第07講比例線段（4大考點(diǎn)）

考點(diǎn)考而

一、成比例線段的概念

1.比例的項(xiàng)：

在比例式a:6=c:d（即@=￡）中，a,濟(jì)爾為比例外項(xiàng)，6,c稱(chēng)為比例內(nèi)項(xiàng).特別地，在比例式a:b=b:c

bd

（即3=2）中，6稱(chēng)為a,C的比例中項(xiàng)，滿足廿=*.

bc

2.成比例線段：

四條線段a,b,c,沖，如果a和力的比等于c和取］比，即q=9,那么這四條線段a,b,c,9”做成比

bd

例線段，簡(jiǎn)稱(chēng)比例線段.

二、比例的性質(zhì)

比例的性質(zhì)示例剖析

(1)基本性質(zhì)：—=—u>ad=bc(Jbdw0)

bd23

xy23z八、

(2)反比性質(zhì)：-=-^>-=-(abcd^0)7=W0—=—(即0)

baac23xy

/C、—>rr--ClCClb_.V

(3)更比性質(zhì)：不=-；0—=;或

baca

(23>3x2

—d=—c(abied4w02)

ba

Airt,ir-r-aca+bc+d/77八、x2x+y2+3/八、

(4)合比性質(zhì)：-==(M^O)=二==二("°)

baba>3y3

/1-、/\Irhaca—bc—d,八、y3y-x3-2

(5)分比性質(zhì)：—=—o——=——(ZTbd0)z

babax2x2

,八八八aca+bc+d

(6)合分比性質(zhì)：-=-?--=--x2x+y2+3八、

baa-bc-d=尸z

y3x-y2-3

(JbdwU,awb,cwd)

(7)等比性質(zhì)：

234

已知_=_=則當(dāng)％時(shí)，

acm,八、+y+zwO

—=—=???=—zS+dd-----xyz

bdn2_3_4_2+3+4

a+c-\-----\-ma7T八、

n-----------------=—Sz7+d+L+〃wO)xyzx+y+z'

b+d-\-----\-nb

三、黃金分割

如圖，若線段/此一點(diǎn)G把線段26分成兩條線段/分口比1（AC>3C）,且使2提/褥口式的比例中

項(xiàng)（即AC2=AB-BC）,則稱(chēng)線段/磁點(diǎn)途金分割，點(diǎn)線段/頌黃金分割點(diǎn)，其中

AC=避二143=0,61843,BC=3-4ABa0.382AB,/修力踴）比叫做黃金比.（注意：對(duì)于線段4?

22

而言，黃金分割點(diǎn)有兩個(gè).）

?---------------?----------?

ACB

四、平行線分線段成比例定理

兩條直線被三條平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例,簡(jiǎn)稱(chēng)為平行線分線段成比例定理.如圖:

ABDEABDEBCEF

如果4/4/〃3，則

【小結(jié)】若將所截出的小線段位置靠上的（如/6）稱(chēng)為上,位置靠下的稱(chēng)為下，兩條線段合成的線段

上上上上下下

稱(chēng)為全，則可以形象的表示為三=三，元=工，

rr全全全全

五、平行線分線段成比例定理的推論

平行于三角形一邊的直線，截其它兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）,所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.如圖：如

果EF〃BC，則晉喂,AEAFBE_CF

~AB~^ACAB-AC

六、平行線分線段成比例定理的推論的逆定理

若/喂或器噎噴啜，則有”.

【注意】對(duì)于一般形式的平行線分線段成比例的逆定理不成立,反例：任意四邊形中一對(duì)對(duì)邊的中點(diǎn)

的連線與剩下兩條邊，這三條直線滿足分線段成比例，但是它們并不平行.

【小結(jié)】推論也簡(jiǎn)稱(chēng)“A”和“8”，逆定理的證明可以通過(guò)同一法，做交/行尸點(diǎn)，再證明

尸與擂合即可.

I二考點(diǎn)精講

比例的性質(zhì)（共7小題）

1.（2022?堇B州區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）已知電=5,則三”的值是（）

aa+b

A.2B.-Ac.2D.A

3333

【分析】根據(jù)已知可得6=5m然后代入式子中進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：：2=5,

a

??Z?=5〃，

???a-b-_-a---5--a--_-4a—__—2，

a+ba+5a6a3

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.（2022?蕭山區(qū)二模）若2m=3n,則二的值是_2_.

m3

【分析】根據(jù)比例的基本性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：；2%=3〃,

.』=2,

m3

故答案為：1.

3

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.（2021秋?麗水期末）己知2a=3%，求下列各式的值.

（1）A；

b

（2）2a-b

a+2b

【分析】（1）根據(jù)比例的基本性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可；

（2）利用（1）的結(jié)論，然后用設(shè)左法進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：（1）,：2a=3b,

?a_3.

b2

（2）VA=2；

b2

.?.設(shè)a=3瓦b=2k,

.2a-b=6k-2k

a+2b3k+4k

=4k

7k

T

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握設(shè)左法是解題的關(guān)鍵.

4.(2021秋?溫州月考)計(jì)算:

(1)已知3：x=5：2,求x的值.

(2)已知工=2y-x,求三的值.

35,y

【分析】(1)根據(jù)比例的性質(zhì)直接計(jì)算即可；

(2)根據(jù)比例的性質(zhì)直接計(jì)算即可.

【解答】解：(1)V3：x=5：2,

??5x=6,

解得X=旦；

5

(2)?.?工=五，k0,

35

.?.5y=3(2y-x),

5y=6y-3x,

y=3x,

?三,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)，代數(shù)式的求值；熟練掌握比例的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

5.(2021秋?余杭區(qū)月考)已知曳求2a+3b+c的值.

326a-b-c

【分析】直接利用已知設(shè)。=3玄b=2k,c=6k,進(jìn)而代入得出答案.

【解答】解：設(shè)包=0=￡=左，則a=3k,b=2k,c=6k,

326

2a+3b+c=2X3k+3X2k+6k=_騷

a-b-c3k-2k-6k5

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了比例的性質(zhì)，正確用同一未知數(shù)表示出各數(shù)是解題關(guān)鍵.

6.(2022?鄲州區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué))已知至上二三，且2x+3y-z=18,求x+y+z的值.

234

【分析】設(shè)立=工=三=瓦得出x=2G,y=3/，z=4k,再根據(jù)2x+3y-z=18,求出人的值，然后得出x,y,

234.'

Z的值，從而得出x+y+z的值.

【解答】解：設(shè)三=工=三=左，則x=2左，y—3k,z=4k,

234

2x+3y-z=18,

???4%+9%-4左=18,

:.k=2,

.*.x=4,y=6,z=8,

/.x+y+z=4+6+8=18.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查比例的性質(zhì)，關(guān)鍵是設(shè)三=工=三=總得出上的值.

234

7.（2021秋?江干區(qū)校級(jí)期中）根據(jù)條件求值.

（1）若包=1,求生也的值；

b5b

（2）若三」，求史上的值.

y3x-y

【分析】（1）把生也化成包+1,再把電=1代入計(jì)算，即可得出答案；

bbb5

（2）根據(jù)三=工，得出y=3x,再代入要求的式子進(jìn)行計(jì)算即可得出答案.

y3

【解答】解：（1）vA=l,

b5

.?.地=且+1=1+1=旦.

bb55

（2）vA=l,

y3

.??y=3x,

?2x+y=2x+3x=__5

x-yx-3x2

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了比例的性質(zhì)，正確將已知變形是解題關(guān)鍵.

二.比例線段（共7小題）

8.（2021秋?寧波期中）下面四組線段中，成比例的是（）

A.（1=1,b=2,c=2,d=4B.a=2,b=3,c=4,d=5

C.〃=4,b=6,c=8,d=10D.a=b=V3,c=3,d=V3

【分析】如果其中兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段.對(duì)選項(xiàng)一一分析,

排除錯(cuò)誤答案.

【解答】解：A、1X4=2X2,故選項(xiàng)符合題意；

B、2X5W3X4,故選項(xiàng)不符合題意；

C、4X10W6X8,故選項(xiàng)不符合題意；

C、&X3W?XF，故選項(xiàng)不符合題意；

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了比例線段，根據(jù)成比例線段的概念，注意在相乘的時(shí)候，最小的和最大的相乘，另外

兩個(gè)相乘，看它們的積是否相等.同時(shí)注意單位要統(tǒng)一.

9.（2021秋?西湖區(qū)校級(jí)月考）已知線段。是線段b,c的比例中項(xiàng)，b=4cm,c=9cm,貝（I。為（）cm.

A.36B.-36C.6D.-6

【分析】根據(jù)題意可得代入數(shù)值，解答出即可，注意線段為正值.

【解答】解：由題意得，2=bc,

b=4cm,c=9cm,

.'.a2—36,

.".a=6或-6（舍去）；

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了比例線段，注意理解比例中項(xiàng)的定義.

10.（2021秋?下城區(qū)校級(jí)月考）比例尺為1：2000000的地圖上，A、8兩地間的圖上距離為2厘米，則兩

地間的實(shí)際距離是（）千米.

A.0.4B.4C.40D.400

【分析】設(shè)兩地間的實(shí)際距離是尤厘米，根據(jù)比例尺的定義得到2：x=l：2000000,再利用比例的性質(zhì)求

出無(wú)，然后把單位化為千米即可.

【解答】解：設(shè)兩地間的實(shí)際距離是無(wú)厘米，

根據(jù)題意得2：x=l：2000000,

解得x=4000000a”,

所以兩地間的實(shí)際距離是40千米.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例線段，理解比例尺的定義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

11.（2022?錢(qián)塘區(qū)一模）已知線段。=泥+1,>=泥-1,則a,1的比例中項(xiàng)線段等于2.

【分析】根據(jù)比例中項(xiàng)的定義直接列式求值，問(wèn)題即可解決.

【解答】解：設(shè)服6的比例中項(xiàng)為x,

'.'a—yf5+l,-1,

'.j?=ab=（V5+1）（V5-1）=（V5）2-12=5-1=4

.?.無(wú)=\伍=2（舍去負(fù)值），

即。、6的比例中項(xiàng)線段等于2,

故答案為：2.

【點(diǎn)評(píng)】該題主要考查了比例中項(xiàng)等基本概念問(wèn)題和根式的乘法；熟練掌握比例中項(xiàng)的概念和根式的化簡(jiǎn)

方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

12.（2021秋?衢江區(qū)期末）在比例尺為1：5000的地圖上，甲、乙兩地相距20c機(jī)，則它們的實(shí)際距離為

1000cm.

【分析】根據(jù)比例尺=圖上距離：實(shí)際距離，列比例式即可求得甲乙兩地的實(shí)際距離.要注意統(tǒng)一單位.

【解答】解：設(shè)甲乙兩地的實(shí)際距離為xcm,則

1：5000=20：尤，

解得x=100000,

100000cm=1000m.

即它們的實(shí)際距離為1000/H.

故答案為：lOOOow.

【點(diǎn)評(píng)】考查了比例線段，熟練運(yùn)用比例尺進(jìn)行計(jì)算，注意單位的轉(zhuǎn)換.

13.（2021秋?鹿城區(qū)校級(jí)期中）（1）已知線段a=2,b=9,求線段a,b的比例中項(xiàng).

（2）已知尤：y=4：3,求三二三的值.

y

【分析】（1）設(shè)線段X是線段a,b的比例中項(xiàng)，根據(jù)比例中項(xiàng)的定義列出等式，利用兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外

項(xiàng)之積即可得出答案.

（2）設(shè)x=4匕y=3總代入計(jì)算，于是得到結(jié)論.

【解答】解：（1）設(shè)線段x是線段a,6的比例中項(xiàng)，

b=6,

W=3X6=18,

尤=±372（負(fù)值舍去）.

二線段。，6的比例中項(xiàng)是3&.

（2）設(shè)x=4左，y=3k,

.y-x=3k-4k=_1

y3k3

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

14.（2021秋?射陽(yáng)縣校級(jí)期末）已知線段a、b、c滿足a：b：c=3：2：6,且a+2b+c=26.

（1）求a、b、c的值；

（2）若線段x是線段a、b的比例中項(xiàng)，求尤的值.

【分析】（1）利用a：b：c=3：2：6,可設(shè)a=34，b=2k,c=6k,則次+2X24+6左=26,然后解出k的值

即可得到a、b、c的值；

（2）根據(jù)比例中項(xiàng)的定義得到彳2=詔，即X2=4X6,然后根據(jù)算術(shù)平方根的定義求解.

【解答】解：⑴b：c=3：2：6,

??設(shè)。=3鼠Z?=2Z,c=6怎

又?:a+2/?+c=26,

，3人+2X2女+6%=26,解得左=2,

??。=6,Z?=4,c~~12；

（2）??”是〃、b的比例中項(xiàng)，

??/=次?，

.*.X2=4X6,

:?x=2或x=-2，^（舍去），

即尤的值為小.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例線段：對(duì)于四條線段。、6、c、d,如果其中兩條線段的比（即它們的長(zhǎng)度比）與

另兩條線段的比相等，如a：b=c：［（即ad=6c）,我們就說(shuō)這四條線段是成比例線段，簡(jiǎn)稱(chēng)比例線段.注

意利用代數(shù)的方法解決較為簡(jiǎn)便.

三.黃金分割（共9小題）

15.（2022?富陽(yáng)區(qū)一模）已知線段AB=2,點(diǎn)尸是線段AB的黃金分割點(diǎn)（APXBP）,則線段AP的長(zhǎng)為（）

A.3一遍B.娓-1C.3-75D.V5-1

22

【分析】根據(jù)黃金比值為運(yùn)二1計(jì)算即可.

2

【解答】解：：點(diǎn)尸是線段A8的黃金分割點(diǎn)，AP>BP,

：.AP=Xx2=V5-1，

22

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是黃金分割的概念，熟記黃金比值為1二1是解題的關(guān)鍵.

2

16.（2021秋?舟山期末）某品牌汽車(chē)將汽車(chē)倒車(chē)鏡設(shè)計(jì)為整個(gè)車(chē)身黃金分割點(diǎn)的位置（如圖），若車(chē)頭與倒

車(chē)鏡的水平距離為L(zhǎng)58米，倒車(chē)鏡到車(chē)尾部分的水平距離較長(zhǎng)，則該車(chē)車(chē)身總長(zhǎng)約為（）米.

A.4.14B.2.56C.6.70D.3.82

【分析】設(shè)該車(chē)車(chē)身總長(zhǎng)為由黃金分割點(diǎn)的定義得到汽車(chē)倒車(chē)鏡到車(chē)尾的水平距離為近二L?米，再

2

根據(jù)題意列方程X-1二lx=L58,然后解方程即可.

2

【解答】解：設(shè)該車(chē)車(chē)身總長(zhǎng)為X米,

???汽車(chē)倒車(chē)鏡設(shè)計(jì)為整個(gè)車(chē)身黃金分割點(diǎn)的位置，倒車(chē)鏡到車(chē)尾部分的水平距離較長(zhǎng),

汽車(chē)倒車(chē)鏡到車(chē)尾的水平距離為運(yùn)L米，

2

；.尤-在二1關(guān)=1.58,

2

解得：W4.14,

即該車(chē)車(chē)身總長(zhǎng)約為4.14米.

故選:A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了黃金分割：把線段分成兩條線段AC和8C（AOBC）,且使AC是和BC的比

例中項(xiàng)（即A8：AC=AC：BC）,叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn).

17.（2021秋?嘉興期末）已知點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，AP>PB,若A2=4,則AP的值為，遙二

2.

【分析】根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義，知AP是較長(zhǎng)線段=A8X近二1,代入計(jì)算即可.

2

【解答】解：：點(diǎn)P是線段A8的黃金分割點(diǎn)，S.AP>PB,AB=4,

：.AP~4X、5-1=2遙-2,

2

故答案為：-2.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了黃金分割點(diǎn)的概念.識(shí)記黃金分割的公式是解題的關(guān)鍵.

18.（2018秋?長(zhǎng)興縣期末）若線段AB=6c機(jī)，點(diǎn)C是線段AB的一個(gè)黃金分割點(diǎn)（AOBC）,則AC的長(zhǎng)

為3（返-1）cm（結(jié)果保留根號(hào)）.

【分析】把一條線段分成兩部分，使其中較長(zhǎng)的線段為全線段與較短線段的比例中項(xiàng)，這樣的線段分割叫

做黃金分割，他們的比值（返二1）叫做黃金比.

2_

【解答】解：根據(jù)黃金分割點(diǎn)的概念和AO8C,得：AC=1二1A8=3（遍-I）.

2

故本題答案為：3（Vs-1）.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了黃金分割點(diǎn)的概念，要熟記黃金比的值.

19.（2021?金東區(qū)校級(jí)模擬）黃金比杏4=0.61803398…，這個(gè)比用四舍五入法精確到。初的近似數(shù)是

0.62.

【分析】把黃金比按要求用四舍五入法即可得出答案.

【解答】解：力-1=0.61803398…=662,

故答案為：0.62.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了黃金比以及近似數(shù)，熟記黃金比是解題的關(guān)鍵.

20.（2022?西湖區(qū)模擬）已知線段AB=2,點(diǎn)尸為線段A3的黃金分割點(diǎn)（AP>BP）,則-BP=2芯

-4.

【分析】根據(jù)黃金分割的概念、黃金比值計(jì)算即可.

【解答】解：：點(diǎn)尸是線段A2的黃金分割點(diǎn)，AP>BP,

：.AP=-1，

2

貝I]BP=2-AP=3-遍，

：.AP-BP=（5/5-1）-（3-依）=2疾-4,

故答案為：2灰-4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是黃金分割的概念和性質(zhì)，把線段48分成兩條線段AC和8CG4c>20,且使AC是

AB和2C的比例中項(xiàng)，叫做把線段AB黃金分割.

21.（2021?西湖區(qū)校級(jí)三模）如圖，已知矩形ABCD.

（1）作出正方形點(diǎn)、E,點(diǎn)尸分別在線段A。，BC上（尺規(guī)作圖）；

（2）若4。=8,點(diǎn)E為線段A。的黃金分割點(diǎn)且AEAED,求AE的長(zhǎng).

A|---------ID

【分析】（1）根據(jù)題意作圖即可；

（2）根據(jù)黃金分割的比值可得答案.

【解答】解：（1）如圖，

首先以A為圓心，以A2的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AD于E,

再以8為圓心，以A8的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交8C于凡

最后連接ER正方形A2FE即為所求.

（2）?.2。=8,點(diǎn)E為線段的黃金分割點(diǎn)，

AAE=8=4（A/5-1）.

22

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查作圖-基本作圖，矩形的性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握角平分線的尺規(guī)作圖是解

題的關(guān)鍵.

22.（2021秋?拱墅區(qū)校級(jí)期中）（1）已知a=4.5,b=2,c是a,%的比例中項(xiàng)，求c.

（2）如圖，C是AB的黃金分割點(diǎn)，J.AOBC,AB=4,求AC的長(zhǎng).

I_____________________I_______________I

ACB

【分析】（1）由c是a,6的比例中項(xiàng)，得到02=油，代入即可求出答案；

（2）由黃金分割點(diǎn)的定義進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：（1）是a,6的比例中項(xiàng)，

?*.c2=aZ?=4.5X2=9,

??ci=3,C2=-3,

:?c為3或-3；

（2）是A5的黃金分割點(diǎn)，,1AOBC,AB=4,

AC=X4=2V5-2.

22

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了黃金分割點(diǎn)的概念以及比例中項(xiàng)，正確運(yùn)用黃金比進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

23.（2021?杭州模擬）如圖所示，以長(zhǎng)為2的定線段AB為邊作正方形ABC。，取AB的中點(diǎn)P,連接尸D

在54的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)R使PF=PD,以AE為邊作正方形AMER點(diǎn)M在上.

（1）求AM,OM的長(zhǎng)；

（2）點(diǎn)用是的黃金分割點(diǎn)嗎？為什么？

R

【分析】（1）要求AM的長(zhǎng)，只需求得AF的長(zhǎng)，又AF=PF-AP,PF=PD=y[^[=述,則

-1,DM=AD-AM=3-西；

（2）根據(jù)（1）中的數(shù)據(jù)得：幽=近二1,根據(jù)黃金分割點(diǎn)的概念，則點(diǎn)M是的黃金分割點(diǎn).

AD2

【解答】解：（1）在中，AP=1,A￡>=2,由勾股定理知尸。=《州2+研2=返71=麻,

.".AM^AF^PF-AP=PD-4尸=遍-1,

DM=AD-AM=3-娓.

故AM的長(zhǎng)為遙-1,OW的長(zhǎng)為3-、而；

（2）點(diǎn)/是A。的黃金分割點(diǎn).

由于鯉=1二1,

AD2

...點(diǎn)M是的黃金分割點(diǎn).

【點(diǎn)評(píng)】此題綜合考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理和黃金分割的概念.先求得線段AM,OM的長(zhǎng)，然后求

得線段AM和AD,DM和AM之間的比，根據(jù)黃金分割的概念進(jìn)行判斷.

四.平行線分線段成比例（共10小題）

24.（2021秋?溫州期末）如圖，h,12,/3是一組平行線，直線AC,。尸分別與這組平行線依次相交于點(diǎn)A,

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例和題目中的條件解答即可.

【解答】解：-：h//l2//h,

?.--D-E-=-A--B-_-2-,

EFBC3

?EF=3=3

DF3+25

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線分線段成比例，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件，利用平

行線分線段成比例解答.

25.（2021秋?越城區(qū)期末）如圖，在△ABC中，DE//BC,分別與AB、AC相交于點(diǎn)。、E,若AE=4,

EC=2,則矩的值為（）

AB

3234

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理，寫(xiě)出比例線段，代入線段的值.

【解答】W：-DE//BC,

?AD=AE；

"ABAC"

?AD_4_2

AB63

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線分線段成比例，掌握平行于三角形一邊的直線截其他兩邊，所得的對(duì)應(yīng)線

段成比例，用此定理寫(xiě)出比例線段是解題關(guān)鍵.

26.（2022?拱墅區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖，在△ABC中,DEaBC,AZ）=EC,3￡>=4,AE=3,則A2的長(zhǎng)為2y+4.

【分析】利用平行線分線段成比例可得延4,代入可求得AD,利用線段的和差可得AB的長(zhǎng).

BDEC

【解答】解：-：DE//BC,

?ADAE

"BD"EC，

,：AD^EC,

：.AD2=AE'BD=3X4=n,

：.AD=2y[3,

：.AB=AD+BD=2-/3+4.

故答案為：2?+4.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線分線段成比例的性質(zhì)，掌握平行線分線段成比例中的對(duì)應(yīng)線段是解題的關(guān)鍵.

27.（2022?鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖，己知AB〃CD〃ER若AC=6,CE=3,DF=2,則2。的長(zhǎng)為4

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，把已知數(shù)據(jù)代入計(jì)算即可.

【解答】解：：AB〃CD〃EF,

?AC=BD

"CEDF，

VAC=6,CE=3,DF=2,

?-?—6_B--D-,

32

解得：BD=4,

故答案為：4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

28.（2021秋?余杭區(qū)月考）如圖，在△ABC中，點(diǎn)、D,E分別在邊A8,AC上，且坦=2,返」,射線

DB2EC2

和CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)孔則里的值為1.

FC一

【分析】過(guò)點(diǎn)8作交AC于H,根據(jù)平行線分線段成比例定理求出地，進(jìn)而求出旦旦=」，再根據(jù)

EHEC3

平行線分線段成比例定理計(jì)算即可.

【解答】解:過(guò)點(diǎn)B作88〃E下交AC于

則AE=AD=3,

'E.HDB2

AE

一1

EC2

E-H

EC1

3

"."BH//EF,

???FB—-E―H-1,

FCEC3

故答案為：X.

3

FBC

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線分線段成比例定理，正確作出輔助線、靈活運(yùn)用定理是解題的關(guān)鍵.

29.（2021?西湖區(qū)校級(jí)三模）正方形紙片ABC。中，E,尸分別是AB、CB上的點(diǎn)，且AE=CF,CE交AF

于相若E為42中點(diǎn)，則史=2；若NCMF=45°,則史=、日+1.

EMEM一

A

E

B

【分析】①如圖1中，延長(zhǎng)交。C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)T.構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題即可.②根據(jù)正方形的性質(zhì)得

到AB=8C,等量代換得到根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AM=CM,EM=FM,推出點(diǎn)M在點(diǎn)A

和點(diǎn)C的對(duì)稱(chēng)軸上，連接3。，過(guò)M作MGL2C于G,則點(diǎn)M在BO上，根據(jù)等腰三角形的判定得到

=BM,設(shè)BG=GM=x,得到根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：①如圖1中，延長(zhǎng)交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)?

在正方形ABC。中，

/.ZABC^ZBD=ZFCr=90°,AB=CB,

"：AE=CF,AE=EB,

：.BE=BF=CF,

在△54尸和△CTF中,

，ZAFB=ZCFT

?BF=CF，

ZABF=ZFCT

:.LABF經(jīng)ACTF(ASA),

：.AB=CT,

：.CT=2AE,

'：AE//CT,

圖2

在△AB尸與△C8E中，

'AB=CB

-ZABF=ZCBE>

BF=BE

AABF^/\CBE(SAS),

：.ZBAF=ZBCE,

在△AEM與△CFM中，

rZEAM=ZFCM

,ZAME=ZCMF)

AE=CF

:.叢AEM學(xué)ACFM(AAS),

J.AM^CM,EM=FM,

...點(diǎn)M在點(diǎn)A和點(diǎn)C的對(duì)稱(chēng)軸上,

連接BD,過(guò)M作MG_L8C于G,

則點(diǎn)〃在8。上，

AZABM=ZCBM=45°,

VZAME=ZCMF=45°,

ZAME^ZCBM,

：.ZBEM=ZBAM+ZAME=ZBME=ZCBM+ZBCM,

;BE=BM,

'：MGLBC,

:.BG=GM,

設(shè)BG=GM=x,

:.BE=BM=?x,

,:MG〃BE,

:ACMGsACEB,

?CM=MG=V2

，-CEBE~T'

.??史=丹_=料+1,

EM2-V2

故答案為：2,V2+1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔

助線是解題的關(guān)鍵.

30.（2021秋?拱墅區(qū)月考）如圖，直線a〃b〃c,坦=5,則理=互.

BCDF—6一

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理解答即可.

【解答】解：：直線?！╞〃c,

?ABDE「

BCEF

.DE=DE=5=5

"DF=DE+EF=5+1

故答案為：

6

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.

31.（2021秋?定海區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，EF//CD,DE//BC.求證：AF：FD=AD：DB.

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得出空=坐，坦=膽，推出空=也即可.

FDECDBECFDDB

【解答】解：,：EF//CD,DE//BC,

??--A-F.-A-E-，--A-D.-A-E-，

FDECDBEC

BPAF：FD=AD：DB.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例定理的應(yīng)用，注意對(duì)應(yīng)成比例.

32.（2021秋?下城區(qū)校級(jí)期中）如圖，直線人〃/2〃/3,若AB=6,8c=10,EF=9,求。E的長(zhǎng).

【分析】由平行線分線段成比例定理得出比例式，即可得出OE的長(zhǎng).

【解答】解:'：h//l2//h.AB=6,BC=10,

???DE一_A,B_6_3,

EFBC105

'：EF=9,

:.DE=ZL.

5

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例定理；熟練掌握平行線分線段成比例定理，并能進(jìn)行推理計(jì)算是

解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

33.（2021秋?竦州市校級(jí)月考）如圖：AD//EG//BC,EG分別交AB,DB,AC于點(diǎn)E,F,G,已知

=5,8C=10,AE=9,AB=12.求EG,FG的長(zhǎng).

【分析】在AABC中，根據(jù)平行線分線段成比例求出EG,在△54。中，根據(jù)平行線分線段成比例求出EE

即可求出FG=EG-EF.

【解答】解：:△ABC中，EG//BC,

：.AAEG^^ABC,

?EGAE

"BC"AB'

VBC=10,AE=9,42=12,

?-?EG一_-9,

1012

2

「△BA。中，EF//AD,

■EF=BE；

"AD而‘

VA￡>=5,AE=9,AB=12,

???EF_1-2---9-,

512

；.￡F=$.

4

:.FG=EG--互=空.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例，平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得

的對(duì)應(yīng)線段成比例.

U鞏固提升

一、單選題

1.（2021?溫州市實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)月考）如圖，已知4?〃切〃瓦'且/C：龍=3：4,@'=14,則所的長(zhǎng)為

A.8B.7C.6D.3

【答案】A

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理即可得到結(jié)論.

【詳解】解：由題意：：四〃?！?/p>

：.AC：CE=BD\DF=3：4,

所以設(shè)初=3x,DF=4x,

所以3x+4x=14,即x—2,

:.DF=4x=3

故答案選：A

【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理，關(guān)鍵是找出對(duì)應(yīng)的比例線段，寫(xiě)出比例式，用到的知識(shí)點(diǎn)是

平行線分線段成比例定理.

2.（2021?溫州市實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)月考）若二=g,則二上的值為（）

》2y

,3c2c2r3

A."-B.-C.-D.一

5532

【答案】D

【分析】先將一^變形為一-1,再代入計(jì)算即可求解.

yy

x5

[W11/-=-,

y乙

.X-yX53

..-----=--]=--]=一

yy22,

故選：D.

【點(diǎn)睛】考查了比例的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是將三二上變形為2-1.

yy

3.（2019?浙江溫州?九年級(jí)期末）如圖，在，ABCD中，E,F,G依次是對(duì)角線5。上的四等分點(diǎn)，連結(jié)CG

并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)瓶連結(jié)兒中并延長(zhǎng)交5c于點(diǎn)〃若MF=MC,MG=1,MH的長(zhǎng)為（）

A.4B.6C.7D.8

【答案】D

【分析】根據(jù)4V/6C，得到槳=警=段，根據(jù)四等分點(diǎn)和的得到CG,可得心g4,再證明黑=空=1

BCCGBGBFFH

可得HF,可得MH.

【詳解】解：???四邊形/題是平行四邊形,

AD//BC,

MDMGDG

~BC~~CG~~BG"

E,F,G依次是對(duì)角線切上的四等分點(diǎn)，好1,

1DG1

CG~^G~3f

CG=3,

AD//BC,

DFMF

而=而j1

HF=4,

MtMRH戶8,

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例，平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平行線得到相應(yīng)的比例

式.

4.（2020?浙江九年級(jí)期末）已知如圖，點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)（AC>BC）,則下列結(jié)論中正確的

是（）

?_____________I_________?

ACB

A.AB2=AC2+BC2B.BC^AOBA

?BC75-1AC75-1

U.------n

AC2BC2

【答案】C

【詳解】黃金分割定義知,擊片，所以Wc.

設(shè)/廬1,AC=x,

1—xX

X1

解得：下土5BCV5-1

選C.

2AC2

5.（2021?浙江九年級(jí)期末）有一種有趣的讀數(shù)法：如圖，在圖紙上確定縱軸與橫軸，從交點(diǎn)。處開(kāi)始依

次在兩軸上畫(huà)出單位相同的標(biāo)度，再作兩軸交角的角平分線/少上的標(biāo)度與縱軸上的標(biāo)度在同一水平線

上,拿一根直尺，使得它的兩端分別架在橫軸和縱軸上，且如二4OB=b,讀出直尺與少的交點(diǎn)。的標(biāo)度就

可以求出。。的長(zhǎng)度.當(dāng)天4,左6時(shí)，讀得點(diǎn)。處的標(biāo)度為（）

人12「12后「2424公

A.—B.—V2C.一D.—V2

5555

【答案】A

【分析】通過(guò)分別向橫軸和縱軸作輔助線得到等腰三角形，建立線段之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，同時(shí)利用平行線分

線段成比例的推理，建立比例關(guān)系式即可求解.

【詳解】解：如圖所示，過(guò)C點(diǎn)分別向如、協(xié)作垂線，垂足分別為點(diǎn)〃、點(diǎn)與

因?yàn)镹/6戶90°,OP平分4AOB,

：.ZBO（=ZAO（=^°,

AZB0C=Z0CE=ZA0C=Z0CD=45o,

：?0&CB^CF0D,

設(shè)0斤CB^CFOAx,

：.BE=6-x,

CE//OA,

.BECE

9,~OB~~OA"

.6-xx

6-4'

.??中,

5

V。上的標(biāo)度與縱軸上的標(biāo)度在同一水平線上，

12

?,?點(diǎn)。處的標(biāo)度等于切的長(zhǎng)，即為了，

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題綜合考查了等腰三角形的判定、角平分線的定義和平行線分線段成比例定理的推論等內(nèi)容,

解決本題的關(guān)鍵是正確理解題意與圖形，能在圖形中得到對(duì)應(yīng)等量關(guān)系，能正確作出輔助線構(gòu)造相似三角

形等，本題蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合等思想方法.

二、填空題

6.（2021?杭州市采荷中學(xué)九年級(jí)二模）線段"=2cm,點(diǎn)尸為線段的黃金分割點(diǎn)則期

的長(zhǎng)為cm.

【答案】（石-1）

【分析】根據(jù)黃金分割的定義得到4尸=叵口AB,把=代入計(jì)算即可.

2

【詳解】解：；線段AB=2cm,點(diǎn)尸是線段的黃金分割點(diǎn)（AP>BP）,

AP=AB=^―!-x2cm=（加,

22

故答案為：（小-1）.

【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割的定義，熟練掌握黃金分割的定義及黃金比值是解題的關(guān)鍵.

7.（2021?浙江九年級(jí)月考）如圖，在△/8C中，點(diǎn)〃在/C邊上，AD-.DC=\,2,點(diǎn)￡是劭的中點(diǎn)，連接

/￡并延長(zhǎng)交6。于點(diǎn)凡除12,則阱.

【答案】3

【分析】過(guò)月作〃7的平行線交/。與G,由中位線的知識(shí)可得出〃G：屐1：2,根據(jù)已知和平行線分線段成

比例得出￡6：降2：3,再根據(jù)比M2,即可得出班'的值.

【詳解】解：過(guò)E作EG〃BC,交然于G,

又,：AD：DOX-.2,

：.AG：A(=2：3,

'：EG//BC,

.EGAG2

FC"AC_3'

.?.陷9,

;除12,

:.B氏BC-FG3,

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例及三角形的中位線的知識(shí)，難度較大，注意熟練運(yùn)用中位線定理

和三角形面積公式.

8.（2021?浙江衢江?九年級(jí)期末）數(shù)2和8的比例中項(xiàng)是—.

【答案】x=±4

【分析】根據(jù)比例中項(xiàng)的概念：比例中項(xiàng)的平方等于兩個(gè)數(shù)的乘積，設(shè)2和8的比例中項(xiàng)是x,列出方程計(jì)

算即可.

【詳解】設(shè)2和8的比例中項(xiàng)是x,

2x

??一~,

x8

Y=16,

角軍得x=±4.

故答案為：x=±4.

【點(diǎn)睛】題主要考查了比例中項(xiàng)的概念，設(shè)出未知數(shù)列出方程是解題的關(guān)鍵.

9.（2021?溫州市實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)月考）若線段a=4,6=9,則線段a,6的比例中項(xiàng)為.

【答案】6

【分析】由四條線段a,x,x,6成比例，根據(jù)成比例線段的定義解答即可.

【詳解】解：設(shè)線段a,6的比例中項(xiàng)為c,c>0,

根據(jù)比例中項(xiàng)原則：（^=ab,

?，?/=4X9,

c=6

故答案：6.

【點(diǎn)睛】本題考查成比例線段、比例中項(xiàng)等知識(shí)，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.

10.（2020?浙江拱墅?樹(shù)蘭中學(xué)九年級(jí)月考）如圖，在AABC中，。是5c邊上的一點(diǎn)，5D:OC=4:1,G為

AD的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BG并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)E,則石G:G4=

【答案】1：9

【分析】過(guò)D做DM〃AC,得出4AEG絲ZXDMG,進(jìn)而得出EG二MG,再根據(jù)平行線分線段成比例定理即可得出

BG與EG關(guān)系，從而得出石G:G3=1:9.

【詳解】過(guò)D做DM〃AC,

AZEAG=ZMDG,ZAEG=ZDMG

???G為AD的中點(diǎn)

AAG=DG

AAAEG^ADMG

二?EG=MG,

VBD:DC=4:1

ABM:EM=BD:DC=4:1

???BM=4EM=8EG

.,.BG=9EG

.'.EG:BG=1:9

故答案是1:9

【點(diǎn)睛】本題主要考察了全等三角形和平行線成比例定理等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)已知條件做出合適的輔助線是解

題關(guān)鍵.

11.（2021?浙江衢州?）將一副三角板如圖放置在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)/與原點(diǎn)。重合，45在x軸正

半軸上，且A2=4A/L點(diǎn)￡在肥上，DE=^AD,將這副三角板整體向右平移個(gè)單位，C,￡兩點(diǎn)

同時(shí)落在反比例函數(shù)y=七的圖象上.

【答案】12-73

【分析】分別求出C（4如+6,6）,￡（373,9）,假設(shè)向右平移了勿個(gè)單位，將平移后的店代入y=f中，列出

方程進(jìn)行求解即可.

【詳解】過(guò)￡作ENLDB,過(guò)C作CMVBD,

：.ZDNE=90。,

由三角板及AB=可知NOB￡>=90。，劭=12,CM=BM=^D46,

：.C（473+6,6）,

'：ZDNE=90°,ZDNE=90°,

J.EN//OB,

'：DE=-AD

4

EN=-OB=y/3,DN=-DB=9,

44

E（3A/3,9）,

設(shè)將這副三角板整體向右平移勿個(gè)單位，C,￡兩點(diǎn)同時(shí)落在反比例函數(shù)＞的圖象上.

X

?.?。（4百+6,6）,網(wǎng)3后9）,

二平移后C'（4g+6+〃z,6）,￡（3石+帆9）,

6=k

4A/3+