專題06導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

2024年真題研析

一、填空題

1.(2024新高考I卷?13)若曲線y=e'+x在點(diǎn)(0,1)處的切線也是曲線y=ln(尤+1)+。的切

線，貝I”.

【答案】ln2

【分析】先求出曲線y=e，+尤在(0,1)的切線方程，再設(shè)曲線y=ln(x+l)+。的切點(diǎn)為

(1,ln(x0+l)+a),求出y',利用公切線斜率相等求出％,表示出切線方程，結(jié)合兩切線

方程相同即可求解.

【詳解】由>=/+工得；/=e*+l,y'|^0=e°+1=2,

故曲線y=e，+x在(0,1)處的切線方程為y=2x+l；

由y=ln(x+l)+a得y，=￡?，

設(shè)切線與曲線V=山(x+1)+<7相切的切點(diǎn)為+1)+a),

由兩曲線有公切線得了二—二？，解得毛=-<，則切點(diǎn)為+

玉)十12

切線方程為y=21x+j+4+ln；=2x+l+Q—ln2,

根據(jù)兩切線重合，所以a-ln2=0,解得a=ln2.

故答案為：In2

一、單選題

1.(2022新高考I卷-7)設(shè)。=0.1e°」,6=，c=-ln0.9,貝|()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【答案】c

【分析】構(gòu)造函數(shù)/(x)=ln(l+x)-x,導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，由此確定。C的大小.

【詳解】方法一：構(gòu)造法

設(shè)/(x)=ln(l+無)一元(x>-1),因?yàn)椋?無)=*--1=一4，

1+X1+X

當(dāng)xe(-1,0)時(shí)，f'(x)>0,當(dāng)xw(0,+oo)時(shí)/(x)<0,

所以函數(shù)/?=ln(l+元)一元在(0,+s)單調(diào)遞減，在(-1,0)上單調(diào)遞增，

所以心</(。)=0,所以吟彳<0,故吟=Tn0.9,即b>c,

1910--1±1

所以/(-而)</(。)=0,所以In仿+而<0,故言口。，所以版

故。<8,

設(shè)g(x)=xe'+ln(l-x)(0(尤<1),則g，(無)=(%+1)6工+^^=~+\

令6(x)=e*(x2-1)+1,h'(x)=ex(x2+2x-l),

當(dāng)0<x〈正-1時(shí)，”(x)<。，函數(shù)〃(x)=e'(/-l)+l單調(diào)遞減，

當(dāng)g-1<X<1時(shí)，〃'(無)>0,函數(shù)丸(x)=e，(f-l)+l單調(diào)遞增,

又做)=0,

所以當(dāng)0<彳<0-1時(shí)，/7(x)<0,

所以當(dāng)0<尤<&-1時(shí)，g'(無)>0,函數(shù)8。)=b+山(1-刈單調(diào)遞增，

所以g(0.1)>g(0)=0,即0.1e°」>-ln0.9,所以

故選：C.

方法二：比較法

解：。=0.1網(wǎng)，b=-^-,c=-ln(l-0.1),

1—0.1

①Ina—ln￡>=0.1+ln(l—0.1),

令f(.x)=x+ln(l—x),xe(0,0.1],

1-y

貝!If'(x)=i---=--<0,

1—x1—x

故/(%)在(0,0.1]上單調(diào)遞減，

可得f(0-1)</(0)=0,即Ina—ln〃vO,所以a<b；

②tz-c=O.leOI+ln(l-O.l),

令^(x)=xex+ln(l—x),xe(0,0.1],

則g\x)=xex+ex—-L=(l+x)(lx).T,

v71-x1-x

令k(x)=(\+x)(\-x)ex-\,所以k\x)=(\-jc-2x)ex>0,

所以k(x)在(0,0.1］上單調(diào)遞增，可得Mr)>M0)>0,即g'(x)>0,

所以g(x)在(0,0.1］上單調(diào)遞增，可得g(0.1)>g(0)=0,即a-c>0,所以a>c.

故c<a<b.

2.(2023新高考H卷6)已知函數(shù)〃x)=ae'-Inx在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，則a的最小值

為(),

A.e?B.eC.D.e-2

【答案】C

【分析】根據(jù)尸(無)=。1-工20在(1,2)上恒成立，再根據(jù)分參求最值即可求出.

X

【詳解】依題可知，-(%)=盤-工2在(1,2)上恒成立，顯然a>0,所以xe-L

xa

設(shè)g(x)=xeFe(L2),所以g，(x)=(x+l)e，>0,所以g(x)在(1,2)上單調(diào)遞增，

g(x)>g6=e,故eN1,即aN』=eT,即a的最小值為

ae

故選：C.

二、多選題

3.(2022新高考H卷J2)若x,y滿足Y+V-盯=1,則()

A.x+y<lB.x+y>-2

C.x2+y2<2D.x2+y2>l

【答案】BC

【分析】根據(jù)基本不等式或者取特值即可判斷各選項(xiàng)的真假.

【詳解】因?yàn)?a,blR),由Y+y2一0=1可變形為,

(尤+y『_l=3孫W3［亨］,解得一2<x+y<2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=-l時(shí)，尤+>=-2,當(dāng)

且僅當(dāng)x=y=l時(shí)，x+y=2,所以A錯(cuò)誤，B正確；

22

由V+y2一孫=1可變形為優(yōu)+力_［=肛4上產(chǎn)，解得1+y2V2,當(dāng)且僅當(dāng)

元=了=±1時(shí)取等號(hào)，所以C正確;

|+(y2=i,設(shè)=cos6,^^y=sin°,所以

因?yàn)閂+V—孫=1變形可得x-2

八1.八2?八…

x=cose+-^=sinB,y=—j=sin6^,因此

521

x2+y2=cos20+—sin2^+-^=rsin^cos^=l+-^=sin2^--cos2^+—

33

71|，2,所以當(dāng)人》L9時(shí)滿足等式，但是“'不成

=-+-sin|26?--G

336

立，所以D錯(cuò)誤.

故選：BC.

4.（2023新高考H卷J1）若函數(shù)/（x）=alnx+g+5（aw0）既有極大值也有極小值，則

().

A.bc>0B.ab>0C.b1+Sac>0D.ac<0

【答案】BCD

【分析】求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)/'（x）,由已知可得/（無）在（0,—）上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化

為一元二次方程有兩個(gè)不等的正根判斷作答.

【詳解】函數(shù)/（x）="lnx+2+W的定義域?yàn)椋?,+?0,求導(dǎo)得

XX

b2c_ax2-bx-2c

f'M=-

X

因?yàn)楹瘮?shù)了⑺既有極大值也有極小值，則函數(shù)/'（X）在（0,+S）上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，而

a力0,

因此方程Q%2一法一2c=0有兩個(gè)不等的正根%,九2，

A=Z?2+Sac>0

b

于是玉+九2=—>。，即有。2+8QC>0,ab>0,ac<0顯然/Av。，即拉?<0,A錯(cuò)

a9

2c八

玉4=----->0

a

誤，BCD正確.

故選：BCD

三、填空題

5.（2022新高考I卷［5）若曲線y=（x+〃）e”有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則〃的取值范圍

是.

【答案】(F,y)u(o,y)

【分析】設(shè)出切點(diǎn)橫坐標(biāo)看,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，根據(jù)切線經(jīng)過原點(diǎn)得到

關(guān)于％的方程，根據(jù)此方程應(yīng)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求得。的取值范圍.

【詳解】y=(x+a)e*,=(x+1+a)ex,

設(shè)切點(diǎn)為(5,%),則為=(%+。)物，切線斜率左=小+l+a)e否,

切線方程為：y-伉+a)e-=(%+l+a)e"x-%),

??,切線過原點(diǎn)，.??-6+a)e&=(%+l+a)占(―飛),

整理得：X；+ax0—a=0,

;切線有兩條，〃+4。>0,解得a<-4或a>0,

Aa的取值范圍是(fT)U(O，y),

故答案為：(-0°,T)U(0,+co)

6.(2022新高考H卷J4)曲線y=ln|x|過坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線的方程

為,.

【答案】y=-xy=--x

ee

【分析】分x>0和x<0兩種情況，當(dāng)無>0時(shí)設(shè)切點(diǎn)為(飛,山毛)，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即

可求出切線的斜率，從而表示出切線方程，再根據(jù)切線過坐標(biāo)原點(diǎn)求出看,即可求出切線

方程，當(dāng)x<0時(shí)同理可得；

【詳解】［方法一］:化為分段函數(shù)，分段求

分x>0和x<0兩種情況，當(dāng)x>0時(shí)設(shè)切點(diǎn)為(x0,ln/),求出函數(shù)、導(dǎo)函數(shù)，即可求出切

線的斜率，從而表示出切線方程，再根據(jù)切線過坐標(biāo)原點(diǎn)求出看,即可求出切線方程，當(dāng)

x<0時(shí)同理可得；

解：因?yàn)閥=ln|x|,

當(dāng)尤>0時(shí)y=lnx,設(shè)切點(diǎn)為(5,In5),由，=工，所以*/=’，所以切線方程為

xxo

j-lnx0=—(x-x0),

又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以Tnxo='(_x。)，解得尤°=e,所以切線方程為y-l=4x-e),

xoe

即y=L；

e

當(dāng)x<0時(shí)y=ln(-x),設(shè)切點(diǎn)為(4皿-菁))，由y'=L所以=所以切線方程

X再

而

又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以Tn(一%)=工(一%)，解得西=-e,所以切線方程為

x\

y—l=—(x+e),即,=—x?故答案為：y=-x；y=-x

-eeee

［方法二］:根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性，數(shù)形結(jié)合

1

當(dāng)x>0時(shí)y=lnx,設(shè)切點(diǎn)為(5，山也)'由廣丁所以義氣工，所以切線方程為

j-lnx0=—(x-x0),

又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以一比無。=!(-%),解得%=e,所以切線方程為>-l=4x-e),

e

口即口y=-1x；

e

因?yàn)閥=ln|x|是偶函數(shù)，圖象為：

歹八

y

n:

二一9

所以當(dāng)x<0時(shí)的切線，只需找到y(tǒng)=!X關(guān)于y軸的對(duì)稱直線y=-‘X即可.

ee

［方法三］:

因?yàn)?gt;=比國，

1-1

當(dāng)尤>。時(shí)y=ln無，設(shè)切點(diǎn)為(?，足?)，由上7所以山。二,所以切線方程為

y-lnx=-(x-x),

0%0

又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以Tnx°='(-%),解得x0=e,所以切線方程為y-l=」(x-e),

即y=L；

e

當(dāng)x<0時(shí)y=ln（-x）,設(shè)切點(diǎn)為（小山（-玉）），由y'=L所以四『=工，所以切線方程

X再

不

又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以7n（一玉）=工（一%），解得占=-e,所以切線方程為

X1

^-1=—（x+e）,即y=--x；

-ee

故答案為：y=-x-y=--x.

ee

必備知識(shí)速記

一、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

1、求導(dǎo)的基本公式

基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)

f(x)=c(c為常數(shù))r（x）=o

/(X)=xa(aeQ)/'(x)=axa~x

f(x)=ax(a>0,a^V)f\x)=axIn?

f(x)=log%(a>0,aw1)fw=.

flx\na

f(x)=exr(x)=e*

f{x}=\nxf'M=-

X

/(x)=sinxfr(x)=cosx

/(x)=cosx/'(x)=-sinx

2、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則

（1）函數(shù)和差求導(dǎo)法則："（X）士g（尤）］=/'（x）±g'（x）；

(2)函數(shù)積的求導(dǎo)法則："(x)g(x)]=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)；

（3）函數(shù)商的求導(dǎo)法則：g（x）*O,則［四］=『'（x）g（x）「「（x）g'（x）

g（x）g（%）

3、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)

復(fù)合函數(shù)y=/[g（x）]的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=/（〃），a=g（尤）的導(dǎo)數(shù)間關(guān)系為”=yuux：

4、切線問題

（1）在點(diǎn)的切線方程

切線方程〉-/'（無0）=—（%）0-尤0）的計(jì)算：函數(shù)y=/（x）在點(diǎn)，/■（%））處的切線方程為

%=/(%)

y-fCx0)=f'(x0)(x-x0),抓住關(guān)鍵

k=f'(x0)

（2）過點(diǎn)的切線方程

設(shè)切點(diǎn)為尸（X。，％）,則斜率左=/（%），過切點(diǎn)的切線方程為：y-y0=f'（x0Xx-x0）,

又因?yàn)榍芯€方程過點(diǎn)A（〃z,“），所以〃-%=尸（無0）（加-/）然后解出毛的值.（X。有幾個(gè)

值，就有幾條切線）

注意：在做此類題目時(shí)要分清題目提供的點(diǎn)在曲線上還是在曲線外.

二、單調(diào)性基礎(chǔ)問題

1、函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)單調(diào)性的判定方法：設(shè)函數(shù)y=/（x）在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果（（x）＞0,則y=/（x）

為增函數(shù)；如果—（無）＜0,則y=/（x）為減函數(shù).

2、已知函數(shù)的單調(diào)性問題

①若/（x）在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增，則在該區(qū)間上有（（x）N0恒成立（但不恒等于0）；反

之，要滿足（（x）＞0,才能得出了（無）在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增；

②若/（無）在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減，則在該區(qū)間上有（（x）＜0恒成立（但不恒等于0）；反

之，要滿足（（x）＜0,才能得出了（無）在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減.

三、討論單調(diào)區(qū)間問題

類型一：不含參數(shù)單調(diào)性討論

（1）求導(dǎo)化簡定義域（化簡應(yīng)先通分，盡可能因式分解；定義域需要注意是否是連續(xù)的區(qū)

間）；

（2）變號(hào)保留定號(hào)去（變號(hào)部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負(fù)，需要單獨(dú)討論的部分.定號(hào)部分：

已知恒正或恒負(fù)，無需單獨(dú)討論的部分）；

（3）求根作圖得結(jié)論（如能直接求出導(dǎo)函數(shù)等于0的根，并能做出導(dǎo)函數(shù)與無軸位置關(guān)系

圖，則導(dǎo)函數(shù)正負(fù)區(qū)間段已知，可直接得出結(jié)論）；

（4）未得結(jié)論斷正負(fù)（若不能通過第三步直接得出結(jié)論，則先觀察導(dǎo)函數(shù)整體的正負(fù)）；

（5）正負(fù)未知看零點(diǎn)（若導(dǎo)函數(shù)正負(fù)難判斷，則觀察導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)）；

（6）一階復(fù)雜求二階（找到零點(diǎn)后仍難確定正負(fù)區(qū)間段，或一階導(dǎo)函數(shù)無法觀察出零點(diǎn)，

則求二階導(dǎo)）；

求二階導(dǎo)往往需要構(gòu)造新函數(shù)，令一階導(dǎo)函數(shù)或一階導(dǎo)函數(shù)中變號(hào)部分為新函數(shù)，對(duì)新函

數(shù)再求導(dǎo).

（7）借助二階定區(qū)間（通過二階導(dǎo)正負(fù)判斷一階導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而判斷一階導(dǎo)函數(shù)正

負(fù)區(qū)間段）；

類型二：含參數(shù)單調(diào)性討論

（1）求導(dǎo)化簡定義域（化簡應(yīng)先通分，然后能因式分解要進(jìn)行因式分解，定義域需要注意

是否是一個(gè)連續(xù)的區(qū)間）；

（2）變號(hào)保留定號(hào)去（變號(hào)部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負(fù)，需要單獨(dú)討論的部分.定號(hào)部分：

已知恒正或恒負(fù)，無需單獨(dú)討論的部分）；

（3）恒正恒負(fù)先討論（變號(hào)部分因?yàn)閰?shù)的取值恒正恒負(fù)）；然后再求有效根；

（4）根的分布來定參（此處需要從兩方面考慮：根是否在定義域內(nèi)和多根之間的大小關(guān)

系）；

（5）導(dǎo)數(shù)圖像定區(qū)間；

四、極值與最值

1、函數(shù)的極值

函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0附近有定義，如果對(duì)x0附近的所有點(diǎn)都有/（x）＜/（x0）,則稱/（x0）是函

數(shù)的一個(gè)極大值，記作y極大值=/（%）.如果對(duì)X。附近的所有點(diǎn)都有/'（x）,/5）,則稱

/（尤。）是函數(shù)的一個(gè)極小值，記作y極小值=/（x（））.極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，稱/為極

值點(diǎn).

求可導(dǎo)函數(shù)/（尤）極值的一般步驟

（1）先確定函數(shù)/（X）的定義域；

（2）求導(dǎo)數(shù)尸（x）；

（3）求方程-（無）=0的根；

（4）檢驗(yàn)尸在方程（（x）=0的根的左右兩側(cè)的符號(hào)，如果在根的左側(cè)附近為正，在右

側(cè)附近為負(fù)，那么函數(shù)y=/（x）在這個(gè)根處取得極大值；如果在根的左側(cè)附近為負(fù)，在右

側(cè)附近為正，那么函數(shù)＞=/（X）在這個(gè)根處取得極小值.

注：①可導(dǎo)函數(shù)/（》）在點(diǎn)七處取得極值的充要條件是：尤。是導(dǎo)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)，即

/（無。）=0,且在與左側(cè)與右側(cè)，f'（x）的符號(hào)導(dǎo)號(hào).

②;(無。)=0是尤。為極值點(diǎn)的既不充分也不必要條件，如/(幻=/，尸(0)=0,但%=0不

是極值點(diǎn).另外，極值點(diǎn)也可以是不可導(dǎo)的，如函數(shù)〃x)=W，在極小值點(diǎn)％=0是不可

導(dǎo)的，于是有如下結(jié)論：尤。為可導(dǎo)函數(shù)/(x)的極值點(diǎn)=>/'(%)=0;但八尤o)=O/x。為

/(x)的極值點(diǎn).

2、函數(shù)的最值

函數(shù)y=/(X)最大值為極大值與靠近極小值的端點(diǎn)之間的最大者；函數(shù)“X)最小值為極小

值與靠近極大值的端點(diǎn)之間的最小者.

2

導(dǎo)函數(shù)為/(x)=ax+bx+c=a(x-x,)(x-x2)(m<xl<x2<n)

(1)當(dāng)。>0時(shí)，最大值是/(占)與/(〃)中的最大者；最小值是/'。2)與/'(雨中的最小

者.

(2)當(dāng)a<0時(shí)，最大值是/(%)與/(m)中的最大者；最小值是/(xj與/(〃)中的最小

者.

一般地，設(shè)y=/(x)是定義在［〃?，網(wǎng)上的函數(shù)，y=/(x)在O,")內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)

y=f(x)在阿，"］上的最大值與最小值可分為兩步進(jìn)行：

C1)求y=f(x)在(形,")內(nèi)的極值(極大值或極小值)；

(2)將y=/(x)的各極值與/'(加)和/(〃)比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為

最小值.

【導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用常用結(jié)論】

1、恒成立和有解問題

(1)若函數(shù)〃尤)在區(qū)間。上存在最小值"XL和最大值/(XL/則

不等式在區(qū)間。上恒成立o而°>a；

不等式之。在區(qū)間D上恒成立="x"。'a■

不等式〃尤)<6在區(qū)間。上恒成立o〃尤)慚<b-,

不等式V6在區(qū)間。上恒成立o〃x)1mx4匕；

(2)若函數(shù)〃尤)在區(qū)間D上不存在最大(小)值，且值域?yàn)?犯”)，則

不等式或/'(x)2a)在區(qū)間D上恒成立ga.

不等式(或(x)46)在區(qū)間D上恒成立一加Wb.

(3)若函數(shù)在區(qū)間。上存在最小值〃x)/和最大值〃尤)1111K,即則對(duì)

不等式有解問題有以下結(jié)論：

不等式a</(x)在區(qū)間D上有解"a<"力1mx；

不等式a<f(x)在區(qū)間D上有解oa</(^)_；

不等式a>/(x)在區(qū)間。上有解04>“尤)神；

不等式a2/(x)在區(qū)間。上有解1nhi；

(4)若函數(shù)f(x)在區(qū)間。上不存在最大(小)值，如值域?yàn)?叫”)，則對(duì)不等式有解問

題有以下結(jié)論：

不等式a<(或aW在區(qū)間D上有解u>a<n

不等式b>/(x)(或b>/(尤))在區(qū)間D上有解oZ>>機(jī)

(5)對(duì)于任意的玉e[a,6],總存在々?加，n],使得

/(%)4g(%)O/(演)皿<g(%Lx；

(6)對(duì)于任意的玉耳名國，總存在a],使得

f(x1)>g(x2)<=>f(xI)n.n>g(x2)m.n；

(7)若存在玉￡[a,b],對(duì)于任意的冗2w[m,n],使得

/a)4g(々)o/(%Lwg㈤.；

(8)若存在再E[〃，b],對(duì)于任意的/<m,n],使得

/(xj>^(x2)<^/(%,)_>g(x2)max;

(9)對(duì)于任意的占e[a,b],x2e[m,〃]使得“尤JWgQ?)o〃占)1raxVg(尤?)1nj”；

(10)對(duì)于任意的占e[a,可，x2e[m,可使得/(%)2g(%)="%)1nto2；

(11)若存在6],總存在％2w[m,n],使得“xj4gR)o"西心<g(x?)11rax

(12)若存在工蘆,，可，總存在%€皿n],使得)&)2g(%)o/(再)，2g(%)1nto.

名校模擬探源

一、單選題

1.(2024?河北保定三模)曲線〃尤)=e*-3x在點(diǎn)(0,〃0))處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的

三角形的面積為()

A.—B.—C.-D.—

8643

【答案】C

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得曲線的切線方程，結(jié)合三角形面積公式計(jì)算即可.

【詳解】由〃x）=e'—3x,得/，（力口,則苗0）=1,/（0）=-2,

所以曲線/（x）=e'-3x在點(diǎn)（0,/（0））處的切線方程為y=-2x+1.

令y=o,得x=（,令尤=0,得y=i,

故該切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為gxgxl=j

故選：C

2.（2024?陜西西安?三模）已知函數(shù)已則〃尤）在點(diǎn)（5,”5））處

2J1%—+<x>L

的切線方程為（）

A.4x—y-28=0B.4x+y—12=0C.x—4^—12=0D.x+4y-22=0

【答案】B

【分析】根據(jù)分段函數(shù)結(jié)合導(dǎo)函數(shù)求出了'（5）,再根據(jù)點(diǎn)斜式得出直線方程.

【詳解】當(dāng)xe（O,2］時(shí)，r（x）=2x-3,

當(dāng)x44,6］時(shí)，/（x）=2/（x-2）=4/（x—4）,貝！|/。）=4/。一4）,

所以〃5）=4〃1）=-8,回⑸=4/"）=Y.

則所求的切線方程為k（-8）=T（x-5）,即4x+y-12=0.

故選：B.

3.（2024.河北保定?三模）已知二次函數(shù)、=依（尤-力（6工0且bwl）的圖象與曲線

y=lnx交于點(diǎn)P,與x軸交于點(diǎn)A（異于點(diǎn)O）,若曲線y=lnx在點(diǎn)尸處的切線為/,且/

與A尸垂直，則。的值為（）

A.--B.-1C.一冊D.-2

e

【答案】B

【分析】利用導(dǎo)數(shù)求解直線1的斜率，即可根據(jù)垂直關(guān)系得先*PA=-1,結(jié)合

\nt=at（t-b）,即可求解.

【詳解】易知4（40）,設(shè)尸&3）,

聯(lián)立y=lnx與y=ax{x—b)Inx=ax(x-b),故Inf=〃/?—￡?),

由y=ln尤得y'=’，所以號(hào)=［，磯=當(dāng)，

xtt-b

因?yàn)?_LPA,所以勺?左M=Jn：、=-1,即lnr=TQ->）,

又ln%=R?—Z?）,所以〃=一1.

故選：B.

4.（2024?貴州六盤水?三模）已知曲線y=d—31nx的一條切線方程為丁=一犬+根，則實(shí)數(shù)

m=（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

3

【分析】根據(jù)切線的斜率的幾何意義可知-r=-1,求出切點(diǎn)，代入切線即可求

出加.

【詳解】設(shè)切點(diǎn)為（%,%）

因?yàn)榍芯€y=-x+：九，

3

所以=2%-r=-1,

3

解得%=1,修=-;（舍去）

代入曲線y=/-31ru得為=1,

所以切點(diǎn)為（U）

代入切線方程可得1=-1+利，解得〃=2.

故選：D.

2

5.（2024?湖南長沙?二模）已知m>0,n>0,直線y=-x+m與曲線y=21nx-n+4

e

相切，則-+-的最小值是（）

mn

A.4B.3C.2D.1

【答案】D

【分析】利用已知條件求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從而得到m+〃=4,利用基本不等式即可求

解.

2

【詳解】由于直線y=—x+m與曲線y=21nx-H+4相切，

o22

設(shè)切點(diǎn)為（不，%）,且,'=—,所以—=一,

xe/

則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)x（）=e，則2+a=2-〃+4,即加+〃=4.

d八八br、r/\（1nm\nm“11、1

又加>0,〃>0,所以+.一+—=2+—+—N2+2j—x—=4,HBnP—+—>1,

\mnJmnvmnmn

當(dāng)且僅當(dāng)根=〃=2時(shí)取等號(hào)，所以工+’的最小值為1.

mn

故選：D

6.（2024.貴州黔東南.二模）己知正實(shí)數(shù)。，6滿足+e、e22+「，則的最大

2b

值為（）

A.0B.!C.1D.-

22

【答案】A

【分析】根據(jù)等式關(guān)系構(gòu)造函數(shù)/（力=3-片工，由其單調(diào)性可得為-2=-6,于是結(jié)合基

本不等式可得。一!的最大值.

【詳解】由題e2A2_e2H=e-,_eJ構(gòu)造函數(shù)/（"=e'-b，則/（勿-2）=”詢,

顯然/（X）在R上單調(diào)遞增，所以24-2=-6,即“=書，

所以o__L===當(dāng)且僅當(dāng)a==，6=1時(shí)等號(hào)成

2b22b2\b）2\b2

立.

所以。-占的最大值為0.

2b

故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它的應(yīng)用貫穿于整個(gè)高中數(shù)

學(xué)的教學(xué)之中.某些數(shù)學(xué)問題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，但如果我們能挖掘其內(nèi)

在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、化繁為簡的作用.因

此對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行全面、準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.

根據(jù)題目的特點(diǎn)，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多

問題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.

7.（2024?福建泉州?二模）在等比數(shù)列｛叫中，是函數(shù)/。）=爐-10x+fln（3x）的兩個(gè)

極值點(diǎn)，若%%=20%-2，貝"的值為（）

A.-4B.-5C.4D.5

【答案】C

【分析】首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用韋達(dá)定理求得4%=；>。，并根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，代

入條件等式，即可求解.

【詳解】f'（x）=2x-10+-=2x2~1Qx+r,x>0

XX

所以q,為是方程2/-10彳+/=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則％>0,%>0,弓%=^>0，

根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，42a4=a\a5=〃；，且a2a4=2V5%-2

所以;=x—2,即%—4〃+4=0=（〃-2）=0,得/=4.

故選：C

8.（2024?天津和平三模）已知函數(shù)〃x）=V^sinoxcosox-gsinQox-]）（oeR,且

?>0）,xeR,若函數(shù)/（尤）在區(qū)間（。,2兀）上恰有3個(gè)極大值點(diǎn)，則。的取值范圍為

、門「外（-

A-1319B-319]C?舊13內(nèi)1J口.后13，互19

【答案】D

【分析】利用三角恒等變換化簡得到“無）=sin12s+「，從而得到

2（DX—G1一,A-COTlH—],根據(jù)函數(shù)極大值點(diǎn)的個(gè)數(shù)得到方程，求出答案.

。I。oJ

[詳解]/（%）=Gsinscosox--sinf2cox--=-sinleox+—cos2s=sin12G%+工

2\2J2216

XG（0,271）,Icox+￡￡，4。兀+力,

函數(shù)〃%）在區(qū)間（o,2兀）上恰有3個(gè)極大值點(diǎn)，

4,9K.7i13K小/日（1319

1^—<4ftM+-<—,解得叫不，行.

262<1212_

故選：D

9.（2024?遼寧?二模）已知正實(shí)數(shù)6,記用=11^<]4<7也,則〃的最小值為（）

A.72B.2C.1D.6

【答案】A

【分析】由已知得出結(jié)合M2，〒得出2什針，根據(jù)基本不等式即

27ab1V1-r-r

7ab

可求解.

【詳解】得，M>4a,M>b,M>^=,

>4a+b,BPM>2a+-^b,

因?yàn)镸2七,所以”2J4j,

yjabM--r^~

7ab

因?yàn)?〃+；Z?N2/2〃x；Z?=,當(dāng)且僅當(dāng)2〃=；Z?時(shí)等號(hào)成立，

所以小J"，2而‘2,M2④,當(dāng)且僅當(dāng)”=4a,M=6,M=蘇，即

y[ab^[ab

a=@,b=應(yīng)時(shí)，等號(hào)成立，

4

故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：當(dāng)。>6>0,c>d>0時(shí)，有ac>bd；^M>2a+\b^M>-^,兩式

2lab

相乘，進(jìn)而得出最小值.

10.（2024?新疆喀什三模）已知a=ln（sinl.O2）,b=^^,c=lnl.O2,則（）

A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<bD.b<a<c

【答案】c

【分析】由正弦函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)易得。<0<c,構(gòu)造“x）=ln（l+x）--^,x>0,利

用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，再判斷大小關(guān)系即可得C<b,即可得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閥=sinx在/母內(nèi)單調(diào)遞增，

貝!|0=51口0<51111.02<51111=1,BPsin1.02G（0,1）,

又因?yàn)閥=lnx在（0,+e）內(nèi)單調(diào)遞增，

貝(|a=ln(sinl.02)<lnl=0,c=lnl.02>lnl=0,可得〃<c；

令x=0.02,貝!Jb=,C=ln(l+x),

構(gòu)建〃》)=111(1+了)一7|=,*>。，

貝！If(x\___'2jl+x_(Jl+x-1)，?,

f⑴一kIT；--2(l+xg

可知“X)在(0,+8)上遞減,則/(0.02)</(0)=0,即c</；

綜上所述：a<c<b,

故選：C.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是根據(jù)C-8構(gòu)建〃x)=ln(l+x)-7蕓,x>0,利

用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，進(jìn)而可得c〈人

11.(2024?安徽合肥?三模)已知函數(shù)“X)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為廣(x),若滿足：

(x-l)[f,(x)-/(x)]>0,/(2-x)=/(x)e2-2\則下列判斷正確的是()

A./(l)>e/(O)B.八2)>e2〃0)

C.〃3)>e3〃0)D./(4)<e4/(0)

【答案】C

【分析】根據(jù)題意令/(力=/學(xué)，利用導(dǎo)數(shù)及題干所給條件求得網(wǎng)尤)的單調(diào)性，利用函

數(shù)的對(duì)稱性，可得尸⑴</(0)=/(2)<P(3)<R(4),對(duì)其進(jìn)行比較即可判斷各選項(xiàng).

【詳解】令尸(耳=迫，貝！I-(x)=*'(x)；e"(x)='⑴一>⑴,

函數(shù)fM滿足(龍一1)[/'(X)-/(刈>0,

當(dāng)x>l時(shí)尸(x)>0,尸(幻在[L")上單調(diào)遞增，

當(dāng)x<1時(shí)尸(x)<0,尸(x)在上單調(diào)遞減，

eex

即函數(shù)F(x)的圖象關(guān)于尤=1對(duì)稱，從而F(l)<F(0)=F(2)</⑶<F(4),

對(duì)于A,F(1)<F(O),等〈要，/(l)<ef(O),A錯(cuò)誤；

ee

對(duì)于B,F(0)=F(2),戶=率，f(2)=e2/(0),B錯(cuò)誤；

ee

對(duì)于c,F(3)>F(0),半>羋，/(3)>e3/(0),C正確；

ee

對(duì)于D,F(4)>F(0),坐>型，/(4)>e4/(0),D錯(cuò)誤.

ee

故選：c

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)尸(司=與，利用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的

單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性即可.

二、多選題

12.(2024.河北衡水三模)已知函數(shù)/(%)=丁-的2,x=2是函數(shù),⑴的一個(gè)極值點(diǎn)，則

下列說法正確的是()

A.m=3B.函數(shù)/>(X)在區(qū)間(-1,2)上單調(diào)遞減

C.過點(diǎn)(1,-2)能作兩條不同直線與y=/(x)相切D.函數(shù)y=f"(x)]+2有5個(gè)零點(diǎn)

【答案】AD

【分析】求得了'(》)=3尤2-2,但，根據(jù)/(2)=0,可判定A正確；由/'(x)=3x(x-2),利

用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可判定B錯(cuò)誤；設(shè)過點(diǎn)(1,-2)且與函數(shù)y=/(x)

相切的切點(diǎn)為(毛,%),求得切線方程，列出方程求得.%的值，可判定C錯(cuò)誤；令

f(x)=r,作出函數(shù)的圖象，得到-1<乙<0</2</3,進(jìn)而的函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，可判定以D

正確.

【詳解】對(duì)于A中，由函數(shù)/。)=尤3-0?2,可得尸(x)=3/-2wu,

因?yàn)閤=2是函數(shù)〃尤)的一個(gè)極值點(diǎn)，可得尸(2)=3x22-27〃x2=。，

解得機(jī)=3,經(jīng)檢驗(yàn)適合題意，所以A正確；

對(duì)于B中，由/(X)=3x(x-2),令/'(x)=0,解得玉=0或々=2,

當(dāng)xe(-oo,0)時(shí)，f\x)>0；當(dāng)xe(0,2)時(shí),f'(x)<0；當(dāng)xe(2,+co)時(shí),f'(x)>0,

故f(x)在區(qū)間(y，。)上遞增，在區(qū)間。2)上遞減，在區(qū)間(2,—)上遞增，所以B錯(cuò)誤；

對(duì)于C中，設(shè)過點(diǎn)(1,-2)且與函數(shù)y=/(%)相切的切點(diǎn)為(%0,%),

則該切線方程為〉=(伉)。一1)-2=(3君-6%)。一1)一2,

由于切點(diǎn)(%,%)滿足直線方程，貝!I了(％)=(3x；-6%)(與一1)一2=年一34，

整理得2(%-1乂尤;-2%+1)=0,解得%=1,所以只能作一條切線，所以C錯(cuò)誤;

對(duì)于D中，令/(x)=r,則/⑺=-2的根有三個(gè)，如圖所示，-1<。<0</2</3，

所以方程Ax)=乙有3個(gè)不同根，方程/(x)=和Ax)=6均有1個(gè)根,

故>=/"(x)]+2有5個(gè)零點(diǎn)，所以D正確.

故選：AD.

13.(2024?重慶?三模)若函數(shù)〃x)=alnr-2f+bx既有極小值又有極大值，則()

A.ab<0B.a<0C.b2+16(?>0D.6]<4

【答案】ABC

【分析】根據(jù)題意，求得尸⑺jy+a,轉(zhuǎn)化為W+6x+a=o在(o,+⑹上有兩

個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，列出不等式組，結(jié)合選項(xiàng)，即可求解.

【詳解】由函數(shù)/("=4垢_2犬+尻，可得-3，_以+=4廠+-+〃,

XX

因?yàn)?(%)=加+bx既有極小值又有極大值，

可得方程T%2+〃%+[=0在(0,+8)上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,

A=/+16〃>0

b2+16a>0

b

則滿足Z>0可得<“0,所以必v0,a<0,Z?2+164Z>0,

a<0

例如：。=-1/=5時(shí)，滿足上式，此時(shí)4<4不成立.

故選：ABC.

14.（2024?山西太原?三模）已知A是函數(shù)/⑺=/+3+4根①）的極值點(diǎn)，若

/（%）=/（%）（%79），則下列結(jié)論正確的是（）

A.“X）的對(duì)稱中心為（0,〃）B./（—%）＞/（%）

C.2%+工2=0D.項(xiàng)+/＞0

【答案】AC

【分析】利用〃。+力+/（。-力=2〃，可判斷A；令尸⑺=0,解得x,代入

/（-占）-/&）可判斷B；利用導(dǎo)數(shù)判斷出y=/（x）的單調(diào)性并求出極值點(diǎn)，結(jié)合圖像分情

況由/（尤2）=/（工）（不中々）解出巧，可得2%+%=0可判斷C；利用C選項(xiàng)，若

士=1,尤2=士衿，得出％+%＜?？膳袛郉.

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)?（。+%）+〃。-x）=d+如+〃一J一5十“=2〃，

所以/（%）的對(duì)稱中心為（0,小，故A正確；

對(duì)于B,/'（"=3/+冽，令/（司=0,解得x=±m(xù)，

/（一玉）—/（%）=一d+〃一年一叫-n

/（一番）一/（%）=一^一帆+〃一《一mx,-n

故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,令7?'(x)=0,解得x=±，?，

當(dāng)x>竹或x<-療時(shí)，y=〃x)是單調(diào)遞增函數(shù)，

當(dāng)一營〈尤時(shí)',=/(無)是單調(diào)遞減函數(shù)'

所以y=〃x)在尤=-療時(shí)有極大值，在彳=檸時(shí)有極小值，

如下圖，當(dāng)尤l一次時(shí)，若/(%)=/&)(國片々)，貝!I

X-mx

/(l)/(%)=牙+\+〃一只_rnx2_〃=(X]—%2乂,+玉%2+%；+根)=。，

可得片+玉%+考+%=0,即子一樣飛+君+機(jī)=0,解得馬=等",

所以2再+/=°;

X—1WCXX

/(l)/(%)=^+\+〃一￡—mX2—〃=(X]—/乂才+\2+%；+根)=0,

可得玉2+考+機(jī)=。，即毛++X；+m=0，解得々二_2《3',

所以2再+/=°；

綜上所述，2%+馬=0,故C正確;

對(duì)于D,由C選項(xiàng)可知，若玉=小子_2yJ-3772

3

所以西+尤2=后-言近=-阡值＜0,故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值點(diǎn).

15.(2024?河北?三模)已知函數(shù)〃尤)及其導(dǎo)函數(shù)尸(力的定義域均為R,記

g(x)=_f(x),若〃3+2x)為偶函數(shù)，g(l+x)為奇函數(shù),則下列結(jié)論正確的是()

A.g(x)的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱.B.g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(3,0)對(duì)稱.

2