福建省莆田市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)

檢測(cè)試題

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的.

AB-(DC-BC}+DA=

1.化簡：''(

A.2ADB.ADc.6D.2DA

【正確答案】C

【分析】應(yīng)用向量加減法則化簡即可得答案.

【詳解】AB-^DC-BC^+DA=AB+BCDA-AC=0.

故選：C

2.在V48C中，角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,且Q=2,C=3,COSB=~,貝!]/?=()

4

A.V7B.V10C.4D.V19

【正確答案】B

22

【分析】由余弦定理/=a+c-2accosB即可得出答案.

【詳解】由余弦定理可得"=/+。2—2accos5=4+9—2x2x3x』=10,

則6=廂.

4

故選：B.

3.已知sina=一，則cos2a=(

3

751

Bc--

A.-9-9D.3

【正確答案】B

【分析】應(yīng)用二倍角余弦公式計(jì)算即可.

1,17

【詳解】因?yàn)閟in(z=—,則cos2(z=1-2sin2(z=1-2x—=—.

399

故選：B.

4.在平面直角坐標(biāo)系中，角a的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，其始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓

交于點(diǎn)則sin2tz=(

12,2486

A.——B.---D.

252555

【正確答案】B

【分析】根據(jù)角終邊上的點(diǎn)坐標(biāo)，求得sina,cosa,代入二倍角公式即可求得sin2a的值.

43

【詳解】由定義知sina=—,cosar=—,

55

24

所以sin2a=2smcosa=----，

25

故選：B.

該題考查的是有關(guān)三角恒等變換的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有三角函數(shù)的定義，正弦二倍角公式,

熟練記憶公式即可解決，屬于基礎(chǔ)題目..

5.已知向量值=(1,2),S=(2,-1),c=(/z,-l),若他+旬〃了，則2+〃=()

A.-2B.-1C.0D.1

【正確答案】B

【分析】根據(jù)向量共線的充要條件得解即可.

【詳解】因?yàn)?=(1,2),3=(4—1),

所以之+3=(1+九1),

因?yàn)?1+3)〃1，

所以一(1+2)—M=0,解得X+M=—1,

故選：B

HcosR

6.在V4BC中，若2=竺1,則V4BC的形狀為()

bcosA

A.等邊三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰或直角

三角形

【正確答案】D

【分析】首先根據(jù)正弦定理，將邊化為角，再結(jié)合二倍角的正弦公式，以及角的關(guān)系，即可判斷.

°cosRQITIAcosR

【詳解】因?yàn)橐欢?，由正弦定理可得——二——，即sinZcosZ二sinBcosB,

bcosAsinBcosA

所以sin24=sin28,可得24=25或2/+2B=兀，

TT

所以4=5或4+5=—,所以V4BC的形狀為等腰或直角三角形.

2

故選：D.

7.設(shè)向量萬與5滿足同=2,b在方方向上的投影向量為-萬。，若存在實(shí)數(shù)2,使得萬與［―彳否

垂直，則2=()

A.2B.-2C.百D.-V3

【正確答案】B

【分析】根據(jù)投影向量的定義結(jié)合已知求得￡石，再由值與Z—xB垂直，得7口-％到=0,結(jié)

合數(shù)量積得運(yùn)算律即可得解.

_1-

【詳解】解：因?yàn)?在萬方向上的投影向量為--a,

2

a-ba1-

所以"HPf.尸Hi=一J2。,

所以Q.g二一2,

因?yàn)閍與a—4b垂直，

所以a.(a-萬)=0,

即J一4〃.石=4+24=0,解得4=-2.

故選：B.

8.已知在V48C所在平面內(nèi)，麗=2方，E、F分別為線段4D的中點(diǎn)，直線即與

相交于點(diǎn)G,若。GL5C,貝1J()

A,當(dāng)|就|=4/同時(shí)，cosNR4c取得最小值|

B.當(dāng)［14=4|五同時(shí)，cosNR4c的最小值為g

C.當(dāng)|狗=3同時(shí)，cosNB/C的最小值為g

D,當(dāng)困=3網(wǎng)時(shí)，cos/8/C取得最小值g

【正確答案】D

【分析】首先根據(jù)已知條件得出向量之間的線性關(guān)系，再利用向量共線定理確定相關(guān)系數(shù)，接著

根據(jù)向量垂直的性質(zhì)得到關(guān)于向量模長和夾角余弦值的等式，最后運(yùn)用基本不等式求出夾角余弦

值的最小值.

設(shè)==而與衣的夾角為NA4C=a,

因?yàn)槎?2萬，所以力=在+麗=萬+2次=3在，

—?1—■—■1—.3—?

由于E、F分別為線段ZC,ZD的中點(diǎn)，則/E=—ZC,AF=-AD=-AB,

222

因?yàn)镋,G,F共線，所以存在實(shí)數(shù)％,使得*=2次+(1_2)/=3(1；2)下,

又因?yàn)锽,G,C共線，所以4+衛(wèi)匕41=1,解得彳=工，則方2萬，

22244

——?——?——.(1—?3—?1—?1—?Q—?

那么。G=/G—4。=匕4。+143—343=1/。—^45,BC=AC-AB^

由于QGL5C,所以麗.犯就一、方方)

^-AC2--AC-AB--AB-AC+-AB2=-b2+-c2--bccosa=Q,

4444442

IM92

由此可得cosa==AL=j=而1〉亞亞=2=3,

±bc10bc106cIOZJC10Z)C5

2

當(dāng)且僅當(dāng)方2=%2,即6=3cZ)>0c>0時(shí)，等號(hào)成立,

此時(shí)口q=cosN8/C取得最小值1

故選：D.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列命題中，正確的命題有（）

A.向量方與向量目的長度相等

B.同+W=|Z—,是],各共線的充要條件

C.若",a//b>則1與3的方向相同或者相反

D.若華，02是兩個(gè)單位向量，且,1一62卜1,則1]+02]=也

【正確答案】AC

【分析】根據(jù)平面向量的定義及其性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)判斷即可.

【詳解】對(duì)于A,向量方與向量瓦1是方向相反的向量，但它們的長度是相等的，

因?yàn)橄蛄康拈L度只與向量的大小有關(guān)，與方向無關(guān)，所以選項(xiàng)A正確；

對(duì)于B,若3同向共線時(shí)，口=2,W=L則問+忖=3,1」|=1不相等，

所以問+W=|Z-可不是3共線的充要條件，故B不正確；

對(duì)于C,a^0>M，a//b>則[與3共線，故1與3的方向相同或者相反，C正確；

對(duì)于D,若,，02是兩個(gè)單位向量，且,1-02卜1,

貝I\ex-e2l=+e2"-2e1-e2=1=>2gj-e2=1>

=6+e+e

則|e；+e2|V/2-^r2=出'故D錯(cuò)誤?

故選：AC.

A

22

10.在V45。中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,a~+c=b-ac，S,ABC=^-,豆b=6,

則（）

c1.1

A.cosB=——B.sm5n=—

22

C.ac=lD.a+c=A/3

【正確答案】ACD

【分析】通過已知條件，利用余弦定理求出角B,再根據(jù)三角形面積公式求出改的值，最后結(jié)合

已知條件和完全平方公式求出a+c的值.

【詳解】在V4BC中，因?yàn)?+。2=人2—改，^a2+c2_b2=_ac>

由余弦定理cosB=巴上~—-ac

lac2ac2

又5e（O,兀），所以8=一，sinB=e，故B錯(cuò)誤，A正確；

32

因?yàn)镾?BC="，則S/RC=^acsinB=Lqcx避,所以ac=l,故C正確；

-4"2224

因?yàn)?+。2=〃一qc,6=亞，ac=l,貝!1。2+。2=（后）-1=1,

所以（a+c）~=a?+c2+2ac=1+2=3,因?yàn)閍+c>0,所以a+c=V^，故D正確.

故選：ACD.

11.如圖所示，線段48是。C的弦，其中45=8,AC=5,點(diǎn)D為。C上任意一點(diǎn)，則以下

B.方.赤的最大值是78

C.當(dāng)方?①=0時(shí)，sin/DAB=^~

5

D.AC-AB=32

【正確答案】AD

【分析】根據(jù)圖形特征判斷A,再應(yīng)用數(shù)量積公式計(jì)算判斷B,D,再根據(jù)向量垂直得出角的正弦

值判斷c.

【詳解】點(diǎn)D為。。上一動(dòng)點(diǎn)，可知當(dāng)點(diǎn)A,C,D三點(diǎn)共線的時(shí)候，|］可的值最大是2/。=10,

故選A；

________________1由12

BC0CAB

AC-AB=\AC\Y\^=萬抑|=32'故選D；

當(dāng)?shù)?①=0時(shí)，即止匕時(shí)，點(diǎn)D在。C上有兩個(gè)位置，如圖所示，故sin/D45不

止一個(gè)答案，所以，排除C選項(xiàng).

（。）

對(duì)于B選項(xiàng)，如圖1所示，建立平面直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)D坐標(biāo)設(shè)為（5cose,5sin。），A點(diǎn)坐標(biāo)是

圖1

則方=（8,0）,方=（5cos8+4,5sin9+3）,AB-AD=4Ocos0+32>

所以，當(dāng)cos6=l,即。=0時(shí)，彳瓦］不取得最大值72,因此B不正確;

故選：AD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知向量a=（—1,2）,b=（3,x）,若a_L（a+B）,則》=.

【正確答案】-1

【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算求出1+3的坐標(biāo)，再利用向量垂直的性質(zhì)列出方程，最后求解方程得

到X的值.

【詳解】因?yàn)?=(—1,2),S=(3,x),所以Z+B=(2,X+2),

因?yàn)閍J_(a+3),所以—1x2+2x+4=0,解得x=—l.

故-1

13.在A4BC中，Z=60°,b=l,SMBC=V3,則一^的值為

MBCsinC--------

【正確答案】空①

3

【分析】

由S=gbcsin/可求出c,再根據(jù)余弦定理求出a，即可由正弦定理求出.

【詳解】由S=L》csinZ可得，V3=-xlxcxsin60°,解得c=4.

22

a1=b2+C1-2Z?ccosZ=l+16-2xlx4x—=13,即a=V13.

由正弦定理可得，=」=21_=2叵.

sin/sinCsin60°3

故拽L

3

本題主要考查三角形面積公式的應(yīng)用，以及正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

14.已知正方形48CD的邊長為2,E是5c的中點(diǎn)，F(xiàn)是線段ZE上的點(diǎn)，則⑸.而的最大值

為.

9

【正確答案】j

【分析】先建系得出坐標(biāo)，再應(yīng)用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合二次函數(shù)值域計(jì)算求解.

’1J

【詳解】LE

O\B^X

如圖，以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則/(O,O),c(2,2),￡(2,1),.?.玄=(2,1).

設(shè)N=X畫0VXV1),則衣=(22"),.?.麗=(22")_(2,2)=(2/1_2,；1_2),

/.AF-CF=22.(22-2)+2-(2-2)=522-6A,

-CF=-22.(22-2)+(-2)-(2-2)=-522+62

39

.??當(dāng)4=y時(shí)，豆?市有最大值，最大值為1

9

故答案為：—

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.在直角坐標(biāo)系xQy中，已知點(diǎn)/(—2,0),S(0,2V3),C(2cosasin6),其中de0微

(1)若方〃33,求tan6的值；

(2)設(shè)點(diǎn)求充?麗的取值范圍.

【正確答案】(1)2百；

⑵[2-273,4]

【分析】(1)利用共線向量的坐標(biāo)表示，列式計(jì)算得解.

(2)利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合輔助角公式及余弦函數(shù)性質(zhì)求出最大值.

【小問1詳解】

依題意，A8=(2,273),云=(2cos，,sin6),

由7不〃OC，M2sin0=2V3-2cos3>所以tane=2jl.

【小問2詳解】

依題意，3(0,2月)，點(diǎn)￡>(1,0),

則BD二（1,一2行），AC=（2cos。+2,sin。）,

因止匕=2cos+2-2A/3sin0=2+4cos^+yj,

r八八兀trt八兀兀5兀

當(dāng)e￡o—時(shí)，則。+彳￡—,—，

_?2J3|_36_

因此當(dāng)6+1=三，即6=0時(shí)，COS［，+T］取得最大值3，

止匕時(shí)〃?麗=2+4x4=4

2

當(dāng)，+二=2,即。=巴時(shí)，cos［e+巴］取得最小值—立，

362I3J2

——（新廠

此時(shí)ZC-8D=2+4x--=2—2j3

\27

所以4?麗的取值范圍是［2-2后4］.

16.已知平面向量a=（l,x）,b=（2x+3,-x）,c=（3,5）,xeR.

（1）若4_1_3，求X的值；

I'I'

（2）若之〃B，求2a+6的值.

（3）若［與）的夾角是銳角，求x的取值范圍.

【正確答案】（1）—1或3；

（2）指或5；

【分析】（1）根據(jù)兩向量垂直數(shù)量積為0列方程求解.

（2）根據(jù)兩平行向量坐標(biāo)之間的關(guān)系列方程求解出x,代入得到21+3的坐標(biāo)，再代入向量模的

公式進(jìn)行求解.

（3）［與"的夾角是銳角，則￡.">0且兩向量不共線.

【小問1詳解】

若￡j_B，則a4=(l,x)-(2x+3,-x)=2x+3+x(-x)=0,

整理得八2x—3=0,解得x=-1或x=3.

所以x的值為-1或3.

【小問2詳解】

(2)若4〃6，則有1x(—X)—x(2x+3)=0,即x(2x+4)=0,解得x=0或x=—2,

當(dāng)x=0時(shí)，o=(l,0),S=(3,0),則2Z+區(qū)=(5,0),得|2%+囚=5；

當(dāng)x=—2時(shí)，a=(1,-2),S=(-l,2),則2%+B=(l,_2),得忸+耳=君.

rr

所以，2a+b的值為行或5.

【小問3詳解】

___3

(3)因Q與0的夾角是銳角，則Q.C>0，即3+5x>0,得x>—《，

又當(dāng)￡與聯(lián)共線時(shí)，有3x=5,得x=2,不合題意，則xw*

33

綜上，x的取值范圍為一

7

17.V48C的角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,若cos/=^,c-a=2,6=3.

8

(1)求a和sin8；

(2)求cos(2/+1卜勺值.

【正確答案】(1)a=2,sin5=M^

16

(2)171-7A

一64

【分析】(1)先應(yīng)用余弦定理計(jì)算得出a=2,再結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系應(yīng)用正弦定理求解;

(2)先根據(jù)二倍角正弦及余弦公式計(jì)算求值，最后應(yīng)用兩角和余弦公式計(jì)算即可.

【小問1詳解】

Z>2+02—/9+02—27

由余弦定理可得cosZ=2^——,由6=3,則士—

2bc6c8

由c—a=2,即c=2+a,代入上式整理可得72+8(a+2/—8q2=42(a+2),解得a=2

由sirb4=J1-cos^Z=,根據(jù)正弦定理'可得sing=2sirk4=?x15=之"5.

8a2816

【小問2詳解】

cos2C//=cos2H,-s-in2,A--4-9----1-5-二—34；

646464

?c111#714V15

sin2Z二2SIIL4COST4=2X-----x一=------

8864

(c,吟》兀兀34C14而1176—7詬

cos2A+—|=cos2/cos——sin2/sm—=—x--------------x—=----------------

I6J6664264264

ni

18.已知函數(shù)/(x)=-^-sinZx-QCOsZx+l

(1)求/(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)若cc€IyI,求cos2o的值.

jrjr

【正確答案】(1)最小正周期為兀，單調(diào)遞增區(qū)間為——+E,—+左兀(keZ)

63

3-473

(2)

10

【分析】(1)利用輔助角公式化簡函數(shù)/(x)的解析式，利用正弦型周期函數(shù)可求出函數(shù)/(x)的

最小正周期，利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性可求出函數(shù)/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)由已知條件得出sin［2a-巳］=-結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求出cos,―弓］的

值，再利用兩角和的余弦公式可求出cos2a的值.

【小問1詳解】

因?yàn)閒(x)=^-sin2x--cos2x+l=sin(2x--1+1,

22\6)

2九

所以，函數(shù)/(X)的最小正周期為7=彳=兀.

JTJT

由4+2也力-臺(tái)＞2kMkGZ）解得一"^+左兀VxV§+左兀（左￡Z）

7171

所以，函數(shù)/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為—k++E(keZ).

【小問2詳解】

由（1）知/（x）=sinf2x--^-1+1,

4

5

所以，COS26Z=cos2a——+—=cos2a——cos——sin2a——sin—

LI6）6」I6；6I6j6

4G,3、13-46

=--X--------X—=--------.

5215）210

19.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于非零向量a=(芭,%),S=(x2,j2),定義這兩個(gè)向量的“相

離度，為斗［)=容易知道3平行的充要條件為不同=0.

Vxi+乂+%'

(1)已知〃=(2,1),1=(-4,2),求d(a,可;

(2)①已知B的夾角為4和工，2的夾角為名，證明：=d/,2)的充分必要條件

是sin4=sin02；

②在VZ8C中，AB=2,ZC=4,反=2前且2。=。，若強(qiáng)+萬+斤=0,求d(P4口).

4

【正確答案】(1)-

5

(2)①證明見解析；②？二

2

【分析】（1）根據(jù)“相離度”的定義代入相應(yīng)值進(jìn)行計(jì)算.

（2）首先證明①cos?扇323）=1,可得乖,不）=si"<林>,根據(jù)d（扇=

等價(jià)于sin<ajb>=sin<c?d〉即可證明；

utiirumuiKT2als']uuur____

②由4。=/5+即=]/5+§4。左右同時(shí)平方可求得益.％=_4,由題知尸為V48。的重心,

然后以方、X為基底表示出方、而，進(jìn)而求出COS2Az麗，再代

立即可得解.

d（瓦麗卜y/l-cos2PA,PB=

2

【小問1詳解】

|2x2-lx（-4）|4

75x2755

【小問2詳解】

①因?yàn)閏os2a,b+d2（扇3）=