專題6圓中的重要模型之輔助線模型（八大類）

在平面幾何中，與圓有關(guān)的許多題目需要添加輔助線來解決。百思不得其解的題目，添上合適的輔助

線，問題就會迎刃而解，思路暢通，從而有效地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。添加輔助線的方法有很多，本專

題通過分析探索歸納八類圓中常見的輔助線的作法。

模型1、遇弦連半徑（構(gòu)造等腰三角形）

【模型解讀】已知N8是。。的一條弦，連接CM,OB,則=

在圓的相關(guān)題目中，不要忽略隱含的已知條件。當(dāng)我們要解決有關(guān)角度、長度問題時，通?？梢赃B接半徑

構(gòu)造等腰三角形，利用等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理及圓中的相關(guān)定理，還可連接圓周上一點和弦的兩個

端點，根據(jù)圓周角的性質(zhì)可得相等的圓周角，解決角度或長度的計算問題

例1.（2022?山東聊城?統(tǒng)考中考真題）如圖，AB,CD是_O的弦，延長CC（相交于點P.已知4=30。，

ZAOC=80°,則BD的度數(shù)是（）

A.30°B.25°C.20°D.10°

例2.（2023?南召縣中考模擬）如圖，。。的直徑AB與弦CD的延長線交于點E,若DE=OB,ZAOC=84°,

則NE等于（）

A.42°B.28°C.21°D.20°

例3.（2023?江蘇沐陽初三月考）如圖，已知點C是。。的直徑AB上的一點，過點C作弦DE,使CD=C。.若

AD的度數(shù)為35。，則BE的度數(shù)是

D

例4.（2023年山東省淄博市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，ABC是：,0的內(nèi)接三角形，AB=AC,ZBAC=120°,

。是邊上一點,連接AD并延長交；。于點E.若AD=2,DE=3,貝/。的半徑為（）

A.V10B.-V10C.2A/10D.3V10

2

模型2、遇弦作弦心距（解決有關(guān)弦長的問題）

【模型解讀】已知是。。的一條弦，過點OE_L48,則/O序士AE^OA2。

在圓中，求弦長、半徑或圓心到弦的距離時，常添加弦心距，或作垂直于弦的半徑（或直徑）或再連結(jié)過

弦的端點的半徑。利用垂徑定理、圓心角及其所對的弧、弦和弦心距之間的關(guān)系、弦的一半、弦心距和半

徑組成直角三角形，根據(jù)勾股定理求有關(guān)量。一般有弦中點、或證明弦相等或已知弦相等時，常作弦心距。

例1.（2023年浙江省衢州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖是一個圓形餐盤的正面及其固定支架的截面圖，凹槽A8CD

是矩形.當(dāng)餐盤正立且緊靠支架于點4。時，恰好與BC邊相切，則此餐盤的半徑等于cm.

例2.（2023年四川省廣安市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，,ABC內(nèi)接于CO,圓的半徑為7,Z&4C=60°,則弦BC

的長度為.

（）

B

例3.（2021?湖北中考真題）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》

中用圖畫描繪了筒車的工作原理，如圖1,筒車盛水桶的運行軌道是以軸心。為圓心的圓，如圖2,已知圓

心。在水面上方，且。被水面截得的弦A3長為6米，。半徑長為4米.若點C為運行軌道的最低點，

則點C到弦所在直線的距離是（）

圖1圖2

A.1米B.（4-77）米C.2米D.（4+77）米

例4.（2023?廣東廣州?九年級?？甲灾髡猩┤鐖D所示，圓。的直徑A3與弦相交于點P.已知圓的直

徑AB=4,ZAPN=45°,貝1J河產(chǎn)+橋2的值是（）

A

A.8A/2B.8C.473D.4

模型3、遇求角可構(gòu)造同弧的圓周角（圓心角）

【模型解讀】如圖，已知/、B、尸是口。上的點，點C是圓上一動點，連接NC、BC,則口/。3=工口4。瓦

2

例1.（2023?四川巴中?統(tǒng)考中考真題）如圖,。是ABC的外接圓，若/C=25。，則440=（)

C.60°D.65°

例2.（2022?黑龍江哈爾濱??？寄M預(yù)測）如圖，點P是O上一點，若ZAO3=70，則/APB的度數(shù)為

C.135D.160°

例3.（2023秋?重慶?九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，一塊直角三角板的30。角的頂點尸落在O上，兩邊分別

交（。于A、3兩點，若（。的直徑為8,則弦A3長為（）

A.8B.4C.2近D.2y/3

例4.（2023?遼寧鞍山,統(tǒng)考中考真題）如圖，AC,BC為cO的兩條弦，D,G分別為AC,3c的中點，O的

半徑為2.若NC=45。，則DG的長為（）

G

B

3廣

A.2B.GC.—D.

模型4、遇直徑作直徑所對的圓周角（構(gòu)造直角三角形）

【模型解讀】如圖，已知是口。的直徑，點C是圓上一點，連接NC、BC,則口4（78=90。。

如圖，當(dāng)圖形中含有直徑時，構(gòu)造直徑所對的圓周角是解問題的重要思路，在證明有關(guān)問題中注意90。的圓

周角的構(gòu)造。

例L（2023?遼寧營口,統(tǒng)考中考真題）如圖所示，AD是。的直徑，弦3c交于點瓦連接A5,AC,

)

C.70°D.60°

例2.（2022?山東泰安,統(tǒng)考中考真題）如圖，A3是團(tuán)。的直徑，ZACD=ZCAB,AD=2,AC=4,則回。的

A.2A/3B.3A/2C.275D.#)

例3.（2022?四川巴中?統(tǒng)考中考真題）如圖，AB為。的直徑，弦8交A3于點E,BC=BD，/CDB=30°,

AC=25則OE=()

C.1D.2

模型5、遇90°的圓周角連直徑

【模型解讀】如圖，已知圓周角口員4c=90。，連接8C,則2C是□。的直徑。

遇到90°的圓周角時，常連接兩條弦沒有公共點的另一端點，得到直徑。利用圓周角的性質(zhì)，可得到直徑。

例L（2022?遼寧營口?統(tǒng)考中考真題）如圖，點4B,C,D在。上，AC±BC,AC=4,ZADC=30°,則

3c的長為（）

A.4百B.8C.4A/2D.4

例2.（2023?四川達(dá)州?統(tǒng)考二模）如圖，半徑為|■的A經(jīng)過原點。和點C（0,l）,2是y軸左側(cè)A優(yōu)弧上

一點，則tan/OBC為（）

B.亨C.*D.0

例3.（2023?重慶?統(tǒng)考中考真題）如圖,O是矩形A3。的外接圓，若A3=4,A￡>=3,則圖中陰影部分

的面積為.（結(jié)果保留萬）

模型6、遇切線連圓心和切點（構(gòu)造垂直）

【模型解讀】如圖，已知直線43連與圓。相切于點C,連接OC,則OC，/瓦

已知圓的切線時，常把切點與圓心連接起來，得半徑與切線垂直，構(gòu)造直角三角形，再利用直角三角形的

有關(guān)性質(zhì)解題。

例1.（2022?黑龍江哈爾濱??？寄M預(yù)測）如圖，如圖，PA,依分別切。于點A、B,點C為優(yōu)弧A3上

一點，若NACB=NAP3,則—ACB的度數(shù)為（）

例2.（2023年重慶市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，AC是：。的切線，3為切點，連接Q4,OC.若NA=30。，AB=2百,

BC=3,則OC的長度是（）

A.3B.2A/3C.V13D.6

例3.（2022春?湖北武漢?九年級統(tǒng)考自主招生）如圖，是圓。的直徑，BC是切線，8是切點，弦4）〃OC,

AE

CO與54的延長線交于點E,BC=AB,則==（）

模型7、證明切線的輔助線（證垂直或直角）

【模型解讀】證明直線是口。的切線.

遇到證明某一直線是圓的切線時：

（1）有點連圓心：當(dāng)直線和圓的公共點已知時，聯(lián)想圓的切線的判定定理，只要將該店與圓心連接，再證

明該直徑與直線垂直。如圖，已知過圓上一點C的直線42,連接OC,證明。?？?5,則直線是口。的

切線.

（2）無點作垂線：需證明的切線，條件中沒有告知與圓之間有交點，則聯(lián)想切線的定義，過圓心作該直線

的垂線，證明圓心到垂足的距離等于半徑。如圖，過點。作OCQ43,證明OC等于□。的半徑，則直線

是口。的切線.

例L（2023年四川省攀枝花市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，AB為《。的直徑，如果圓上的點。恰使NADC=/3,

求證：直線C。與:O相切.

D

c

B

例2.（2023秋?福建福州?九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，OA=OB=5,AB=8,。的直徑為6.求證：直

線A3是一。的切線.

例3.（2023年遼寧省盤錦市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，ABC內(nèi)接于。，AB為C。的直徑，延長AC到點G,

使得CG=CB,連接G8,過點C作CD〃GB,交AB于點尸，交點（。于點。，過點。作?？棥ˋB.交GB

的延長線于點瓦（1）求證：DE與。相切.（2）若AC=4,BC=2,求8E的長.

例4.（2023年遼寧省鞍山市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，四邊形A5CD內(nèi)接于C。，AB為，。的直徑，過點。

作小，3C,交的延長線于點尸，交54的延長線于點E,連接若44￡）+/①加=180。.

2

⑴求證：所為（。的切線.⑵若3￡=10,sinZBDC=-f求二。的半徑.

模型8、遇三角形的內(nèi)切圓，連內(nèi)心與頂點（切點）

當(dāng)遇到三角形內(nèi)切圓，連接內(nèi)心到三角形各頂點，或連接內(nèi)心到各邊切點（或做垂線）。

利用內(nèi)心的性質(zhì)可得一內(nèi)心到三角形三個頂點的連線是各角的平分線，內(nèi)心到三角形三邊的距離相等。

例L（2022?湖北恩施?統(tǒng)考中考真題）如圖，在RtA/8C中，0C=9O°,NC=4,BC=3,回。為RtA/8C的內(nèi)切

圓，則圖中陰影部分的面積為（結(jié)果保留萬）.

例2.（2023秋?浙江?九年級專題練習(xí)）如圖，在_ASC中，AB+AC=^BC,ADI3c于。，O為ABC

的內(nèi)切圓，設(shè)的半徑為R,A。的長為/?,則。的值為（）

例3.（2023?廣東廣州?統(tǒng)考中考真題）如圖，ABC的內(nèi)切圓/與BC,C4,A3分別相切于點。，E,尸,

若：/的半徑為，，ZA=a,則（3尸+CE-BC）的值和/FDE的大小分別為（）

a(I

A.2r,90。一。B.0,90°-aC.2r,90°——D.0,90°——

22

課后專項訓(xùn)練

1.（2023,重慶?統(tǒng)考中考真題）如圖，AC是?。的切線，B為切點，連接OC.若NA=30。，AB=2后,

BC=3,則OC的長度是（）

A.3B.2-y/3C.V13D.6

2.（2022?黑龍江哈爾濱??？寄M預(yù)測）如圖，如圖，PA.PB分別切。于點A、B,點C為優(yōu)弧A3上

一點，若NACB=NAP3,則—ACS的度數(shù)為（）

B

A.67.5°B.62°C.60°D.58°

3.（2023年四川省宜賓中考數(shù)學(xué)真題）如圖，已知點AB、C在I。上，C為AB的中點.若/54C=35。,

4.（2023年四川省涼山州數(shù)學(xué)中考真題）如圖，在。中，OA_L8C,44。8=30。，水?=26，則OC=（）

5.（2023年重慶市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，AB為O的直徑，直線。與。相切于點C,連接AC,若

ZACD=50°,則/54C的度數(shù)為（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

6.（2023?廣東?一模）如圖，A3是。。的直徑，3c交。。于點。，DELAC于點E,下列說法不正確的

是（)

A.若DE=DO,則DE是。。的切線B.若AB=AC,則DE是。。的切線

C.若CD=DB,則DE是。。的切線D.若DE是。。的切線，貝1|AB=AC

7.（2023秋?山東聊城?九年級?？奸_學(xué)考試）如圖，AB為。的直徑，CD為'O的弦，連接AC、AD,

若的C=27?,則ZADC的度數(shù)為度.

D

8.（2023秋?福建福州?九年級校考階段練習(xí)）如圖，。的弦ABLCD,點￡為垂足，AE=3,BE=1,

且AB=CD則1O的半徑為.

9.（2023秋?江蘇南京?九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。O,是O的直徑，過點C作

。的切線交A2的延長線于點P,若NADC=115。，則/CBA和/尸的度數(shù)分別為.

10.（2022秋嘿龍江大慶?九年級統(tǒng)考期末）如圖，ABC的內(nèi)切。與A3,BC,C4分別相切于點。，E,

F,且A￡>=2,_ABC的周長為14,則BC的長為

11.（2023?黑龍江哈爾濱?九年級?？奸_學(xué)考試）如圖，內(nèi)接于O,ZCAB=30°,/CBA=45。,

CDLAB于點￡>,若。的半徑為2,則CO的長為.

12.（2023秋?江蘇宿遷?九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，BD是。的弦，點C在3D上，以8C為邊作等邊

三角形,ABC,點/在圓內(nèi)，且AC恰好經(jīng)過點。，其中3c=12,OA=8,則3。的長為.

13.（2023?江蘇?中考真題）如圖，A3是二。的直徑，點C,。在。上.若/D4B=66。，則NACD=度.

C

14.（2023?山東泰安?統(tǒng)考中考真題）為了測量一個圓形光盤的半徑，小明把直尺、光盤和三角尺按圖所示

放置于桌面上，并量出AB=4cm,則這張光盤的半徑是cm.（精確到o.icm.參考數(shù)據(jù)：石。1.73）

o

B

15.（2021?四川宜賓?統(tǒng)考中考真題）如圖，回。的直徑4B=4,P為回。上的動點，連結(jié)4P,。為4P的中點,

若點尸在圓上運動一周，則點0經(jīng)過的路徑長是

16.（2023?安徽合肥?合肥壽春中學(xué)校考三模）如圖，在：。中，弦=D是BC一點、,

ZBOD=60°,則劣弧BO的長為.

17.（2023?河南南陽?統(tǒng)考三模）如圖，在2x3的網(wǎng)格圖中，每個小正方形的邊長均為1,點A,B,C,D

都在格點上，線段C。與弧AC交于點E,則圖中弧AE的長度為

D

18.（2023?廣東東莞?校考一模）如圖，從一塊半徑為1米的圓形鐵皮圓。上剪出一個圓心角為90度的扇形

ABC,且點4B、C都在圓上，則此時扇形的面積（保留兀）是?平方米.

A

1