專題02式（整式、分式）

熱點(diǎn)定位

>1.代數(shù)式

能通過整體代入、恒等變形等方法求代數(shù)式的值.

>2.整式

理解整式的概念，掌握合并同類項(xiàng)、去括號(hào)法則。

熟練進(jìn)行整式的加減乘除運(yùn)算（含乘法公式）。

能利用整式運(yùn)算解決實(shí)際問題（如面積、規(guī)律探究）。

>3.分式

理解分式的概念，掌握分式有意義的條件（分母和）.

熟練進(jìn)行分式的化簡(jiǎn)、求值及混合運(yùn)算.

目錄

熱點(diǎn)一嘉的運(yùn)算性質(zhì)..........................................................2

熱點(diǎn)二整式的運(yùn)算.......................................................

熱點(diǎn)三乘法公式.........................................................

熱點(diǎn)四分式的基本性質(zhì)...................................................

熱點(diǎn)五分式的混合運(yùn)算與化簡(jiǎn)求值.........................................1

熱點(diǎn)一塞的運(yùn)算性質(zhì)

熱點(diǎn)指導(dǎo)

（1）同底數(shù)幕相乘法則：am-an=am+n（九〃為整數(shù)，.0）

（2）基的乘方法則：（/）"=屋"（也〃為整數(shù)，-0）

（3）積的乘方法則：（曲）"=。酎（〃為整數(shù)，必會(huì)0）

（4）同底數(shù)塞相除法則：。"二優(yōu)=產(chǎn)"（…為整數(shù)，.0）

（2025?煙臺(tái)一模）若叫=2,?=3,則城j的值為（

A.2B.3C.-D.5

3

【答案】C

【分析】根據(jù)幕的乘方與積的乘方、同底數(shù)嘉的除法法則進(jìn)行解題即可.

【解答】解：，x"=2,x"=3,

3

x=（￡）3+/=23/3=號(hào).

3

故選：C.

（2025?梁溪區(qū)一模）下列各算式中的2和3可以直接相加的是（

A.2a+3bB.a2+a3C.（fl2）3D.a2-a3

【答案】D

【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)，募的乘方，同底數(shù)易的乘法的運(yùn)算法則，逐一判斷各選項(xiàng)，

可得到結(jié)果.

【解答】解：A.2。+36不是同類項(xiàng)，不能合并，故不符合題意；

B.a2+a3,不是同類項(xiàng)，不能合并，故不符合題意；

C.（，）3=/"3,2和3是相乘，故不符合題意；

i1+i

D.cr-a=a,2和3是相加，故符合題意，

故選：D.

【典例3】（2025?廈門校級(jí)模擬）下列運(yùn)算正確的是（）

A.a+a=crB.（ab#=ab"C.a2-a3=a5D.a-a=2a

【答案】C

【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)，積的乘方，同底數(shù)易相乘逐一判斷各選項(xiàng)，可得到結(jié)果.

【解答】解：A.a+a=2a,故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

B.（abjl九故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

C.a1-a3=a5,故該選項(xiàng)正確，符合題意；

D.a-a=a2,故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意，

故選：C.

【典例4】（2025?湖南模擬）下列運(yùn)算正確的是（）

A.（療）2=/B.3a2b+2ab2=5a2b

C.a2-a3=6^D.（3a）2=3a1

【答案】C

【分析】根據(jù)募的乘方與積的乘方運(yùn)算法則，合并同類項(xiàng)法則，同底數(shù)易的乘法運(yùn)算法

則進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：A.（/）2=06,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

83/6與3"2不是同類項(xiàng)，不能合并，故選項(xiàng)3錯(cuò)誤;

C.a2-a3=as,故選項(xiàng)C正確；

D.（3a）2=9a2,故選項(xiàng)。錯(cuò)誤.

故選：C.

（2025?高州市一模）已知3*3"=1,則〃?+〃值是（）

A.-1B.0C.1D.3

【答案】B

【分析】根據(jù)同底數(shù)募的乘法公式，先對(duì)等式左邊進(jìn)行計(jì)算，再根據(jù)零指數(shù)募得出帆+〃

的值.

【解答】解：3"'3=3"，3%3"=1,

3m+n=1,

/.m+n=0，

故選：B.

熱點(diǎn)二整式的運(yùn)算

熱點(diǎn)指導(dǎo)

（1）整式的加減運(yùn)算實(shí)際就是合并同類項(xiàng).

（2）整式的乘法：（a+》）（"7+〃）=a〃z+m+加z+加.

（3）整式的除法：?jiǎn)雾?xiàng)式除以單項(xiàng)式時(shí)，把系數(shù)、相同字母的哥分別相除，

作為商的因式，對(duì)于只在被除式中含有的字母，則照抄下來；多項(xiàng)式除以單項(xiàng)

式時(shí)，用多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別除以單項(xiàng)式，再把所得的商相加.

(2025?重慶模擬)化簡(jiǎn)：(x+3)(x-3)+2(x-1)2+(2x-5)(x+2)-x(x+4).

【答案】4X2-9X-17.

【分析】利用平方差公式，完全平方公式，單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則進(jìn)

行計(jì)算，即可解答.

【解答】解：(x+3)(x-3)+2(x-1)2+(2x-5)(x+2)-x(x+4)

=x?—9+2(尤2—2x+1)+2x?+4x—5x—10—x2-4x

=x~-9+2x~—4x+2+2x?+4x—5x—10—x2—4x

=4%2-9X-17.

【典例7】(2025?榆陽區(qū)一模)化簡(jiǎn)：4a(3a-l)-2a-6a.

【答案】-4a.

【分析】先根據(jù)單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式、單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則計(jì)算，再合并同類項(xiàng)即可.

【解答】解：4a(3a-1)-2a-6”

=12a~-4a—12a~

=—4a.

【典例8](2025?重慶模擬)計(jì)算：

(1)(x+2y)(x-2y)-y(3-4y)；

/\11、a—2

(2o)(z------+———)+---------.

Q+3a-92a+6

【答案】(1)x2-3y；

【分析】(1)根據(jù)平方差公式和單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式將題目中的式子展開，然后合并同類項(xiàng)

即可；

(2)先通分括號(hào)內(nèi)的式子，同時(shí)將括號(hào)外的除法轉(zhuǎn)化為乘法，然后約分即可.

【解答】解：(1)(x+2y)(x-2y)-y(3-4y)

X1-4y2—3y+4y2

/\11、Q—2

⑵(z------+-^——)+---------

〃+3a—92a+6

。—3+12(。+3)

(Q+3)(〃-3)Q—2

a—22

〃—3a—2

2

a-3

【典例9】(2025?重慶模擬)計(jì)算：

(1)(2a+b)(2〃-b)-b(a-b)；

(2)(x-1-------)H--------,

x+1X+x

【答案](1)4a2-ab;

(2)-x2-3x.

【分析】(1)根據(jù)平方差公式和單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式將題目中的式子展開，然后合并同類項(xiàng)

即可；

(2)先通分括號(hào)內(nèi)的式子，同時(shí)將括號(hào)外的除法轉(zhuǎn)化為乘法，再約分即可.

【解答】解：(1)(2a+b)(2a-b)-b(a-b)

=4/-b2—ab+h1

=4a2-ab;

/183—x

⑵(x-1-------—

x+1X+x

l)(x+1)-8+1)

--(-x-------------------?--x-(-x------

x+13-x

2—1—8+1)

=-x----------?--x-(-x------

x+13—x

(%+3)(%-3)+1)

------------------?--x-(-x------

x+13-x

=-x(x+3)

=—%2—3x?

【典例10](2024?廣水市二模)計(jì)算：[(3a-b)2+(a+份(a-6)]+2a.

【答案】5a-3b.

【分析】先算完全平方，平方差，再算括號(hào)里的運(yùn)算，最后算整式的除法即可.

【解答】解：［（3〃一b）2+（a+份（〃一份］+2。

—(9/-6ab+Z72+,—/?2)-r2a

-(10tz2-6ab)+2a

=5a-3b.

熱點(diǎn)三乘法公式

熱點(diǎn)指導(dǎo)

①平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2.

②完全平方公式：（。土加2="±2。6+/.

【典例U】（2025?濱湖區(qū)一模）已知（。+與2=10,ab=6，那么（。-與2=

【答案】10-4案.

【分析】利用完全平方公式將變形后代入數(shù)值計(jì)算即可.

【解答】解：（4+3）2=10,ab=6，

（a—b）-

=（a+6）2-4ab

=10-4A/3,

故答案為：10-4A/3.

【典例12］（2025?周村區(qū)一模）已知a"=3,則代數(shù)式2/-4而+2/的值為.

【答案】18.

【分析】將原式提公因式后再利用完全平方公式因式分解，然后代入已知數(shù)值計(jì)算即可.

【解答】解：a—b=3,

.e.2a2—4ab+2H

=2(a2-2ab+b2)

二2(〃-份2

=2x3?

=2x9

=18，

故答案為：18.

(2025?黃浦區(qū)二模)計(jì)算：(x+2y)(x-2y)=.

【分析】根據(jù)平方差公(。+份(―6)="-/運(yùn)算即可.

【解答】解：(x+2y)(x-2y)=f-4y2,

故答案為：x2-4y2.

【典例14](2025?河北一模)計(jì)算：20252-2024x2026=1.

【答案】1.

【分析】利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算，即可解答.

【解答】解：20252-2024x2026

=20252-(2025-1)(2025+1)

=20252-(20252-1)

=20252-20252+1

二1,

故答案為：1.

【典例15)(2024?涼州區(qū)校級(jí)模擬)已知：/一.=2023,且x—y=2023,貝!|x+y=.

【答案】1.

【分析】根據(jù)平方差公式計(jì)算即可.平方差公式：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差相乘，等

于這兩個(gè)數(shù)的平方差.(4+?("?=片-火

【解答】解：.x2-y2=（x+y）（x_y）=2023,x-y=2023,

:.x+y=l.

故答案為：1.

熱點(diǎn)四分式的基本性質(zhì)

■

熱點(diǎn)指導(dǎo)

分式的分子與分母都乘（或除以）同一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變.

（2025?浙江模擬）下列等式一定成立的是（）

2

A33+〃Ra_a「aac

A.—=------C.-=—

44+Q*V~~bbbe

【答案】D

【分析】利用分式的基本性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.

【解答】解：當(dāng)a=。時(shí)，3=出，則A不符合題意,

44+〃

2

會(huì)無法約分，則8不符合題意,

當(dāng)c#0時(shí)，巴=竺,則C不符合題意,

bbe

2?=生，則。符合題意，

yy

故選：D.

【典例17]（2024?沈陽校級(jí)模擬）下列各式中的變形,錯(cuò)誤的是（）

A22R-bb「b3b

A.——二—D.-----=----C.—=—D.

-3x3%-2a2aa3axx+3

【答案】D

【分析】根據(jù)分式的分子分母都乘以（或除以）同一個(gè)不為零的數(shù)（整式），分式的值不

變，可得答案.

【解答】解：A、—故A正確；

-3x3x

3、分子、分母同時(shí)乘以-1,分式的值不發(fā)生變化，故B正確；

C、分子、分母同時(shí)乘以3,分式的值不發(fā)生變化，故C正確；

D、上不一定等于＞2,故。錯(cuò)誤；

xx+3

故選：D.

【典例18]（2024?潢川縣二模）下列各式從左向右變形正確的是（）

AQ+2a°a-b1

A.=—B.———-=------

b+2bci—ba+b

小。+2cc3b—1Z?-1

C?-------2D?--------------

a3c—1c—1

【答案】B

【分析】分式的分子與分母同乘（或除以）一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變，據(jù)此

判斷即可.

【解答】解：A、分子、分母都加2,分式的值改變，故A錯(cuò)誤;

a-b_a-b_1

故3正確;

a1—b2(a-b)(a+b)a+b

C、—=1+-,故C錯(cuò)誤；

aa

D、及二1故。錯(cuò)誤.

故選：B.

【典例19]（2024?振興區(qū)校級(jí)模擬）根據(jù)分式的基本性質(zhì)對(duì)分式變形，下列正確的

是（）

2

AQQ+2「aa+2a廠act八-Q+2〃+2

A.—=D.—=----------C.—=--D.---------=---------

bb+2bb+2bbb2bb

【答案】B

【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)分別計(jì)算后判斷即可.

【解答】解：A.分子分母同時(shí)加上同一個(gè)數(shù)，分式不一定成立，故原選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符

合題意；

B.￡±幺=即=9,故原選項(xiàng)正確，符合題意.

b+2b3bb

c.-=4,故原選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

bb

D.*=一小，故原選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

bb

故選：B.

【典例20］（2024?宜興市二模）不改變分式的值，將分式旬中的分子與分母

-0.3x+0.5

的各項(xiàng)系數(shù)化為整數(shù)，且第一項(xiàng)系數(shù)都是最小的正整數(shù),正確的是（）

A2x+lD2x—10「2%+ioD2x+10

A.--------D.----------------

3x-53%+5■3x+5?3x-5

【答案】D

【分析】分式的分子、分母同乘以-1,再同乘以10,再化簡(jiǎn)即可.

0.2%+110(0.2%+1)2x+10

【解答】解：原式=

0.3x-0.510(0.3%-0.5)3x-5

故選：D.

熱點(diǎn)五分式的混合運(yùn)算與化簡(jiǎn)求值

熱點(diǎn)指導(dǎo)

1.分式的混合運(yùn)算

先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的；最后的結(jié)果能

約分的要約分，化為最簡(jiǎn).

2.分式的化簡(jiǎn)求值

（1）分式通過化簡(jiǎn)后，代入適當(dāng)?shù)闹到鉀Q問題，注意代入的值要使分式的分

母不為0.

（2）靈活應(yīng)用分式的基本性質(zhì)，對(duì)分式進(jìn)行通分和約分，一般要先分解因

式.化簡(jiǎn)求值時(shí)，一要注意整體思想，二要注意解題技巧，三要注意代入的值

要使分式有意義.

（3）分式的化簡(jiǎn)求值題型中，自選代值多會(huì)設(shè)“陷阱”，因此代值時(shí)要注

意.總的來說有以下兩類：

①當(dāng)分式運(yùn)算中不含除法運(yùn)算時(shí)，自選字母的值要使原分式的分母不為0；

②當(dāng)分式運(yùn)算中含有除法運(yùn)算時(shí)，自選字母的值不僅要使原分式的分母不為

0,還要使除式不為0.

【典例21]（2025?莊浪縣一模）化簡(jiǎn)Y+（￡）2的結(jié)果是（）

y

12

A.-4B.X2/C.4D.X2/

【答案】c

【分析】先算分式的乘方，再算除法即可.

【解答】解：x2^（-）2

y

2-

4

故選：c.

（2025?武強(qiáng)縣校級(jí)模擬）化簡(jiǎn)（1一工）.『的結(jié)果是（）

cia—1

A.（Z-1B.—C.—D.—

〃—1〃+1〃+1

【答案】D

【分析】根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則計(jì)算即可.

【解答】解:原式=——3—

a(a+1)(〃-1)

1

------,

Q+1

故選：D.

【典例23】（2025?乾縣校級(jí)一模）化簡(jiǎn):)

nm

2

AA.—mB?霍C.mD.m-2

n前n