第十八章平行四邊形選填題壓軸突破

壓軸突破1構(gòu)中位線或作高求邊長

1.如圖在4ABC中,乙4cB=60°,AC=1?D是邊AB的中點(diǎn),E是邊BC上一點(diǎn)若DE平分△ABC的周長,

則DE的長是___________.

2.在△ABC中，AB=AC,ABAC=120°?D為△4BC內(nèi)一點(diǎn)，以AD為腰作等腰△DAE,使

接分別是DE,BC的中點(diǎn),MNMN=1,則CD的長為.

3.如圖在△ABC中,AD平分NC4B交BC于點(diǎn)E.若NBD4=90。,E是AD的中點(diǎn),AB=7廁AC的長為（

3

D.-

23

4.如圖.在矩形ABCD中，BD=24B,將ABCD繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)「落在線段BD上，得到

ABCD,在邊9C，上取點(diǎn)M，使得（CM=4B,若AB=VX則△MCD的面積是_____________.

BC

D

B'

5.如圖,PA=PB=PC=2/BPC=120。,P川|BC..以AB,PB為邊作平行四邊形ABPD,連接CD,則CD的長

為()

A.242B.2V3C.V3+1O.V6-1

6.如圖，在AABC,AADE中，/.BCA=乙DEA=90=A,C,E在一條直線上，且BC=DE,,連接BD,M,N分別為

AB,CE的中點(diǎn)，連接MN.

(1)求證：AD=2MN;

(2)若/.ABC=45°,ZXDE=60°,BD=2,,求MN的長.

壓軸突破2平行四邊形與分類討論

L如圖，在回力BCD中,AC與BD交于點(diǎn)M,點(diǎn)F在邊AD上，AF=6cm,BF=12cm/FBM=乙CBM,,點(diǎn)E

是BC的中點(diǎn)若點(diǎn)P以1cm/s的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿AD向點(diǎn)F運(yùn)動(dòng);點(diǎn)Q同時(shí)以2cm/s的速度從點(diǎn)C出發(fā),

沿CB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到F點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q也同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)s時(shí)，以P,Q,

E,F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.

2.在面積為36的回4BCD中,M,F分別為AB,AD的中點(diǎn),EF為BC邊上的高，若2D=6,CE=1,,則EM的

長為.

3在口ABCD中,BC邊上的高為4,AB=5,AC=則口ABCD的面積為

壓軸突破3平行四邊形中的路徑與最值（一）三邊關(guān)系求最值

L如圖,四邊形ABCD中，2?；谻D于點(diǎn)D,BC=2,AD=8,CD=6,8、是AB的中點(diǎn)，連接DE,則DE的最大

值是（）

A.6B.7C.8D,9

2.如圖，四邊形ABCD中點(diǎn)E,F分別是邊AB,CD的中點(diǎn)，且.4。=6,BC=10,則線段EF的長可能為（）

A.7B.8.5C.9D.10

壓軸突破4平行四邊形中的路徑與最值（二）垂線段最短求最值

1.如圖，在團(tuán)4BCD中，點(diǎn)M,N分別是AC和BC上的動(dòng)點(diǎn),AB=3,BC=6/D=60。，，在點(diǎn)M,N運(yùn)動(dòng)的過

程中，BM+MN的最小值為.

2.如圖是一張面積為10的△4BC紙片，其中BC=5,乙4BC=45°,DE是三角形的中位線，M,N分別是線段

DE,BC上的動(dòng)點(diǎn).沿著虛線MN將紙片裁開，并將MN兩側(cè)的紙片按箭頭所示的方向分別繞點(diǎn)D,E旋轉(zhuǎn)180。在

同一平面內(nèi)拼圖，使得BD與AD重合，CE與AE重合，則拼成的四邊形紙片周長的最大值與最小值之差為一

3.如圖，回A8CD中，乙4=60。,48=6,AD=2?P為邊CD上一點(diǎn)很V3PD+2PB的最小值為

壓軸突破5平行四邊形中的路徑與最值（三）瓜豆原理求路徑長

L如圖，在AABC中,乙B=90°,AC=600,AB=1?E為BC上一動(dòng)點(diǎn)，以AE為邊在AE右側(cè)作等邊△

4前,,連接CF,G為線段CF的中點(diǎn).若點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)沿著BC方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C,則在此過程中，點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的路

徑長為1

壓軸突破6矩形中的計(jì)算

1.如圖，矩形ABCD中，AB=8,AD=2,,點(diǎn)E從D向C以每秒1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，以AE為一邊在A

E的左上方作正方形AEFG,同時(shí)垂直于CD的直線MN也從C向D以每秒2個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)

的時(shí)間為t秒，當(dāng)點(diǎn)F落在直線MN上時(shí),t的值為（）

14

A.1B.4D.—

3

2.如圖，在△ABC中，AC=8C,乙4c8=90。,,CD為邊AB上的中線,E是線段CA上任意一點(diǎn),DF,DE,交直線

BC于點(diǎn)F,G為EF的中點(diǎn)，連接CG并延長交直線AB于點(diǎn)H.若AE=6,CH=10廁AC的長為（）

C.14D.13

3.如圖，在△ABC中,NA=60o,BD為AC邊上的高,E為BC邊的中點(diǎn)點(diǎn)F在AB邊上，且NEDF=60。若AF

=2,BF=?則BC的長為（）

c.|g

壓軸突破7矩形中的路徑與最值

1.如圖，在矩形ABCD中，AB=3,BC=3V3?P為BC上一點(diǎn)，以AP為邊構(gòu)造等邊△APQ（A,P,Q按逆時(shí)針方

向排列），連接CQ,DQ①（］（CQ+DQ的最小值為.

2.如圖，在矩形ABCD中，AB=2,AD=4?E為AD的中點(diǎn),F為線段EC上一動(dòng)點(diǎn),P為BF中點(diǎn)連接PD,則

線段PD長的取值范圍是.

3.如圖，在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,E為AB上一點(diǎn)，連接DE,將△ADE沿DE折疊點(diǎn)A落在A處，連接A，

C,若F,G分別為A'C,BC的中點(diǎn)，則FG的最小值為（）

Vs—1

A.2B.立cr.-----D.l

22

4.如圖，在△ABC中,NBAC=9(T,AB=6,AC=8,點(diǎn)P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn),PELAB于點(diǎn)E,PF，AC于點(diǎn)F,點(diǎn)M

為EF的中點(diǎn)，則PM的最小值為（）

D.2.4

5.如圖，在矩形ABCD中，AD=6,4B=4,,E是AB邊的中點(diǎn),F是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，則.的最小值是（

)

X.2V10-2B.6C.2V13-2D.4

6.如圖，在矩形ABCD中,AB=7,AD=5,E為對角線BD上的一動(dòng)點(diǎn)，以E為直角頂點(diǎn),AE為直角邊做等腰RtA

AEF（A,E,F按逆時(shí)針方向排列），當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑長是（）

A.12B.2V37C.18D.2V35

7.如圖在菱形ABCD中,/BAD=6（T,AB=8,對角線AC,BD交于點(diǎn)0,E是線段OC上一動(dòng)點(diǎn),F是射線AD上一

動(dòng)點(diǎn)，若/BEF=120。,則在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的過程中，EF長度為整數(shù)的個(gè)數(shù)有（)

A.6個(gè)B.5個(gè)C.4個(gè)D.3個(gè)

8.如圖，在矩形ABCD中,AB=1,BC=舊，E為AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接BE,AF，BE于點(diǎn)F,G為BC的中點(diǎn)，連

接FG,以FG為邊向右上方作等邊△FGH,連接CH,則CH長度的最小值為（）

壓軸突破8矩形多結(jié)論

1.如圖，在矩形ABCD中，2。=&48/員4。的平分線交BC于點(diǎn)E,過點(diǎn)D作AE的垂線，垂足為H,連接BH

并延長，交CD于點(diǎn)F,連接DE交BF于點(diǎn)O.下列結(jié)論①4ABE名△AHD;②NAED=/CED;③BH=FH;④CD=FH;

⑤BC-CF=HE.其中結(jié)論正確的是___________（填序號）.

2.如圖,MB為IRt△AMN^A=90。）的角平分線，BC團(tuán)AN交MN于點(diǎn)C,CDEUM于點(diǎn)D,BEI2CN于點(diǎn)E,

則下列結(jié)論:①BE=CD;②CE=MD;③BC=BN;④若當(dāng)=/,則CE=NE..其中結(jié)論正確的有__________（填序號）.

3如圖，將矩形紙片ABCD沿EF翻折，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合,E,F分別在AB,CD上,下列結(jié)論:①4ECF為等腰

三角形;②若AB=2BC,則AE-.BE=5:3;③若△ECF為等邊三角形，貝U=相C;④延長GF，則GF必經(jīng)過點(diǎn)

A.其中正確的結(jié)論有（填序號）.

壓軸突破9菱形中的計(jì)算

1.如圖，矩形AEFG的頂點(diǎn)E,F分別在菱形ABCD的邊AB和對角線BD上，連接EG,CF若EG=5廁CF的長

為（）

A.4B.5C.V5D.V7

2.如圖，在菱形ABCD中,AB=5,AC=6過點(diǎn)D作DELBA,交BA的延長線于點(diǎn)E,則線段DE的長為（

)

.12

A—C.4

5BT

24

5

3.如圖,△ABC為等邊三角形.菱形ADFE的邊AE在線段AC上，且AD〃BC.若AD=4,AC=6,連接BF并取中

點(diǎn)G,則AG的長為（)

A2何B.V21C.3V2D.5

4.如圖，四邊形ABCD為菱形,E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上，若NDAB=6（）o,NDFA=2NEAB,AD=4,則CF的

長為（）

A4

A-5B.2C-|

5如圖在菱形ABCD中,AB=BD,點(diǎn)E,F分別在BC,CD邊上，且CE=DF,BF與DE交于點(diǎn)G.若BG=3,DG=5,則

CD的長為.

壓軸突破10菱形中的路徑與最值

1如圖,在菱形ABCD中，AB=2,乙4=120。，,點(diǎn)Q,K分別為線段CD,BD上的動(dòng)點(diǎn)，則CK+QK的最小值為（

)

A.1B.V3+1C.2D.V3

2.如圖.菱形ABCD的對角線相交于點(diǎn)O,AC=12,BD=16,點(diǎn)P在BC上，且點(diǎn)P不與點(diǎn)B,C重合，過點(diǎn)P

分別作PEXAC于點(diǎn)E,PF回BD于點(diǎn)F,連接EF,則EF的最小值為.

3.如圖，在邊長為2的菱形ABCD中,AABC=60°>△4BD沿射線BD的方向平移得到△EFG,連接EC,ED,F

C廁EC+FC的最小值為.

壓軸突破11菱形多結(jié)論

1如圖，在口ABCD中，2。=2AB,CE回48于點(diǎn)E,F,G分別是AD.BC的中點(diǎn)，連接CF,EF,FG,下列結(jié)論:①CE

J_FG;②四邊形ABGF是菱形;③EF=CF;④/EFC=2NCFD.其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

壓軸突破12正方形的有關(guān)計(jì)算

1如圖.在正方形ABCD的邊BC上取一點(diǎn)F,連接AF,線段AF的垂直平分線交對角線BD于點(diǎn)Q,連接

FQ,若正方形ABCD的邊長為4,.BF=1,,則FQ的長是_________

2.如圖在邊長為4的正方形ABCD中,E是BC的中點(diǎn),F是CD上一點(diǎn)，DF=1,,連接AE,BF,P,Q分別為A

E和BF的中點(diǎn)，則PQ的長為.

3.如圖，在正方形ABCD中Q為對角線BD的中點(diǎn),E為邊AB上一點(diǎn)，”團(tuán)DE于點(diǎn)F,OF=&,AF=1,則

正方形的邊長為（）

A.3B.V10C.2+V2D.V2+1

4.如圖，在RtA4BC中，^ACB=90。，，以斜邊AB為邊向外作正方形ABDE,且正方形對角線交于點(diǎn)O,連

接OC，已知AC=|,OC=2Vx則邊BC的長為.

5.如圖，分別以△?!回的邊AB,AC為邊向外作正方形ABEF與正方形ACGD,連接BD,CF,DF,若AB=1,AC

=2,則BC2+OF?的值為.

6.如圖，四邊形是邊長為1的正方形，以對角線。&為邊作第二個(gè)正方形OAiA2B2，連接AA2彳導(dǎo)到.

△44遇2；；再以對角線（。4為邊作第三個(gè)正方形OA2A3B3，連接AIA3彳導(dǎo)到.△4出&；；再以對角線。/為

邊作第四個(gè)正方形（連接A2A4，得到△々AAV….設(shè)△4442心442431424344,…的面積分別為

Si.S2,S3，.…依此下去廁S2o22的值為（）

A22020—1B,22020+-C,220200.22021

22

B,

壓軸突破13正方形多結(jié)論

1.如圖，在正方形ABCD中.對角線AC,BD交于點(diǎn)O,/ADB的平分線交AB于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)G過點(diǎn)E

作EFLBD于點(diǎn)F,/EDM交AC于點(diǎn)M.下列結(jié)論：（①2D=（或+1）4E;;②四邊形AEFG是菱形;③BE=20G;

④若/EDM=45。,則GF=CM.其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

2.如圖,P是正方形ABCD的對角線BD上的一點(diǎn)，PEMC,PF回CD,垂足分別為E,F,連接AP,EF給出下列四個(gè)

結(jié)論:①AP=EF;②NPFE=NBAP;③PD=V2EF；@AAPD一定是等腰三角形.其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

3.如圖，正方形ABCD和正方形DEFG中,A,D,E在同一條直線上，AD=2DE,M為BC的中點(diǎn)，延長FG交AB

于點(diǎn)N,連接MN,CN,CF,連接FM分別交CN,CD于點(diǎn)P,Q,下列說法:①△FQG四△MQC;②NBCN=NMFG;③S

ACFQ:S四邊形BMPN=3:7;④FQ=2PQ,其中結(jié)論正確的結(jié)論有（）

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

B

MC

壓軸突破14正方形中的路徑與最值

1.如圖,M,N是正方形ABCD的邊CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足AM=BN,連接AC交BN于點(diǎn)E,連接DE交AM

于點(diǎn)F,連接CF,若正方形的邊長為2,則線段CF的最小值是（）

C.V5-10.V5-2

2.如圖，正方形ABCD的邊長為6,P為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)以P為直角頂點(diǎn)，AP為直角邊作等腰Rt△APE.M

為斜邊AE的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長為t

3.如圖，正方形ABCD的邊長為8,M為邊BC的中點(diǎn)，線段EF在邊AD上滑動(dòng)，GE=GF=魚，且乙EGF=

90。,則MG+MF的最小值是.

G

[E\[F

第十八章平行四邊形

壓軸突破1構(gòu)中位線或作高求邊長

1.&解:延長BC至點(diǎn)M,使CM=CA,連接AM,過點(diǎn)C作CN_LAM于點(diǎn)N,

VDE平分△ABC的周長,，ME=EB,又AD=DB,

1

???DE=-AM,VZACB=60°,ZACM=120°,

2

VCM=CA,JZACN=60°,AN=MN,ZCAN=30°,

???CN=-AC=-,AN=V3/VC=

222

???AM=V3,.-.DE=—,

2

2.2解:連接BD,取BD的中點(diǎn)F,連接FM,FN,

"?ZBAC=ZEAD,

ZBAC-ZBAD=ZEAD-ZBAD,

即/BAE=/CAD,在△AEB和△ADC中,AE=AD,/BAE=/CAD,AB=AC,

△AEB^AADC(SAS),BE=CD,

是ED的中點(diǎn),F是BD的中點(diǎn)，

；.FM>ABED的中位線，???FM=^BE,FM\\BE,

：./DFM=/EBD,同理得FN=^CD,FN\\CD,

：.FM=FN,NFNB=/DCB,

*.?ZDFN=ZDBC+ZFNB=ZDBC+ZDCB,

ZMFN=ZDFM+ZDFN=ZEBD+ZDBC+乙DCB=180°-120°=60°,

AFMN是等邊三角形,；.MN=FN=1,；.CD=2.

3.D解:延長AC,BD交于點(diǎn)F,取BC的中點(diǎn)M,連接DM.易證△ADB0AADF,

；.DF=DB,AF=AB=7.

為BC的中點(diǎn),；.CF〃DM,CF=2DM.

易證△ACE絲△DME,；.AC=DM,.\CF=2AC,

7

AF=AC+CF=3AC=7,AC=-

3

4.等解:連接CC:過點(diǎn)C作CHLBC,交BC的延長線于點(diǎn)H，:將△BCD繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)C的

對應(yīng)點(diǎn)C落在線段BD上，

???CD=CD=y/2,^B'C'D=90°,

BD=2AB=2CD=2V2

BD=2CD,BC=CD=V2,

???乙BCD=90°,BC=CD=CC,

.CD=DC=CC,.-.ACDC，是等邊三角形，

???S&C'DC=曰X(V2)2=今乙CCD=60。，

???C'M=AB=y[2,乙MC'D=90°,

*t?SD=3XV2XV2=1,

???乙CC'H=90°-60°=30°,.-.CH=-CC=—

22

???AMCD的面積=S1DCC+SIMDC-SIMCC=y+l-|xV2x^=^l.

5.A解:過點(diǎn)D作DEJ_BC于點(diǎn)E,交AP于點(diǎn)G,過點(diǎn)P作PF±BC于點(diǎn)F,

ZPBC=ZPCB=ZAPB=30°,

DE=DG+GE=1+1=2,PG=2-V3

CE=CF+EF=VI+2-百=2,

.\DE=CE,.\ACDE為等腰直角三角形，

CD=V2D￡=2V2.

6.解:⑴延長AE至點(diǎn)G.使NG=AN,連接BG,

,/AM=MB,AN=NG,MN=扣G,MN〃BG,

VN為CE的中點(diǎn),.?.CN=NE,；.AE=GC,

,/ZAED=ZGCB=90°,DE=BC,

ADAE^ABGC(SAS),

.\AD=BG,.'.AD=2MN;

(2)設(shè)BC=DE=x，在RtAACB中,/ABC=45。，

/.AC=BC=x,VBC=DE,BC//DE,

；?四邊形BCED為矩形，

；.CE=BD=2,；.AE=x+2,

在RtAADE中,/ADE=60。，

/.ZDAE=30°,AD=2DE=2x,

由勾股定理，得AE=7AD?-DE2=V3x,

貝UV3x=x+2,解得x=V3+1,

???AD=2x=2^3+2,：.MN=|X￡>=V3+1

壓軸突破2平行四邊形與分類討論

1.3或5解:易證AD〃BC,AD=BC,；.ZADB=ZCBD,

ZFBM=ZCBM,.\ZFBD=ZFDB,

FB=FD=12cm,VAF=6cm,.\AD=18cm,

VE是BC的中點(diǎn)，CE=1BC=^AD=9cm,

要使以點(diǎn)P,Q,E,F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則PF=EQ即可,設(shè)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)ts時(shí)以P,Q,E,F為頂

點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，根據(jù)題意，得6-t=9-2t或6-t=2t-9,解得t=3或t=5.

2.5或V34解:：EF-AD=36,，6EF=36,；.EF=6.

⑴當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí)，如圖1,延長EM,DA交于點(diǎn)N廁AEBM也ANAM,

???MN=EM,AN=BE=6-1=5,

ANF=NA+AF=5+3=8,

??.NE=VEF2+NF2=10,??.EM=-NE=5;

2

⑵當(dāng)點(diǎn)E在BC的延長線上時(shí)，如圖2,由△EBM0△NAM,；.MN=EM,AN=BE=6+1=7,

.,.NF=NA+AF=7+3=10,

NE=VFF2+NF2=2V34,

EM=^NE=聞;故EM=5或V34.

3.20或4解:分兩種情況：

①如圖1所示:：在口ABCD中,BC邊上的高AE為4,AB=5,AC=2V5

EC=ylAC2-AE2=2,BE=<AB2-AE2=3,

；.BC=2+3=5,

aABCD的面積=BCAE=5X4=20;

圖2

②如圖2所示，同①得:EC=2,BE=3,BC=3-2=1,.\°ABCD的面積=BCAE=lx4=4,

綜上所述，口ABCD的面積為20或4.故答案為20或4.

壓軸突破3平行四邊形中的路徑與

最值（一）三邊關(guān)系求最值

1.A解:連接AC.取AC的中點(diǎn)為M,連接DM,EM,

?.*AD±CD,JZADC=90°.VAD=8,CD=6,

AC=yjAD2+CD2—V82+62=10,

：M是AC的中點(diǎn),.DM=|XC=5,

是AC的中點(diǎn),E是AB的中點(diǎn)，

?'EM是AABC的中位線，

BC=2,.-.EM=抑。=1,?；DE<slantDM+EM（當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)M在線段DE上時(shí),等號成立）,DEg6,DE

的最大值為6.故選A.

2.A解:連接BD.取BD的中點(diǎn)H,連接HF,HE「.?點(diǎn)E,H分別是邊AB,BD的中點(diǎn)，

AEH是仆ABD的中位線,.;EH=^AD=3,同理可得FH=1BC=5,，EFWFH+EH=8,故選A.

壓軸突破4平行四邊形中的路徑與最值（二）垂線段最短求最值

1.3遍解：延長BA到點(diǎn)E,使EA=AB過點(diǎn)E作EHJ_BC于點(diǎn)H,連接EM,EC在nABCD中,/D=60。,

ZABC=ZD=60°,

AABC中,AB=3,EA

=AB=3,.-.BE=BC=6,；.AEBC是等邊三角形,

EC=BC=6.??EA=AB,CA±AB,

/.EM=BM,BM+MN=EM+MN>EH.

ABM+MN的最小值即為EH的長,RtAEBH中,/BHE=90o,/ABC=6(F,BE=6,

.-.乙BEH=30°,BH=池=3,EH=3翼.

ABM+MN的最小值為3V3

2.V97-4解:由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知,BC=NN",M，M”=2DE,：AD=DB,AE=EC,；.DE〃BC,BC=2DE,

=N'N",

:.四邊形MM"N“N是平行四邊形，

，四邊形MMNN的周長=2MN+10,如圖，連接BE過點(diǎn)A作AHLBC于點(diǎn)H,取HC的中點(diǎn)J,連接EJ,則EJ\\

11

AH,E]=^AH,乙EJB=乙AHB=90°,VSAABC=i-BCAH=10,BC=5,AAH=4,

ZABC=45°,JAH=BH=4,

二?CH二CB-BH=5-4=1,?'.JH=JC=-

2

1Q

...E]=^AH=2,BJ=BH+JH=條

■■■BE=y/Ep+Bp=J22+(J=亨

當(dāng)MNXBC時(shí)，MN的值最小，此時(shí)拼成的四邊形紙片周長的值最小，最小值為14,當(dāng)MN與線段BE重

合時(shí)，MN的值最大，此時(shí)拼成的四邊形紙片周長的值最大，最大值為回+10,..?拼成的四邊形紙片周長的最大

值與最小值的差為V97+10-14=797-4.

3.6V3解:過點(diǎn)P作PHLAD,交AD的延長線于點(diǎn)H,：四邊形ABCD是平行四邊形,

AB〃CD,；.ZA=ZCDH=60°,

VHP±AD,.\ZDPH=30°,

DH=|DP,HP=WDH=

???WPD+2PB=2(^-DP+PB)=2(HP+PB),

.,?當(dāng)點(diǎn)H,P,B三點(diǎn)共線時(shí),HP+PB有最小值，

即V3PD+2PB有最小值，此時(shí)BH±AH,ZA=60°,

.--4ABp=30°,???AH=^AB=3,BH=曲AH=3百貝|Jy/3PD+2PB最小值為6V3

壓軸突破5平行四邊形中的路徑與最值(三)瓜豆原理求路徑長

壓軸突破6矩形中的計(jì)算

1.C解:過點(diǎn)F作FHLCD,交直線CD于點(diǎn)H廁/EHF=90。,：四邊形ABCD為矩形,二/ADE=90。,，NA

DE=/EHF,在正方形AEFG4q,ZAEF=90°,AE=EF,ZAED+ZHEF=90°,

,/ZHEF+ZEFH=90°,.\ZAED=ZEFH,

AADE^AEHF(AAS),；.EH=AD=2,

：AB=CD=8根據(jù)題意狷t-2+2t=8,

2.C解:連接DG,：DF_LDE,；.NEDF=90o,；NACB=90o,G是EF的中點(diǎn),

1

??.CG=DG=-EF.

2

VAC=BC,ZACB=90°,fiCD為邊AB上的中線，

ACD±AB,CD=AD,

ZCDG+ZHDG=90°,ZDCH+ZDHC=90°,

VCG=DG,ANHCD=NCDG,???NCHD=NHDG,

??.GH=GD,GH=CG=-CH.

2

ICH=10,JCG=5,JEF=10,

VAC=BC,ZACB=90°,

???ZA=45°,ZACD=45°,ZDCF=45°,

，ZA=ZDCF,VZEDF=ZADC=90°,

ZADE=ZCDF,△ADE△CDF(ASA),

/.CF=AE=6,^AECF中，根據(jù)勾股定理彳導(dǎo)CE=8,

AC=AE+CE=6+8=14,故選C.

3.D解:過點(diǎn)D作DM,AB,垂足為M,取AB的中點(diǎn)H,連接EH,DH,

???AF=2,BF=—AB=AF+BF=

33

VBD±AC,AZADB=ZCDB=90°,

ZA=60°,AZABD=90°-ZA=30°,

-1o

???AD=-AB=-

23f

,?,點(diǎn)H是AB的中點(diǎn)，AH=BH=\AB=

/.AD=AH,.,.AADH是等邊三角形，

AD=DH,ZADH=ZAHD=60。，

AM=MH=-AH=DM=43AM=-yfi,

23，3

42

??.AF=2,：.MF=AF-AM=2--=-

，33，f

DF=yjDM2+MF2=|V13,

??.點(diǎn)H是AB的中點(diǎn)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，

.,.EH是4ABC的中位線，

；.EH〃AC,，ZDHE=ZADH=60°.

,/ZEDF=ZADH=60°,

/.ZADH-ZFDH=ZEDF-ZFDH,

ZADF=ZHDE,Z.△ADF^AHDE(ASA),

DE=DF|V13,

???Z.CDB=90°,BC=2DE=(VH,故選D.

壓軸突破7矩形中的路徑與最值

1.3V3解連接AC,取AC的中點(diǎn)O,連接BOQQ在矩形ABCD中,/ABC=9(F,AD=BC=38,AB=3,

AC=7AB2+BC?=79+27=6,

:點(diǎn)。是AC的中點(diǎn),NABC=90。，

AO=BO=CO=3,AB=AO=BO=3,

.?.△ABO是等邊三角形,.../BAO=60。，

VAAPQ是等邊三角形，

AP=AQ,ZPAQ=ZBAO=60°,

/BAP=NQAC,

,/AB=AO,AP=AQ,△ABP0AAOQ(SAS),

/ABP=/AOQ=90。，

AOQ是AC的垂直平分線，

AQ=CQ,CQ+DQ=AQ+QD,

當(dāng)A,Q,D三點(diǎn)共線時(shí),CQ+DQ的最小值為AD的長，

/.CQ+DQ的最小值為3V3

2.2應(yīng)<PD<710解:取BE的中點(diǎn)M,BC的中點(diǎn)N,連接MN,則MN必過點(diǎn)P,

-1______

MNI2〃5c民.?.點(diǎn)p在線段MN上運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)N重合，此時(shí)DP的最小值為

DN=2V2;；同理DP最大值為DM=2V2<PD<V10.

3.D解:連接AB,則FG=(48,連接8口,在4A'BD中，482slantBD-4。=5-3=2,；.FG的最小值為

1.

4.D解:連接AP,：四邊形AEPF為矩彩則AP必過點(diǎn)M,AP=EF=2PM,當(dāng)AP_LBC時(shí),AP最小為詈=4.8,

???PM的最小值為2.4.

5.A解：DE=y/AD2+AE2=V62+22=2V10,???EB'=EB=EA=2,B'D>slantDE-EB'=2V10-2.

6.B解:當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時(shí)，點(diǎn)Fi在CD的延長線上，DF1=5,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)F2在BC

的延長線上，CF2=2,.?.當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)點(diǎn)F從Fi運(yùn)動(dòng)到點(diǎn).F?，；?3=V122+22=2歷.

7.B解:過點(diǎn)E作EMJ_AB于點(diǎn)M,EN_LAD于點(diǎn)N廁EM=NE,可證△EMBgZkENF,

；.EF=EB;當(dāng)點(diǎn)E在線段OC上運(yùn)動(dòng)時(shí),EB的最小值為OB=4,EB的最大值為BC=8,

.??4WEFW8,故EF長度為整數(shù)是4,5,6,7,8,共5個(gè).

8.A解:取AB的中點(diǎn)M,AD的中點(diǎn)N,連接MF,NH,MG,NG,可求MG=NG=1,ZMGN=60°,

/.ZMGF=ZNGH,XFG=HG,AMFG^ANHG,

NH=MF=/連接(CN,則CN=Jp+

CH>slantCN-NH=《i/CH的最小值為彎二.

壓軸突破8矩形多結(jié)論

1.①②③解:：四邊形ABCD是次巨形,；.NBAD=/ABC=/C=NADC=90o,AB=DC,AD〃BC,；./ADE=NCE

D,

VZBAD的平分線交BC于點(diǎn)E,

ZBAE=ZDAH=45°,

AE=正AB,AD=

'：AD=V2AB,AD=AE,AB=AH=DH=DC,

ZADE=ZAED,.,.ZAED=ZCED,

/.②正確:可證△ABEgZkAHD(AAS),故①正確：

BE=DH,VAB=AH,：ZAHB=|(180o-45°)=67.5°,ZOHE=ZAHB=67.5°,

ZDHO=90。-67.5°=22.5°,

???乙EBH=90°-67.5°=22.5°,???乙EBH=乙OHD,

：.可證△BEH^AHDF(ASA),.\BH=HF故③正確：

,/ZAHB=67.5°,ZBAE=45°,AZBAE^ZAHB,

.?小8用11,；(歷11R故@錯(cuò)誤過點(diǎn)H作HK，BC于點(diǎn)K,可知KC=^BC,HK=KE,由上知HE=EC,：.\BC

=KE+EC,又KE=HK=^FC,HE=EC,故TBC=HK+HE,；.BC=2HK+2HE=FC+2HE,故⑤不正確；故答案為①②

③.

2.①②④解：：/AMB=/EMB,BA_LAM,BE_LMN,；.BE=AB=CD,①正確；

可證△MDCg/^CEB,，CE=MD,②正確：

設(shè)AB=BE=a，貝!j.AD=BC=V2cz,CE=a=BE,

故4BCN為等腰直角三角形,，CE=NE,④正確；

③不一定正確，故選①②④.

3.①②④解:由折疊知,AE=EC,NAEF=/CEF=/CFE,；.CF=CE,①正確；

設(shè)AB=2a,則BC=a，設(shè)AE=CE=x,

???x2=a2+(2a—x)2,x=|a,

即AE=-a,BE=?a,AE:BE=5:3,②正確；

44一

當(dāng)^ECF為等邊三角形時(shí),/CEB=60。,設(shè)BE=t,

貝?。軨E=AE=2t,BC=V3t,

；.AB=3t,故AB=百BC,,③錯(cuò)誤；

連接AF,可證四邊形AECF為平行四邊形，

；.AF〃CEJiFG〃CF,

???GF必過點(diǎn)A,④正確.故答案為①②④.

壓軸突破9菱形中的計(jì)算

1.B解:連接AF,：四邊形ABCD是菱彩，NABF=/CBF,AB=BC,

又BF=BF,△ABFgACBF(SAS),AF=CF,

四邊形AEFG為矩形,EG=AF,EG=CF,

,.?EG=5,.\CF=5,S^B.

2.D解:設(shè)AC交BD于點(diǎn)O,則OA_LOB,；.OB=y/AB2-OA2=4,.-.BD=20B=8,.?.5_^^-AC-BD

麥形ABCD2

24

=AB-DE,DE=y.

3.B解:連接AF,DE交于點(diǎn)O,

AABC為等邊三角形.NC=4CAB=60°,

VAD/7BC,?.ZBCA=ZDAE=60°,

四邊形AEFD是菱形，

AO=OF,EO=DO,AF_LDE,ZDAF=30°=ZEAF,

DO=1AD=2,AO=2V3,AFAB=90",

/.AF=2AO=4V3

BF=VXF2+AB2=V48+36=2V21,

,/ZFAB=90°,G是BF的中點(diǎn)，

AG=^BF=E故選B.

4.D解:延長AE交DC的延長線于點(diǎn)G,

可證△ABE^AGCE,

/.CG=AB=4,ZG=ZEAB,

又/DFA=2NEAB=NG+NFAG,；.ZG=ZFAG,

；.FG=FA,設(shè)CF=x，貝[|DF=4-x,AF=x+4,過點(diǎn)A作AHLCD交其延長線于點(diǎn)H,

；.DH=2,AH=2V3

在RtAAHF中，(久+4)2=(2hy+(6-x)2,x=，，即CF=

5.7M：VCE=DF,ZECD=ZFDB=60°,CD=DB,

ACED^ADFB,.\ZBFD=ZDEC,

/DGF=60。,過點(diǎn)D作DHLBF于點(diǎn)H,

GH-DG=-,DH=-A/3,

222，

???BD=y/DH2+BH2=7=CD.

壓軸突破10菱形中的路徑與最值

1.D解作CQ'XAD于點(diǎn)Q：交BD于點(diǎn)K：當(dāng)K與K重合時(shí),CK+QK最小，其值為百g

2.4.8解:連接OP,：四邊形ABCD是菱形,AC=12,BD=16,/

1i'c

/.AC^\BD,BO=-BD=8t0C=-AC=6f

22第i題圖

???BC=Vos2+0C2=V82+62=10,

PE±AC,PF±BD,AC±BD,

四邊形OEPF是矩形,/.FE=OP,

。.?當(dāng)OPLBC時(shí),OP有最小值，此時(shí)SAOBC=[OB?OC=1BC-OP,

OP=黑=4.8,.,.EF的最小值為4.8.

3.2V3解：：EF〃DC,.?.四邊形FCDE為平行四邊形,FC=ED,FC+EC=EC+DE,D,C為定點(diǎn),E為動(dòng)點(diǎn)，作點(diǎn)D

22

關(guān)于AE的對稱點(diǎn).D',EC+ED'>slantCD',D'C=y/D'H+CH=V9T3=2次,(FC+EC)min=25

壓軸突破11菱形多結(jié)論

D解:：AF〃BG,AF=BG,

四邊形AFGB為平行四邊形,；.FG〃AB,

VCEXAB,CEXFG,①正確;：AD=2AB,.\AF=AB,

.,?四邊形AFGB為菱形，②正確;?：FG±CE,FG平分CE,

；.EF=CF,③正確;；ZEFC=2ZCFG,

四邊形CDFG為菱形,ZCFG=ZCFD,

；.NEFC=2NCFD,④正確，故選D.

壓軸突破12正方形的有關(guān)計(jì)算

1號解:連接AQ,CQ,過點(diǎn)Q作QEMF于點(diǎn)E,

VBD為正方形ABCD的對角線，

ZADQ=ZCDQ=45°,AD=CD,

DQ=DQ,；.△ADQ注△CDQ(SAS),AQ=CQ,

點(diǎn)Q在AF的垂直平分線上,；.AQ=FQ,FQ=CQ,

：QE，CF,正方形ABCD的邊長為4,BF=1,

1

??.FE=CE=-CF=1.5,

2

BE=2.5=QE,QF=yjEQ2+EF2=苧

2.V52解:連接BP并延長交AD于點(diǎn)G,連接GF,

：AD〃BC,；.ZDAE=ZAEB,

VP為AE的中點(diǎn),，AP=PE,

AAPG^AEPB(ASA),BP=PG,AG=BE,

為BF的中點(diǎn)，,PQ=為產(chǎn)，

VE是BC的中點(diǎn).AG=BE=^BC=2,：.DG=2,

GF=y/GD12+DF2=V5,.-.PQ="F=隹.

3.B解:連接AC交ED于點(diǎn)M,則AC過點(diǎn)O,過點(diǎn)O作ONLOF交FD于點(diǎn)N,

四邊形ABCD是正方形,，AC±BD,OD=OA,

AC±BD,OF±ON,；.ZFON=ZAOD=90°,

ZAOF=ZDON=90°-ZAON,

VAFXDE,.*.ZAFM=90°,Z.ZFAO+ZAMF=90°,

ZAOD=90°,.\ZNDO+ZDMO=90°,

ZAMF=ZDMO,.\ZFAO=ZNDO,

△AFOADNO,DN=AF=1,ON=OF=魚，在RtAFON中，由勾月殳定理彳導(dǎo)FN=VOF2+ON2=2,.\DF=F

N+DN=2+1=3,在RtAAFD中,由勾股定理得AD=y/AF2+DF2=同,即正方形ABCD的邊長是何,選B.

4.1解過點(diǎn)。作OF_LBC于點(diǎn)F,過點(diǎn)A作AM_LOF于點(diǎn)M,：NACB=90。,；.NAMO=NOFB=NACB=NCF

M=ZAMF=90°,.\四邊形ACFM是矩形，

；.AM=CF,AC=MF=］易證△AOM^AOBF,

AM=OF,OM=FB,