搶分秘籍02方程與不等式

CCC

【解密中考】總結(jié)常考點(diǎn)及應(yīng)對(duì)的策略，精選名校模擬題，講解通關(guān)策略（含押題型）

【題型一】一元一次方程及應(yīng)用

【題型二】二元一次方程及應(yīng)用

【題型三】一元二次方程的解法

【題型四】一元二次方程的應(yīng)用

【題型五】分式方程的解法

【題型六】分式方程的應(yīng)用

【題型七】不等式的解法

【題型八】不等式的應(yīng)用

【誤區(qū)點(diǎn)撥】點(diǎn)撥常見(jiàn)的易錯(cuò)點(diǎn)

易錯(cuò)點(diǎn)一：二元一次方程組中含參數(shù)易錯(cuò)問(wèn)題

易錯(cuò)點(diǎn)二：一元二次方程中含參數(shù)易錯(cuò)問(wèn)題

易錯(cuò)點(diǎn)三：分式方程中含參數(shù)易錯(cuò)問(wèn)題

易錯(cuò)點(diǎn)四：不等式中含參數(shù)易錯(cuò)問(wèn)題

考情分析：方程和不等式是全國(guó)中考的熱點(diǎn)內(nèi)容，更是全國(guó)中考的必考內(nèi)容。每年都有一些考生

因?yàn)橹R(shí)殘缺、基礎(chǔ)不牢、技能不熟、答欠規(guī)范等原因?qū)е率Х帧?/p>

1.從考點(diǎn)頻率看

1.高頻核心考點(diǎn)：方程有一元二次方程（解法、判別式、韋達(dá)定理）、分式方程（解法及增根討論）、

二元一次方程組（解法及實(shí)際應(yīng)用）每年必考，常結(jié)合利潤(rùn)、行程、幾何等實(shí)際問(wèn)題。不等式有一元一次

不等式組（解集求解、參數(shù)范圍討論）及應(yīng)用題（方案設(shè)計(jì)、最值問(wèn)題）高頻出現(xiàn)，常與函數(shù)、方程綜合

命題。

2,易錯(cuò)考點(diǎn)：

分式方程的增根檢驗(yàn)、一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)含參時(shí)的分類討論、不等式組解集邊界值的取舍（是

否取等號(hào)）。

2.從題型角度看：

1.基礎(chǔ)題型：選擇題、填空題考查方程解法、不等式解集表示，占比約10%-15%。

2.應(yīng)用題：解答題中，方程與不等式常作為建模工具（如利潤(rùn)最大化、資源分配問(wèn)題），占比約

20%-25%,需結(jié)合題意列關(guān)系式。

3.綜合題：與函數(shù)（一次函數(shù)、二次函數(shù)）結(jié)合的壓軸題，如利用不等式求自變量范圍、方程根的分

布分析，難度較高，區(qū)分度強(qiáng)。

備考策略|

1.基礎(chǔ)鞏固：熟練掌握各類方程（組）解法步驟（如分式方程驗(yàn)根、一元二次方程配方法/公式法），

不等式組解集“數(shù)軸法”確定。

2.專題突破：針對(duì)參數(shù)問(wèn)題專項(xiàng)訓(xùn)練（如含參方程的解的情況、不等式組參數(shù)范圍），總結(jié)分類討論邏

輯（如二次項(xiàng)系數(shù)是否為0、不等號(hào)方向變化）。強(qiáng)化應(yīng)用題建模能力，提煉“審-設(shè)-列-解-驗(yàn)-答"六步法，

尤其注意實(shí)際問(wèn)題中變量的取值范圍（如正整數(shù)解）。

3.易錯(cuò)點(diǎn)攻堅(jiān)：整理錯(cuò)題本，歸納增根遺漏、判別式忽略前提（二次項(xiàng)系數(shù)#0）、不等式方向改變等

高頻錯(cuò)誤。限時(shí)訓(xùn)練提升解題速度，確保基礎(chǔ)題準(zhǔn)確率達(dá)100%,綜合題分步得分。

6題型特訓(xùn)提分--------------------------------------

【題型一】一元一次方程及應(yīng)用

【例1】（2025,湖北襄陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）《九章算術(shù)》是中國(guó)古代第一部數(shù)學(xué)專著，它對(duì)我國(guó)古代后世的數(shù)學(xué)家

產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響，該書中記載了一個(gè)問(wèn)題，原文如下："今有人共買物，人出八，盈三；人出七，不足四,

問(wèn)人數(shù)，物價(jià)各幾何？”大意是：有幾個(gè)人一起去買一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元,

問(wèn)有幾個(gè)人合伙購(gòu)買，該物品的價(jià)格是多少.設(shè)合伙贖買的有x人，根據(jù)題意，可列方程為（）.

A.8x+3=7x-4B.8x-3=7x+4C.8x+3=7x+4D.8x-3=7x-4

本題主要考查一元一次方程組的運(yùn)用，理解數(shù)量關(guān)系，正確列式是關(guān)鍵.由此列式即可求解.

一"歹『21（一2（應(yīng)板畫皮而二稹T為蔚冢環(huán)王王天對(duì)誡而美殍而蓉的宰割于由「樂(lè)東而麗而麗的潔動(dòng)不甌訐

劃做一批"感謝賀卡若每人做8張，則比計(jì)劃多了3張；若每人做5張，則比計(jì)劃少了27張.該活動(dòng)小

組共有多少人？

【變式1］（2025?廣西來(lái)賓?一模）古時(shí)候人們通過(guò)在繩子上打結(jié)來(lái)記錄數(shù)量，即"結(jié)繩記數(shù)如圖所示是一

位婦女按滿五進(jìn)一的方法，從右到左在繩子上依次打結(jié)，用來(lái)記錄采集到的野果的個(gè)數(shù).她一共采集到43

個(gè)野果，則第2根繩子上的打結(jié)個(gè)數(shù)是（）

第3根第2根第1根

C.3D.4

【變式2］（2025?陜西西安?一模）幻方，最早源于我國(guó)，古人稱之為縱橫圖.如圖所示的幻方中，各行、各

列及各條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)字之和均相等.求圖中x的值.

【變式3］（2025?陜西西安?一模）某班體育活動(dòng)課上原計(jì)劃分成兩個(gè)小組進(jìn)行活動(dòng)，第一組26人，第二組

22人，現(xiàn)要根據(jù)學(xué)校體育器材的數(shù)量，對(duì)兩個(gè)小組的人數(shù)重新進(jìn)行調(diào)整，從第一組調(diào)部分人到第二組去，

使得調(diào)整后第一組的人數(shù)為第二組人數(shù)的一半，請(qǐng)問(wèn)應(yīng)該從第一組調(diào)多少人到第二組去？（用方程解答）

【變式4］（2025?安徽合肥?一模）為貫徹落實(shí)"立德樹(shù)人”的根本任務(wù)，提高學(xué)生的勞動(dòng)素養(yǎng).某中學(xué)擬組織

九年級(jí)師生去校外勞動(dòng)教育實(shí)踐基地參加勞動(dòng)實(shí)踐活動(dòng)，需向某客運(yùn)公司租客車前往，下表是有關(guān)租車的

信息：

客運(yùn)公司有60座和45座兩種型號(hào)的客車可供租用，60座客車每輛每天的租金

信息1

比45座客車每輛每天的租金多200元.

上周八年級(jí)師生去該基地參加勞動(dòng)實(shí)踐活動(dòng)向這個(gè)客運(yùn)公司租了5輛60座和3

信息2

輛45座的客車，一天的租金共計(jì)6200元.

信息3九年級(jí)師生租用4輛60座的客車和4輛45座的客車正好坐滿.

請(qǐng)根據(jù)以上表中的信息，解答下列問(wèn)題；

⑴客運(yùn)公司60座和45座的客車每輛每天的租金分別是多少元?

⑵九年級(jí)師生到該客運(yùn)公司租車一天，共需租金多少元？

【題型二】二元一次方程及應(yīng)用

【例1】（2025?湖北荊州?模擬預(yù)測(cè)）《孫子算經(jīng)》中有一道題，原文是：“今有木，不知長(zhǎng)短，引繩度之，余

繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺.木長(zhǎng)幾何？"意思是：用一根繩子去量一根長(zhǎng)木，繩子還剩余4.5尺；

將繩子對(duì)折再量長(zhǎng)木，長(zhǎng)木還剩余1尺.問(wèn)木長(zhǎng)多少尺？如果設(shè)木長(zhǎng)x尺，繩長(zhǎng)＞尺，則可以列方程組是

()

y—x=4.5x—y=4.5x—y=4.5y—x=4.5

A.\B.《11C.I,D.《Ii

-y-X=]-y-x=Ix—y=Ix——y=1

12，12)22

技I巧

本題考查二元一次方程組，理解題意，正確列出方程組求解方程即可.

6x+2y=5

【例2】（2025?湖南?一模）解方程組:

—=-5

【變式1]（2025?遼寧鐵嶺?一模）我國(guó)古代《孫子算經(jīng)》卷中記載“多人共車"問(wèn)題，其原文如下：今有三人

共車，二車空；二人共車，九人步，問(wèn)人與車各幾何？其大意為：若3個(gè)人乘一輛車，則空2輛車；若2個(gè)

人乘一輛車，則有9個(gè)人要步行，問(wèn)人數(shù)和車數(shù)各是多少.設(shè)人數(shù)為x人，車數(shù)為y輛，可列方程為（）

?（—I反[3（y+2）=xc]3（L2）=X0]3（x-2）=y

[2y-9=x[2y-9=x\2y+9=x[2y+9=x

、fx+y=3fx=1

【變式2]（2025?浙江衢州?一模）已知關(guān)于x,y的二元一次方程組一人的解是，則6的值

[x+ay=b[y=a

是.

【變式3】（2025?北京延慶?模擬預(yù)測(cè)）某圖書館計(jì)劃用800元購(gòu)買經(jīng)典文學(xué)和科普讀物兩種書籍，經(jīng)典文學(xué)

每套50元，科普讀物每套35元.若購(gòu)買經(jīng)典文學(xué)的數(shù)量比科普讀物的數(shù)量多10套，判斷能否恰好用完預(yù)

算？若能，請(qǐng)求出所購(gòu)買的經(jīng)典文學(xué)和科普讀物的套數(shù)，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【變式4]（2025?安徽?一模）某天，蔬菜經(jīng)營(yíng)戶張老板用218元，從蔬菜批發(fā)市場(chǎng)批發(fā)了豆角和西紅柿40kg

到市場(chǎng)去賣，豆角和西紅柿這天每千克的批發(fā)價(jià)與零售價(jià)如下表所示：

品名豆角西紅柿

批發(fā)價(jià)/元5.05.6

零售價(jià)/元8.29.2

請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明張老板賣出這些豆角和西紅柿的盈虧情況.

【題型三】一元二次方程的解法

【例1】（2025?黑龍江齊齊哈爾?一模）解一元二次方程：2--6X+3=0.

iN

本題主要考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法，是解題的關(guān)鍵.用公式法解一元二次

方程即可.

"前2】五。25?安徽?橫擬預(yù)湎）廨方程：3X2+3X-1=0.

【變式1】（2025?江西南昌?一模）（1）計(jì)算：sin30°-cos245°+tan60°-sin60°.

（2）解方程：X2+3X-28=0.

【變式2］（2025?江蘇無(wú)錫?一模）解方程或不等式組：

（1）X2-2X-4=0；

f3x-3>x+1

（2）［2（2x-l）<5x-T

【變式3］（2025,甘肅武威?一模）（1）解方程：X2+8X-1=0.

（2）計(jì)算：-I4+V27-4sin60°-|2V3+

（3）化簡(jiǎn)求值：［a-\其中4=2—收

V<7+1J?+1

【題型四】一元二次方程的應(yīng)用

【例1】（2025?陜西漢中?二模）隨著人們對(duì)身心健康的關(guān)注度越來(lái)越高，某市參加健身運(yùn)動(dòng)的人數(shù)逐年增多,

從2022年的30萬(wàn)人增加到2024年的43.2萬(wàn)人，求該市參加健身運(yùn)動(dòng)人數(shù)的年均增長(zhǎng)率.

本題考查了由實(shí)際問(wèn)題列出一元二次方程、找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

一"歹『21（一20面舌林三稹丁不疥二豪春節(jié)期而面面而第一根而兌勇血麻布藥運(yùn)了五誨二和禮物「若福而二英

贈(zèng)送了90份禮物，則小川及兄弟姐妹一共多少人？若設(shè)小川及兄弟姐妹一共有x人，則可列方程

為.

【變式1］（2025?貴州?一模）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《增刪算法統(tǒng)宗》記載"圓中方形"問(wèn)題："今有圓田一段，

中間有個(gè)方池，丈量田地待耕犁，恰好三分在記，池面至周有數(shù)，每邊三步無(wú)疑.內(nèi)方圓徑若能知，堪作

算中第一."其大意為：有一塊圓形的田，中間有一塊正方形水池，測(cè)量出除水池外圓內(nèi)可耕地的面積恰好

72平方步，從水池邊到圓周，每邊相距3步遠(yuǎn).如果你能求出正方形邊長(zhǎng)和圓的直徑，那么你的計(jì)算水平

就是第一了.如圖，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)是x步，則列出的方程是.

【變式2］（2025?遼寧撫順?二模）商場(chǎng)某種商品平均每天可銷售30件，每件盈利50元，為了盡快減少庫(kù)存,

商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件商品每降價(jià)1元，商場(chǎng)平均每天可多售出2件.

⑴若某天該商品每件降價(jià)3元，當(dāng)天可盈利多少元？

⑵設(shè)每件商品降價(jià)x元，在上述銷售正常情況下，每件商品降價(jià)多少元時(shí)，商場(chǎng)日盈利可達(dá)到2000元？

【變式3］（2025?四川廣安?模擬預(yù)測(cè)）某果園原計(jì)劃種100棵桃樹(shù)，一顆桃樹(shù)平均結(jié)1000個(gè)桃子，現(xiàn)準(zhǔn)備

多種一些桃樹(shù)以提高產(chǎn)量.試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，每多種1棵桃樹(shù)，每顆桃樹(shù)的產(chǎn)量就會(huì)減少2個(gè)，但多種的桃樹(shù)不

能超過(guò)100棵.

⑴如果要使產(chǎn)量增加15.2%,那么應(yīng)多種多少棵桃樹(shù)？

⑵應(yīng)種多少棵桃樹(shù)，桃子的產(chǎn)量才會(huì)達(dá)到最大值？求出這個(gè)最大值.

【題型五】分式方程的解法

2丫4

【例⑵25,陜西咸陽(yáng)?一模）解方程：,=不!+】?

巧

本題考查了解分式方程，根據(jù)解分式方程的步驟：去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1、檢驗(yàn)

計(jì)算即可得解.

x8

【例2】（2025?甘肅定西?一模）解分式方程一--1=^-

x-3x-9

一127

【變式1］（2025?陜西西安?一模）解方程：--+—7=

x+1x-1X-1

r-13

【變式2］（2025?江蘇南京?模擬預(yù)測(cè)）已知方程一?-1=告.

⑴將該方程去分母，得一，此步驟的依據(jù)是一.

⑵接著（1）中的步驟，繼續(xù)解該方程.

【變式3］（2025?江西撫州?一模）以下是小張同學(xué)解分式方程＜=二+1的過(guò)程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相

x-33-x

應(yīng)的任務(wù).

1—x=—2+1.第■步

1一x=-l.第二步

x=2.第三步

經(jīng)檢驗(yàn)，x=2是原方程的根.第四步

任務(wù)一：填空：以上解方程的過(guò)程中，第步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤;

任務(wù)二：請(qǐng)你幫他寫出正確的解答過(guò)程.

【題型六】分式方程的應(yīng)用

［例1］（2025?廣東清遠(yuǎn)?一模）為了加強(qiáng)學(xué)生的體育鍛煉，某學(xué)校需要購(gòu)買籃球和足球兩種體育用品，已知

每個(gè)足球的進(jìn)價(jià)是每個(gè)籃球進(jìn)價(jià)的0.75倍，用1200元購(gòu)進(jìn)籃球的數(shù)量比用2100元購(gòu)進(jìn)足球的數(shù)量少20

個(gè).求：每個(gè)籃球、足球的進(jìn)價(jià)分別為多少元？

本題考查了分式方程的應(yīng)用，正確理解題意，找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵

彳面515葩5'礪丘苧菠二稹疊無(wú)簟算王T幣看二冠買手舌在眸珞送宿宿函百「箕百韜擇攵蘇一二裕文荏;

若用慢馬送到800里遠(yuǎn)的城市，所需時(shí)間比規(guī)定時(shí)間多1天；若改為快馬派送，則所需時(shí)間比規(guī)定時(shí)間少2

一.4

天，已知快馬的速度是慢馬的］倍，則規(guī)定時(shí)間為天，

【變式1］（2025?山西忻州?一模）為了緩解交通壓力，提高道路的通行效率，太原市對(duì)某一段路實(shí)行交通燈

智能化改造，駕駛員只要控制好車速，便能實(shí)現(xiàn)“一路綠燈據(jù)了解，該路段總長(zhǎng)約5.4公里，改造后車輛

通過(guò)該路段的平均速度提高了50%,平均行駛時(shí)間減少了3分鐘，求改造前車輛通過(guò)該路段的平均速度.

【變式2］（2025?山西運(yùn)城?一模）晉陽(yáng)高速公路改擴(kuò)建項(xiàng)目是2024年山西省級(jí)的重點(diǎn)項(xiàng)目，現(xiàn)有一段路由

甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)共同承包修建.其中甲工程隊(duì)需要修9千米，乙工程隊(duì)需要修12千米，己知乙工程隊(duì)每個(gè)

月的修建速度是甲工程隊(duì)的L5倍，最終乙工程隊(duì)修建用的時(shí)間比甲工程隊(duì)少用半個(gè)月，問(wèn)甲工程隊(duì)每個(gè)月

修建多少千米？

【變式3］（2025?重慶?一模）跳繩是人們喜愛(ài)的一種運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，對(duì)青少年來(lái)說(shuō)，經(jīng)常跳繩有助于身體長(zhǎng)高.

⑴一副跳繩由兩個(gè)手柄和一根繩子組成，某工廠生產(chǎn)某種型號(hào)的跳繩，一名工人每天可生產(chǎn)400個(gè)手柄或

1000根繩子，現(xiàn)打算安排18名工人來(lái)生產(chǎn)，如何安排工人使得每天生產(chǎn)的手柄和繩子恰好配套？

⑵甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行跳繩訓(xùn)練，甲計(jì)劃跳120個(gè)，乙計(jì)劃跳100個(gè)，若甲平均每秒跳繩的個(gè)數(shù)是乙平均

3

每秒跳繩個(gè)數(shù)的5倍，甲、乙同時(shí)開(kāi)始跳，但乙在跳的過(guò)程中因死繩耽擱了5秒鐘，最后甲比乙提前15秒

完成跳繩訓(xùn)練，求甲平均每秒跳繩多少個(gè)?

【題型七】不等式的解法

2x+6>x

【例1］⑵25?陜西西安一模）解不等式組：4<一、

本題主要考查了解一元一次不等式組，先求出每個(gè)不等式的解集，再根據(jù)''同大取大，同小取小，大小小大

中間找，大大小小找不到（無(wú)解）“求出不等式組的解集即可.

i%+i>o

【例2】（2025?浙江舟山?一模）解不等式組“n把解表示在數(shù)軸上，并求出不等式組的整數(shù)解.

［3（工-1）<x+2

3（x+l）>2x-l

【變式1］（2025?甘肅平?jīng)?一模）解不等式組：x+5,

------>x+l

I2

1x—3

x—I>------

【變式2］（2025?北京?模擬預(yù)測(cè)）解不等式組：2

5（x-l）<2x+l

f3x<2x+1①

【變式3］（2025?天津薊州?模擬預(yù)測(cè)）解不等式組__1不，請(qǐng)結(jié)合題意填空，完成本題的解答.

⑴解不等式①，得一;

⑵解不等式②，得「

⑶把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來(lái);

⑷原不等式組的解集為

【題型八】不等式的應(yīng)用

［例1］（2025?重慶?二模）重慶沙坪壩"全球校友"半程馬拉松活動(dòng)將于2025年4月20日在沙坪壩開(kāi)展，重

慶一中校友會(huì)計(jì)劃為參與馬拉松活動(dòng)的一中校友采購(gòu)活動(dòng)周邊紀(jì)念品.經(jīng)初步調(diào)研發(fā)現(xiàn)，購(gòu)買3件運(yùn)動(dòng)T恤

和2個(gè)運(yùn)動(dòng)手環(huán)花費(fèi)165元，且1件運(yùn)動(dòng)T恤比1個(gè)運(yùn)動(dòng)手環(huán)貴30元.

⑴每件運(yùn)動(dòng)T恤和每個(gè)運(yùn)動(dòng)手環(huán)的售價(jià)分別是多少元？

⑵截止2025年3月17日馬拉松活動(dòng)報(bào)名結(jié)束，重慶一中校友會(huì)計(jì)劃采購(gòu)運(yùn)動(dòng)T恤和運(yùn)動(dòng)手環(huán)共200件，

且購(gòu)買的總費(fèi)用不超過(guò)5000元，則最多可購(gòu)買運(yùn)動(dòng)T恤多少件？

巧

本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，正確建立方程組和不等式是解題關(guān)鍵.

一語(yǔ)「2:石62?熏龍范旺再江二稹廠窠商場(chǎng)麗1甲:一云兩林手機(jī)其而說(shuō)「巨如麗魂二部百種手機(jī)正麗1二一

部乙種手機(jī)進(jìn)價(jià)少0.3萬(wàn)元，用36萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)甲種手機(jī)的數(shù)量是用48萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)乙種手機(jī)數(shù)量的3倍.請(qǐng)解答

下列問(wèn)題：

⑴甲、乙兩種手機(jī)每部進(jìn)價(jià)各是多少元？

⑵若商場(chǎng)預(yù)計(jì)投入資金超過(guò)10萬(wàn)元，且購(gòu)進(jìn)甲種手機(jī)超過(guò)30部，商場(chǎng)有哪幾種購(gòu)進(jìn)方案？

⑶在（2）的條件下，若甲種手機(jī)每部售價(jià)1100元，乙種每部手機(jī)售價(jià)4300元，甲、乙兩種手機(jī)各有一部

樣機(jī)按八折出售，其余全部按標(biāo)價(jià)售出，商場(chǎng)從銷售這50部手機(jī)獲利中拿出2520元作為員工福利，其余

利潤(rùn)恰好又可以購(gòu)進(jìn)以上手機(jī)共2部.請(qǐng)直接寫出該商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)這50部手機(jī)中，甲、乙兩種手機(jī)各幾部.

【變式1］（2025?貴州黔東南?一模）苗年和侗年是傳統(tǒng)民俗節(jié)日，更是國(guó)家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)，凱里市某文

創(chuàng)公司在苗年和侗年節(jié)日期間制作了"苗族“和“侗族"兩種玩偶紀(jì)念品進(jìn)行售賣.已知每個(gè)"苗族”玩偶的售價(jià)

3

比每個(gè)"侗族"玩偶的售價(jià)高4元，用960元購(gòu)買的“苗族"玩偶的數(shù)量是用960元購(gòu)進(jìn)的“侗族”玩偶的數(shù)量的-.

4

⑴求每個(gè)“苗族"玩偶和"侗族”玩偶的售價(jià)；

⑵若某商店一次性購(gòu)進(jìn)“苗族"玩偶和"侗族"玩偶共500個(gè)，要使總費(fèi)用不超過(guò)7200元，則至少要購(gòu)買多少個(gè)

“侗族"玩偶.

【變式2]（2025?河南信陽(yáng)?一模）據(jù)燈塔專業(yè)版數(shù)據(jù)，截止2025年2月18日，《哪吒之魔童鬧海》總票房

達(dá)123.2億元，登頂全球動(dòng)畫電影票房榜，是亞洲首部票房過(guò)百億的影片，并創(chuàng)造了全球單一電影市場(chǎng)最高

票房紀(jì)錄.該片來(lái)源于哪吒鬧海的傳統(tǒng)故事，但又重塑了全新的"魔童"哪吒形象：表面吊兒郎當(dāng)，實(shí)則勇敢

堅(jiān)毅，強(qiáng)烈反差引發(fā)情感共鳴；"我命由我不由天”的不屈精神，讓觀眾淚目.為滿足兒童對(duì)哪吒的喜愛(ài)，某

玩具店決定各用300元購(gòu)進(jìn)了/、8兩種哪吒玩偶.已知一個(gè)8種哪吒玩偶是一個(gè)/種玩偶價(jià)格的2倍，

且購(gòu)進(jìn)兩種玩偶的數(shù)量共15個(gè).

⑴求購(gòu)進(jìn)/、2兩種哪吒玩偶的單價(jià)各是多少元？

⑵因銷售效果不錯(cuò)，該玩具店決定再次購(gòu)進(jìn)/、2兩種哪吒玩偶共80個(gè)，且/種哪吒玩偶的數(shù)量不多于2

種哪吒玩偶數(shù)量的2倍，問(wèn)此次購(gòu)進(jìn)至少要花多少錢？

【變式3]（2025?四川瀘州,一模）草莓是一種極具營(yíng)養(yǎng)價(jià)值的水果，當(dāng)下正是草莓的銷售旺季.某水果店以

3150元購(gòu)進(jìn)/、2兩種不同品種的盒裝草莓，其中/品種進(jìn)價(jià)為35元/盒、8品種50元/盒；若按/品種

60元/盒、B品種80元/盒的標(biāo)價(jià)出售可獲利潤(rùn)2050元.

⑴求這兩個(gè)品種的草莓各購(gòu)進(jìn)多少盒？

⑵該店計(jì)劃下周購(gòu)進(jìn)這兩種品種的草莓共100盒（每種品種至少進(jìn)1盒），并在兩天內(nèi)將所進(jìn)草莓全部銷售

完畢.（損耗忽略不計(jì)）因3品種草莓的銷售情況較好，水果店計(jì)劃購(gòu)進(jìn)3品種的盒數(shù)不低于工品種盒數(shù)的

2倍，且工品種不少于25盒.如何安排進(jìn)貨，才能使利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？

易錯(cuò)點(diǎn)一：二元一次方程組中含參數(shù)易錯(cuò)問(wèn)題

解含參數(shù)二元一次方程組，先整理成標(biāo)準(zhǔn)形式，分系數(shù)是否為零討論：①系數(shù)行列式非零時(shí)唯一解；②行列式

為零，對(duì)比常數(shù)項(xiàng)判斷無(wú)解或無(wú)窮解，注意消元時(shí)避免分母為零，警惕參數(shù)特殊值漏解。

[2x-y=5k

例1.（2025?四川綿陽(yáng)?二模）若關(guān)于x,＞的二元一次方程組,7的解也是方程%-2歹=8的解，則

[x+y=k

k的值為.

[2x+y=2k-l

變式1：（2025?山東濟(jì)寧?一模）已知關(guān)于％/的方程組:4的解滿足x+>>l,則左的取值范圍

[x+2y=-4

是—.

[a,x+b,y=c,（x=5[5a,x-3b.y=4c,

變式2：（2025?浙江寧波?一模）若方程組1'''的解是〃則方程組」.?「的

[a2x+b2y=c2[）=6[ja2x-3b2y=4c2

解是—

1%+2v—z—4

變式3：（2025?四川內(nèi)江?一模）若X、八z為非負(fù)實(shí)數(shù)，且?,則代數(shù)式x2-3/+z2的最大值

[x-y+2z=1

與最小值的差是.

易錯(cuò)點(diǎn)二：一元二次方程中含參數(shù)易錯(cuò)問(wèn)題

匿I點(diǎn)I撥:

含參一元二次方程易錯(cuò)點(diǎn)：①討論二次項(xiàng)系數(shù)是否為0,區(qū)分方程類型；②用判別式/時(shí)勿忘二次項(xiàng)系數(shù)W

0；③韋達(dá)定理需以/N0為前提；④參數(shù)范圍結(jié)合題意及根的分布綜合分析，避免漏解。

麗?方視西雙百三稹5著關(guān)丁「的二元三次療瘟了二m五二6的二不癱泊;二匚廁了的府五二二

變式1：（2025?甘肅定西?一模）若機(jī)是方程2尤2+3工-2=0的根，貝U式子4m?+6加+2025的值為

變式2：（2025?河南洛陽(yáng)?一模）關(guān)于x的一元二次方程3/一2》-0=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)。的值

為.

變式3：（2025?江蘇南京?模擬預(yù)測(cè)）若一元二次方程2/_4x-l=0的兩根為m,n,則蘇+/的值為.

變式4：（2025.山東聊城?一模）如果關(guān)于x的方程mx2-2（m+3）x+m=0有實(shí)數(shù)根，那么m的取值范圍是

易錯(cuò)點(diǎn)三：分式方程中含參數(shù)易錯(cuò)問(wèn)題

混[點(diǎn)

分式方程組含參易錯(cuò)點(diǎn)：①關(guān)注分母不為零，參數(shù)可能使分母為零需排除;②去分母時(shí)防漏乘整式項(xiàng)；③解需

驗(yàn)根，增根及無(wú)解情況結(jié)合參數(shù)討論，確保解符合所有分式定義域。

例1.（2025?黑龍江牡丹江?一模）若關(guān)于x的分式方程=l的解為整數(shù)，則整數(shù)加的值有_____個(gè).

x-3

變式1：（2025?山東東營(yíng)?一模）若關(guān)于x的方程生?+曰=3的解是非負(fù)數(shù)，則加的取值范圍為_(kāi)____.

x-22-x

變式2：（2025?山東?一模）已知方程二-a=/一，且關(guān)于x的不等式。<x?6只有4個(gè)整數(shù)解，那么6的

a-44-a

取值范圍是.

-------F12X—1

變式3：（2025?重慶,二模）若關(guān)于x的不等式組2-有且僅有1個(gè)奇數(shù)解，且關(guān)于了的分式方程

3x-a>1

?|=3-泮的解為整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)。的和為_(kāi)___.

y-22-y

2x+l1

------->x-I

變式4：（2025?重慶?一模）若關(guān)于x的不等式組3有解且至多3個(gè)整數(shù)解，關(guān)于了的分式方程

3（l-x）<x-a

B-3=號(hào)的解為整數(shù)，那么符合條件的所有整數(shù)。的和為_(kāi)_____.

I—yy-\