常見幾何模型專練

模型一倍長中線模型

1.(2024泰安)如圖①，在等腰RtA4BC中/ABC=900,AB=CB點D,E分別在AB,CB±.DB=EB,連接A

E,CD,取AE中點F,連接BF.

(1)求證：CD=2BF,CD1BF-,

⑵將△DBE繞點B順時針旋轉到圖②的位置

①請直接寫出BF與CD的位置關系：；

②求證：CD=2BF.

圖①圖②

第1題圖

模型二截長補短模型

1.(2024牡丹江)數學老師在課堂上給出了一個問題，讓同學們探究.在RSABC中”乙4cB=90°,zBXC=30。,

點D在直線BC上,將線段AD繞點A順時針旋轉60。得到線段AE,過點E作.EF||BC,交直線AB于點F.

⑴當點D在線段BC上時，如圖①,求證：BD+EF=AB-

分析問題：某同學在思考這道題時，想利用AD=4E構造全等三角形，便嘗試著在AB上截取AM=EF,,連

接DM,通過證明兩個三角形全等，最終證出結論；

推理證明：寫出圖①的證明過程；

探究問題：

(2)當點D在線段BC的延長線上時，如圖②；當點D在線段CB的延長線上時，如圖③，請判斷并直接寫出

線段BD,EF,AB之間的數量關系；

拓展思考：

⑶在(1)(2)的條件下，若AC=6V3,CD=2BD,則EF=

AA

2.（2024揚州）在綜合實踐活動中，“特殊到一般”是一種常用方法，我們可以先研究特殊情況，猜想結論，然后

再研究一般情況，證明結論.

如圖,已知是ATIBC的外接圓，點D在。。上GW〉BD）J?$AD,BD,CD.

【特殊化感知】

⑴如圖①，若"CB=60。,點D在AO延長線上，則AD-BD與CD的數量關系為；

【一般化探究】

⑵如圖②，若乙4cB=60。,點C,D在AB同側判斷AD-BD與CD的數量關系并說明理由；

【拓展性延伸】

⑶若乙4cB=a,,直接寫出AD,BD,CD滿足的數量關系.（用含a的式子表示）

第2題困

模型三構造特殊三角形

類型一構造等邊三角形

1.（2023隨州）1643年，法國數學家費馬曾提出一個著名的幾何問題:給定不在同一條直線上的三個點A,B,C,

求平面上到這三個點的距離之和最小的點的位置，意大利數學家和物理學家托里拆利給出了分析和證明，該點也被

稱為“費馬點”或“托里拆利點"該問題也被稱為“將軍巡營”問題.

（1）下面是該問題的一種常見的解決方法，請補充以下推理過程：（其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空，②處

從“兩點之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數，④處填寫該三角形的某個頂

點）

當△ABC的三個內角均小于120。時,

如圖①，將△4PC繞點C順時針旋轉60。得到△AP匕連接PP',

由PC=P'C.APCP'=60。,可知'trianglePCP'為①三角形,故PP'=PC,又P'A'=P4,故PA+PB

+PC=P'A'+PB+PP'>slantA'B…由②可知.當B,P,P,A在同一條直線上時,PA+PB+PC取

最小值；

如圖②，最小值為&B,此時的P點為該三角形的“費馬點”，

—APC=/BPC=/APB=③；

已知當△力BC有一個內角大于或等于120。時，“費馬點為該三角形的某個頂點如圖③，若Z-BAC>120。,則

該三角形的“費馬點”為④點;

⑵如圖④，在△48C中,三個內角均小于120。,且AC=3,BC=4,乙4cB=30。,已知點P為A-BC的“費馬

點”，求P4+PB+PC的值；

⑶如圖⑤，設村莊A,B,C的連線構成一個三角形，且已知AC=4km,BC=2V3km,NACB=60?，F欲建一中

轉站P沿直線向A,B,C三個村莊鋪設電纜，已知由中轉站P到村莊A,B,C的鋪設成本分別為a元/km,a元/km,

&a元/km,選取合適的P的位置，可以使總的鋪設成本最低為元.（結果用含a的式子表示）

類型二構造直角三角形

2.(2023營口)在回2BCD中，AADB=90。,點E在CD上點G在AB上，點F在BD的延長線上，連接EF.DG,

⑴如圖①，當k=1時，請用等式表示線段AG與線段DF的數量關系:

⑵如圖②，當k=舊時，寫出線段AD,DE和DF之間的數量關系，并說明理由；

⑶在⑵的條件下，當點G是AB的中點時，連接BE,求tan/EBF的值.

3.（2024重慶B卷）在RtA中,AACB=90°,AC=3C,過點B作BD\\AC.

⑴如圖①，若點D在點B的左側，連接CD,過點A作2E回CD交BC于點E.若點E是BC的中點，求證：

AC=2BD;

(2)如圖②，若點D在點B的右側，連接AD,點F是AD的中點，連接BF并延長交AC于點G,連接CF.

過點F作FM1BC交AB于點M,CN平分乙4cB交BG于點N,求證：AM=CN+BD;

(3)若點D在點B的右側，連接AD,點F是AD的中點，且4F=4C點P是直線AC上一動點，連接FP,

將FP繞點F逆時針旋轉60。得到FQ,連接BQ,點R是直線AD上一動點，連接BR,QR.在點P的運動過程中，當B

Q取得最小值時，在平面內將ABQR沿直線QR翻折得到ATQ/?,,連接FT.在點R的運動過程中，直接寫出行的

最大值.

第3題圖

模型四一線三等角模型

類型一直角型一線三等角

1.(2024甘肅省卷)【模型建立】

(1)如圖①，已知AABE和=BC,CD回BD,2EI2BD.用等式寫出線段AE,DE,CD的數量關

系，并說明理由；

【模型應用】

⑵如圖②，在正方形ABCD中，點E,F分別在對角線BD和邊CD上,AE^\EF,AE=E凡用等式寫出線段BE,A

D,DF的數量關系，并說明理由；

【模型遷移】

⑶如圖③在正方形ABCD中，點E在對角線BD上，點F在邊CD的延長線上，AESEF.AE=EF.用等式寫出線

段BE,AD,DF的數量關系，并說明理由.

第1題圖

2.（2024揚州）如圖，點A,B,M,E,F依次在直線1上，點A.B固定不動，且48=2,分別以AB,EF為邊在直線1

同側作正方形ABCD、正方形EFGH,APMN=90。,直角邊MP恒過點C,直角邊MN恒過點H.

⑴如圖①，若BE=10,EF=12,求點M與點B之間的距離；

（2）如圖①若BE=10,當點M在點B,E之間運動時，求HE的最大值；

⑶如圖②，若.BF=22,當點E在點B,F之間運動時，點M隨之運動，連接CH,點。是CH的中點，連接HB,

MO,則：2OM+的最小值為.

類型二非直角型一線三等角

3.（2024綏化）綜合與實踐

問題情境

在一次綜合與實踐課上，老師讓同學們以兩個全等的等腰直角三角形紙片為操作對象.紙片AABC和ADEF滿

足乙ACB=乙EDF=90°,4C=BC=DF=DE=2cm.

下面是創(chuàng)新小組的探究過程.

操作發(fā)現

⑴如圖①，取AB的中點O，將兩張紙片放置在同一平面內，使點O與點F重合.當旋轉△DEF紙片交AC邊

于點H、交BC邊于點G時，設/4H=<x<2）,BG=y,請你探究出y與x的函數關系式，并寫出解答過程；

問題解決

⑵如圖②，在⑴的條件下連接GH,發(fā)現△的周長是一個定值，請你寫出這個定值，并說明理由；

拓展延伸

⑶如圖③，當點F在AB邊上運動（不包括端點A,B）,且始終保持^AFE=60。請你直接寫出△DEF紙片的

斜邊EF與△ABC紙片的直角邊所夾銳角的正切值_______.（結果保留根號）

第3題圖

模型五手拉手模型

類型一全等型

1.（2024新疆）【探究】

（1）已知△ABC和△4DE都是等邊三角形.

①如圖①，當點D在BC上時，連接CE.請?zhí)骄緾A,CE和CD之間的數量關系，并說明理由；

②如圖②,當點D在線段BC的延長線上時,連接CE.請再次探究CA,CE和CD之間的數量關系，并說明理

由.

【運用】

⑵如圖③，等邊三角形ABC中，AB=6,點E在AC上，CE=2a.點D是直線BC上的動點，連接DE,以DE

為邊在DE的右側作等邊三角形DEF,連接CF.當△CE尸為直角三角形時，請直接寫出BD的長.

第1題圖

類型二相似型

2.（2024江西）綜合與實踐

如圖,在RtAABC中，點D是斜邊AB上的動點（點D與點A不重合），連接CD,以CD為直角邊在CD的右

側構造RtACDE,NDCE=90。,連接BE,=m.

特例感知

⑴如圖①，當m=l時,BE與AD之間的位置關系是______，數量關系是；

類比遷移

(2)如圖②，當n#l時，猜想BE與AD之間的位置關系和數量關系，并證明猜想；

拓展應用

⑶在⑴的條件下，點F與點C關于DE對稱，連接DF,EF,BF,如圖③.已知AC=6,設AD=x,四邊形CDFE的面積

為y.

①求y與X的函數表達式，并求出y的最小值；

②當BF=2時，請直接寫出AD的長度.

第2題圖

3.(2024成都)數學活動課上，同學們將兩個全等的三角形紙片完全重合放置，固定一個頂點，然后將其中一個

紙片繞這個頂點旋轉來探究圖形旋轉的性質.已知三角形紙片ABC和ADE中，48=4。=3BC=DE=4,乙4BC

=/.ADE=90°.

【初步感知】

⑴如圖①，連接BD,CE,在紙片ADE繞點A旋轉過程中，試探究沿勺值；

CE

【深入探究】

(2)如圖②，在紙片ADE繞點A旋轉過程中，當點D恰好落在△ABC的中線BM的延長線上時.延長ED

交AC于點F,求CF的長；

【拓展延伸】

(3)在紙片ADE繞點A旋轉過程中，試探究C,D,E三點能否構成直角三角形.若能，直接寫出所有直角三角

形CDE的面積；若不能，請說明理由.

模型六半角模型

類型一90。角含45。角

1.(2024宜賓)如圖,正方形ABCD的邊長為1,M,N是邊BC,CD上的動點.若乙MAN=45。,則MN的最小值為

第1題圖

2.（2023赤峰）數學興趣小組探究了以下幾何圖形.如圖①，把一個含有45。角的三角尺放在正方形ABCD中，使

45。角的頂點始終與正方形的頂點C重合，繞點C旋轉三角尺時，45。角的兩邊CM,CN始終與正方形的邊AD,

AB所在直線分別相交于點M,N,連接MN,可得△CMN.

【探究一】如圖②，把ACDM繞點C逆時針旋轉90。得至[]△CB”,同時得到點H在直線AB上.求證：NCNM

=/.CNH;

【探究二】在圖②中，連接BD,分別交CM,CN于點E,F.求證：ACEFACNM;

【探究三】把三角尺旋轉到如圖③所示位置，直線BD與三角尺45。角兩邊CM,CN分別交于點E,F,連接AC

交BD于點O,求益的值.

第2題圖

3.（2024樂山）在一堂平面幾何專題復習課上，劉老師先引導學生解決了以下問題：

【問題情境】

如圖①，在△ABC中,NBAC=9（r,AB=AC,點D,E在邊BC上，且NDAE=45o,BD=3,CE=4,求DE的長.

解如圖②，將AABD繞點A逆時針旋轉90。狷到△ACD,連接ED.

由旋轉的特征得/BAD=/CAD；/B=/ACD,AD=AD,BD=CD，/A\

/BAC=9(T,/DAE=45。,，ZBAD+ZEAC=45°,

,

ZBAD=ZCAD',.\ZCAD'+ZEAC=45°,BPZEAD=45°.3—DE—CBDEC⑻

ZDAE=ZD'AE.圖①圖②

第3題圖

在小口人￡和4D'AE中,AD=AD,NDAE=ND'AE,AE=AE,；._?_..\DE=D'E.

又ZECD'=ZECA+ZACD'=ZECA+ZB=90°,

.?.在RSECD'中，②.

,/CD=BD=3,CE=4,DE=D'E=③.

【問題解決】

上述問題情境中，“①”處應填:_____廣②”處應填______廣③”處應填：________；

劉老師進一步談到：圖形的變化強調從運動變化的觀點來研究,只要我們抓住了變化中的不變量，就能以不變

應萬變.

【知識遷移】

如圖③，在正方形ABCD中，點E,F分別在邊BC,CD上，滿足△CEF的周長等于正方形ABCD的周長的一半，

連接AE,AF,分別與對角線BD交于M,N兩點.探究BM,MN,DN的數量關系并證明；

第3題圖③

【拓展應用】

如圖④.在矩形ABCD中，點E,F分別在邊BC,CD上，且NEAF=NCEF=45。探究BE,EF,DF的數量關系：

—；(直接寫出結論，不必證明)

【問題再探】

如圖⑤，在△ABC中,NABC=9(T,AB=4,BC=3點D,E在邊AC上，且NDBE=45。.設AD=x,CE=y，求y與x的函數

關系式.

類型二120。角含60。角

4.(2024龍東地區(qū))已知△ABC是等腰三角形,AB=AC,NMAN="B4C,NM4V在NBAC的內部，點M,N在B

C上，點M在點N的左側，探究線段BM,NC,MN之間的數量關系.

(1)如圖①，當NBAC=90。時，探究如下:

由/BAC=9(T,AB=AC可知，將△ACN繞點A順時針旋轉90。得到△ABP,則CN=BP且/PBM=90。,連接PM,

易證△AMP0ZXAMN,可得MP=MN,在RtAPBM中,.BM2+BP2=MP?,則有BM2+NC2=MN2;

⑵當/BAC=60。時.如圖②;當NBAC=120。時.如圖③.分別寫出線段BM,NC,MN之間的數量關系，并選擇圖

②或圖③進行證明.

模型七對角互補模型

1.(2024貴州)綜合與探究:如圖，乙40B=90。,點P在乙4。8的平分線上.P2回。A于點A.

(1)【操作判斷】

如圖①，過點P作PC回。B于點C,根據題意在圖①中畫出PC,圖中乙4PC的度數為度；

(2)【問題探究】

如圖②,點M在線段AO上,連接PM,過點P作PN回PM交射線OB于點N.求證:(OM+ON=2PA-

(3)【拓展延伸】

點M在射線AO上連接PM過點P作PN回交射線OB于點N,射線NM與射線PO相交于點F者(ON

=3OM,求案的值.

OF

2.(2024眉山)綜合與實踐

問題提出：在一次綜合與實踐活動中，某數學興趣小組將足夠大的直角三角板的一個頂點放在正方形的中心O

處，并繞點。旋轉，探究直角三角板與正方形ABCD重疊部分的面積變化情況.

操作發(fā)現：將直角三角板的直角頂點放在點O處，在旋轉過程中：

(1)若正方形邊長為4,當一條直角邊與對角線重合時，重疊部分的面積為；當一條直角邊與正方形的

一邊垂直時，重疊部分的面積為；

(2)若正方形的面積為S,重疊部分的面積為S],在旋轉過程中.&與S的關系為；

類比探究：如圖①，若等腰直角三角板的直角頂點與點O重合，在旋轉過程中，兩條直角邊分別交正方形兩邊

于E,F兩點，小宇經過多次實驗得到結論BE+DF=&OC,請你幫他進行證明；

拓展延伸：如圖②，若正方形邊長為4,將另一個直角三角板中(60。角的頂點與點O重合，在旋轉過程中，

當三角板的直角邊交AB于點M,斜邊交BC于點N,且BM=BN時，請求出重疊部分的面積.

V6+V2

,tan15°=2—V3

4

3.（2024河南）綜合與實踐

在學習特殊四邊形的過程中，我們積累了一定的研究經驗.請運用已有經驗，對“鄰等對補四邊形”進行研究.

定義：至少有一組鄰邊相等且對角互補的四邊形叫做鄰等對補四邊形.

⑴操作判斷

用分別含有30。和45。角的直角三角形紙板拼出如圖①所示的4個四邊形，其中是鄰等對補四邊形的有

_；（填序號）

（2）性質探究

根據定義可得出鄰等對補四邊形的邊、角的性質.下面研究與對角線相關的性質.如圖②，四邊形ABCD是鄰等

對補四邊形,AB=2D,AC是它的一條對角線.

①寫出圖中相等的角，并說明理由；

②若BC=m,DC=n/BCD=28,,求AC的長（用含m,n,。的式子表示）.

（3）拓展應用

如圖③，在Rt△ABC中，ZS=90°,AB=3,BC=4,,分別在邊BC,AC上取點M,N,使四邊形ABMN是鄰

等對補四邊形.當該鄰等對補四邊形僅有一組鄰邊相等時，請直接寫出BN的長.

模型八利用垂線段最短求最值

類型——條線段最值

1.(2024南充)如圖在RtA4BC中，zC=90。,NB=30°,BC=6,AD平分"AB交BC于點D,點E為邊A

B上一點，則線段DE長度的最小值為()

C.2D.3

笫2題圖

2.(2024涼山州)如圖,。M的圓心為M(4,0),半徑為2.P是直線y=x+4上的一個動點過點P作。M的切線,

切點為Q,則PQ的最小值為.

3.(2024長春)【問題呈現】小明在數學興趣小組活動時遇到一個幾何問題：如圖①，在等邊△ABC中，AB=3,

點M,N分別在邊AC,BC上，且4M=CN,試探究線段MN長度的最小值.

【問題分析】小明通過構造平行四邊形，將雙動點問題轉化為單動點問題，再通過定角發(fā)現這個動點的運動路

徑，進而解決上述幾何問題.

【問題解決】如圖②，過點C,M分別作MN,BC的平行線，并交于點P,作射線AP.在【問題呈現】的條

件下，完成下列問題：

⑴證明：AM=MP;

(2)ZCAP的大小為度,線段MN長度的最小值為；

【方法應用】某種簡易房屋在整體運輸前需用鋼絲繩進行加固處理，如圖③.小明收集了該房屋的相關數據，并

畫出了示意圖,如圖④.△ABC是等腰三角形，四邊形BCDE是矩形，AB=AC=CD=2米.^ACB=30。,MN

是一條兩端點位置和長度均可調節(jié)的鋼絲繩，點M在AC上，點N在DE上.在調整鋼絲繩端點位置時，其長度也

隨之改變，但需始終保持AM=DM鋼絲繩MN長度的最小值為米.

第3題圖

類型二兩條線段最值

考向1"AP+BP”型

4.（2022婁底）如圖,菱形ABCD的邊長為2,乙4BC=45。,點P,Q分別是BC,BD上的動點，CQ+PQ的最小

值為.

考向2"kAP+BP”型（“胡不歸”問題）

5.（2023湘西州）如圖，OO是等邊三角形ABC的外接圓，其半徑為4.過點B作BE團2C于點E,點P為線段B

E上一動點（點P不與B,E重合）廁CP+的最小值為.

6.（2024涼山州）如圖,在菱形ABCD中，=60°,AB=2,E是BC邊上一個動點，連接AE,AE的垂直平分

線MN交AE于點M,交BD于點N,連接EN,CN.

⑴求證：EN=CN;

⑵求2EN+BN的最小值.

第6題圖

模型九利用兩點之間線段最短求最值

類型——條線段最值

1.（2024宜賓）如圖，在△2BC中,AB=342,AC=2,以BC為邊作Rt△BCD.BC=BD,點D與點A在BC

的兩側，則AD的最大值為（）

4.2+3V2B.6+2V2C.5D.8

第2題圖

類型二兩條線段和最值

2.（2024成都）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知A（3,0）,B（0,2）過點B作y軸的垂線1P為直線1上一動點,

連接PO,PA,則PO+PA的最小值為.

更多新考法試題

均選自萬唯《初中數學幾何模型與中考新考法》

3.（2024內江）如圖在△28c中，4ABC=60°,BC=8,E是BC邊上一點，且BE=2,點I是△28C的內心,

BI的延長線交AC于點D,P是BD上一動點，連接PE,PC,則PE+PC的最小值為.

第4題圖

4.（2024新疆）如圖,拋物線y=科久2-4x+6與y軸交于點A,與x軸交于點B,線段CD在拋物線的對稱軸上

移動（點C在點D下方），且CD=3.當AD+8c的值最小時，點C的坐標為.

類型三/n條線段和最值（5>slant3）

5.（2024濱州）如圖,四邊形AOBC四個頂點的坐標分別是2（-1，3）,0（0,0）］（3,-1）。5,4）在該平面內找一點已

使它到四個頂點的距離之和PA+PO+PB+PC最小，則P點坐標為.

￥

5

4C

D

第5吻圖第6尊圖第7?圖

6.（2024綏化）如圖，已知乙AOB=50。,點P為N20B內部一點，點M為射線OA,點N為射線OB上的兩個動

點，當△PMN的周長最小時，則上MPN=

類型四兩條線段差最值

7.（2022成都）如圖在菱形ABCD中，過點D作DE團CD交對角線AC于點E,連接BE,點P是線段BE上一動

點，作P關于直線DE的對稱點點Q是AC上一動點，連接P，Q,DQ.者AE=14,C￡=18廁DQ-P，Q的最大

值為

模型十與圓有關的最值（含隱圓）問題類型一點圓最值

1.（2024達州）如圖,△ABC是等腰直角三角形,NABC=9（T,AB=4,點D,E分別在AC,BC邊上運動，連接AE,

BD交于點F,且始終滿足4。='CE廁下列結論：①AE=（②NDFE=135。;③^ABF面積的最大值是4V2-4;

@CF的最小值是2V10-2夜其中正確的是（）

A.①③B.①②④C.②③④D.①②③④

第1題圖第2題圖第3題圖

2.（2023徐州）如圖，在R3ABC中,/C=9（T,CA=CB=3,點D在邊BC上.將△ACD沿AD折疊，使點C落在點

C處，連接BC,則BC的最小值為.

類型二線圓最值

3.（2024煙臺）如圖，在=ABCD中,/C=12（T,AB=8,BC=10.E為邊CD的中點,F為邊AD上的一動點，將△DEF

沿EF翻折得ADEF,連接AD；BD,則△ABD面積的最小值為.

類型三定點定長作圓

4.（2024德陽）一次折紙實踐活動中，小王同學準備了一張邊長為4（單位：dm）的正方形紙片ABCD，他在邊AB

和AD上分別取點E和點M,使AE=BE,AM=1,又在線段MD上任取一點N（點N可與端點重合），再將△EAN沿NE

所在直線折疊得到△E&N,隨后連接D4.小王同學通過多次實踐得到以下結論：

①當點N在線段MD上運動時，點為在以E為圓心的圓弧上運動；

②當達到最大值時，4到直線AD的距離達到最大；

③。義的最小值為2遙-2;

④達到最小值時，MN=5—底

你認為小王同學得到的結論正確的個數是()

5.（2024河南）如圖，在R3ABC中,/ACB=9（F,CA=CB=3,線段CD繞點C在平面內旋轉過點B作AD的垂線，

交射線AD于點E.若CD=1,則AE的最大值為最小值為.

類型四定弦定角（含直角對直徑）

6.（2024蘇州）如圖矩形ABCD中,AB=W,BC=1動點E,F分別從點A,C同時出發(fā)，以每秒1個單位長度的

速度沿AB,CD向終點B,D運動，過點E,F作直線1,過點A作直線1的垂線，垂足為G,貝UAG的最大值為

A.V3

AEBBD

第6題圖第7題圖

7.（2024揚州）如圖，已知兩條平行線點A是li上的定點,AB_L%于點B,點C,D分別是人、%上的動點，

且滿足AC=BD,連接CD交線段AB于點E,BH±CD于點H,則當NBAH最大時,sin/BAH的值為.

8.（2024廣元）如圖，在△ABC中,AB=5,tan/C=2,則的最大值為.

第8題圖

9.（2024陜西）問題提出

⑴如圖①，在△ABC中,ABMISZCMSO。/、4ABC的外接圓OO,則配它的長為；（結果保留兀）

問題解決

（2）如圖②所示，道路AB的一側是濕地，某生態(tài)研究所在濕地上建有觀測點D,E,C.線段AD,AC和BC為觀測

步道,其中點A和點B為觀測步道出入口.已知點E在AC上，且AE=EC,/DAB=60o,NABC=12（T,AB=1200m,AD=

BC=900m.現要在濕地上修建一個新觀測點P,使/DPC=60。,再在線段AB上選一個新的步道出入口點F,并修

通三條新步道PF,PD,PC,使新步道PF經過觀測點E,并將五邊形ABCPD的面積平分.

請問：是否存在滿足要求的點P和點F?若存在，求此時PF的長；若不存在，請說明理由.（點A,B,C,P,

D在同一平面內，道路AB與觀測步道的寬、觀測點及出入口的大小均忽略不計，結果保留根號）

D,”

AB

圖②

第9題圖

類型五"kAP+BP”型（阿氏圓）

10.（2023煙臺）如圖,拋物線y=收+版+5與x軸交于A,B兩點，與y軸交于點C,AB=4.拋物線的對

稱軸x=3與經過點A的直線y=kx-l交于點D,與x軸交于點E.

（1）求直線AD及拋物線的表達式；

（2）在拋物線上是否存在點M，使得AADM是以AD為直角邊的直角三角形?若存在，求出所有點M的坐標；

若不存在，請說明理由；

（3）以點B為圓心，畫半徑為2的圓，點P為OB上一個動點.請求出PC+4的最小值.

模型十一主從聯(lián)動

類型一直線軌跡

1.（2024樂山）如圖,在菱形ABCD中，乙4BC=60Q,AB=1,點P是BC邊上一個動點，在BC延長線上找一點

Q，使得點P和點Q關于點C對稱，連接DP,AQ交于點M.當點P從B點運動到C點時，點M的運動路徑長為

()

第1題圖第2期圖

2.（2024泰安）如圖,菱形ABCD中2B=60。,點E是AB邊上的點AE=4,BE=8,點F是BC上的一點,△EGF是以

點G為直角頂點,/EFG為30。角的直角三角形，連接AG.當點F在直線BC上運動時，線段AG的最小值是

()

A.2B.4V3-2,C.2V3D.4

3.（2023安徽）如圖,E是線段AB上一點,aADE和△BCE是位于直線AB同側的兩個等邊三角形，點P,F分

別是CD,AB的中點若AB=4,則下列結論錯誤的是）

A.PA+PB的最小值為3百

B.PE+PF的最小值為2V3

C.ACDE周長的最小值為6

D.四邊形ABCD面積的最小值為3V3

第4題圖

4.（2024連云港）如圖在△ABC中，ZC=90°,zB=30。,"=2.點P在邊AC上，過點P作PD回AB,垂足為

D,過點D作DF團BC,垂足為F.連接PF,取PF的中點E.在點P從點A到點C的運動過程中，點E所經過的路

徑長為

5.（2023常州）如圖，在RtA4BC中,ABAC=90°,AB=AC=4,D是AC延長線上的一點，CD=2.M是邊B

C上的一點（點M與點B,C不重合），以CD,CM為鄰邊作口CMND.連接AN并取AN的中點P,連接PM，則PM

的取值范圍是.

6.（2024徐州）如圖，在團4BCD中,AB=6,AD=10,ABAD=60°,P為邊AB上的動點.連接PC,將PC繞點P

逆時針旋轉（60。得到PE,過點E作EF\\AB,EF交直線AD于點F.連接PF,DE,分別取PF,DE的中點M,N,連接M

N,交AD于點Q.

（1）若點P與點B重合，則線段MN的長度為；

（2）隨著點P的運動，MN與AQ的長度是否發(fā)生變化?若不變，求出MN與AQ的長度；若改變，請說明理

由.

類型二圓軌跡

7.（2024龍東地區(qū)）如圖，在RtAABC中，乙4cB=90°,tanzFXC=|,BC=2,AD=1,線段AD繞點A旋轉，

點P為CD的中點，則BP的最大值是一

第7題圖

8.(2024日照)如圖①,AB為。。的直徑，48=12,點C是。O上異于A,B的任一點，連接AC,BC,過點A作射線.

AD^AC.D為射線AD上一點，連接CD.

【特例感知】

(1)若BC=6,則AC=_-

⑵若點C,D在直線AB同側，且ZXDC=NB,,求證:四邊形ABCD是平行四邊形；

【深入探究】若在點C運動過程中，始終有tan乙4DC=舊,連接OD.

(3)如圖②，當CD與。O相切時，求OD的長度；

⑷求OD長度的取值范圍.

圖①圖②備用圖

第8題圖

模型一倍長中線模型

1.⑴證明:在^ABE和^CBD中，

VAB=BC,ZABE=ZCBD,BE=BD,

JAABE^ACBD(SAS),

???AE=CD,NFAB=NBCD.

,/F是RtAABE斜邊AE的中點，

???AE=2BF,

???CD=2BF,

???BF=^AE=AF,???Z.FAB=Z.FBA.

：.ZFBA=ZBCD,

ZFBA+ZFBC=90°,

??.ZFBC+ZBCD=90°.

ACD±BF;

(2)①解:BF,CD;

【解法提示】如解圖①，延長BF到點G,使FG=BF,連接AG.延長EB到點M,使BE=BM,連接AM并延長交C

D于點N.易證△AGB之ABDC(理由同(2)②)..?.NABG=NBCD,丁F是AE中點,B是EM中點,BF是△AE

M中位線,，BF〃AN,?'.ZABG=ZBAN=ZBCD,.\ZANC=ZABC=90°,AAN±CD,VBF^AN,ABF±CD.

第1題解圖

②證明:如解圖②，延長BF到點G,使FG=BF,連接AG,

AF=EF,FG=BF,ZAFG=ZEFB,

AAGF^AEBF(SAS),

???ZFAG=ZFEB,AG=BE,

???AG〃BE.

.*.ZGAB+ZABE=180°,

VZABC=ZEBD=90°,

.*.ZABE+ZDBC=180°.

???ZGAB=ZDBC,

VBE=BD,

???AG=BD.

在^AGB和^BDC中，

vAG=BD,乙GAB=乙DBC,AB=CB,

??.△AGB=△BDC(SAS),

BG=CD,

???BG=2BFt

ACD=2BF.

類題通法

1.倍長中線

如圖，在△ABC中,AD是BC邊上的中線.

結論:△ACD^AEBD.

2.倍長類中線

如圖，在△ABC中,D是邊BC的中點,E是AB上一點，連接DE.

結論:△BDE^ACDF.

模型二截長補短模型

1.⑴證明:由題知，在AB邊上截取AM=EF,連接DM.在RtAABC中,.Z.B=90°-Z.BAC=90°-30°=60°,

：EF〃BC,

/.ZEFB=ZB=60°,

又：NEAD=60。，

ZEFB=ZEAD.

又：NBAD=/EAD-NEAF,

ZAEF=ZEFB-ZEAF,

ZBAD=ZAEF,

又；AD=AE,AM=EF,

ADAM^AAEF(SAS),

/.AF=DM,ZAMD=ZEFA=180°-ZEFB=180°-60°=120°,

.-.乙BMD=180°-Z.AMD=180°-120°=60°,

ZB=60°,

ZBMD=ZB=ZBDM.

AABMD是等邊三角形，

.\BD=BM=DM.

,/AB=AM+BM,

，AB=EF+BD;

(2)解:圖②結論:AB=BD-EF或AB=BD+EF;圖③結論:AB=EF-BD;

【解法提示】圖②結論：①如解圖①，當點E在線段AB右側時，在BD上取點H，使BH=AB,連接AH并

延長到點G,使AG=AF,連接DG,：/ABC=60。,AABH是等邊三角形,NBAH=60。,：線段AD繞點A順時針旋

轉60。得到線段AE,.\/DAE=60o,AE=AD,；.NBAH=/DAE,，NBAH-/EAH=NDAE-/EAH,即/BAE=/HA

D,又：AG=AF,；.△FAE經△GAD(SAS),；.EF=DG,ZAFE=ZG,VBD/7EF,.*.ZABC=ZF=ZG=60°,VZD

HG=ZAHB=60°,.,.ADHG是等邊三角形；.DH=DG=EF,，AB=BH=BD-DH=BD-EF;②如解圖②，當點E在線段AB

左側時，在射線BC上取點H,使BH=BA,連接AH.在AH上取一點G,使AG=AF,連接DG,VZABC=60°,/.AABH

是等邊三角形,.??ZBAH=60°,V線段AD繞點A順時針旋轉60。得到線段AE,；.ZDAE=60°,AE=AD,.\ZBA

H=ZDAE,.*.ZBAH-ZBAD=NDAE-/BAD,即/BAE=/HAD,又：AG=AF,；.^FAE絲△GAD(SAS),；.EF=D

G,ZAFE=ZAGD,VBD〃EF,；.ZABC=ZBFE=60°,；.ZAFE=ZAGD=120°,ZDGH=180°-ZAGD=60°,

ZAHB=60°,AADHG是等邊三角形,，DH=DG=EF,AB=BH=BD+DH=BD+EF.圖③結論:如解圖③，在EF上取點

H,連接AH,使AH=AF,：EF/7BC,AZF=ZABC=60°,VAH=AF,.\△AHF是等邊三角形,/AHF=NHAF=60°,

/./AHE=120。,：將線段AD繞點A順時針旋轉60。得到線段AE,；.AD=AE,ZDAE=60°,.\ZDAB+ZEAH=18

0°-ZEAD-ZHAF=60°,VZD+ZDAB=ZABC=60°,.\ZD=ZEAH,VZDBA=180°-ZABC=120°=ZEH

A,AD=AE,AAEAH^AADB(AAS),BD=AH=FH,.\AH=FH,BD=HF,AB=EH=EF-FH=EF-BD.

易錯點撥

當點D在BC的延長線上時，E點的位置有在AB左側和右側兩種情況，需分類討論，避免漏解.

⑶解:10或18.

【解法提示】當點D在線段BC上時，如題圖①所示，：/BAC=30o,NC=90o,；.AB=2BC,AB2=BC2+AC2,

(2BCY=BC2+(6V3)2,.-.BC=6,：.AB=2BC=12,CD=2BD,BC=BD+CD,BD=|fiC=2,由(1)可知,BD

+EF=AB,，EF=AB-BD=12-2=10;當點D在線段BC的延長線上時，：CD<BD與CD=2BD矛盾，，不符合題意；當點

D在線段CB的延長線上時，CD=2BD=BD+BC,BC=6,BD=BC=6,由⑵可

知,AB=EF-BD,：AB=2BC=12,；.EF=AB+BD=12+6=18.綜上所述,EF=10或18.

2.解:(1)AD-BD=CD;

【解法提示】如解圖①.連接OB,OC,：CA=CB,ZACB=60o,.\AABC是等邊三角形，則NCAB=/ABC=60。,

,/OO是4ABC的外接圓，點D在AO的延長線上,AD是。O的直徑,，ZABD=ZACD=90°,AD是/BAC的平

分線，則ZDAB=30°,ZODC=ZODB=60°,AODC和4ODB都是等邊三角形,；.BD=OD=CD//AD=2OD,.\AD

-BD=CD.

(2)AD-BD=CD.理由如下：

VCA=CB,ZACB=60°,

/.△ABC為等邊三角形，

.\AC=AB,ZBAC=60°,

如解圖②，延長DB至點E,使BE=CD,連接AE,

:四邊形ACDB為圓內接四邊形，

.,.ZACD+ZABD=180°.

又；ZABD+ZABE=180°,

ZACD=ZABE,

在小ACD和小ABE中，

AC^AB

{/