專題1圓中的重要模型之四點(diǎn)共圓模型

四點(diǎn)共圓是初中數(shù)學(xué)的常考知識(shí)點(diǎn)，近年來(lái)，特別是四點(diǎn)共圓判定的題目出現(xiàn)頻率較高。相對(duì)四點(diǎn)共

圓性質(zhì)的應(yīng)用，四點(diǎn)共圓的判定往往難度較大，往往是填空題或選擇題的壓軸題，而計(jì)算題或選擇中四點(diǎn)

共圓模型的應(yīng)用（特別是最值問(wèn)題），通常能簡(jiǎn)化運(yùn)算或證明的步驟，使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單。本文主要介紹四點(diǎn)

共圓的四種重要模型。

四點(diǎn)共圓：若在同一平面內(nèi)，有四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，則稱這四個(gè)點(diǎn)共圓，一般簡(jiǎn)稱為“四點(diǎn)共圓”。

模型1、定點(diǎn)定長(zhǎng)共圓模型（圓的定義）

【模型解讀】若四個(gè)點(diǎn)到一定點(diǎn)的距離相等，則這四個(gè)點(diǎn)共圓。這也是圓的基本定義，到定點(diǎn)的距離等于

定長(zhǎng)點(diǎn)的集合。

條件：如圖，平面內(nèi)有五個(gè)點(diǎn)0、A、B、C、D,使得。4=08=。。=。。，

結(jié)論：A、B、C、。四點(diǎn)共圓（其中圓心為O）。

例1.（2023春?廣東梅州,九年級(jí)?？计谥校┤鐖D,量角器的直徑與直角三角板ABC的斜邊A2重合（45=6）,

其中量角器0刻度線的端點(diǎn)N與點(diǎn)A重合，射線CP從6處出發(fā)沿順時(shí)針?lè)较蛞悦棵?度的速度旋轉(zhuǎn)，CP

與量角器的半圓弧交于點(diǎn)E,第20秒時(shí)點(diǎn)E在量角器上運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)是—.

例2.（2021?浙江嘉興?統(tǒng)考中考真題）如圖，在AABC中，ZBAC=90°,AB=AC=5，點(diǎn)。在AC上，且AD=2,

點(diǎn)E是AB上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)。E,點(diǎn)尸，G分別是BC,DE的中點(diǎn)，連接AG,FG,當(dāng)AG=FG時(shí)，線段DE

長(zhǎng)為（）

C

D.4

A?拒B?乎。?當(dāng)

例3.（2023?江蘇淮安?統(tǒng)考三模）如圖，將矩形ABCD的邊A3繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到AF,連接班過(guò)點(diǎn)

。作所的垂線，垂足E在線段BF上，連接CE.若AD=3,AF=y/3,則ZDEC的度數(shù)為°.

例4.（2021?湖北隨州?統(tǒng)考中考真題）如圖，在R^ABC中，ZACB=90°,。為AB的中點(diǎn)，平分NAOC

交AC于點(diǎn)G,OD=O4,3D分別與AC,OC交于點(diǎn)E,尸，連接AD,。，則要的值為；若廢=<?尸，

模型2、定邊對(duì)雙直角共圓模型

同側(cè)型異側(cè)型

1）定邊對(duì)雙直角模型（同側(cè)型）

條件：若平面上4B、C、。四個(gè)點(diǎn)滿足NABD=NACD=90。,

結(jié)論：A、B、C、。四點(diǎn)共圓，其中為直徑。

2）定邊對(duì)雙直角模型（異側(cè)型）

條件：若平面上A、B、C、。四個(gè)點(diǎn)滿足NABC=ZAT>C=90。,

結(jié)論：A,B、C,。四點(diǎn)共圓，其中AC為直徑。

例1.（2021,湖北鄂州,統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABDC中，AC^BC,NACB=90。，AD/BD于點(diǎn)。.若

BD=2,CD=4日則線段A3的長(zhǎng)為.

例2.（2022春?山東?九年級(jí)專題練習(xí)）定義：三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線和與另一個(gè)內(nèi)角相鄰的外角平分線

相交所成的銳角稱為該三角形第三個(gè)內(nèi)角的遙望角.

（1）如圖1,SE是0ABe中0A的遙望角.①若0A=40。，直接寫出SE的度數(shù)是；

②求回￡與0A的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.（2）如圖2,四邊形ABC。中，0ABe=0AOC=9O。，點(diǎn)E在2。的

延長(zhǎng)線上，連"，若aBEC是0ABe中aBAC的遙望角，求證：DA=DE.

例3.（2022?湖北武漢??？级＃┤鐖D，等腰RtEIABC中，0ACB=9O°,D為BC邊上一點(diǎn)，連接AD.

（1）如圖1,作BEEIAD延長(zhǎng)線于E,連接CE,求證：回AEC=45°；

（2）如圖2,P為AD上一點(diǎn)，且EIBPD=45。，連接CP.若AP=2,求回APC的面積；

例4.（2022秋?廣東梅州?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，ZABC=ZADC=90°,E是

AC的中點(diǎn)，F(xiàn)是BD的中點(diǎn)，若ABAC=15°,ZDAC=45。，CD=4,貝!JEF的長(zhǎng)為（）

A.&B.2&C.2D.2#

模型3、定邊對(duì)定角共圓模型

條件：如圖1,平面上A、B、C、。四個(gè)點(diǎn)滿足/4D3=NACB,結(jié)論：A、B、C,。四點(diǎn)共圓.

條件：如圖2,AC,BD交于H,AHCH=BHDH,結(jié)論：AB、C、。四點(diǎn)共圓.

例1.（2023?江蘇?九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在中，0BAC=90°,0ABe=40。，將AA3C繞A點(diǎn)順時(shí)

針旋轉(zhuǎn)得到△ADE,使D點(diǎn)落在BC邊上.

（1）求SBA。的度數(shù)；（2）求證：A、D、B、E四點(diǎn)共圓.

例2.（2023?浙江紹興?九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖1,在等腰三角形ABC中，AB=AC=4,BC=6.如圖2,在底

邊BC上取一點(diǎn)D,連結(jié)AD,使得回DACWACD.如圖3,將回ACD沿著AD所在直線折疊，使得點(diǎn)C落在點(diǎn)E

處，連結(jié)BE,得到四邊形ABED.則BE的長(zhǎng)是（）

A

例3.（2022?江蘇無(wú)錫?中考真題）AA8C是邊長(zhǎng)為5的等邊三角形,△DCE是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，直線

與直線AE交于點(diǎn)尸.如圖，若點(diǎn)。在AABC內(nèi)，SDBC=20。，貝崛8AF=。；現(xiàn)將△￡）（7￡繞點(diǎn)C

旋轉(zhuǎn)1周，在這個(gè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段A尸長(zhǎng)度的最小值是

例4.（2022?貴州遵義?統(tǒng)考中考真題）探究與實(shí)踐："善思"小組開(kāi)展"探究四點(diǎn)共圓的條件”活動(dòng)，得出結(jié)論:

對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓.該小組繼續(xù)利用上述結(jié)論進(jìn)行探究.

提出問(wèn)題：如圖L在線段AC同側(cè)有兩點(diǎn)D,連接AD,AB,BC,CD,如果=那么A,

B,C,。四點(diǎn)在同一個(gè)圓上.

圖4

探究展示：如圖2,作經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,C,。的。。，在劣弧AC上取一點(diǎn)E（不與A,C重合），連接AE,CE

則NAEC+ND=180。（依據(jù)1）

?.?ZB=ND..ZAEC+/B=180°

.??點(diǎn)A,B,C,E四點(diǎn)在同一個(gè)圓上（對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓）

:?點(diǎn)、B,。在點(diǎn)A,C,E所確定的。O上（依據(jù)2）

.,.點(diǎn)A,B,C,E四點(diǎn)在同一個(gè)圓上

⑴反思?xì)w納：上述探究過(guò)程中的“依據(jù)1"、"依據(jù)2"分別是指什么？

依據(jù)1：;依據(jù)2：.

（2）圖3,在四邊形ABCD中，Z1=Z2,Z3=45°,則N4的度數(shù)為.

⑶拓展探究:如圖4,己知MBC是等腰三角形，AB=AC,點(diǎn)。在BC上（不與BC的中點(diǎn)重合）,連接AD.作

點(diǎn)C關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)E,連接并延長(zhǎng)交AD的延長(zhǎng)線于尸，連接AE,DE.①求證：A,D,B,E

四點(diǎn)共圓；②若48=2應(yīng)，AD-AF的值是否會(huì)發(fā)生變化，若不變化，求出其值；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由.

模型4、對(duì)角互補(bǔ)共圓模型

條件：如圖1,平面上A、B、C、。四個(gè)點(diǎn)滿足/4BC+/4DC=180。，結(jié)論：A,B、C、。四點(diǎn)共圓.

條件：如圖2,BA,8的延長(zhǎng)線交于尸，PAPB=PDPC,結(jié)論：A、B、C,。四點(diǎn)共圓.

1.（2023?浙江,統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC,ZC=45°,以A3為腰作等腰直角三角

形&a，頂點(diǎn)E恰好落在8邊上，若AD=1,則CE的長(zhǎng)是（）

例2.（2023?河南周口,?？既＃┰贏ABC中，C4=CB,M是41BC外一動(dòng)點(diǎn)，滿足？OVW?CBM180?,

若NCMA=60。，MA=4,MB=2,則MD的長(zhǎng)度為

c

例3.（2023?江蘇?九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，AB1BC,AB=5,點(diǎn)E、F分別是線段A3、射線BC上的動(dòng)

點(diǎn)，以為斜邊向上作等腰RtaDEF,ID90?,連接AD,則AD的最小值為

例4.（2023?山東日照?統(tǒng)考中考真題）在探究“四點(diǎn)共圓的條件”的數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小霞小組通過(guò)探究得出:

在平面內(nèi)，一組對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓.請(qǐng)應(yīng)用此結(jié)論.解決以下問(wèn)題：

如圖1,"WC中，AB=AC,ABAC=a（60°<a<180°）.點(diǎn)。是3c邊上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)。不與3,C重

合），將線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a到線段AE,連接BE.

圖2備用圖

（1）求證：A,E,B,。四點(diǎn)共圓；⑵如圖2,當(dāng)45=8時(shí)，。。是四邊形AEBD的外接圓，求證：AC是

。。的切線；（3）已知e=120。，BC=6,點(diǎn)M是邊3C的中點(diǎn)，此時(shí)。尸是四邊形AE&9的外接圓，直接寫

出圓心P與點(diǎn)M距離的最小值.

課后專項(xiàng)訓(xùn)練

1.（2023秋?河北張家口?九年級(jí)?？计谀┤鐖D①，若BC是R3ABC和RtADBC的公共斜邊，則A、B、

C、D在以BC為直徑的圓上，則叫它們“四點(diǎn)共圓如圖②，AABC的三條高A。、BE、C尸相交于點(diǎn)區(qū)

則圖②中〃四點(diǎn)共圓〃的組數(shù)為（）

6

2.（2023?安徽合肥?校考一模）如圖，。是A3的中點(diǎn)，點(diǎn)8,C,。到點(diǎn)。的距離相等，連接AC,BD.下

列結(jié)論不一定成立的是（

C.ZABC+ZADC=1^0D.AC平分NB4D

3.（2023?江蘇宿遷?九年級(jí)校考期末）如圖，在RtA4BC中，ZACB=90°,BC=3,AC=4,點(diǎn)P為平面

內(nèi)一點(diǎn)，且NCP3=NA,過(guò)C作CQ，C尸交PB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q,則CQ的最大值為（）

1715

A.B.—D.罕

y4

4.（2023?北京海淀?九年級(jí)校考期中）如圖，點(diǎn)O為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)B,C,。到點(diǎn)。的距離相等，連

接AC,3。.請(qǐng)寫出圖中任意一組互補(bǔ)的角為和（不添加輔助線，不添加數(shù)字角標(biāo)和

字母）

AOB

5.（2023,廣東?二模）如圖，點(diǎn)。為線段8C的中點(diǎn)，點(diǎn)AC、。到點(diǎn)。的距離相等，若/ABC=50。,則—ADC

的度數(shù)是____________

6.（2023?浙江金華?統(tǒng)考二模）如圖，在AABC中，ZB=75°,ZC=45°,BC=6-2拒,尸是BC上一動(dòng)點(diǎn),

PE上AB于點(diǎn)、E,PDJ_AC于點(diǎn)。，則線段DE的最小值為（）

A.上B.1C.3百-3D.4拒-6

7.（2023?浙江?模擬預(yù)測(cè)）如圖，R△ABC中，AB=AC=12^2,及△ADE中，AD=AE=6A/2,直線BO

與CE交于尸，當(dāng)NEW）繞點(diǎn)A任意旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，尸到直線A3距離的最大值是

8.（2023春?湖北武漢?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在“LBC中，點(diǎn)。為3C上一點(diǎn)，NADC=60。，點(diǎn)E

在線段AD上，ZBEC=120°,若BC=3^,AE=2?,則AC的最大值為.

E.

B

9.（2023?廣東惠州?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，將AABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到VADE,其中點(diǎn)8與

點(diǎn)。對(duì)應(yīng)，點(diǎn)C與點(diǎn)E對(duì)應(yīng).（1）畫出VADE.（2）直線8C與直線DE相交于點(diǎn)證明：A,C,F,E四

點(diǎn)共圓.

10.（2023?湖北九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖1,中，AC=BC=4,0ACB=90°,過(guò)點(diǎn)C任作一條直線CD,

將線段3c沿直線C￡）翻折得線段CE,直線AE交直線C。于點(diǎn)尺直線BE交直線于G點(diǎn).

⑴小智同學(xué)通過(guò)思考推得當(dāng)點(diǎn)E在上方時(shí)，0AEB的角度是不變的，請(qǐng)按小智的思路幫助小智完成以下

推理過(guò)程：

0AC=BC=EC,她、B、E三點(diǎn)在以C為圓心以AC為半徑的圓上，

00AEB=_0ACB,（填寫數(shù)量關(guān)系）

aaAEB=°.

（2）如圖2,連接BE求證A、B、F、C四點(diǎn)共圓；

⑶線段AE最大值為」若取8c的中點(diǎn)M,則線段的最小值為一

11.（2023春?重慶南岸?八年級(jí)校考期末）己知：菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O,以AD為斜邊構(gòu)

造等腰必連接BE.

圖1圖2

⑴如圖1,若ND鉆=60。，AD=4,求的面積.（2）如圖2,延長(zhǎng)OE交A3于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)。作OG_LCD

于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)C作CHLDF于點(diǎn)H,CH與。G交于點(diǎn)M,SLOM=BF.求證：AO=2插BE.

12.（2023春?湖北武漢?九年級(jí)校考階段練習(xí)）問(wèn)題提出如圖1,點(diǎn)E為等腰AABC內(nèi)一點(diǎn)，AB=AC,

ZBAC^a,將AE繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得到AD,求證：AABE^ACD.

嘗試應(yīng)用如圖2,點(diǎn)。為等腰Rt^ABC外一點(diǎn)，AB=AC,BDLCD,過(guò)點(diǎn)A的直線分別交OB的延長(zhǎng)線

和CO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)MM,求證：S^+S^^AN-AM.

問(wèn)題拓展如圖3,AASC中，AS=AC,點(diǎn)。，E分別在邊AC,BC上，ZBDA=ZBEA=60°,AE,BD

交于點(diǎn)”.若CE=a,AH=b,直接寫出BE的長(zhǎng)度（用含a,6的式子）.

13.（2023?江蘇?九年級(jí)假期作業(yè)）綜合與實(shí)踐

“善思"小組開(kāi)展"探究四點(diǎn)共圓的條件”活動(dòng)，得出結(jié)論：對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓.該小組繼續(xù)利用

上述結(jié)論進(jìn)行探究.

提出問(wèn)題：如圖1,在線段AC同側(cè)有兩點(diǎn)3,D,連接AD,AB,BC,CD,如果02=回。，那么A,B,C,

。四點(diǎn)在同一個(gè)圓上.

探究展示：如圖2,作經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,C,。的回。，在劣弧AC上取一點(diǎn)E（不與A,C重合），連接AE,CE,

貝lj0AEC+E]D=18O。（依據(jù)1）

005=0000A￡C+0B=18O°

團(tuán)點(diǎn)A,B,C,E四點(diǎn)在同一個(gè)圓上（對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓）

團(tuán)點(diǎn)B,。在點(diǎn)A,C,E所確定的回。上（依據(jù)2）

團(tuán)點(diǎn)A,B,C,。四點(diǎn)在同一個(gè)圓上

⑴上述探究過(guò)程中的“依據(jù)1"、"依據(jù)2"分別是指什么？

依據(jù)1：—;依據(jù)2：.

（2）如圖3,在四邊形A8CD中，01=02,03=45°,貝靦4的度數(shù)為.

拓展探究：⑶如圖4,已知AABC是等腰三角形，AB=AC,點(diǎn)。在8C上（不與BC的中點(diǎn)重合），連接AD作

點(diǎn)C關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)E,連接功并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于死連接AE,DE.①求證：A,。，8,E四

點(diǎn)共圓；②若AB=2應(yīng)，AD?A尸的值是否會(huì)發(fā)生變化，若不變化，求出其值；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由

14.（2022?江蘇揚(yáng)州?模擬預(yù)測(cè)）如圖，將一副斜邊相等的直角三角板按斜邊重合擺放在同一平面內(nèi)，其中

0DAB=45°,回。12=30。，點(diǎn)。為斜邊AB的中點(diǎn)，連接交A8于點(diǎn)E.設(shè)AB=L

（1）求證：A、B、C、。四個(gè)點(diǎn)在以點(diǎn)。為圓心的同一個(gè)圓上；

（2）分別求BABC和的面積；（3）過(guò)點(diǎn)。作。flSBC交43于點(diǎn)R求。E：。尸的比值.

15.（2023?重慶九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于。。，對(duì)角線AC13。，垂足為E,CF±AB

于點(diǎn)F,直線CP與直線于點(diǎn)G.

（1）若點(diǎn)G在。。內(nèi)，如圖1,求證：G和。關(guān)于直線AC對(duì)稱；

（2）連接AG,若AG=3C,且AG與。。相切，如圖2,求—ABC的度數(shù).

16.（2023?江蘇?九年級(jí)假期作業(yè)）【問(wèn)題情境】如圖①，在四邊形ABCD中，ZB=ZD=90。,求證：A、B、

C、。四點(diǎn)共圓.

小吉同學(xué)的作法如下：連結(jié)AC,取AC的中點(diǎn)。，連結(jié)。3、OD,請(qǐng)你幫助小吉補(bǔ)全余下的證明過(guò)程；

【問(wèn)題解決】如圖②，在正方形ABC。中，AB=2,點(diǎn)E是邊8的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

連結(jié)AE,AF,作EP_LAF于點(diǎn)P.

（1）如圖②，當(dāng)點(diǎn)P恰好落在正方形ABCD對(duì)角線3。上時(shí)，線段”的長(zhǎng)度為

（2）如圖③，過(guò)點(diǎn)P分別作于點(diǎn)M,PNLBC于HN,連結(jié)MN,則MV的最小值為

圖①

17.（2023春?江蘇南京?九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）在RtZXABC和RtADEF中，ZC=ZF=90°,ZB=ZE=30°,

AC=AF=6,用這兩個(gè)直角三角形研究圖形的變換.

【翻折】⑴如圖1，將4