查漏知識03初中數(shù)學(xué)中考解題技巧策略

知識點概覽

目錄

知識一特殊三角形多解問題解決技巧策略..............................2

模型1.等腰三角形的角和邊不確定............................................................2

模型2.直角三角形的直角頂點不確定..........................................................2

知識二遇至仲點如何添加輔助線問題解決技巧策略......................2

模型1.構(gòu)造中位線模型......................................................................2

模型2.構(gòu)造中線模型........................................................................3

模型3.構(gòu)造倍長中線（或類中線）模型...........................................................3

知識三遇到角平分線如何添加輔助線問題解決技巧策略..................4

模型1.運用角平分線定理模型................................................................4

模型2.構(gòu)造等腰三角形模型..................................................................4

模型3.構(gòu)造軸對稱圖形模型..................................................................4

知識四輔助圓問題解決技巧策略......................................5

模型1.定點定長構(gòu)造輔助圓..................................................................5

模型2.定弦定角構(gòu)造輔助圓..................................................................6

模型3.對角互補造輔助圓（四點共圓）........................................................6

模型4.定角定高構(gòu)造輔助圓..................................................................6

模型5.點圓最值構(gòu)造輔助圓..................................................................7

知識五線段最值問題解決技巧策略.....................................7

模型1.最值模型之將軍飲馬模型雙線段和的最小值.............................................7

模型2.最值模型之將軍飲馬多線段和的最值模型...............................................8

模型3.最值模型之將軍遛馬模型..............................................................9

模型4.最值模型之將軍造橋（過橋）模型.....................................................10

模型5.最值模型之胡不歸模型...............................................................10

模型6.最值模型之阿氏圓模型...............................................................11

模型7.最值模型之瓜豆直線軌跡原理模型.....................................................12

模型8.最值模型之瓜豆圓弧軌跡原理模型.....................................................13

CGC

必記核心知識點

知識一特殊三角形多解問題解決技巧策略

模型1.等腰三角形的角和邊不確定

方法解讀：當(dāng)題干中出現(xiàn)類似“若△NBC為等腰三角形”這樣的表述時，未明確哪兩條邊為腰，需考慮分

類討論：?AB=AC(CltC4);?AB=BC(C2,C5);?AC=BC(C3)

廠

2帖兒

"Cy

解題方法：①求角度：根據(jù)等腰三角形等邊對等角的性質(zhì)結(jié)合三角形內(nèi)角和及內(nèi)外角關(guān)系求解；②求線段

長：可用勾股定理、全等三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)求解，若出現(xiàn)30°、45°的角時，可考慮用銳

角三角函數(shù)或含30°、45°角的直角三角形的性質(zhì)求解.

模型2.直角三角形的直角頂點不確定

方法解讀：當(dāng)題干中出現(xiàn)類似“若△N8C為直角三角形”這樣的表述時，未明確哪個角為直角，需考慮分

類討論：①N[=90°(CD;②乙8=90°(。4)；③/C=90°(。2,。3)；

解題方法：①求角度：根據(jù)直角三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形內(nèi)角和及內(nèi)外角關(guān)系求解；②求線段長：可用勾

股定理、全等三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)求解；若出現(xiàn)30°、45°的角時，可考慮用銳角三角函數(shù)

或含30°、45。角的直角三角形的性質(zhì)求解；若出現(xiàn)中點，可考慮用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)或者中位

線的性質(zhì)求解。

知識二遇到中點如何添加輔助線問題解決技巧策略

模型1.構(gòu)造中位線模型

情形1：當(dāng)圖形中出現(xiàn)兩個中點時，考慮構(gòu)造中位線.

條件:如圖,在△NBC中，點D,E分別為NC的中點.

輔助線作法：連接DE

結(jié)論：DE=^BC,DE||BC.

A

BC

情形2：當(dāng)圖形中出現(xiàn)一個中點時，考慮過中點作已知長度邊的平行線構(gòu)造中位線.

①條件:如圖1,在△NBC中是邊的中點，且已知底邊3c的長.

輔助線作法：過點D作BC的平行線，交NC于點E（或取/C的中點瓦連接?！辏?

結(jié)論：DE=^BC.

②條件:如圖2,在△48C中,。是邊的中點.輔助線作法:過點/作N尸〃CD,交BC的延長線于點F.

結(jié)論：DC=^AF;/\BDC^/\BAF.

圖1圖2

模型2.構(gòu)造中線模型

情形1：當(dāng)遇到直角三角形斜邊上的中點時，考慮作斜邊上的中線.

條件:如圖，在Rt^ABC中，/A8C=90°,￡＞為斜邊NC的中點.

輔助線作法：連接3D

結(jié)論：BD=CD=AD=-AC

A

BC

情形2：當(dāng)遇到等腰三角形底邊上的中點時，考慮作底邊上中線，利用“三線合一”解題.

條件:如圖,在等腰△48C中,。為底邊8c的中點.

輔助線作法：連接/D

結(jié)論:4DLBC,乙BAD=乙C4D.

A

BDC

模型3.構(gòu)造倍長中線（或類中線）模型

情形1：當(dāng)遇到三角形中存在中線時，考慮延長中線，作與中線相等的線段構(gòu)造全等三角形.

條件:如圖1,在△48C中,40是BC邊的中線.

輔助線作法1:延長AD至點E,使DE=AD,連接BE.

輔助線作法2:過點8作BE〃/C,交的延長線于點E.

結(jié)論;AACDm&EBD/D二DE,BE=AC等.

A

A

B

圖1圖2

情形2：當(dāng)遇到三角形中存在一條線段過一邊的中點時，考慮延長這條線段，作等線段構(gòu)造全等三角形.

條件:如圖2,在△48C中,。是BC邊的中點，點E是48上一點，連接DE.

輔助線作法1:延長ED至點￡使DF=DE,連接CF.

輔助線作法2:過點C作CF//AB交ED的延長線于點F.

結(jié)論:"DE三BE=CF等

知識三遇到角平分線如何添加輔助線問題解決技巧策略

模型1.運用角平分線定理模型

條件：如圖，P是的平分線上一點，己知尸垂足為4

輔助線作法:過點P作PBLON于點B.

結(jié)論：P4=PB.

0BN

模型2.構(gòu)造等腰三角形模型

1.條件:如圖1,點P是/40B平分線OC上一點.

輔助線作法:過點尸作交CM于點。.結(jié)論：△P。。是等腰三角形.

2.條件:如圖2,0C是的平分線，點D是。4上一點.

輔助線作法：過點D作DE"0C,交2。的延長線于點E.

結(jié)論：是等腰三角形.

3.條件：如圖3,尸是NMCW平分線上一點，已知4P_L0P.

輔助線作法：延長4P,交ON于點B.

結(jié)論:△NO8是等腰三角形，。尸垂直平分

模型3.構(gòu)造軸對稱圖形模型

1.截長法

條件:如圖1,在△4BC中，點。在3C上，且/。平分NA4c

輔助線作法:在AB上截取AF=AC,連接DF.結(jié)論:△/CD絲△4TO.

A

A

2.補短法

條件:如圖2,在△NBC中，點。在BC上,ZACB=2ZB,S.AD平分/BAC.

輔助線作法:延長NC至點E,使/召=48,連接。及

結(jié)論：△/￡1￡>絲△48。

知識四輔助圓問題解決技巧策略

模型1.定點定長構(gòu)造輔助圓

利用定點定長構(gòu)造輔助圓的幾種常見類型

類一點作圓三點定圓旋轉(zhuǎn)作圓折疊作圓

型

圖八（定長）,上AD

81下力長）

示。*-----*4（動點）4

（定點）E

（定點）1

B-*C

C

特平面內(nèi)，點0為定點，點/OA=OB=OC△繞點A旋轉(zhuǎn)得到^將ABEF沿EF折疊,

點為動點，且0A的長度ARC點￡是定點，點B的對

固定應(yīng)點為點G

作隼長）

,—、、D

/X/A

法/（定長）、

。一（動點）E4\_

'、（定點）/

\\/1BC

'、、一:8F

、、一/\'、///

\、一/

、、—,

結(jié)點4在以點0為圓心，點A,B,C均在點8,C的運動軌跡分別是以點點G的運動軌跡是以

論長為半徑的圓上運動。。上/為圓心，以N3HC的長為半徑點

的圓￡為圓心,8￡長為半徑

的一段圓弧

模型2.定弦定角構(gòu)造輔助圓

定弦定角構(gòu)造輔助圓的幾種常見類型

類型定角為直角定角為銳角定角為鈍角

圖示CCC

A4^---------------------

AB

特點在△48C中，已知的長，在△NBC中，已知N8的長，點C在△NBC中，已知AB的長，點C

點C為動點，且保持/為動點，且保持為銳為動點，且保持N/CB=a（a為鈍

ACB=90°角）角）

動點欠—先…、、

4、

運動（區(qū)）

\/丁

軌跡1H

結(jié)論點C在以點0為圓心，AB點C在以點0為圓心，圓心角為點C在以點0為圓心，圓心角為

長為直徑的圓上運動2a的優(yōu)弧AB上運動（點0,C（360°-2a）的劣弧AB上運動（點

在4B同側(cè)）0,C在AB異側(cè)）

模型3.對角互補造輔助圓（四點共圓）

模型如圖①和②，比△ABC和必ZUAD共斜邊，取N3的中點。，連接OC,OD,根據(jù)直角三角形斜邊

描述上的中線等于斜邊的一半，可得OC=OD=O/=O3；

如圖③，在四邊形/BCD中，N/+NC=180°（或N2+/。=180°）

模型

呈

現(xiàn)

模型（i）aB,c,。四點共圓；

結(jié)論（2）在判斷四點共圓后，可以根據(jù)圓周角定理等得到角度相等，完成角度之間等量關(guān)系的轉(zhuǎn)換，此

模型是證明角相等的重要途徑之一

模型4.定角定高構(gòu)造輔助圓

定角定高構(gòu)造輔助圓的圖形特征及解題思路:

已知平面內(nèi)一定點。和OO,E是0。上一動點，設(shè)點。與點。之間的距離為"，。。的半

模型

徑為廣,

描述

當(dāng)。，O,E三點共線時，線段DE有最大（?。┲?/p>

點。在0。內(nèi)點。在。。上點。在。。外

模型

9D

呈現(xiàn)g(T)'^O^T

@②③④⑤⑥

模型如圖①，0E的最大值為〃+

如圖③，的最大值為2r；如圖⑤，OE的最大值為"+r；

r；如圖②，OE的最小值為r

如圖④，0E的最小值為0如圖⑥，0E的最小值為"一r

結(jié)論d

知識五線段最值問題解決技巧策略

模型1.最值模型之將軍飲馬模型雙線段和的最小值

條件：A,B為定點,剛為定直線，尸為直線加上的一個動點，求NP+5P的最小值。

模型（1）點4、5在直線，"兩側(cè):模型（2）點4、5在直線同側(cè):

A

A

Bm

模型（1）點/、5在直線，〃兩側(cè):模型（2）點4、3在直線同側(cè):

A

圖⑴圖(2)

模型（1）：如圖（1）,連結(jié)/氏根據(jù)兩點之間線段最短，AP+2P的最小值即為：線段的長度。

模型（2）：如圖（2）,作點/關(guān)于定直線%的對稱點，，連結(jié)/'反根據(jù)兩點之間線段最短，么尸+8尸的最小

值即為：線段/‘3的長度。

模型2.最值模型之將軍飲馬多線段和的最值模型

模型（1）：兩定點+兩動點

條件：A,5為定點，在直線股、〃上分別找兩點尸、Q,使P4+PQ+Q5最小。

兩個點都在直線外側(cè)（圖1-1）；內(nèi)外側(cè)各一點（圖1-2）；兩個點都在內(nèi)側(cè)（圖1-3）

模型（2）：一定點+兩動點

條件：如圖2,A為定點,在直線股、〃上分別找兩點P、Q,使三角形的周長（4P+PQ+Q4）最小。

B夕夕力”

圖1-1圖1-1圖1-1圖2

模型（1-1）（兩點都在直線外側(cè)型）

如圖（1-1）,連結(jié)/民根據(jù)兩點之間線段最短，P4+P0+”的最小值即為：線段48的長度。

模型（1-2）（直線內(nèi)外側(cè)各一點型）

如圖（1-2）,作點2關(guān)于定直線〃的對稱點夕,連結(jié)/夕，根據(jù)對稱得到：QB=QB',故

PA+PQ+QB=PA+PQ+QB

根據(jù)兩點之間線段最短，P/+P0+03的最小值即為：線段48,的長度。

模型（1-3）（兩點都在直線內(nèi)側(cè)型）

如圖（1-3）,作點2關(guān)于定直線〃的對稱點2',作點/關(guān)于定直線"的對稱點連結(jié)/'力，

根據(jù)對稱得至U：QB=QB,,PA=PA',PA+PQ+QB=PA'+PQ+QB

根據(jù)兩點之間線段最短，P/+P0+03的最小值即為：線段/3'的長度。

模型（2）：如圖（2）,作點/分別關(guān)于定直線〃八〃的對稱點/'、連結(jié)/’民

根據(jù)對稱得到：QA=QAPA=PA’',PA+PQ+QA=PA''+PQ+QA;

再利用“兩點之間線段最短“，得到P/+P0+。/的最小值即為：線段的長度。

模型3.最值模型之將軍遛馬模型

將軍遛馬模型：已知/、8是兩個定點，P、。是直線加上的兩個動點，尸在0的左側(cè)，且P0間長度恒定,

在直線m上要求尸、。兩點，使得P/+P0+Q3的值最小。

點N、8在直線加異側(cè)（圖1-1）；點/、8在直線〃?同側(cè)（圖1-2）；

"?4

pQ

圖1-1圖1-2

將軍遛馬模型（異側(cè)型）：如圖1-1,過/點作/。|加,且NC=PQ,連接2C,交直線加于。，。向左平移尸。

長，即為P點，此時尸、0即為所求的點。

■:PQ為定值，/?求PA+PQ+QB的最小值，即求PN+03的最小值+P0。

'：AC\\m,AC=PQ,得至I］四邊形4PQC為平行四邊形，^AP=QCo：.PA+QB=QC+QB,

再利用“兩點之間線段最短“，可得尸的最小值為C2,故尸/+P0+Q2的最小值=P0+CA

圖1-1圖1-2

將軍遛馬模型（同側(cè)型）：如圖1-2,過/點作/￡||加,且/￡=尸。，作8關(guān)于"?的對稱點"，連接夕E,交直

線機于。，。向左平移尸。長，即為P點，此時尸、0即為所求的點。

,:PQ為定值，二求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+尸。。

,：AE\\m,AE=PQ,得至U四邊形/P0E為平彳亍四邊形，故：.PA+QB=QE+QB,

根據(jù)對稱，可得QB'=QB,即?！?。8=?！?0夕，

再利用“兩點之間線段最短”，可得QK+02'的最小值為班'，故P/+PQ+02的最小值=2。+匹'。

模型4.最值模型之將軍造橋（過橋）模型

將軍造橋（過橋）模型:己知，如圖2,將軍在圖中點/處，現(xiàn)要過河去往5點的軍營，橋必須垂直于河岸建

造，問：橋建在何處能使路程最短？（即：NA/+MV+N8的值最?。?。

圖2-1圖2-2

將軍造橋（過橋）模型：如圖2-2,過/點作4TIIMN,KAA'=MN,連接48,

,JAA^MN,且4T=AW二四邊形4P0c為平行四邊形，故

為定值，，求/M+MV+NS的最小值，即求NV+NS的最小值+MN。

再利用“兩點之間線段最短”，可得/祐WB的最小值為/'2,故4W+MWVB的最小值=42+MN。

模型5.最值模型之胡不歸模型

從前有個少年外出求學(xué)，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家.根據(jù)“兩點之間線段最短”，雖

然從他此刻位置/到家8之間是一片砂石地，但他義無反顧踏上歸途，當(dāng)趕到家時，老人剛咽了氣，小伙

子追悔莫及失聲痛哭.鄰居告訴小伙子說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？”

看到這里很多人都會有一個疑問，少年究竟能不能提前到家呢？假設(shè)可以提早到家，那么他該選擇怎樣的

一條路線呢？這就是今天要講的“胡不歸”問題.

模型6.最值模型之阿氏圓模型

動點到兩定點距離之比為定值（即：平面上兩點/、B,動點尸滿足PA/PB=k（左為常數(shù)，且厚1））,

那么動點的軌跡就是圓，因這個結(jié)論最早由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)的，故稱這個圓稱為阿波羅尼斯

圓，簡稱為阿氏圓。

如圖1所示，。。的半徑為心點/、5都在。。外，P為。。上一動點，已知尸左（即”=無），

0B

連接尸/、PB,則當(dāng)“PN+公尸3”的值最小時，尸點的位置如何確定？最小值是多少呢？

OPOBOB0P

,/ZPOC=ZBOP,:.△POCs^BOP,:.￡=k，BPk-PB=PCo

PB

故本題求“尸/+公尸8”的最小值可以轉(zhuǎn)化為“尸/+尸?！淖钚≈怠?/p>

其中與/與C為定點，尸為動點，故當(dāng)/、P、C三點共線時，“尸/+尸。'值最小，如圖3所示。

阿氏圓求最值的本質(zhì)就是通過構(gòu)造母子相似，化去比例系數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩定一動將軍飲馬型求最值，難點在

于如何構(gòu)造母子相似。

阿氏圓最值問題常見考法：點在圓外：向內(nèi)取點（系數(shù)小于1）；點在圓內(nèi)：向外取點（系數(shù)大于1）；一內(nèi)

一外：提系數(shù)；隱圓型阿氏圓等。

注意區(qū)分胡不歸模型和阿氏圓模型：在前面的“胡不歸”問題中，我們見識了“左尸/+尸8”最值問題，其中P點

軌跡是直線，而當(dāng)P點軌跡變?yōu)閳A時，即通常我們所說的“阿氏圓”問題.

模型7.最值模型之瓜豆直線軌跡原理模型

瓜豆原理：一個主動點，一個從動點（根據(jù)某種約束條件，跟著主動點動），當(dāng)主動點運動時，從動點的軌

跡相同。

只要滿足:

!則兩動點的運動軌跡是相似的，運動軌跡

1、兩“動”,一“定”

長度的比和它們到定點的距離比相同。

2、兩動點與定點的連線夾角是定角

3、兩動點到定點的距離比值是定值

動點軌跡基本類型為直線型和圓弧型，主動點叫瓜（豆），從動點叫瓜（豆），瓜在直線上運動，豆也在直

線上運動；瓜在圓周上運動，豆的軌跡也是圓。

模型1）如圖，尸是直線3C上一動點，/是直線8c外一定點，連接/尸，取NP中點0,當(dāng)點尸在直線上

運動時，則。點軌跡也是一條直線。

證明：分別過/、。向作垂線，垂足分別為N、N,在運動過程中，

因為所以QV始終為的一半，即。點到3c的距離是定值，故0點軌跡是一條直線.

模型2）如圖，在A4P。中4P三4。，/尸/。=7為定值，當(dāng)點尸在直線8C上運動時，則。點軌跡也是一條

直線。

證明：在上任取一點尸1，作三角形八4尸1。1，且滿足=AQ^APi，連結(jié)勒。交8c于點N,