專題09四邊形中的證明與計算問題

目錄

熱點題型歸納..............................................................................................1

題型01以平行四邊形為載體的證明、性質(zhì)應(yīng)用及邊角計算....................................................I

題型02以矩形為載體的證明、性質(zhì)應(yīng)用及邊角計算..........................................................5

題型03以菱形為載體的證明、性質(zhì)應(yīng)用及邊角計算.........................................................10

題型04以正方形為載體的證明、性質(zhì)應(yīng)用及邊角計算.......................................................14

中考練場.................................................................................................19

題型01以平行四邊形為載體的證明、性質(zhì)應(yīng)用及邊角計算

0俏題型綜述_________________________________________

以平行四邊形為載體的證明、性質(zhì)應(yīng)用及邊角計算是初中數(shù)學(xué)幾何板塊的核心內(nèi)容之一，它依托平行四邊形獨特的

性質(zhì)，綜合考查學(xué)生對幾何知識的理解與運用，常與三角形等知識融合，在中考數(shù)學(xué)中分值占比約5%-8%?

1.考查重點：重點考查對平行四邊形性質(zhì)（對邊平行且相等、對角相等、對角線互相平分）的熟練運用，以及基于這

些性質(zhì)進行幾何證明和邊角計算，同時考查能否結(jié)合其他幾何圖形知識解決綜合問題。

2.高頻題型：高頻題型有證明一個四邊形是平行四邊形；利用平行四邊形性質(zhì)證明線段相等、角相等或直線平行；已

知平行四邊形部分邊角條件，計算其他邊角的大?。辉谄叫兴倪呅闻c三角形等組合圖形中，進行邊角關(guān)系的推理與計

算。

3.高頻考點：考點集中在平行四邊形的判定定理（如兩組對邊分別平行、兩組對邊分別相等、一組對邊平行且相等、

兩組對角分別相等、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）的應(yīng)用，平行四邊形性質(zhì)在證明和計算中的運用，以及

平行四邊形與三角形全等、相似等知識的綜合考查。

4.能力要求：要求學(xué)生具備較強的邏輯推理能力，能夠依據(jù)已知條件合理選擇平行四邊形的判定與性質(zhì)進行證明和計

算；擁有良好的圖形分析能力，從復(fù)雜圖形中識別出平行四邊形及相關(guān)幾何關(guān)系；掌握扎實的幾何運算能力，準確求

解邊角數(shù)值。

5.易錯點：易錯點在于判定平行四邊形時條件使用不充分或錯誤；在運用平行四邊形性質(zhì)時，對邊、角、對角線關(guān)系

混淆；在綜合圖形中，不能有效整合平行四邊形與其他圖形的性質(zhì)，導(dǎo)致證明和計算出錯；計算過程中粗心大意，出

現(xiàn)數(shù)值計算錯誤。

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02解題攻略

【提分秘籍】

工一平行而直形的匣質(zhì);

①邊的性質(zhì)：兩組對邊分別平行且相等。

②角的性質(zhì)：對角相等，鄰角互補。

③對角線的性質(zhì)：對角線相互平分。即對角線交點是兩條對角線的中點。

④對稱性：平行四邊形是一個中心對稱圖形，繞對角線交點旋轉(zhuǎn)180。與原圖形重合。

⑤面積計算：等于底乘底邊上的高。等底等高的兩個平行四邊形的面積相等。

2.平行四邊形的判定：

①一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。

符號語言：；AB〃DC,AB=DC,...四邊行ABCD是平行四邊形

②兩組對邊分別相等（兩組對邊分別平行）的四邊形是平行四邊形。

符號語言：???AB=DC,AD=BC（AB〃DC,AD〃BC）,四邊行ABCD是平行四邊形.

③兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。

符號語言：,.?/ABC=NADC,ZDAB=ZDCB,二四邊行ABCD是平行四邊形

④對角線相互平行的四邊形是平行四邊形。

符號語言：：OA=OC,OB=OD,...四邊行ABCD是平行四邊形

【典例分析】

例1.（2024?山東濟寧?中考真題）如圖，四邊形48co的對角線/C,5。相交于點O,CM=OC,請補充一個條件

使四邊形ABCD是平行四邊形.

AD

例2.（2024?四川巴中?中考真題）如圖，口4BCD的對角線/C、AD相交于點O,點E是的中點，AC=4.若口4BCD

的周長為12,貝UACOE的周長為（）

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C.6D.8

例3.（2024?浙江?中考真題）如圖，在口/BCD中，AC,助相交于點。，AC=2,=273.過點“作/E_LBC的垂

線交BC于點E,記BE長為x,5c長為八當x,y的值發(fā)生變化時，下列代數(shù)式的值不變的是（）

A.x+yB.x-yC.孫D.x2+y2

例4.（2024?黑龍江大慶?中考真題）如圖，平行四邊形/BCD中，AE、CF分別是/B/D,的平分線，且￡、

廠分別在邊BC,4D上.

（1）求證：四邊形/ECF是平行四邊形；

⑵若乙40c=60°,DF=2AF=2,求AGZ）下的面積.

例5.（2024?山東青島?中考真題）如圖，在四邊形48C。中，對角線NC與AD相交于點。，NABD=NCDB,BEYAC

于點￡,DFJ.AC于■點F,且BE=DF.

（1）求證：四邊形N8C。是平行四邊形;

Q）若AB=BO,當//2E等于多少度時，四邊形/5CD是矩形？請說明理由，并直接寫出此時-示的值.

【變式演練】

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1.（2025?浙江溫州?模擬預(yù)測）如圖，在口/BCD中，E是8C邊上一點，AB=AE,AD=DE,若/8=70。，則/CDE

的度數(shù)為.

2.（2025?河南焦作?一模）如圖，在口4BCZ）中，44=80。，點￡是CD邊上一點，且此平分N4BE,若/CB￡=20。,

BE=a,EC=b,則口4BCD的周長為（）

A.5a-bB.4a+2bC.3a+36D.6a-3b

3.（2024貴州?模擬預(yù)測）如圖，在四邊形N3C。中，NC與3。相交于點O,且/。=C。，點￡在AD上，滿足/E〃CD.

⑴判斷四邊形ZEC。的形狀，并證明；

Q）若AB=BC,CD=5,AC=8,求四邊形4ECD的面積.

4.（2024?廣東揭陽?一模）如圖，在四邊形48CD中，ZA=ZC=9Q°,AD=CD,點E,尸分別是AS,上的點,

連接。E,DF,EF,且/4DE=/CDE.

（2）若?！?2/E=4,DE||BC,求8C的長.

5.（2025?河北滄州?模擬預(yù)測）已知在V/8C中，N8=/C,點。在BC上，以AD、NE為腰作等腰三角形NOE,且

/ADE=/ABC.連接CE,過￡作E"〃8C交C4延長線于M,連接9.

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ME

（1）求證：ABAD四八CAE；

（2）求四邊形處。石的形狀，并加以證明.

題型02以矩形為載體的證明、性質(zhì)應(yīng)用及邊角計算

01題型綜述_________________________________________

以矩形為載體的證明、性質(zhì)應(yīng)用及邊角計算是初中數(shù)學(xué)幾何板塊中對特殊平行四邊形深入研究的重要內(nèi)容，依托矩

形特有的性質(zhì)，綜合考查學(xué)生對幾何知識的掌握與運用能力，常與三角形等知識融合，在中考數(shù)學(xué)中分值占比約5%-8%o

I.考查重點：重點考查對矩形性質(zhì)（四個角是直角、對角線相等且互相平分）的透徹理解與靈活運用，基于這些性質(zhì)

開展幾何證明，以及結(jié)合勾股定理、相似三角形等知識進行邊角的精確計算，并關(guān)注與其他幾何圖形性質(zhì)的關(guān)聯(lián)運用。

2.高頻題型：高頻題型有證明一個四邊形是矩形；利用矩形性質(zhì)證明線段相等、角相等、直線垂直；已知矩形的邊長、

對角線等部分條件，計算內(nèi)角大小、對角線夾角、面積等邊角及圖形相關(guān)數(shù)值；在矩形與三角形、其他四邊形構(gòu)成的

復(fù)雜圖形中，推導(dǎo)并計算復(fù)雜的邊角關(guān)系。

3.高頻考點：考點集中在矩形判定定理（有一個角是直角的平行四邊形是矩形、對角線相等的平行四邊形是矩形、三

個角是直角的四邊形是矩形）的準確應(yīng)用，矩形性質(zhì)在證明和計算中的運用，以及矩形與直角三角形（由矩形內(nèi)角為

直角產(chǎn)生）、等腰三角形（對角線相等產(chǎn)生）相關(guān)知識的綜合考查，例如運用勾股定理求邊長、借助相似三角形求線段

比例。

4.能力要求：要求學(xué)生具備較強的邏輯推理能力，能夠根據(jù)已知條件合理選用矩形的判定和性質(zhì)進行嚴密證明；擁有

良好的圖形分析能力，從復(fù)雜圖形中識別出矩形及其蘊含的特殊幾何關(guān)系；掌握扎實的運算能力，尤其是勾股定理、

相似三角形等知識在矩形邊角計算中的應(yīng)用。

5.易錯點：易錯點在于判定矩形時條件使用錯誤或不完整，比如僅依據(jù)對角線相等就判定四邊形是矩形；在運用矩形

性質(zhì)時，混淆對角線與邊、角之間的關(guān)系，致使證明出錯；在計算邊角時，因?qū)匦沃刑厥馊切危ㄖ苯侨切?、?/p>

腰三角形）的性質(zhì)理解不深，運用勾股定理、相似三角形知識出現(xiàn)偏差；在綜合圖形中，不能有效整合矩形與其他圖

形性質(zhì)，導(dǎo)致思路中斷。

02解題攻略

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【提分秘籍】

：施肥的11屆；

①具有平行四邊形的一切性質(zhì)。

I

②矩形的四個角都是直角。

③矩形的對角線相等。

④矩形既是一個中心對稱圖形，也是軸對稱圖形。對角線交點是對稱中心，過一組對邊中點的直線是矩形的

I對稱。

⑤由矩形的對角線的性質(zhì)可知，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。

I2.矩形的判定：

I

（1）直接判定：

I

有三個角（四個角）都是直角的四邊形是矩形。

I

（2）利用平行四邊形判定：

I

①定義：有一個角是直角（鄰邊相互垂直）的平行四邊形是矩形。

②對角線的特殊性：對角線相等的平行四邊形是矩形。

【典例分析】

例1.（2024?四川巴中?中考真題）如圖，矩形/BCD的對角線/C與2。交于點。，DEJ.AC于點、E,延長DE與8c交

于點F.若43=3,BC=4,則點尸到3。的距離為.

AK-----#

例2.（2024?內(nèi)蒙古包頭?中考真題）如圖，在矩形48CD中，E,尸是邊8c上兩點，且BE=EF=FC,連接DE,AF,DE

與4尸相交于點G,連接2G.若48=4,BC=6,貝ljsin/GAF的值為（）

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Vio口3M2

A.D.-------cD.

Tr10-I3

例3.(2024?甘肅蘭州?中考真題)如圖，在V/BC中，AB=AC,。是BC的中點，CE//AD,AE1AD,EF工AC.

(1)求證：四邊形4DCE是矩形；

(2)若8C=4,CE=3,求￡尸的長.

例4.(2024?湖北武漢?中考真題)問題背景：如圖(1),在矩形48CD中，點￡,尸分別是3c的中點，連接3D,

EF,求證：ABCDs^FBE.

問題探究：如圖(2),在四邊形NBCD中，AD//BC,/BCD=90。，點￡是48的中點，點尸在邊8C上，AD=2CF,

EF與BD交于點、G,求證：BG=FG.

直接寫出F票G的值.

GF

例5.(2024?湖北武漢?中考真題)問題背景：如圖(1),在矩形48CD中，點、E,尸分別是的中點，連接8。,

EF,求證：ABCDs^FBE.

問題探究：如圖(2),在四邊形NBCD中，AD//BC,/BCD=90。，點￡是48的中點，點尸在邊8C上，AD=2CF,

EF與BD交于■點、G,求證：BG=FG.

FG

問題拓展：如圖(3),在“問題探究”的條件下，連接4G,AD=CD,AG=FG,直接寫出不二的值.

GF

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VB

圖⑴

【變式演練】

1.(2025?內(nèi)蒙古包頭?一模)如圖，在矩形/BCD中，40=6,對角線NC與3。交于點O,AE1BD,垂足為點E,

且/E平分/B4O,則的長為()

C.2gD.373

2.(2024?湖南長沙?模擬預(yù)測)如圖，平行四邊形48。的對角線/C,8。相交于點。，且OC=OD.

(1)證明四邊形N8C。為矩形；

⑵若NO4D=30。，BC=6,求△OBC的面積；

(3)點E,尸分別是線段。8,CU上的點，若4E=BF,AB=5,AF=l,BE=3,求3尸的長.

3.(2024?湖北?模擬預(yù)測)問題情境

在矩形ABCD中，對角線NC,8。交于點。，AD=AO=5.以08為邊作正方形OAEE,OE與DC交于點P,如圖

1所示.

E'F'

PC

DP,力C

Q\B'

o\Q

AB

AB

圖2圖3

(1)求NDAP的大小；

實踐探究

(2)將正方形08必繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)得到正方形02'尸E',。8'與矩形的邊3c交于點。,

①如圖2,當。夕，8C時，直接寫出NO0P的大??；

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②如圖3,當02'與8c不垂直時，連接尸。，試探究N。。尸的大小；

結(jié)論運用

（3）在（2）的條件下，若2。=3,求EP的長.

4.（2024?貴州遵義?三模）已知四邊形A8CO是矩形，E是48邊上的一點，連接CE,點P是EC上一動點（不與

E、。重合），連接尸8,過點尸作尸2,交。C于點尸.

（1）如圖（1）,當/。=3,EC=DC=5時，貝!|/￡=；

【探究發(fā)現(xiàn)】

（2）在（1）的條件下，如圖（2）當點P運動到EC的中點時，求尸尸的長.

【拓展提升】

（3）如圖（3）當NBCE=45。時，探究線段CF,BC,CP之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

5.（2024?四川雅安?模擬預(yù)測）將一長方形紙片。43c放在直角坐標系中，。為原點，點。在x軸上，CM=9,0c=15.

（1）如圖1,在CM上取一點E,將△EOC沿EC折疊，使點。落在NB邊上的點。，求線段/E.

（2）如圖2,在04OC邊上選取適當?shù)狞cF,將△"（?尸沿板折疊，使點。落在48邊上的點。，處，過點。，作O'G

垂直于C。于點G,交MF于點、T.

①求證：TG=AM；

②設(shè)T（xj）,求y與x滿足的等量關(guān)系式，并將〉用含x的代數(shù)式表示.

⑶在（2）的條件下，當x=6時，點P在直線上，問：在坐標軸上是否存在點0,使以Q,P為頂點的四

邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出。點坐標；若不存在，請說明理由.

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題型03以菱形為載體的證明、性質(zhì)應(yīng)用及邊角計算

01題型綜述_________________________________________

以菱形為載體的證明、性質(zhì)應(yīng)用及邊角計算是初中數(shù)學(xué)幾何領(lǐng)域中對特殊四邊形深入探究的關(guān)鍵內(nèi)容，借助菱形區(qū)

別于一般平行四邊形的特殊性質(zhì)，全面考查學(xué)生的幾何思維與解題能力，常與其他幾何圖形知識綜合呈現(xiàn)，在中考數(shù)

學(xué)中分值占比約5%-8%o

1.考查重點：重點考查對菱形特殊性質(zhì)（四條邊相等、對角線互相垂直且平分每組對角）的深度理解與靈活運用，以

此為基礎(chǔ)進行各類幾何證明，以及結(jié)合三角函數(shù)等知識進行邊角的精準計算，并注重與其他幾何圖形性質(zhì)的關(guān)聯(lián)應(yīng)用。

2.高頻題型：高頻題型包括證明一個四邊形是菱形；利用菱形性質(zhì)證明線段垂直、角平分線關(guān)系、線段相等；已知菱

形的邊長、對角線長度等部分條件，計算內(nèi)角大小、對角線夾角、邊長與高的關(guān)系等邊角數(shù)值；在菱形與三角形、其

他四邊形組成的復(fù)合圖形中，推理并計算復(fù)雜的邊角關(guān)系。

3.高頻考點：考點集中在菱形判定定理（一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形、四條邊相等的四邊形是菱形、對角線互

相垂直的平行四邊形是菱形）的準確應(yīng)用，菱形性質(zhì)在證明和計算中的運用，以及菱形與直角三角形（因?qū)蔷€垂直

產(chǎn)生）、等腰三角形（四條邊相等）相關(guān)知識的綜合考查，如利用勾股定理計算邊長、三角函數(shù)求角度等。

4.能力要求：要求學(xué)生具備較強的邏輯推導(dǎo)能力，能依據(jù)已知條件合理選擇菱形的判定和性質(zhì)進行嚴謹證明；擁有敏

銳的圖形觀察能力，從復(fù)雜圖形中提煉出菱形及其蘊含的特殊幾何關(guān)系；掌握扎實的運算技能，特別是涉及勾股定理、

三角函數(shù)等知識在菱形邊角計算中的應(yīng)用。

5.易錯點：易錯點在于判定菱形時錯用或漏用條件，如僅依據(jù)對角線垂直就判定四邊形是菱形；在運用菱形性質(zhì)時，

混淆對角線與邊、角之間的特殊關(guān)系，導(dǎo)致證明錯誤；在計算邊角時，因?qū)α庑沃刑厥馊切危ㄖ苯侨切?、等腰?/p>

角形）的性質(zhì)把握不準，運用勾股定理、三角函數(shù)出錯；在綜合圖形中，無法有效整合菱形與其他圖形性質(zhì)，思路混

亂。

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02解題攻略

【提分秘籍】

「「菱形的桂貳―一……

①具有平行四邊形的一切性質(zhì)。

I

②菱形的四條邊都相等。

③菱形的對角線相互垂直，且平分每一組對角。

④菱形既是一個中心對稱圖形，也是一個軸對稱圖形。對稱中心為對角線交點，對稱軸為對角線所在直線。

⑤面積計算：除了用計算平行四邊形的面積計算方法面積，還可以用對角線乘積的一半來計算面積。

|2.菱形的判定：

I（1）直接判定：

四條邊都相等的四邊形是菱形。

I

符號語言：VAB=BC=CD=DA,二四邊形ABCD是菱形

I

（2）利用平行四邊形判定：

I

①定義：一組領(lǐng)邊相等的平行四邊形是菱形。

②對角線的特殊性：對角線相互垂直的平行四邊形是菱形。

【典例分析】

例1.（2024?山東濟南?中考真題）如圖，在菱形/5CD中，AELCD,垂足為gCFL4D,垂足為尸.

求證：AF=CE.

例2.（2024?江蘇宿遷?中考真題）如圖，在四邊形/BCD中，AD//BC,S.AD=DC=-BC,E是3c的中點.下面

2

是甲、乙兩名同學(xué)得到的結(jié)論：

甲：若連接/E,則四邊形/OCE是菱形；

乙：若連接4C,則是直角三角形.

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請選擇一名同學(xué)的結(jié)論給予證明.

例3.(2024?云南?中考真題)如圖，在四邊形48CD中，點￡、F、G、H分別是各邊的中點，且AD//BC,

四邊形EFGX是矩形.

(1)求證：四邊形43C。是菱形；

(2)若矩形的周長為22,四邊形/BCD的面積為10,求48的長.

例4.(2024?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?中考真題)如圖，在平行四邊形48CD中，點尸在邊4D上，AB=AF,連接8F,點。為

3尸的中點，/。的延長線交邊BC于點￡,連接所

⑴求證：四邊形是菱形：

⑵若平行四邊形/BCD的周長為22,CE=l,ZBAD=120°,求/￡的長.

例5.(2024?江蘇鹽城?中考真題)如圖1,E、F、G、〃分別是平行四邊形各邊的中點，連接"、CE交于點

連接NG、C”交于點N,將四邊形/MCN稱為平行四邊形48C。的“中頂點四邊形”.

AN

MC

圖1圖2圖3

(1)求證：中頂點四邊形NMCN為平行四邊形;

⑵①如圖2,連接/C、BD交于■點、O,可得M、N兩點都在AD上,當平行四邊形ABCD滿足時，中頂點四邊

形AMCN是菱形;

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②如圖3,已知矩形為某平行四邊形的中頂點四邊形，請用無刻度的直尺和圓規(guī)作出該平行四邊形.（保留作圖

痕跡，不寫作法）

【變式演練】

1.（2025?廣東深圳?一模）如圖，四邊形/BCD為平行四邊形，對角線NC的垂直平分線所分別交邊AD,BC于點、E,

F,垂足為O.

（1）求證：四邊形/FCE為菱形；

（2）在8C的延長線上取一點G,使CG=OC,連接。G.若尸為3C的中點，且/G=15。，4B=8,求AFOG的面積.

2.（2025?湖南長沙?模擬預(yù)測）如圖，矩形Z5CZ）的對角線/C與2。相交于點。,CO〃O￡,直線CE是線段的垂直

平分線，CE分別交于點尸,G,連接。E.

⑴判斷四邊形OCDE的形狀，并說明理由；

（2）當8=6時，求EG的長.

3.（2025?河南鄭州?一模）如圖，菱形/3CD的對角線NC,AD相交于點O,E是40的中點，點F，G在NB上，EF1AB,

OG\\EF.

（1）求證：四邊形OEFG是矩形；

⑵若4。=10,EF=4,求OE和8G的長.

4.（2025糊南長沙?一模）如圖，在菱形/BCD中，NB=6,ZB=60。，點瓦尸分別是上的動點，滿足4E=DF,

連接CE,CF,EF,EF與AC交于點G.

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I)

⑴求NEC尸的度數(shù);

⑵填空：

^AFAE^AFFG^AGAG

①一+—=②----------------=③一+一=

CDACCDEC--------------AEAF

(3)記△4EG的面積為E，A/FG的面積為5，△/￡(7的面積為?，ANFC的面積為

0^CF2=3AF-FD,求“■的值；

d3

②試判斷姜+2的值是否存在最小值？若存在，求出這個值；若不存在，請說明理由.

?3

5.(2025?山東青島?模擬預(yù)測)已知：如圖，在菱形/5CD中，AD=10cm,BD=12cm,動點尸從點B出發(fā)，沿8。方

向勻速運動，速度為lcm/s；同時，點。從點。出發(fā)，沿ZX4方向勻速運動，速度為Icrn/s,連接尸。，設(shè)運動時間為

/(s)(0<?<10).

⑴延長。尸交BC于點E,若四邊形/?？谑瞧叫兴倪呅?，求，的值;

(2)當/為何值時，點尸運動到CA的垂直平分線上？

⑶設(shè)四邊形尸。的面積為S(cm2),求S與/的函數(shù)關(guān)系式.

題型04以正方形為載體的證明、性質(zhì)應(yīng)用及邊角計算

01題型綜述_________________________________________

以正方形為載體的證明、性質(zhì)應(yīng)用及邊角計算是初中數(shù)學(xué)幾何板塊里對特殊四邊形深度探究的關(guān)鍵內(nèi)容，憑借正方

形集矩形與菱形特性于一身的獨特性質(zhì)，全面考查學(xué)生對幾何知識的綜合運用與邏輯思維，常與三角形、其他四邊形

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知識交織，在中考數(shù)學(xué)中分值占比約4%-8%o

1.考查重點：重點考查對正方形性質(zhì)（四條邊相等、四個角是直角、對角線互相垂直平分且相等，每條對角線平分一

組對角）的深度理解與靈活運用，以此為基礎(chǔ)展開幾何證明，并結(jié)合勾股定理、全等三角形、相似三角形等知識進行

邊角的精準計算，同時注重與其他幾何圖形性質(zhì)的綜合運用。

2.高頻題型：高頻題型有證明一個四邊形是正方形；利用正方形性質(zhì)證明線段相等、垂直、角平分線關(guān)系；已知正方

形邊長、對角線等部分條件，計算內(nèi)角大小、對角線夾角、面積、周長等邊角及圖形相關(guān)數(shù)值；在正方形與三角形、

其他四邊形組成的復(fù)雜圖形中，推導(dǎo)并計算復(fù)雜的邊角關(guān)系與圖形面積。

3.高頻考點：考點集中在正方形判定定理（一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形是正方形、對角線互相垂直

且相等的平行四邊形是正方形、有一組鄰邊相等的矩形是正方形、有一個角是直角的菱形是正方形）的準確應(yīng)用，正

方形性質(zhì)在證明和計算中的運用，以及正方形與等腰直角三角形（由正方形性質(zhì)產(chǎn)生）、全等三角形、相似三角形相關(guān)

知識的綜合考查，如運用勾股定理求對角線長度、借助全等三角形證明線段關(guān)系。

4.能力要求：要求學(xué)生具備較強的邏輯推導(dǎo)能力，能依據(jù)已知條件合理選擇正方形的判定和性質(zhì)進行嚴謹證明；擁有

敏銳的圖形觀察能力，從復(fù)雜圖形中提煉出正方形及其蘊含的特殊幾何關(guān)系；掌握扎實的運算技能，尤其是勾股定理、

全等與相似三角形知識在正方形邊角計算與圖形關(guān)系推導(dǎo)中的應(yīng)用。

5.易錯點：易錯點在于判定正方形時條件使用不充分或錯誤，如僅依據(jù)四條邊相等就判定四邊形是正方形；在運用正

方形性質(zhì)時，混淆邊、角、對角線之間的特殊關(guān)系，導(dǎo)致證明錯誤；在計算邊角時，因?qū)φ叫沃刑厥馊切危ǖ妊?/p>

直角三角形）的性質(zhì)把握不準，運用勾股定理、全等與相似三角形知識出錯；在綜合圖形中，無法有效整合正方形與

其他圖形性質(zhì)，思路混亂。

02解題攻略

【提分秘籍】

門「正為形的I■貳一—

①具有平行四邊形的一切性質(zhì)。

i

②具有矩形與菱形的一切性質(zhì)。

i

所以正方形的四條邊都相等，四個角都是直角。對角線相互平分且相等，且垂直，且平分每一組對角，把正

I方形分成了四個全等的等腰直角三角形。

正方形既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形。對角線交點是對稱中心，對角線所在直線是對稱軸，過每一組

I對邊中點的直線也是對稱軸。

I2.正方形的判定：

（1）利用平行四邊形判定：

I

一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形是正方形。（定義判定）

[（2）利用菱形與矩形判定：

1-------------------------------------------------45-/-1-23---------------------------------------------------

①有一個角是直角的菱形是正方形。

②對角線相等的菱形是正方形。

③鄰邊相等的矩形是正方形。

④對角線相互垂直的矩形是正方形。

【典例分析】

例1.（2024?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?中考真題）如圖，邊長為2的正方形/3CD的對角線/C與BD相交于點O.E是BC邊

上一點，尸是上一點，連接?！?￡尸.若A￡>￡戶與ADEC關(guān)于直線。E對稱，則△8EF的周長是（）

C.4-272D.6

例2.（2024?山東東營?中考真題）如圖，在正方形/3CA中，/C與2。交于點。,〃為NB延長線上的一點，且BH=BD,

連接。H,分別交/C,BC于點、E,F,連接則下列結(jié)論：①空=3；②tan/〃=V5-l；③BE平分NCBD；

BF2

④2aB2=DEDH.

其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

例3.（2024?江蘇徐州?中考真題）已知：如圖，四邊形NBC。為正方形，點E在8。的延長線上，連接E4EC.

（1）求證：AEAB%ECB；

⑵若N/EC=45。，求證：DC=DE.

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例4.(2024?四川南充?中考真題)如圖，正方形45CD邊長為6cm,點E為對角線4C上一點，CE=2AE,點、P在AB

邊上以lcm/s的速度由點4向點5運動，同時點。在邊上以2cm/s的速度由點。向點5運動，設(shè)運動時間為，秒

(0<Z<3).

(1)求證：“EPs小CEQ.

(2)當△項邊是直角三角形時，求，的值.

(3)連接“。，當tan/N0￡=g時，求△/石。的面積.

例5.(2024?海南?中考真題)正方形/BCD中，點￡是邊8c上的動點(不與點8、C重合)，Zl=Z2,AE=EF,AF

交CD于點X,bG,8c交BC延長線于點G.

(1)如圖1,求證：“BE知EGF；

⑵如圖2,尸于點P,交4D于點

①求證：點尸在/N8C的平分線上；

②當三7=加時，猜想N尸與用的數(shù)量關(guān)系，并證明;

DH

③作HNLAE于息N,連接JW、HE,當ACV〃族時，若NB=6,求BE的值.

【變式演練】

1.(2024?安徽蚌埠?模擬預(yù)測)已知正方形/3CD中，E為CD垂直平分線上一點，E,F關(guān)于直線8。對稱，BF

和ED相交于點G,求證：

(V)AELBF；

(2)AG//BD.

2.(2024?福建龍巖?模擬預(yù)測)如圖，點￡為正方形/BCD對角線NC上一點，連接。￡,過點￡作EFLDE,交射線

3c于點R以。瓦所為鄰邊作矩形DEFG,連接CG.

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⑴求證：矩形。EFG是正方形；

4E

(2)若/COG=30。，求行的值.

EC

3.(2023?吉林松原?模擬預(yù)測)已知正方形/BCD邊長為1,對角線/C,3。相交于點。，過點。作射線OEOF,分

(1)如圖1,當OE_L4D時，求證：四邊形/EO尸是正方形；

⑵如圖2,將射線OE,。廠繞著點O進行旋轉(zhuǎn).

①在旋轉(zhuǎn)過程中，判斷線段與。尸的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；

②四邊形。以尸的面積為二

(3)如圖3,在四邊形尸。跖V中，PQ=PN,ZQPN=ZQMN=90°,連接若尸"=9,請直接寫出四邊形尸0AW的

面積.

4.(2024?四川南充?模擬預(yù)測)如圖1,正方形/BCD中，對角線NC與2。相交于點。，在線段上任取一點尸(端

點除外)，連接P。、PB.將線段。尸繞點尸逆時針旋轉(zhuǎn)，使點D落在A4的延長線上的點。處.

(2)如圖2,作于點作PN~AD于點、N,作尸￡_LZO交NB于點E,作￡F_LO8于點尸，請你寫出幺。與。尸

的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)如圖3,將(1)中正方形ABC。換成菱形4BCD,且/4BC=60。，其他條件不變，試探究/。與。尸的數(shù)量關(guān)系，

并說明理由.

5.(2024?江蘇鹽城?三模)【教材呈現(xiàn)】

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（1）如圖1,在正方形48cA中，E是8c上的一點，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后得到△4DF,

①旋轉(zhuǎn)中心是點;旋轉(zhuǎn)角最少是度.

②愛動腦筋的小明，在CD邊上取點G,連接/G、EG,使得NGNE=45。，他發(fā)現(xiàn)：GE=2E+DG,他的發(fā)現(xiàn)正確嗎？

請你判斷并說明理由.

【結(jié)論應(yīng)用】

（2）①圖1中，若正方形N3C。的邊長為。，則ACEG的周長為（用含有。的式子表示）.

②如圖2,在四邊形/BCD中，AD\\BC{BC>AD),￡)5=90°,BC=AB=12,￡是48的中點，且4DCE=45。，則

的長=.

【類比遷移】

（3）如圖3,在菱形/BCD中，NBAD=6Q°,在線段上選一點P（不與點4。重合），沿8P折疊，得到,

在線段。上取點。，沿8。折疊，使得點C與點“重合，連接4C,分別交線段BP、8。于點G、H,若AG=6,CH=4,

求的長.

03中考練場

一、填空題

1.（2025?黑龍江哈爾濱?一模）如圖，在正方形4BCD中，BC=3,延長BC至點E,使CE=2,。E平分N/OC交NE于

點尸，則線段。尸的長為.

2.（2025?重慶大渡口?模擬預(yù)測）如圖，在矩形48c。中，點￡在/。邊上，點尸在3C邊上，旦BF=DE,連接￡尸交

對角線于點。，BD=5,CD=3,連接CE,若CE=CF,則防長為.

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3.（2025?四川?模擬預(yù)測）如圖，在菱形4BCD中，/8=60。，E,X分別為N8,8C的中點，G,尸分別為線段

CE的中點.若線段的長為8。，則尸G的長為.

4.（2025?山西朔州?一模）如圖，邊長為2的正方形/BCD的對角線相交于點O,W為。4上的一點，ON=1,連接編.將

8河繞點M逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得到線段點N在邊CD上，過點N作NPL/C,則DN的長為

二、解答題

5.（2025?重慶大渡口?模擬預(yù)測）如圖，在口48c。中，對角線NC與8。相交于點O,ZCAB=ZACB,過點8作

交NC于點E.

（1）求證：AABOS^BEO；

（2）若N8=10,NC=16,求OE的長.

6.（2025?湖北?模擬預(yù)測）如圖，在口48co中，點廠在邊40上，AB=AF,連接8尸，。為8尸的中點，的延長

線交邊BC于點E,連接EF.求證：四邊形43跖是菱形.

7.（2025?遼寧沈陽?模擬預(yù)測）如圖，在平行四邊形/BCD中，AB=AD,E,9是對角線AD上的點，且BE=DF,

連接NE,CF,AF,CE.求證：四邊形NFCE是菱形.

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AD

B

8.（2025?云南?模擬預(yù)測）如圖，在口4BCD中，對角線/C,5。相交于點。，ADLBD,￡是的中點，過點E作

EF//BD,交BC于點、F.

（1）求證：四邊形OEEB是矩形；

⑵若4D=8,DC=U,求四邊形OEE8的面積.

9.（2025?貴州?模擬預(yù)測）如圖，在口48co中，對角線/C,8。相交于點O,作/胡。和/BCD的平分線，分別交5D

于點G,H,延長/G交8c于點￡,延長S交AD于點尸.

（2）已知（從以下兩個條件中選擇一個作為已知，填寫序號），判斷四邊形/ECF的形狀，并證明.條件①：BD平分NCDF；

條件②：ZBAE=2ZEAC.

10.（2025?黑龍江哈爾濱?一模）已知四邊形N8C。中，8C=C。.連接AD,過點C作的垂線交NB于點E,連接。E.

（1）如圖1,若DCUBE,求證：四邊形8CDE是菱形；

（2）如圖2,連接/C,設(shè)8D,4C相交于點R若DE垂直平分線段/C,請直接寫出圖中與NDEC相等的角（/DEC除

外）.

11.（2025?貴州?模擬預(yù)測）綜合與實踐

綜合與實踐課上，老師讓同學(xué)們以“正方形”為主題開展數(shù)學(xué)活動.將直角/MEN的頂點E放在正方形/BCD的對角線

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ACh(點E不與/、C重合)，其中直角邊EN與8c交于點尸，直角邊EN與CD交于點G.

(1)發(fā)現(xiàn)：如圖，當即與3c垂直時，填空：EFEG.（填或“<”）

(2)探究：如圖，當即與8c不垂直時，請判斷所與EG之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若變化，請說明理由，若不

變，請給出證明；

⑶拓展：當斯與3c不垂直時，以EF、EG為鄰邊構(gòu)造矩形瓦HG,連接C”,請直接寫出/8CH的度數(shù).

12.(2025?江蘇宿遷?模擬預(yù)測)如圖是一張矩形紙片N8C。，點M是對角線NC的中點，點E在BC邊上.

圖2

(1)如圖1,將△OCE沿直線OE折疊，使點C落在對角線4C上的點尸處，連接。REF.

①若/EDC=30。，DE=l,求對角線NC的長;

CD

②若MF=CD,求ND4/的度數(shù)及此時》的值.

⑵如圖2,若CB=3,CD=2,連接3朋、ME,將AMEC沿ME折疊，點C的對應(yīng)點為點G,當線段GE與線段交

于點H且ABHE為直角三角形時,求此時8E的長.

13.(2025?湖北?一模)問題背景:如圖1,在矩形/BC。中，AB=25ZABD=30。，點E是邊48的中點，過點￡

作交2。于點?

D

(1)在一次數(shù)學(xué)活動中，小明同學(xué)將圖1中的45所繞點3按順時針方向旋轉(zhuǎn)，如圖2所示，得到結(jié)論:

cAE

①——二

DF

②直線AE與DF所夾銳角的度數(shù)為

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(2)小明同學(xué)繼續(xù)將ABE尸繞點8按順時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)至點D,E,尸在一條直線上如圖3所示位置時，求AAEF的

面積；

(3)在△AEF繞點8按順時針方向旋轉(zhuǎn)一周過程中，記△/￡尸的面積為S,直接寫出S的取值范圍.

14.(2025?山東威海?模擬預(yù)測)在平行四邊形/BCD中，對角線/C、8。交于點O,P是線段OC上一個動點(不與點。、

點C重合)，過點P分別作4D、CD的平行線，交CD于點、E,交.BC、BD于點、F、G,連接EG.

(1)如圖1,如果尸C=2OP,求證：EG//AC；

(2)如圖2,如果48c=90。，券=：，且ADGE與APC尸相似，請補全圖形，并求器的值；

(3)如圖3,如果B4=8G=8C,且射線EG過點A.請補全圖形，并求//2C的度數(shù).

15.(2025?山西?一模)綜合與實踐

問題情境：數(shù)學(xué)活動課上，活動小組探究平行四邊形折疊過程中的一些結(jié)論，如圖1,已知平行四邊形/BCD,

AB//CD,AD//BC,ZC<90°,將平行四邊形/BCD沿過點。的直線折疊，使點。落在NO邊上的點￡處，折痕與3c

交于點F.

初步探究：

(1)判斷四邊形CDEb的形狀，并說明理由；

圖1圖2圖3

深入探究：如圖2,取線段。尸邊上的一點。(不含點。，F(xiàn)),過點。作8C邊的垂線分別與2c交于點/,J,將

平行四邊形/5CD沿直線〃■折疊，使點C落在2C邊上的點〃處，使點。落在4D邊上的點G處，連接G〃.

(2)若隨著點。的運動，G〃與D尸始終保持平行，請求NC的度數(shù)；

(3)在(2)的條件下，如圖3,若CQ=6,GH與EF交于點M,連接(W,OC,當NMOC=90。時，請直接寫出ZD的

值.

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專題09四邊形中的證明與計算問題

目錄

熱點題型歸納..............................................................................................1

題型01以平行四邊形為載體的證明、性質(zhì)應(yīng)用及邊角計算....................................................1

題型02以矩形為載體的證明、性質(zhì)應(yīng)用及邊角計算..........................................................5

題型03以菱形為載體的證明、性質(zhì)應(yīng)用及邊角計算.........................................................10

題型04以正方形為載體的證明、性質(zhì)應(yīng)用及邊角計算.......................................................14

中考練場.................................................................................................19

題型01以平行四邊形為載體的證明、性質(zhì)應(yīng)用及邊角計算

0謂題型綜述_________________________________________

以平行四邊形為載體的證明、性質(zhì)應(yīng)用及邊角計算是初中數(shù)學(xué)幾何板塊的核心內(nèi)容之一，它依托平行四邊形獨特的

性質(zhì)，綜合考查學(xué)生對