.\ZCAH=30°,ZCBH=45°,.".ZBCH=ZCBH=45°,.\

BH=CH.在RtAACH中,NCAH=30°,AH=AB+BH=12+C//,tan30"=CH=—（12+CH）,解得CH=6

AH3

8+6.漁船與燈塔C的最短距離是（（6V3+6）海里.北北“0

~AB

2.（2024瀘州）如圖，海中有一個(gè)小島C,某漁船在海中的點(diǎn)A測得小島C位于東北方向上，該漁船由西向東

航行一段時(shí)間后到達(dá)點(diǎn)B,測得小島C位于北偏西30。方向上，再沿北偏東（60。方向繼續(xù)航行一段時(shí)間后到達(dá)點(diǎn)

D,這時(shí)測得小島C位于北偏西60。方向上.已知點(diǎn)A,C相距30nmile.求C,D兩點(diǎn)間的距離（計(jì)算過程中的數(shù)據(jù)

不取近似值）.

解:過點(diǎn)C作CHLAB于點(diǎn)H,過點(diǎn)D作DG_LAB,交AB的延長線于點(diǎn)G.：/CAB=45o,AC=30nmile,.,.AH

=CH=15V2nmile/.-/CBH=60°,二BC==10V6(nmiZe).vDG1BG,???4DBG=180°—90