情景分析題高頻考點訓練40題

明考情-知方向

近年來中考命題改革強調(diào)核心素養(yǎng)導向，情景題的設置更加注重考查學生在真實情境中解決問題的能

力。難度一般中等或偏上，分值也比較可觀，但對應考點掌握熟練，計算和審題上夠小心了，一般不會失

分。常考的類型主要包含一下三大類：

（1）實際建模問題：用函數(shù)、統(tǒng)計解決現(xiàn)實問題，

（2）幾何應用：結(jié)合建筑測量、地圖比例尺、實物模型等情境；

（3）跨學科問題。

熱點題型解讀

1.（2025?陜西西安?二模）某校綜合與實踐小組的同學開展了主題為探究最大心率與年齡的關系項目化

學習，他們通過某醫(yī)學雜志收集到在一定年齡范圍內(nèi)的最大心率（最大心率指人體在進行運動時心臟每

⑵已知不同運動效果時的心率如下:

運動效果運動心率占最大心率的百分比

燃燒脂肪60%?70%

提升耐力70%?80%

20周歲的小李想要達到提升耐力的效果，他的運動心率應該控制在次/分至______次/分；小美

想要達到燃燒脂肪的效果，她的運動心率應該控制在"4次/分至133次/分，小美的年齡是周

歲.

2.（2025,陜西?模擬預測）投壺（如圖1）是"投箭入壺"的簡稱，作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)，不僅具有深厚的歷

史淵源和文化背景，還承載著中華民族的傳統(tǒng)禮儀和娛樂文化，成為連接傳統(tǒng)與現(xiàn)代的文化紐帶.其中

箭頭的行進路線可看作一條拋物線，如圖2是一名男生在投壺時，箭頭行進高度y（m）與水平距離穴m）

之間的函數(shù)關系圖象，投出時箭頭在起點處的高度。力為當水平距離為1m時，箭頭行進至最高點|m

處.

圖1圖2

⑴求箭頭行進的高度y與水平距離x之間的函數(shù)表達式；

（2）若8C是一個高為|m的圓柱形容器的最左端（看作垂直于x軸的線段），且。B=3m,通過計算判斷這

名男生此次投壺能否投中，請說明理由.

3.（2025,湖北?一模）【項目式學習】

【項目主題】研究擊球運動

【項目背景】探究擊球運動中蘊含的數(shù)學知識，并運用所學知識解決相關的問題.甲，乙，丙，丁四個

學習小組開展數(shù)學項目式學習實踐活動，獲取的所有數(shù)據(jù)共享.活動地點：比較開闊的草坪地.

【項目素材】

素材一：甲小組調(diào)試機器擊球，保證每一次的擊球方式相同，球在空中的飛行路線是相同的拋物線（在

無風的情況下，且不考慮空氣阻力）.

素材二：乙小組用監(jiān)測儀器測得球的飛行高度h與水平距離s部分數(shù)據(jù)如下.

水平距離S

06183036

（m）

飛行高度八09212524

（m）

素材三：丙小組用監(jiān)測儀器測得的小球飛行的水平距離s與時間t的關系，根據(jù)數(shù)據(jù)分析，s與t是正比例

函數(shù)關系，并根據(jù)相關數(shù)據(jù)繪制成如下圖象（如圖1）.

素材四：如圖2所示，丁小組在草坪邊山坡點C處放置一個球框，并測得山坡BC的坡角a=36.8。，

AB=24m,BC=30m.

（參考數(shù)據(jù)：tan36.8°?7,sin36.8°~cos36.8°~7）.

455

【項目任務】

任務一：直接寫出％與s的函數(shù)關系式;

任務二：當小球飛行的高度達到16m時，求小球飛行的時間；

任務三：若在點4處擊球，球能否落在點C處的球筐中？請說明理由.

4.（2025,山西呂梁?一模）綜合與實踐

我國新能源汽車發(fā)展迅猛，2024年"月產(chǎn)銷量再創(chuàng)歷史新高，前11個月國內(nèi)累計銷量超1000萬輛，

與此同時，公共充電樁建設也快速推進，截至2024年H月底，累計建成充電樁1235.2萬臺，技術(shù)的發(fā)

展越來越改善著人們的生活.圖1是一電動汽車充電站的停車棚，其棚頂?shù)臋M截面可以看作是拋物線的

一部分.圖2是棚頂?shù)呢Q直高度y（單位：m）與距離停車棚支柱2。的水平距離x（單位：m）近似滿足

二次函數(shù)y=-0.02乂2+bx+c的圖象，支柱力。=1.6m,最外端點3的坐標為（6,2.68）.若一輛箱式純

電貨車需在停車棚下避雨，貨車截面可看作長CD=4m、高DE=2.2m的矩形.

ylmf

圖1圖2

⑴求該二次函數(shù)的表達式.

⑵判斷此純電貨車（填"能"或"不能"）完全停到車棚內(nèi)，并說明理由.

⑶為確保在車棚內(nèi)能容納長5m、高2.5m的車輛進入充電，現(xiàn)對該車棚進行改造.受經(jīng)費與場地面積所

限，仍使用原來的棚頂，采用抬高支柱。4的方式進行改造，則抬高的高度至少需要大于多少米？

5.（2025,河北石家莊?一模）如圖，在一次足球訓練中，某球員從球門（原點。處）正前方8m的4處射門,

球射向球門的路線可近似成一條拋物線，當球飛行的水平距離為6m時，球達到最高點，此時球離地面的

高度為3m.

⑴求拋物線的函數(shù)表達式;

（2）已知球門高。B為2.5m,通過計算判斷該球能否射進球門（忽略其他因素的影響）;

⑶已知點C為。B上一點，OC=2.25m,若該球員帶球向正后方移動mn再射門（射門路線的形狀、球的

最大高度均保持不變），球恰好經(jīng)過。C區(qū)域（含點。和點C）,求兀的取值范圍.

6.（2025?湖北孝感?二模）研究背景：某校數(shù)學興趣小組到蔬菜基地了解某種有機蔬菜的銷售情況，并利用

所學的數(shù)學知識對基地的蔬菜銷售提出合理化建議.

材料一：某種蔬菜的種植成本為每千克10元，經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該蔬菜的日銷售量y（千克）與銷售

單價x（元）是一次函數(shù)關系；

材料二：該種蔬菜銷售單價為12元時，日銷售量為1800千克；銷售單價為15元時，日銷售量為1500

千克.

任務一：建立函數(shù)模型

（1）求出y與x的函數(shù)表達式，并寫出自變量的取值范圍；

任務二：設計銷售方案

（2）設該種蔬菜的日銷售利潤為少（元），市場監(jiān)督管理部門規(guī)定，除去每日其他正常開支總計1000

元外，該蔬菜銷售單價不得超過每千克18元，那么該種蔬菜的銷售能否獲得日銷售利潤8600元？如果

能，蔬菜的銷售單價應定為多少元？如果不能，請求出最大日銷售利潤.

7.(2025,山西晉中?一模)綜合與實踐

項目主題：愛心發(fā)卡溫暖傳遞

項目背景：寒假期間，王老師計劃制作人B兩款DIY手工發(fā)卡，并將售賣后的全部利潤捐贈給福利院.為

助力王老師確定最優(yōu)加工方案，實現(xiàn)利潤最大化，從而給予福利院兒童更多幫助，小輝開展了以"探究

愛心發(fā)卡最佳加工方案”為主題的項目化學習.

驅(qū)動任務：探究能獲取最大日利潤的發(fā)卡加工方案.

收集信息：

(1)受制作條件限制，王老師每日最多可制作力、B兩款發(fā)卡共20只，

(2)經(jīng)市場調(diào)查，兩款DIY手工發(fā)卡市場需求旺盛，預期每日制作的發(fā)卡均可售罄.扣除各項成本后,

具體獲利情況如下：

①4款：當每天加工10只時，每只獲利15元，如果每天多加工1只，那么平均每只獲利將減少0.5元；

②8款：每只獲利9元.

解決問題：

⑴設王老師每天加工4款發(fā)卡X只，每只力款發(fā)卡獲利y元，則y與X的函數(shù)關系式為(10<%<20)；

(2)設每日的銷售總利潤為w元，求w關于x(10<%<20)的函數(shù)表達式；

⑶通過計算說明使日銷售利潤最大的加工方案.

8.（2025?陜西西安?二模）【問題探究】

下面是某品牌新能源車輛的車機智駕系統(tǒng)關于彎道對通行車輛長度的限制的研究.

（1）用線段模擬汽車通過寬度相同的直角彎道，探究發(fā)現(xiàn)：

①當CD<248時（如圖1）,線段CD（填"能"或"不能"）通過直角彎道.

②當CD=248時，必然存在線段CD的中點E與點8重合的情況，線段CD恰好不能通過直角彎道（如

圖2）.此時，乙4DC的度數(shù)是.

③當CD>2AB時，線段CD（填"能"或"不能"）通過直角彎道.

【問題解決】

（2）如圖3,某彎道外側(cè)形狀可近似看成反比例函數(shù)y=長久>0）的圖象，第一象限的角平分線交圖象

于點彎道內(nèi)側(cè)的頂點5在射線上，彎道內(nèi)側(cè)的兩邊分別與x軸、y軸平行，O4=2m,4B=4

m.用矩形PQMN模擬汽車，發(fā)現(xiàn)當PQ的中點E與點臺重合，且PQ1AB時，矩形PQMN恰好不能通過

該彎道.若PQ=bm,PN=2m,要使矩形PQMN能通過該彎道，求6的最大整數(shù)值.（參考數(shù)據(jù)：V2

a1.4,V3~1.7）

圖1圖2圖3

9.（2025?河北?一模）如圖1,光滑桌面AB的長為120cm,兩端豎直放置擋板力C和BD,小球尸（看作一點）

從擋板4C出發(fā)，勻速向擋板BD運動，撞擊擋板BD后反彈，以原速返回擋板AC,過程中小球和擋板4c的

距離y（cm）與時間x（s）的關系圖象如圖2所示.（注：小球和擋板的厚度忽略不計，撞擊和反彈時間忽略

不計）

⑴圖中m=,n-,小球的速度為cm/s.

⑵求圖2中直線EF的函數(shù)解析式.

（3）若小球從擋板2C向擋板BD運動的過程中，同時，擋板2C以6cm/s的速度勻速向擋板BD運動，運動過

程中（小球與擋板BD撞擊前），當小球恰好位于這兩個擋板中點處時，運動時間為ts,請直接寫出/的

值.

10.(2025?浙江?模擬預測)根據(jù)以下素材，探索完成任務.

乒乓球發(fā)球機的運動路線

素如圖1,某乒乓球臺面是矩形，長為280cm,寬為150cm,球網(wǎng)高度為14cm.乒乓

材球發(fā)球機的出球口在桌面中線端點。正上方25cm的點P處.

假設每次發(fā)出的乒乓球都落在中線上，球的運動的高度y(cm)關于運動的水平距離

素

x(m)的函數(shù)圖象是一條拋物線，且這條拋物線在與點P水平距離為100cm的點Q處

材

達到最高高度，此時距桌面的高度為45cm,乒乓球落在桌面的點M處.以。為原點，

桌面中線所在直線為%軸，建立如圖2所示的平面直角坐標系.

素如圖3,若乒乓球落在桌面上彈起后，在與點。的水平距離為300cm的點R處達到最

材高，設彈起后球達到最高時距離桌面的高度為％(cm).

問題解決

研究乒(1)求出從發(fā)球機發(fā)球后到落在桌面前，乒乓球運動軌跡的函數(shù)表達

任

乓球的式(不要求寫出自變量的取值范圍).

務

飛行軌

跡

任擊球點(2)當h=20時，運動員小亮想在點R處把球沿直線擦網(wǎng)擊打到點0,

務的確定他能不能實現(xiàn)？請說明理由.

任擊球點(3)若h=40,且彈起后球飛行的高度在離桌面30cm至50cm時，小

務的距離亮可以獲得最佳擊球效果，求擊球點與發(fā)球機水平距離％的取值范圍.

圖1

11.(2025?江西?模擬預測)綜合與實踐

根據(jù)以下素材，完成探究任務.

城墻建多高才能抵御敵方的進攻？

【素材1】圖1是古代一種攻城器械"發(fā)石車"，其投出去的石塊運動軌跡是拋物線的一部分.

【素材2】如圖2,防守方的護城墻BD垂直于地面墻高BD=10m,進攻方把“發(fā)石車"放置在距B

處90m的4處，石塊從4處豎直方向上的C處被投出，當石塊在空中飛行到與AC的水平距離為50m時，

石塊離地面4B的高度最高，最高高度為27m.

【解決問題】

(1)當AC=2m時.

①建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担髵佄锞€(石塊運動軌跡)的解析式；

②進攻方的石塊能飛進防守方的城墻嗎？若能，城墻應加建多高以上，才能讓進攻方的石塊飛不進防

守方城墻；若不能，請說明理由.

(2)問：石塊初發(fā)點C與4的距離在什么范圍內(nèi)，防守方無須加高城墻？

12.（2025?廣西?一模）在生物實驗室，科研人員對一種生物標本進行真空冷卻實驗，探索低溫環(huán)境對標本

細胞活性的影響.標本初始溫度為45。l在真空冷卻過程中，溫度T（單位：℃）與冷卻時間t（單位:

分鐘）滿足一次函數(shù)關系：前8分鐘，溫度每分鐘下降2.5。（：；8分鐘后，調(diào)整冷卻設備，溫度每分鐘

下降2。5同時，標本的細胞活性y與溫度T也滿足一次函數(shù)關系，且當7=35久時，y=0.7；當T=25℃

時，y=0.3.

根據(jù)以上信息，回答下列問題：

⑴求在不同階段標本溫度T關于冷卻時間t的函數(shù)解析式;

（2）當細胞活性降至0.1時，求標本冷卻時間.

13.（2025?陜西?模擬預測）電子體重秤的原理是當人站在秤盤上時，壓力施加給傳感器，傳感器發(fā)生彈性

形變，從而使阻抗發(fā)生變化，輸出一個變化的模擬信號，進而將該信號進行處理并輸出到顯示器.某

綜合實踐活動小組設計了簡易電子體重秤：制作一個裝有踏板（踏板質(zhì)量忽略不計）的可變電阻上

R（。）與踏板上人的質(zhì)量?。╧g）之間的幾組對應值如下表:

人的質(zhì)量小

0306090120

（kg）

可變電阻R240180120600

⑴在平面直角坐標系中描出表中數(shù)據(jù)對應的點，R與加符合初中學習過的某種函數(shù)關系，則可能是

函數(shù)關系；（選填"一次""二次""反比例"）

（2）根據(jù)以上判斷，求R關于加的函數(shù)關系式；

⑶當可變電阻R為100。時，求人的質(zhì)量加應為多少kg?

14.（2025?山西呂梁?一模）綜合與實踐

驅(qū)動任務：

跳繩，作為一項全民皆可參與的運動，只要一根繩子就能跳遍天下，是一項簡單、有趣的運動.不僅

可以鍛煉身體，增強免疫力，還可以訓練反應能力和協(xié)調(diào)能力.單人跳、多人跳、花樣跳，簡單易學,

精彩紛呈.學校計劃在運動會上增加跳繩比賽項目，數(shù)學應用研習小組協(xié)助跳繩籌備組對多人跳繩的

戰(zhàn)隊方式進行了相關設計.

研究步驟：

數(shù)學建模：圖1是甲，乙兩人甩繩子的示意圖，當繩子甩到最高處時，其形狀可近似地看作一條拋物

線（如圖2所示）.

實踐操作：

第一步：選兩名身高基本相同的男同學為持繩手，量得兩人拿繩子的手離地面的高度都為1m,并且兩

人相距6m；

第二步：經(jīng)過多次試跳發(fā)現(xiàn)：當繩子甩到最高處時，身高1.75米的小敏同學從乙持繩手的左側(cè)距離乙

1.5米處進入游戲，恰好通過；

第三步：現(xiàn)以兩人的站立點所在的直線為x軸，過甲拿繩子的手作x軸的垂線為y軸，建立如圖2所示的

平面直角坐標系.

問題解決：

圖1圖2

同

學

123456789

編

號

身1.501.611.771.531.681.751.701.681.78

高

/m

⑴求繩子甩到最高處時所對應的拋物線表達式并求出其頂點坐標.

（2）當繩子甩到最高處時，通過計算說明身高1.50m的小明，從甲持繩手的右側(cè)距離甲1m處進入游戲能

否通過跳繩.

⑶現(xiàn)有9位同學身高統(tǒng)計如下表，計劃采取一路縱隊并排的方式同時起跳（如圖1）,為了保證安全，

要求人與人之間距離至少0.5m,此時繩子能否順利地甩過所有隊員的頭頂？若能，請寫出隊列安排方

案；若不能，請說明理由.

15.(2025?陜西漢中?模擬預測)東北地區(qū)的凍梨以其獨特的地域風貌與味道而出名，在好奇心的驅(qū)動下,

住在東北地區(qū)的林同學前往調(diào)查了凍梨的價格，以下是他走訪20個攤位后整理的數(shù)據(jù)，請你根據(jù)數(shù)據(jù)

回答下列問題:

⑴扇形統(tǒng)計圖中，5元/斤的攤位占統(tǒng)計總數(shù)的_%

(2)這20個樣本的平均值為一眾數(shù)為一

⑶林同學通過詢問還了解到，凍梨的進價為L5元/斤，且凍梨的售價與銷量成某種關系，以4元/斤為

基礎售價，日銷量為20斤，每提高1元/斤，日銷量便減少2斤，但是價格不能超過5.5元/斤，則你

認為凍梨的售價應定為多少可達到最大日利潤？最大日利潤為多少？

16.(2025?貴州遵義?一模)高爾夫球運動是一項具有特殊魅力的運動.如圖，是小美在某高爾夫俱樂部中

的一次擊球.已知：小美擊球點。到坡腳工的距離。力=15米，CD-.AD=2:5,洞口C距離坡腳”的距

離4c=3同米，小美從。點打出一球向球洞C點飛去，球的路線為拋物線，如果不考慮空氣阻力，

當球達到最大高度8米時，球移動的水平距離為20米.

xA

⑴如圖L建立直角坐標系，求拋物線解析式；

(2)判斷小美這一桿能否把高爾夫球從O點直接打入球洞C點，請說明理由；

⑶如圖2,小美打完第一桿后，再次揮出第二桿，此時球的飛行路線為y=-擊/+白，求此次揮桿

中小球離斜坡力C的最大豎直高度MN.

17.(2025?安徽,一模)2025年元旦，希望中學開展"冬日情暖，喜迎元旦”活動，小亮同學對會場進行裝

飾.如圖1所示，他在會場的兩墻4B、CD之間懸掛一條近似拋物線y=a/—0.8x+c的彩帶，如圖2

所示，已知墻28=CD=3,且4B、CD之間的水平距離8。為8米.

木Mm)

*I

F、MF2

S(5jDXin)

圖1圖2圖3

⑴求拋物線的頂點坐標；

(2)為了彩帶造型美觀，小亮把彩帶從點M處用一根細線吊在天花板上，如圖3所示，使得點M到墻2B

距離為3米，使拋物線％的最低點距墻4B的距離為2米，離地面2米，求點M到地面的距離；

⑶為了避免人的頭部觸到彩帶，小亮將點M到地面的距離提升為3米，并調(diào)整點M的位置，使拋物線尸2

對應的二次函數(shù)的二次項系數(shù)始終為今若設點M距墻的距離為機米，拋物線尸2的最低點到地面的距

離為n米.

①試探究九與ni的關系式；

②當2WnW：時，求nt的取值范圍.

18.(2025?陜西咸陽?模擬預測)在2025年春晚的舞臺上，名為《秧80T》的創(chuàng)新節(jié)目驚艷亮相！這場科技

與藝術(shù)的跨界盛宴不僅是一場精彩的表演，更是中國機器人產(chǎn)業(yè)"軟硬協(xié)同”能力的集中展現(xiàn).機器人愛

好者李祎同學為了解某種搬運機器人的工作效率，將一臺機器人的搬運時間x(h)和目的地貨物總量y

(kg)記錄如下表:

⑴在平面直角坐標系中描出表中數(shù)據(jù)對應的點，目的地貨物總量與這臺機器人的搬運時間符合初中學

習過的某種函數(shù)關系，則可能是函數(shù)關系；(選填"一次""二次""反比例")

(2)根據(jù)以上判斷，求y關于x的函數(shù)關系式；

⑶當目的地貨物總量為560kg時，這臺機器人的搬運時間是多少h?

19.(2025?陜西咸陽?模擬預測)中醫(yī)常用碾藥工具一一藥碾子(如圖1)起源于東漢時期，它不僅是一種工

具，更是一種文化的象征，代表了古代醫(yī)者的智慧和對中藥炮制的精益求精.圖1中碾槽外輪廓的上

沿和下沿可分別近似地看成兩條拋物線的一部分，如圖2,上沿和下沿的兩個交點分別為點。和點4

點。與點4到水平地面的距離相等.上沿拋物線的頂點為下沿拋物線的頂點為P,以。4所在直線為x

軸，過點。且垂直于。4的豎直線為y軸建立如圖2所示的平面直角坐標系，上沿拋物線滿足關系式

1-1Q

y=正(x—4)2_萬，PH=2dm-

⑴求下沿拋物線的函數(shù)表達式；

(2)點B與點C是兩個支撐架與下沿拋物線的交點，若點B與點C到無軸的距離均為|dm,求點B與點C之間

的距離.

20.（2025?廣東佛山?一模）綜合與實踐.

【實踐背景】

人體工學座椅通常具有可調(diào)節(jié)的功能，座椅的傾斜度、高度和深度等都可以根據(jù)使用者的需求進行調(diào)

整.座椅在如圖1的形態(tài)下，靠背與座面基本垂直，腳板收攏于座面下方，其結(jié)構(gòu)簡圖如圖3所示.

【實踐操作】

現(xiàn)需要將座椅從圖1的形態(tài)變成適合小李的圖2的形態(tài)，使得靠背力E與腳板BF平行，請在圖4中用尺

規(guī)作圖法畫出腳板BF；（保留作圖痕跡，不要求寫出作法）

【升級設計】

如圖5,現(xiàn)將上述座椅簡圖置于平面直角坐標系中，把靠背4E由直變曲，并賦予座面AB一定的座位深

度，使其不再與地面平行.其中曲線4E是二次函數(shù)的部分圖象，點4為頂點：線段4B=5皰cm（實

際生產(chǎn)時取48~45cm）；

（1）求該二次函數(shù)的解析式；

（2）如果座椅兩扶手之間相距60cm,現(xiàn)在還要制作一個無蓋的長方體形紙箱用于包裝此座椅，提供如

下面積足夠大的長方形紙皮，請你直接在圖6中畫出設計圖（紙箱的展開圖），并在圖中標明尺寸.（要

求：包裝箱的體積最小）

21.（2024,河北石家莊?模擬預測）為打造旅游休閑城市，某村莊為吸引游客，沿綠道旁的母親河邊打造噴

水景觀（如圖1）.為保持綠道地面干燥，水柱呈拋物線狀噴入母親河中.圖2是其截面圖，已知綠道

路面寬。4=3.5米，河道壩高4E=5米，壩面4B的坡比為i=1:0.5（其中i=tan/ABE）,當水柱離噴

水口。處水平距離為2米時，離地平面距離的最大值為3米.

圖1圖2

以。為原點建立平面直角坐標系，解決問題：

⑴求水柱所在拋物線的解析式；

⑵出于安全考慮，在河道的壩邊/處安裝護欄，若護欄高度為1.25米，判斷水柱能否噴射到護欄上,

說明理由；

⑶河中常年有水，但一年中河水離地平面的距離會隨著天氣的變化而變化，水柱落入水中能蕩起美麗

的水花，從美觀角度考慮，水柱落水點要在水面上；

①河水離地平面4。距離為多少時，剛好使水柱落在壩面截線4B與水面截線的交點處？

②為保證水柱的落水點始終在水面上，決定安裝可上下伸縮的噴水口，設壩中水面離地平面距離為

米，噴水口離地平面的最小高度機隨著/z的變化而變化，直接寫出加與力的關系式.

22.（24-25九年級上?廣東揭陽?期末）【綜合實踐】

如圖1所示，是《天工開物》中記載的三千多年前中國古人利用桔椽在井上汲水的情境，受桔椽的啟

發(fā)，小杰組裝了如圖2所示的裝置.其中，杠桿可繞支點。在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，支點。距左端口=1

m,距右端勿=04m,在杠桿左端懸掛重力為80N的物體（杠桿原理：阻力x阻力臂=動力x動力臂,

如圖2,即尸4義人=FBXL2）

ky/cm

8-r-T-r-r-r-r-r-T-r-T-r-，

01------------------------------------------------?

1020304050x/N

⑵為了讓裝置有更多的使用空間，小杰準備調(diào)整裝置，當重物8的質(zhì)量變化時，切的長度隨之變化.設

重物8的質(zhì)量為無N,“的長度為ycm.貝!］：

①y關于x的函數(shù)關系式是

②完成表格：a=_；b=_.

③借助表格，在圖3的直角坐標系中畫出該函數(shù)的圖象.

⑶在（2）的條件下，若點/的坐標為（20,0）,點8的坐標為（0,2）,在（2）中所求函數(shù)的圖象上存在

點C，使得S44BC=46,請求出點C的坐標.

23.（2024?福建泉州,模擬預測）【項目化學習】

項目主題：從函數(shù)角度重新認識"阻力對物體運動的影響

項目內(nèi)容：數(shù)學興趣小組對一個靜止的小球從斜坡滾下后，在水平木板上運動的速度、距離與時間的

關系進行了深入探究，興趣小組先設計方案，再進行測量，然后根據(jù)所測量的數(shù)據(jù)進行分析，并進一

步應用.

實驗過程：如圖（°）所示，一個黑球從斜坡頂端由靜止?jié)L下沿水平木板直線運動，從黑球運動到點4

處開始，用頻閃照相機、測速儀測量并記錄黑球在木板上的運動時間x（單位：s）、運動速度u（單位:

cm/s）、滑行距離y（單位：cm）的數(shù)據(jù).

（1）請在圖（6）中畫出u與％的函數(shù)圖象;

Av/（cm/s）

11

10

9「一丁『十十十-十一1十十：「

8—*—?—?—:—；——:—；—；—:

7一十十十十十十十十十十產(chǎn)

4

3—1—?—1-—?—?—:—>—1—:—?—?—；

2.................

ol123456789101112*/s

（b）

任務二：觀察分析

（2）數(shù)學興趣小組通過觀察所作的函數(shù)圖象，并結(jié)合已學習過的函數(shù)知識，發(fā)現(xiàn)圖（6）中"與方的函

數(shù)關系為一次函數(shù)關系，圖（c）中y與x的函數(shù)關系為二次函數(shù)關系.請你結(jié)合表格數(shù)據(jù)，分別求出"與x

的函數(shù)關系式和y與久的函數(shù)關系式；（不要求寫出自變量的取值范圍）

Ay/cm

O123456789101112x/s

任務三：問題解決

（3）若黑球到達木板點力處的同時，在點力的前方ncm處有一輛電動小車，以2cm/s的速度勻速向右直

線運動，若黑球不能撞上小車，求n的取值范圍.

24.（2025,廣西柳州?一模）［綜合探究］運用二次函數(shù)來研究植物幼苗葉片的生長狀況.在大自然里，有很

多數(shù)學的奧秘.圖1是一片美麗的心形葉片，圖2是一棵生長的幼苗都可以看作把一條拋物線的一部

分沿直線折疊而形成.

圖1圖2

【探究一】確定心形葉片的形狀

（1）如圖3建立平面直角坐標系，心形葉片下部輪廓線可以看作是二次函數(shù)丫=a/—4a久一4a+1圖

象的一部分，已知圖像過原點，求拋物線的解析式及頂點D的坐標;

【探究二】研究心形葉片的寬度：

（2）如圖3,在（1）的條件下，心形葉片的對稱軸，即直線曠=久+1與坐標軸交于4B兩點，拋物

線與x軸交于另一點C,點C,3是葉片上的一對對稱點，CQ交直線4B于點G.求葉片此處的寬度CCi；

【探究三】探究幼苗葉片的長度

（3）小李同學在觀察幼苗生長的過程中，發(fā)現(xiàn)幼苗葉片下方輪廓線都可以看作是二次函數(shù)y=a/

—4ax—4a+l圖象的一部分；如圖4,幼苗葉片下方輪廓線正好對應探究一中的二次函數(shù).已知直線

PD（點P為葉尖）與水平線的夾角為45。，求幼苗葉片的長度PD.

25.（24-25九年級上?福建泉州?階段練習）【項目式學習】

【項目主題】自動旋轉(zhuǎn)式灑水噴頭灌溉蔬菜

【項目背景】尋找生活中的數(shù)學，九（1）班分四個小組，開展數(shù)學項目式實踐活動，獲取所有數(shù)據(jù)共

享，對蔬菜噴水管建立數(shù)學模型.菜地裝有1個自動旋轉(zhuǎn)式灑水噴頭灌溉蔬菜，如圖1所示，觀察噴

頭可順、逆時針往返噴灑.

【項目素材】

素材一：甲小組在圖2中建立合適的直角坐標系，噴水口中心。有一噴水管。4從/點向外噴水，噴

出的水柱最外層的形狀為拋物線，以水平方向為x軸，點。為原點建立平面直角坐標系，點噴水

口）在y軸上，x軸上的點。為水柱的最外落水點.

素材二：乙小組測得種植農(nóng)民的身高為L75米，他常常往返于菜地之間.

素材三：丙小組了解到需要給蔬菜大鵬里拉一層塑料薄膜用來保溫保濕，以便蔬菜更好地生長.

【項目任務】

任務一：丁小組測量得噴水口中心點。到水柱的最外落水點。水平距離為7.6米，其中噴出的水的最

高點正好經(jīng)過一個直立木桿EF的頂部廠處，木桿高EF=4米，距離噴水口。E=3.6米，求出水柱所在

拋物線的函數(shù)解析式.

任務二：乙小組發(fā)現(xiàn)這位農(nóng)民在與噴水口水平距離是尸米時，不會被水淋到，求P的取值范圍.

任務三：丙小組測量發(fā)現(xiàn)薄膜所在平面和地面的夾角是45。，截面如圖3,求薄膜與地面接觸點與噴水

口的水平距離是多少米時，噴出的水與薄膜的距離至少是10厘米？（精確到0.1米）

圖1圖2圖3

26.（2025?貴州?一模）某商鋪老板為了防止商品久曬受損，在門前安裝了一個遮陽棚，如圖所示，遮陽篷力B

長為1.5米，與墻面力。的夾角NH4D=75。，靠墻端/離地高4。為2.2米，遮陽棚前段下擺的自然垂直長

度BC=0.2m,（結(jié)果精確到0.1米；參考數(shù)據(jù)：sin75°?0.97,cos75°?0.26,tan75°?3.73）

（1）如圖1,求遮陽棚上的3點到墻面4D的距離；

（2）如圖2,當太陽光線EF與地面DG的夾角為53。時，求陰影OF的長（參考數(shù)據(jù)：sin53°?0.8,cos

53°?0.6,tan53°?1.33）

27.（2025,安徽?一模）隨著時代的發(fā)展和人們生活水平的提高，私家車越來越多，停車越來越難，停車場

的建造就成為解決問題的途徑之一.如圖是一個新建的地下停車場的設計示意圖，已知坡道4B的坡比

i=1:2.4,的長為8.4米，CD的長為0.9米.按規(guī)定，停車場坡道口上方需張貼限

高標志，以便告知停車人其車輛能否安全駛?cè)?，請根?jù)所給數(shù)據(jù)，確定該停車場入口的限高，即D”的

長為多少？

28.（2025,河南焦作,一模）綜合與實踐

【問題情境】

如圖（1）為一個圓形噴水池，水池的圓心。處有一噴水裝置，數(shù)學活動小組計劃使用皮尺測量水池的

直徑，但因噴水裝置阻擋，所以無法直接測量直徑，需要如何進行呢？（水池邊緣厚度忽略不計）

【方案解決】

出發(fā)前，同學們設計了如下兩種方案：

方案一：如圖（2）,先在水池邊上取4B兩點，使得40,B三點共線，再在水池外取一點C,測得

AC,BC的長，在AC的延長線上取點D,使得CD=4C,在BC的延長線上取點￡使得CE=8C,最后測

得DE的長即為直徑4B的長；

方案二：如圖（3）,先在水池邊上取4B兩點，使得40,B三點共線，再在水池外取一點C,測得

AC,BC的長，在4c的延長線上取點。，使得CD=SC,在BC的延長線上取點E,使得CE=沏7,最后

測得DE的長，便可求出力B的長.

⑴請你選擇其中一個方案判斷理論上是否可行，并說明理由；

（2）同學們?nèi)嵉乜疾旌?，發(fā)現(xiàn)噴水裝置較大，阻擋視線，難以保證40,B三點共線，經(jīng)過討論，同

學們利用《圓》一章的知識，設計并實施了方案三：如圖（4）,在水池邊上取三點力，B,C,使得

AB=AC,測得4B=4C=12米，BC=8米，通過計算，可以求得圓形水池的直徑.請根據(jù)測量的數(shù)

據(jù)，求出水池的直徑.（結(jié)果精確到0.1米，其中魚=1.414）

29.（2025?遼寧沈陽?一模）單擺是一種能夠產(chǎn)生往復擺動的裝置.某興趣小組利用單擺進行相關的實驗探

究，并撰寫實驗報告如表.

實

驗

探究擺球運動過程中高度的變化

主

題'

實擺球，擺線，支架，攝像機等

驗

用

具

實如圖1,在支架的橫桿點。處用擺線懸掛一個擺球，將擺球拉高后松手，擺球開始

驗往復運動.（擺線的長度變化忽略不計）如圖2,擺球靜止時的位置為點4拉緊擺

說線將擺球拉至點B處，8。1。4于點。，Z-BOA=64°,BD=18.9cm；當擺球運動

明至點C時，NCQ4=37°,CE104于點E.（點。在同一平面內(nèi)）

1

實

驗

圖

示

圖1圖2

解決問題：根據(jù)以上信息，求4E的長.

（參考數(shù)據(jù):sin37°~0.60,cos37°~0.80,tan37°~0.75,sin64°?0.90,cos64°?0.44,tan64°

?2.05,結(jié)果精確到lcm）

30.（2025,河北石家莊,一模）數(shù)學綜合實踐小組進行了項目式學習的實踐探究，并繪制了如下記錄表格.

（結(jié)果精確到0.01m,參考數(shù)據(jù)：sin70°~0.940,cos70°?0.342,tan70°~2.747,舊21.732）

3L（2025,遼寧沈陽?模擬預測）中國古代運用"土圭之法”判別四季.夏至時日影最短，冬至時日影最長，春

分和秋分時日影長度等于夏至和冬至日影長度的平均數(shù).某地學生運用此法進行實踐探索，如圖，在示意

圖中，產(chǎn)生日影的桿子48垂直于地面，48長8尺.在夏至時，桿子在太陽光線4C照射下產(chǎn)生的日影為

BC-在冬至時，桿子在太陽光線力D照射下產(chǎn)生的日影為BD.已知NACB=73.4。，AADB=26.6°.

示意圖

⑴求冬至時日影BD的長度;

（2）求春分和秋分時日影長度（結(jié)果精確到0.1尺）.(參考數(shù)據(jù)：sin26.6°?0.45,cos26.6°?0.89,

tan26.6°?0.50,sin73.4°?0.96,cos73.4°?0.29,tan73.4°?3.35)

32.（2025?山東濟寧,模擬預測）解答:

如何設計搖椅椅背有坐墊長度？

某公司設計制作一款搖椅，圖1為效果圖，O

A

1\

圖2為其側(cè)面設計圖.其中FC為椅背，EC為

素

坐墊，C、。為焊接點，且CD與4B平行，支

材

架4C,BD所在直線交于圓弧形底座所在圓的

圓心。.設計方案中，要求4B兩點離地面高圖1圖2

度均為5厘米，4B兩點之間距離為70厘米.

經(jīng)研究，NOCF=53。時，舒適感最佳.現(xiàn)用C)

、、

來制作椅背FC和坐墊EC的材料總長度為160X

厘米，設計時有以下要求：

素'9E

（1）椅背長度小于坐墊長度；

材

（2）為安全起見，搖椅后搖至底座與地面相

S3

切于點力時（如圖3）,F點比E點在豎直方向

上至少高出12厘米