福建省寧德市部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期4月期

中質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題

一、單選題(本大題共8小題)

1.下列關(guān)于空間向量的說法正確的是()

A.任意兩個(gè)空間向量不一定共面B.模相等的兩個(gè)向量是相等向量

C.平行于同一個(gè)平面的向量叫做共面向量D.空間中任意三個(gè)向量都可以

構(gòu)成空間的一個(gè)基底

2.設(shè)向量q,02,63不共面，已知48=q+e2+ej,8C=q+2e2+e3，CD=6q+9e2+6e?,

若ac,。三點(diǎn)共線，則彳=()

A.1B.2C.3D.4

3.若函數(shù)/(x)=asinx+l滿足八0)=兀，則”=()

71

A.1B.-1C.-D.兀

2

4.如圖，在直三棱柱4SC-44G中，點(diǎn)E在棱4cl上，且4石=；4￡.設(shè)比1=?,

BB}=bM=c,貝4屜=()

幺...—

—Cl+bH—C一ClH----b+C

33

aH—bH—c—ci+bH—c

3333

5.函數(shù)/(x)='(xT)的部分圖象大致是

2x-l

c.D.

~o\\

1y

6.函數(shù)=圖象上一點(diǎn)尸到直線y的最短距離為（）

A歷R6cV5V5（2-21n2）

A?，2LJ.---V/?----U?-----------------

255

7.如圖，在四棱臺中，底面/BCD是菱形，44J平面

1兀

ABCD,AA,==^B=l,ZABC=y,直線NC與直線所成角的余弦值為（

A.—B.—C.—D.—

4225

8.記/'（x）是〃x）的導(dǎo)函數(shù)，/（X）是/''（X）的導(dǎo)函數(shù)，若曲線y=〃x）在點(diǎn)

&,〃％））處的曲率4=?.1+[/，（%）于『，則曲線/（X）=x3在點(diǎn)處的曲

率為（）

.16口27C.河125

A?藥B.正D.----

125108

二、多選題（本大題共3小題）

9.已知定義在（國,%）上的函數(shù)/（x）的導(dǎo)函數(shù)為/（x）,/'（x）的圖象如圖所示，貝|（

A./（x）在（%,%）上單調(diào)遞增B./（x）在（％，尤4）上單調(diào)遞減

C./(X)有1個(gè)極大值點(diǎn)D./(x)有1個(gè)極小值點(diǎn)

10.已知函數(shù)/'(x)=x3一3/一IO》，下列說法正確的是()

A.“X)有3個(gè)零點(diǎn)

B./(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,-24)對稱

C.“X)既有極大值又有極小值

D.經(jīng)過點(diǎn)(-2,0)且與/(x)的圖象相切的直線有2條

11.在四棱錐尸一4BCL?中，AB±PB,AB=PB=BC=2>/2,四邊形/BCD是平行四

邊形，E〃分別為棱的中點(diǎn)，CE=EH,點(diǎn)C在平面PN8的射影恰好是棱

尸/的中點(diǎn)，則()

A

A.4尸〃平面PS

B.線段斯的長為巫

2

C.三棱錐的外接球的表面積為32兀

D.平面4ER與平面尸48夾角的余弦值為叵

三、填空題(本大題共3小題)

12.已知空間中的三點(diǎn)41,2,3),5(1,2,5),C(3,0,l),則點(diǎn)C到直線的距離為—

13.若函數(shù)〃x)=lnx+F在(1,+s)上單調(diào)遞增，則加的取值范圍是.

14.若將一塊體積為4兀的橡皮泥捏成一個(gè)圓柱，則圓柱表面積的最小值為

四、解答題(本大題共5小題)

15.已知函數(shù)/(x)=2x3+3x2.

⑴求“X)在X=g處的切線方程;

⑵求過點(diǎn);,且與曲線y=/(x)相切的直線方程.

16.如圖，在正四棱柱NBC。-48coi中，44]=及"8=2及,Af為棱的中點(diǎn).

(1)求三棱錐。-4。的體積.

(2)證明：平面4al.

(3)求直線8。與平面4co所成角的正弦值.

17.已知函數(shù)/'(x)=-x2+(/+a)lnx+(l-a)x.

⑴若“=1,求”X)的極值；

⑵若02-；，討論〃x)的單調(diào)性.

18.在矩形/BCD中，E*為CD上兩個(gè)不同的三等分點(diǎn)，如圖1.將△/FD和

V8EC分別沿向上翻折，使得點(diǎn)C,。重合，記重合后的點(diǎn)為尸，如圖2.已

知48=6,四棱錐尸-A8EF的體積為述.

P

⑵求平面口月與平面心E所成角的正弦值.

19.已知函數(shù)〃x)=aln(x+l)+!-1.

(1)若/(x)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求。的取值范圍；

2

⑵若a=0,證明：Vxe(O,+a)),/(x)+-^<0；

⑶若/(x)在，上有兩個(gè)極值點(diǎn)，求”的取值范圍.

參考答案

1.【答案】c

【詳解】任意兩個(gè)空間向量一定共面，A錯(cuò)誤.

方向相同且模相等的兩個(gè)向量是相等向量，B錯(cuò)誤.

平行于同一個(gè)平面的向量叫做共面向量，C正確.

空間中任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底，D錯(cuò)誤.

故選C.

2.【答案】B

【詳解】IC=2^+(l+2)^+2^,因?yàn)?C,。三點(diǎn)共線，所以k=“無，即

69

-=,解得丸=2.

21+A

故選B.

3.【答案】D

【詳解】由/(x)=asinx+l,

得fXx)=acosx,/(0)=a=K.

故選D.

4.【答案】A

【詳解】,BE=BBl+B^E=BB[+-B^Al+-B[Cl=-a+b+-c.

故選A.

【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)的定義域?yàn)閧x|xwg},

當(dāng)時(shí)，x-l<0,2x-l(0,ex)0,所以/(x)>0.排除BC.

所以/(X)在［,+"］上單調(diào)遞增，排除D.

故選A.

6.【答案】C

【詳解】設(shè)與直線>=楙平行且與曲線/(x)=，nx相切的直線的切點(diǎn)坐標(biāo)為

Xo，｝叫)).

/、111/X

因?yàn)?'(%)=丁，所以3—=不，解得％0=1，則切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0).

2%N/，

最短距離為點(diǎn)(1,0)到直線>=］的距離，即

故選C.

7.【答案】A

【詳解】取8c的中點(diǎn)F，連接/足則由題意可得且

BF=I,AF=6

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，4廠M244所在直線分別為X軸、y軸、Z軸建立空間直角坐標(biāo)

系，

則40,0,0),3(>/3,-1,0),^乎，-;,1,C(V3,l,0),

I22)

一.f731一?r

所以84=一、-；/，/C=(6,l,0),

所以Ms函,萬卜V2

4

所以直線/C與直線所成角的余弦值為正.

4

故選A.

8.【答案】C

【詳解】由題意得了'(x)=3/j"(x)=6x,則/［雪=:/］|)=4,

3

2822

則曲線〃X)=X3在點(diǎn)4

5處的曲率為K=4x1+—,故C正確.

327125

故選C.

9.【答案】AD

【詳解】由圖可得，當(dāng)時(shí)/'(x)<0,所以函數(shù)在(再,聲)上單調(diào)遞減，

當(dāng)無€(馬,匕)時(shí)/'(x”0,當(dāng)且僅當(dāng)/'(X4)=O,所以函數(shù)在值,z)上單調(diào)遞增.

綜上/(X)在(士多)上單調(diào)遞減，在(馬,天)上單調(diào)遞增，故A正確，B錯(cuò)誤；

〃x)有1個(gè)極小值點(diǎn)，無極大值點(diǎn)，故C錯(cuò)誤，D正確.

故選AD.

10.【答案】ACD

【詳解】對A：由-3/_10》=0nx(x+2)(x-5)=0nx=O或無=-2或x=5.所以

函數(shù)/(x)有3個(gè)零點(diǎn).故A正確；

對B：因?yàn)?(l+x)+/(1-x)=(1+X)3-3(1+X)2-10(1+X)+(1-X)3-3(1-X)2-10(1-X)

=-24,

所以/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,-12)對稱，故B錯(cuò)誤；

對C：因?yàn)楹瘮?shù)〃尤)有3個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合三次函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)草圖如下：

所以函數(shù)/(x)既有極大值又有極小值.故C正確；

對D：設(shè)函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)?了一3/-10。，

因?yàn)?'(%)=3/-6x-10,

所以函數(shù)在該點(diǎn)處的切線方程為：

y~(t^~3t2-10。=(3/-6/-10)(x-%),

因?yàn)榍芯€過點(diǎn)(-2,0),所以0-(J-3?2-10?)=(3?-6/-10)(-2-/),

整理得：2尸+3/-⑵-20=0,

因式分解得：(/+2)2(2/-5)=0=1=-2或1=1.

故過點(diǎn)（-2,0）與函數(shù)〃x）的圖象相切的直線有兩條.

故D正確.

故選ACD.

11.【答案】ABD

【詳解】對于A,取線段CP的中點(diǎn)連接FN,MH,

因尸為棱的中點(diǎn)，則又/為△PCD的中位線，則必7/CD,S.MF=^-CD,

2

因H為棱N8的中點(diǎn)，且四邊形ABCD是平行四邊形，則/H//CZ）且

則“？7/4H■且A/F=,則四邊形AffiWF是平行四邊形，AFHMH,

又”（z平面PC”，MHu平面尸C〃，貝UN尸〃平面尸C”,故A正確；

對于B,取分別取線段3〃、/尸的中點(diǎn)K、N,連接尸N、NK、EK,

由于展為丫助的中位線，則EK//BC,且EK=：8C,

由于沖為VPD4的中位線，則句V〃4D,且EN=g4D,

又因?yàn)樗倪呅蜰3C。是平行四邊形，則4D//BC,且4D=3C,

則EK//FN,且EK=FN,則四邊形月區(qū)￡是平行四邊形，則EF=NK,

因ABLPB,AB=PB=2g,颯NH=叵，KH,

2

則NK=}⑸+'=乎’即跖=乎，故B正確；

對于C,因點(diǎn)。在平面尸48的射影恰好是棱尸/的中點(diǎn)，則以N為原點(diǎn)，

分別以平行于/B、3P的直線為x軸、V軸，以CN所在直線為z軸，建立空間直角

坐標(biāo)系如圖，

在RtVGVS中，CN=??！狟N2=]（2⑶一,x2&=不（2可一2?=2,

則/f（V2,V2,0）,S（-V2,V2,0）,C（0,0,2）,P（-V2,-V2,0）,^。，亨,，，

則麗=第=（2后,0,0）,莎=（2行,2行,0）,

則可2也,0,2）,尸1#,一￥，1],

I22）

設(shè)三棱錐的外接球的球心O（x,%z）,半徑為R,

PO2=(x+V2)2+(y+V2)2+z2=R2

角牟得x=0,y=0,z=0,R=2,

302=(x+&/+(y_^『+z2"

CO2=x2+/+(z-2)2=J?2

則外接球的表面積為47tA2=16兀，故C錯(cuò)誤;

_(石、_(石

對于D,由C選項(xiàng)可知，AE=—V2,——,1,EF=V2,0

設(shè)平面NE尸的法向量為而=（X],%,Z]）,

AE?機(jī)=一^\/2%)—M+Z|=0

則令％=26,貝|得比=（2行,0,5）,

EF-m=^x]-42yi=0

容易知平面融3的法向量為元=（0,0,1）,

則平面/￡廠與平面PAB夾角的余弦值為叵，故D正確.

7

故選ABD.

12.【答案】2立

【詳解】因?yàn)榭臻g中的三點(diǎn)”（1,2,3）,8(1,2,5),C(3,0,l),所以就=(2,-2,-2),

AB=(0,0,2),

dr*i、l/人人~7rt\A.C,A.B5/3.----?---?-cos2(AC,AB)二'

所以cos(AC,AB)=_._g-=--—,sin{AC,AB)=

點(diǎn)C到直線AB的距離為I就|sin〈就,4§〉=2Gx，=2Vi.

13.【答案】（/J

【詳解】由f（x）=lnx+%,得津解戶工一彳,

XXX

又函數(shù)〃x）在（1,+8）上單調(diào)遞增，

所以/'（x）=，-：20在（1,+8）上恒成立，即所以加W1.

XX

25

14.【答案】6x2^兀（或3x2、）

4

【詳解】設(shè)圓柱底面圓的半徑為r,高為力，則獷2%=4兀，即〃=下.

r

由圓柱的表面積公式得圓柱的表面積為2兀泌+2%/=2%「+產(chǎn)），

令函數(shù)/（廠）=2%「+/，，貝I]f⑺=2%（一。+2,）=4無.，2，

當(dāng)/＞蚯時(shí)，/（r）＞0,/⑺單調(diào)遞增，當(dāng)0〈1蚯時(shí)，/'（r）＜OJ⑺單調(diào)遞減,

則/⑺在（0,碼上單調(diào)遞減，在（次,+可上單調(diào)遞增，

22

得到=6X2^TT,故圓柱表面積的最小值為6x23?r

15.【答案】（l）18x-4y-5=0

（2）y=l或18x-4y-5=0

【詳解】（1）r（x）=6x2+6x.

仁“」

/（X）在X=；處的切線方程為了一l=即18x_4y_5=0.

（2）設(shè)所求直線與曲線y=〃x）相切于點(diǎn)P（x0,2■+3尺），

則曲線尸〃x）在點(diǎn)尸處的切線斜率為/'（%）=6君+6%,

所以切線方程為V-2工；-3^o=（6xj+6%）（%-%0）.

因?yàn)榍芯€過點(diǎn)所以1-2耳-3焉=（6/+6%）（；-/],

解得%=-1或%=；,則尸（T1）或尸

故所求直線方程為V=1或18x-4y-5=0.

16.【答案】（1）生旦

3

（2）證明見解析

（3）坐.

3

【詳解】（1）易知三棱錐2-4。。即三棱錐4-c。。，

其體積為LL2*2A/2x2=生2

323

（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直

角坐標(biāo)系，

則A(0,0,0),Af(0,2,V2),4(0,0,2^2),C(2,2,0),D(0,2,0),5(2,0,0),Q(0,2,2及).

而=(0,2,&)，礪=(0,2,-2&),CD=(-2,0,0),西=(-2,2,2夜)

因?yàn)槎?而=0,萬乙麗=0,所以NMLNQ./MLCA.

因?yàn)锳{D,CDu平面4CD,&DcCD=D,所以/M_L平面4co

（3）由（2）得而是平面4a＞的一個(gè)法向量

設(shè)直線82與平面4co所成的角為，,

4

AM-BDXl+4|^6

貝ijsin9=|cosAM,BD\=

西西j4+2xJ4+4+8

故直線與平面4co所成角的正弦值為YS.

3

17.【答案】(1)極大值-1,無極小值；

(2)答案見解析.

【詳解】(1)當(dāng)°=1時(shí)，f(x)=-x2+2\nx,定義域?yàn)?0,+8),

則/(x)=-2x+-=―'----L-

XX

當(dāng)x?0,l)時(shí)，/'(x)>oj(x)單調(diào)遞增；當(dāng)X￡(l,+8)時(shí)，/'(x)<0J(x)單調(diào)遞減.

故當(dāng)X=1時(shí)，“X)取得極大值-1,無極小值.

(2)由/(x)=-x2+(6+〃)lnx+(l-〃)x,x>0,

/曰rt(\Q2+a—212+(1—a)%+Q2+Q—+—Q—1)

JIXJ——2xHF1—Cl——.

XXX

令(X+Q)(2X—Q-1)=0,得％=一〃或、=.

若a20,則一440,土也>0,

2

當(dāng)xw［o,笠時(shí)，/'(x)>oj(x)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，/(x)<OJ(x)單

調(diào)遞減.

若一g<a<0,則a；>-a>0,

當(dāng)xe(O,-a)和］—■,+(?)時(shí)，/'(x)<OJ(x)單調(diào)遞減；當(dāng)，號口時(shí)，

/(x)>OJ(x)單調(diào)遞增.

若a=-g,則—■=-。=(/。心0在口(0,+8)上恒成立，/(X)單調(diào)遞減.

綜上所述，當(dāng)時(shí)，〃x)的單調(diào)遞增區(qū)間為［。,等］,單調(diào)遞減區(qū)間為

當(dāng)-；<”0時(shí)，"X)的單調(diào)遞增區(qū)間為卜/,等

單調(diào)遞減區(qū)間為(0,-。)和

當(dāng)。=-;時(shí)，"X)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+8),無單調(diào)遞增區(qū)間.

18.【答案】⑴3=4

⑵

8

【詳解】(1)取/民E尸的中點(diǎn)分別為G,〃，連接PH,HG,PG,

過點(diǎn)尸作尸垂足為M,

設(shè)AD-a,則HG=a,

!PE尸為等邊三角形，EH=；EF=T,PH=6,

在VPA8中，PA=PB=a,PG=』a2-9，

*AO^J+JPH2+HG2-PG22A/3._Va2-12

在LXPGH中,cos/PHG=----------------=----,sm//PDHG=--------，

2PHHGaa

PM=PH-sin/PHG="'"一.

a

弘

又梯形/8￡產(chǎn)的面積S=^(-E-F--+--A-B1Y--H--G=4。，

2

所以四棱錐尸斯的體積為。SPM=L4a=48-〃2一12二座

33a33

角牟得a=4(。=一4舍去)，即4。=4；

(2)由(1)可得HG=AD=4,PM=葉,HM=3,GM=—.

222

以M為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為x軸，z軸，建立如圖所示的空間直角

坐標(biāo)系,

則/35,一3,01,8、5,3,01《一3|,1,0),尸]一。3一1,0),尸0,0巧,

2222

、7

5

所以善=(-4,2,0),第=(-4,-2,0),萬=(5"

I--2，3,--2-,BP=2—2)

7

n-AF=一4玉+2y1=0,

設(shè)平面尸N廠的法向量為萬=(再，W4)，貝U一另_5,V3_n

n,A.P=—X]+3%H---Z]—0,

、22

取西=5得萬=(6,2后-7)

m-BE=-4X2-2y2=0,

設(shè)平面P8E的法向量為成=(%，為，z?),貝卜

m-BP=-^x2-3y2+^-z2=0,

取/=小，得加=(后一2后-7)

m-n3-12+495.一一A/39

所以cos伍力sin<m,n>=----，

\m\\n\~V3+12+49xJ3+12+49.8，8

所以平面取廠與平面尸BE所成角的正弦值為叵.