專題06導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

一、填空題

1.（2024新高考I卷J3）若曲線y=e'+x在點（0,1）處的切線也是曲線y=ln（尤+1）+。的切

線，貝I”.

近年真題精選

一、單選題

1.(2022新高考I卷-7)設(shè)。=0.卜°/力=，c=-ln0.9,貝|()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

2.（2023新高考H卷-6）已知函數(shù)/（x）=ae「lnx在區(qū)間（1,2）上單調(diào)遞增，則a的最小值

為（）.

A.e1B.eC.e-1D.e-2

二、多選題

3.（2022新高考H卷J2）若x,y滿足無？+-孫=1,則（）

A.x+y<\B.x+y>-2

C.x2+y2<2D.x2+j2>1

4.（2023新高考H卷JI）若函數(shù)無）=。111%+2+烏（0片0）既有極大值也有極小值，則

尤尤

（）.

A.bc>0B.ab>0C.b1+8AC>0D.ac<0

三、填空題

5.（2022新高考I卷J5）若曲線y=（x+a）e，有兩條過坐標(biāo)原點的切線，則a的取值范圍

是.

6.（2022新高考H卷J4）曲線y=ln|x|過坐標(biāo)原點的兩條切線的方程

為

必備知識速記

一、導(dǎo)數(shù)的運算

1、求導(dǎo)的基本公式

基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)

/(X)=C(C為常數(shù))r?=o

/(x)=x"(aeQ)/'(%)=axa~x

f(x)=ax(a>0,aw1)f\x)=ax\na

f(x)=log%(a>0,a#1)fw=.

flxma

/(x)=e/f'M=ex

/(x)=lnxf'M=-

X

f(x)=sinxf\x)=cosx

f(x)=cosxff(x)=-sinx

2、導(dǎo)數(shù)的四則運算法則

(1)函數(shù)和差求導(dǎo)法則："(x)±g(x)］=f'(x)+g'(x);

(2)函數(shù)積的求導(dǎo)法則："(x)g(x)〕=/'(x)g(x)+/(x)g'(x)；

(3)函數(shù)商的求導(dǎo)法則：g(x)wO,則［這］=/'(x)g(x)--(x)g'(無)

g(x)g-(x)

3、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)

復(fù)合函數(shù)y=/[g(x)]的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)＞=/("),〃=g(尤)的導(dǎo)數(shù)間關(guān)系為％=yuux：

4、切線問題

(1)在點的切線方程

切線方程y-/a))=f'(xo)(x-xo)的計算：函數(shù)y=/(x)在點4%,7(%))處的切線方程為

抓住關(guān)鍵仁意;

y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)

(2)過點的切線方程

設(shè)切點為尸（與，%）,則斜率左=廣（%）,過切點的切線方程為：y-y0=f'（x0）（x-x0）,

又因為切線方程過點A（m,〃），所以〃-%=/1'（飛乂機-飛）然后解出/的值.（x0有幾個

值，就有幾條切線）

注意：在做此類題目時要分清題目提供的點在曲線上還是在曲線外.

二、單調(diào)性基礎(chǔ)問題

1、函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)單調(diào)性的判定方法：設(shè)函數(shù)y=/（x）在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果尸（x）＞0,則y=f（x）

為增函數(shù)；如果#x）＜0,則y=/（x）為減函數(shù).

2、已知函數(shù)的單調(diào)性問題

①若/（尤）在某個區(qū)間上單調(diào)遞增，則在該區(qū)間上有了'（尤）20恒成立（但不恒等于0）；反

之，要滿足（（x）＞0,才能得出了（尤）在某個區(qū)間上單調(diào)遞增；

②若/（無）在某個區(qū)間上單調(diào)遞減，則在該區(qū)間上有了'（尤）40恒成立（但不恒等于0）；反

之，要滿足（。）＜0,才能得出了（無）在某個區(qū)間上單調(diào)遞減.

三、討論單調(diào)區(qū)間問題

類型一：不含參數(shù)單調(diào)性討論

（1）求導(dǎo)化簡定義域（化簡應(yīng)先通分，盡可能因式分解；定義域需要注意是否是連續(xù)的區(qū)

間）；

（2）變號保留定號去（變號部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負(fù)，需要單獨討論的部分.定號部分：

已知恒正或恒負(fù)，無需單獨討論的部分）；

（3）求根作圖得結(jié)論（如能直接求出導(dǎo)函數(shù)等于0的根，并能做出導(dǎo)函數(shù)與無軸位置關(guān)系

圖，則導(dǎo)函數(shù)正負(fù)區(qū)間段己知，可直接得出結(jié)論）；

（4）未得結(jié)論斷正負(fù)（若不能通過第三步直接得出結(jié)論，則先觀察導(dǎo)函數(shù)整體的正負(fù)）；

（5）正負(fù)未知看零點（若導(dǎo)函數(shù)正負(fù)難判斷，則觀察導(dǎo)函數(shù)零點）；

（6）一階復(fù)雜求二階（找到零點后仍難確定正負(fù)區(qū)間段，或一階導(dǎo)函數(shù)無法觀察出零點，

則求二階導(dǎo)）；

求二階導(dǎo)往往需要構(gòu)造新函數(shù)，令一階導(dǎo)函數(shù)或一階導(dǎo)函數(shù)中變號部分為新函數(shù)，對新函

數(shù)再求導(dǎo).

（7）借助二階定區(qū)間（通過二階導(dǎo)正負(fù)判斷一階導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，進而判斷一階導(dǎo)函數(shù)正

負(fù)區(qū)間段）；

類型二：含參數(shù)單調(diào)性討論

（1）求導(dǎo)化簡定義域（化簡應(yīng)先通分，然后能因式分解要進行因式分解，定義域需要注意

是否是一個連續(xù)的區(qū)間）；

（2）變號保留定號去（變號部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負(fù)，需要單獨討論的部分.定號部分：

已知恒正或恒負(fù)，無需單獨討論的部分）；

（3）恒正恒負(fù)先討論（變號部分因為參數(shù)的取值恒正恒負(fù)）；然后再求有效根；

（4）根的分布來定參（此處需要從兩方面考慮：根是否在定義域內(nèi)和多根之間的大小關(guān)

系）；

（5）導(dǎo)數(shù)圖像定區(qū)間；

四、極值與最值

1、函數(shù)的極值

函數(shù)/（X）在點七附近有定義，如果對/附近的所有點都有/（X）＜/（%）,則稱/（x0）是函

數(shù)的一個極大值，記作y極大值=/（Xo）.如果對X。附近的所有點都有f（x）＞/（x0）,則稱

/（尤0）是函數(shù)的一個極小值，記作y極小值=/（1）.極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，稱/為極

值點.

求可導(dǎo)函數(shù)/（尤）極值的一般步驟

（1）先確定函數(shù)的定義域；

（2）求導(dǎo)數(shù)尸（X）；

（3）求方程（（x）=0的根；

（4）檢驗（（x）在方程（尤）=0的根的左右兩側(cè)的符號，如果在根的左側(cè)附近為正，在右

側(cè)附近為負(fù)，那么函數(shù)y=/（x）在這個根處取得極大值；如果在根的左側(cè)附近為負(fù)，在右

側(cè)附近為正，那么函數(shù)y=/（x）在這個根處取得極小值.

注：①可導(dǎo)函數(shù)/（幻在點/處取得極值的充要條件是：X。是導(dǎo)函數(shù)的變號零點，即

（（無。）=0,且在與左側(cè)與右側(cè)，f'（x）的符號導(dǎo)號.

②尸（無。）=0是4為極值點的既不充分也不必要條件，如/。）=丁，-（0）=0,但％=0不

是極值點.另外，極值點也可以是不可導(dǎo)的，如函數(shù)〃》）=國，在極小值點.=0是不可

導(dǎo)的，于是有如下結(jié)論：/為可導(dǎo)函數(shù)/（尤）的極值點=＞尸（%）=0;但尸（無（））=0%/為

/（X）的極值點.

2、函數(shù)的最值

函數(shù)y=f（x）最大值為極大值與靠近極小值的端點之間的最大者；函數(shù)/（%）最小值為極小

值與靠近極大值的端點之間的最小者.

導(dǎo)函數(shù)為了(幻=62+bx+c=a(x--x2)(m<xx<x2<ri)

(1)當(dāng)a>0時，最大值是/(%)與/(w)中的最大者；最小值是了(尤2)與/(租)中的最小

者.

(2)當(dāng)a<0時，最大值是/(%)與/(加)中的最大者；最小值是/(為)與/(〃)中的最小

者.

一般地，設(shè)y=/(x)是定義在M，網(wǎng)上的函數(shù)，y=/(x)在(m,〃)內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)

y=f(尤)在［m,n\上的最大值與最小值可分為兩步進行：

(1)求y=f(x)在(07,")內(nèi)的極值(極大值或極小值)；

(2)將y=/(x)的各極值與/(加)和/(〃)比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為

最小值.

【導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用常用結(jié)論】

1、恒成立和有解問題

(1)若函數(shù)/(X)在區(qū)間。上存在最小值“可神和最大值"XL、，則

不等式“X)>a在區(qū)間。上恒成立o/(x)min>a-,

不等式2a在區(qū)間O上恒成立o/(x)min>a；

不等式〃x)<8在區(qū)間。上恒成立o/(x)max<b；

不等式〃龍)“在區(qū)間。上恒成立o/(x)max<b；

(2)若函數(shù)〃x)在區(qū)間。上不存在最大(小)值，且值域為(八ri))則

不等式“X)>。(或f(x)>在區(qū)間D上恒成立om2a.

不等式“X)<b(或(x)46)在區(qū)間。上恒成立0根46.

(3)若函數(shù)f(x)在區(qū)間〃上存在最小值”力〃和最大值“X)m,即〃力?九川，則對

不等式有解問題有以下結(jié)論：

不等式a</(x)在區(qū)間￡)上有解;

不等式在區(qū)間。上有解;

不等式在區(qū)間。上有解尤)1nM；

不等式a尤)在區(qū)間。上有解

(4)若函數(shù)/(x)在區(qū)間。上不存在最大(小)值，如值域為(九〃),則對不等式有解問

題有以下結(jié)論：

不等式a<f(x)(或a</(x))在區(qū)間D上有解Oa<w

不等式〃％）（或b>〃％））在區(qū)間。上有解=b>根

（5）對于任意的玉可，總存在％4m,〃],使得

/（再）4g（尤2）O，&Lx4g（%）max；

（6）對于任意的玉E[。，句，總存在%Um,〃],使得

“占）見仁）0〃占）四貝（%）3；

（7）若存在％E[〃，b],對于任意的々4m,〃],使得

/a）vg5）o”看需vg伉L；

（8）若存在玉E[Q,b],對于任意的馬￡加，川，使得

〃占）2g伍）o/a）1mxzg（々L；

（9）對于任意的升目區(qū)b],々?m,〃]使得“1mx（g（%）1n;

（10）對于任意的x,e[a,b],x2e[m,可使得f&）2g（%）O/（石）1nto>g（^2）max;

（11）若存在有e[a,0，總存在馬e[m,可，使得“xjVg（%）o”占置Vg（%）111ax

（12）若存在％e[a,b],總存在馬e[m,n],使得）若（％）o/（%）11mzg（%）1nhi.

名校模擬探源

一、單選題

1.（2024?河北保定三模）曲線"x）=e￡-3x在點（0,〃0））處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的

三角形的面積為（）

xe[0,2],

2.（2024?陜西西安?三模）已知函數(shù)〃x）=則〃尤）在點（5,”5））處

2）,xe（2,+s）,

的切線方程為（）

A.4x—y-28=0B.4%+y—12=0C.%—4y—12=0D.x+4y—22=0

3.（2024?河北保定?三模）已知二次函數(shù)、=依（尤-力（6x0且6/1）的圖象與曲線

y=lnx交于點P,與x軸交于點A（異于點O）,若曲線y=lnx在點P處的切線為/,且/

與AP垂直，則。的值為（）

A.—B.—1C.—5/eD.—2

e*1

4.（2024?貴州六盤水?三模）已知曲線>=一一3成的一條切線方程為y=f+根，則實數(shù)

m=（）

A.-2B.-1C.1D.2

2

5.（2024?湖南長沙?二模）已知m>0,n>0,直線y=-x+m與曲線y=21nx—〃+4

e

相切，則-+-的最小值是（）

mn

A.4B.3C.2D.1

6.（2024.貴州黔東南.二模）己知正實數(shù)。，6滿足,心+e、e22+「，則的最大

2b

值為（）

A.0B.!C.1D.-

22

7.（2024.福建泉州二模）在等比數(shù)列｛。"｝中，％,%是函數(shù)/。）=/-1?！?/比（3%）的兩個

極值點，若%%=2血%-2，貝卜的值為（）

A.-4B.-5C.4D.5

8.（2024?天津和平?三模）已知函數(shù)/（x）=JGsinoxcosox-gsinQox-j（toeR,且

?>0）,xeR,若函數(shù)/（x）在區(qū)間（0,2兀）上恰有3個極大值點，則。的取值范圍為

（）

'1319、<1319]「131外<1319'

A-B-c-[n'n）。.尼，逅

9.（2024?遼寧?二模）已知正實數(shù)。,6,記M=maxka,"7^],則M的最小值為（）

A.&B,2C.1D.6

10.（2024?新疆喀什?三模）已知。=ln（sinl.O2）,6=粵1,c=lnl.O2,則（）

A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<bD.b<a<c

11.（2024?安徽合肥?三模）已知函數(shù)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為/（無），若外力滿足：

（x-l）[.f（x）-/（x）]>0,/（2-x）=f（x）e2-2\則下列判斷正確的是（）

A./(l)>e/(O)B./（2）>e2f（0）

C./(3)>e3/(0)D./（4）<e4/（0）

二、多選題

12.（2024.河北衡水.三模）已知函數(shù)/（彳）=丁-的。x=2是函數(shù)了⑺的一個極值點，則

下列說法正確的是（）

A.m=3B.函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1,2）上單調(diào)遞減

C.過點（1,-2）能作兩條不同直線與y=/（尤）相切D.函數(shù)y=7V（x）］+2有5個零點

13.（2024?重慶?三模）若函數(shù)=區(qū)既有極小值又有極大值，則（）

A.ab<0B.a<0C.b1+16<?>0D.6］<4

14.（2024?山西太原三模）已知X］是函數(shù)/（同=%3+如+”（m<0）的極值點，若

/伉）=/（%）（%?%），則下列結(jié)論正確的是（）

A.”尤）的對稱中心為（。,〃）B./（—%）>/（%）

C.2%+工2=0D.再+%>°

15.（2024?河北?三模）已知函數(shù)/（尤）及其導(dǎo)函數(shù)尸（x）的定義域均為R,記

g（x）=/'（x），若〃3+2x）為偶函數(shù)，g（l+x）為奇函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.g（x）的圖象關(guān)于直線x=l對稱.B.g（x）的圖象關(guān)于點（3,0）對稱.

2024

c.^/（0=1D.g（2023）=0

Z=1

三、填空題

16.（2024?上海?三模）設(shè)曲線/（力=淀工+6和曲線g（x）=cos￡+c在它們的公共點

P（0,2）處有相同的切線，則/+c的值為