第四章數(shù)列單元綜合測(cè)試卷

第I卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的。

1.數(shù)列-2,4,-6,8,K的通項(xiàng)公式可能為()

+1

A.a?=(-l)"2/iB.an=(-1)"2n

C.a,=(-l嚴(yán)2"D.=(-!)"2"

【答案】B

【解析】根據(jù)題意數(shù)列-2,4,-6,8,K其中q=(-l)xlx2,a2=lx2x2,a3=(-l)x3x2,

%=1x4x2,則其通項(xiàng)公式可以為%

故選:B.

2.數(shù)列｛4｝滿足4=1,att=-^-(n>2),則%的值為()

〃“一1十1

【答案】c

【解析】由題意可得出==-，“4==—，%==一

%+12出+13%+14為+15

故選：C.

3.已知｛%｝是等差數(shù)列，且2〃8=。9+3,則%=

【答案】B

【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由2/=〃9+3得，2(4+7d)=%+8d+3,

則％+6d=3=%.

故選：B.

4.若數(shù)歹的前"項(xiàng)和S"=2/+l,則下列結(jié)論正確的是()

A.Q〃=4〃+2B.。〃=4〃-2

3,〃=13,n=l

4n+2,M>14n-2,n>1

【答案】D

［解析］當(dāng)力=1時(shí)，q=E=2x『+l=3,

22

當(dāng)〃>1時(shí)，an=Sn=2n+l-2（n-l）-l=4/i-2,

f3,n=1

經(jīng)檢驗(yàn)，可得4=,c

［4〃-2,〃>1

故選：D.

5.某種細(xì)胞開始時(shí)有2個(gè)，1小時(shí)后分裂成4個(gè)并死去1個(gè)，2小時(shí)后分裂成6個(gè)并死去1個(gè)，3小時(shí)后分

裂成10個(gè)并死去1個(gè)L按照此規(guī)律，12小時(shí)后細(xì)胞存活個(gè)數(shù)（）

A.2048B.2049C.4096D.4097

【答案】D

【解析】依題意，1小時(shí)后的細(xì)胞個(gè)數(shù)為3=21+1,2小時(shí)后的細(xì)胞個(gè)數(shù)為5=22+1,

3小時(shí)后的細(xì)胞個(gè)數(shù)為9=23+1,…，貝U〃（〃eN*）小時(shí)后的細(xì)胞個(gè)數(shù)為2"+1，

所以12小時(shí)后細(xì)胞存活個(gè)數(shù)是2“+1=4097.

故選：D

6.已知“為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證：+：+…+—^_工=2（—^+―+…時(shí)，若已假設(shè)〃=左

（左>2且左為偶數(shù)）時(shí)等式成立，則還需要再證（）

A.〃=左+1時(shí)等式成立B.”=左+2時(shí)等式成立

C.〃=2左+2時(shí)等式成立D.〃=2（4+2）時(shí)等式成立

【答案】B

【解析】若已假設(shè)〃=左（左>2,左為偶數(shù)）時(shí)命題為真，

因?yàn)閣只能取偶數(shù)，

所以還需要證明〃=左+2成立.

故選：B.

s

7.設(shè)等差數(shù)列｛4｝滿足q=1,a”>O（〃eN*）,其前“項(xiàng)和為S",若數(shù)列｛鄧；｝也為等差數(shù)列，則」*的

an

最大值是（）

A.310B.212C.180D.121

【答案】D

【解析】：等差數(shù)列｛q｝滿足弓=1,q,>O(〃eN*),設(shè)公差為d,則%=1+(〃—l)d,

其前〃項(xiàng)和為S」11+1+（"T'],

"2

:.我=^I+（；T）"],￡=1,厄=V^,S=j3+3d,

??.數(shù)歹叫底｝也為等差數(shù)列，

/.2j2+d=l+j3+3d,

解得d=2.

2

???5?+10=(n+10),寸=(2〃-1)2,

說\2n-l)(24n—2J

由于為單調(diào)遞減數(shù)列,

(24/2-2)

<?q

.?.—44=112=121,

?；%

故選：D.

8.對(duì)于數(shù)列｛/｝,若存在正整數(shù)以％22),使得ak<ak+1,則稱4是數(shù)歹￡4｝的“谷值”，左是數(shù)

9

列也｝的“谷值點(diǎn)”.在數(shù)列｛q｝中，若?！?幾+1-8,則數(shù)列｛“的“谷值點(diǎn)”為()

A.2B.7C.2,7D.2,5,7

【答案】C

9

【解析】因?yàn)椤＃?n-\---8,

n

3_76129

所以4=2,&=:一,%—2,ci.=",etc-二二，"6=5,「，“8=77，

2458

999

當(dāng)neN,n-\---8>0,所以n-\---8=n-\---8,

nnn

因?yàn)楹瘮?shù)丁=兀+^-8在[7,+oo)上單調(diào)遞增，

9

所以時(shí)，數(shù)歹U〃〃=〃+——8為單調(diào)遞增數(shù)歹I」,

所以〃2V%，%</，％<%，％<〃8，

所以數(shù)列｛%｝的“谷值點(diǎn)”為2,7.

故選：C.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部

選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.已知等差數(shù)列｛綜｝：11、8、5、L,則（）

A.公差d=-3B.該數(shù)列的通項(xiàng)公式為%=-3〃+16

C.數(shù)列的前10項(xiàng)和為-25D.T9是該數(shù)列的第21項(xiàng)

【答案】ACD

【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，等差數(shù)列｛見｝的公差為d=8-11=-3,A對(duì)；

對(duì)于B選項(xiàng)，該數(shù)列的通項(xiàng)公式為4=11-3（〃-1）=-3"+14,B錯(cuò)；

對(duì)于C選項(xiàng)，數(shù)列｛4｝的前10項(xiàng)和為10X11-1上0x9笠x3=-25,C對(duì)；

對(duì)于D選項(xiàng)，由4=一3〃+14=-49,解得力=21,D對(duì).

故選：ACD.

10.在公比q為整數(shù)的等比數(shù)列｛%｝中，S“是數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，若出生=32,%+%=12,則下列說

法正確的是（）

A.q=2B.數(shù)列⑸｝是等比數(shù)列

C.￡O=510D.數(shù)列｛3%｝是公差為2的等差數(shù)列

【答案】AC

【解析】???在公比q為整數(shù)的等比數(shù)列｛%｝中，S“是數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和，4%=32,%+%=12,

解得。2=4,q=2,或者%=8,〃3=4,q=不符合題意，舍去，故A正確,

?1=—=y=21則S=2（1-2）+1

Q2n1-2

oo〃+2°

于=廣才常數(shù)，

二數(shù)列電｝不是等比數(shù)列，故B不正確;

空二巧=51(),故C正確；

81-2

\'an=2",/.lga?=/zlg2,21g2-lg2=lg2,

數(shù)列｛lgq｝不是公差為2的等差數(shù)列，故D錯(cuò)誤，

故選：AC

11.己知數(shù)列｛%｝的前w項(xiàng)和為S“，則下列說法正確的是()

A.若S.=2/-3,則｛〃,｝是等差數(shù)列

B.若｛%｝是等差數(shù)列，且%=5,a2+al0=2,則數(shù)列｛4｝的前”項(xiàng)和5”有最大值

C.若等差數(shù)列｛4｝的前10項(xiàng)和為170,前10項(xiàng)中，偶數(shù)項(xiàng)的和與奇數(shù)項(xiàng)的和之比為9：8,則公差為2

D.若｛為｝是等差數(shù)列，則三點(diǎn)［10,強(qiáng)J、［30,卷］共線

【答案】BCD

【解析】A項(xiàng)，〃=1時(shí)，〃1=，=一1,

時(shí)，=5〃一=4〃-2

〃=1時(shí)，％=所以，｛%｝不是等差數(shù)列；

B項(xiàng)，由已知可得，%=1，又％=5

所以，d=-<0,卬=亍>0.所以，3有最大值；

C項(xiàng)，由已知可得，偶數(shù)項(xiàng)和為90,奇數(shù)項(xiàng)和為80,兩者作差為5d=10,所以d=2；

D項(xiàng)，設(shè)三點(diǎn)分別為A,B,C,-=?［+——d,則-^=4+彳"，---=ci)+—</,—=<2］+—d.

n2102202302

uuuUUULUUULILIU

則AB=(10,5d),BC=(10,5rf),AB=BC，所以三點(diǎn)共線.

故選：BCD.

12.古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來研究數(shù)，他們根據(jù)沙?；蛐∈铀帕械男螤睿?/p>

數(shù)分成許多類，如圖中第一行圖形中黑色小點(diǎn)個(gè)數(shù)：1，3,6,10,…稱為三角形數(shù)，第二行圖形中黑色小

點(diǎn)個(gè)數(shù)：1,4,9,16,…稱為正方形數(shù)，記三角形數(shù)構(gòu)成數(shù)列｛為｝,正方形數(shù)構(gòu)成數(shù)列也“｝,則下列說法

正確的是()

.A

B.1225既是三角形數(shù)，又是正方形數(shù)

D.總存在p,qeN*,使得勿=%,+%成立

【答案】BCD

【解析】三角形數(shù)構(gòu)成數(shù)列{%}：1,3,6,10,....則有

021al=2,ai-a1=3,---,an-an_l=n(n>2),利用累加法,

/口(n-1)(2+ri)/=…n(n+l)八一

得a“_%=---------,得到an=--—；n=l成"

正方形數(shù)構(gòu)成數(shù)歹￡2}：1，4,9,16,…，則有

&一%=3也一4=5,---,bll-bn_1=-1(/7>2),利用累加法,

(2〃+2)(〃-1)

得切-a=-----------得到勿=w，n=l成立

1=^-=2(1—L1111“1、2〃

對(duì)于A,利用裂項(xiàng)求和法：一+—+—+…+—=2(1--------)=-故A錯(cuò)

ann(n+1)n〃+1axa2a3ann+1n+1

誤;

2

對(duì)于B,令a=巴」±=1225,解得〃=49；令年="=1225,解得〃=35；故B正確;

2

114?11、

對(duì)于C,2

bnn4獷-12n-l2?+1人)

11,1115111111

22

瓦b22bn43n457792n-l2n+l

11115JI1、33133

整理得，T+F+F+,"+F<7+2(-7-TTr-)=;?n-TT7<on'故c正確;

bxb2b3bn452n+l202n+120

對(duì)于D,^m=p=q,且wN*,則令加2=嗎±2+*二且，則有鬣=冊(cè)+冊(cè)」故V^eN*,mN2,總

存在p,qeN*,使得0=%+%成立，故D正確；

故選：BCD

第II卷

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.若等差數(shù)列｛%｝滿足%+%+%>。，%+%o<。，則當(dāng)〃=時(shí)，｛4｝的前"項(xiàng)和最大.

【答案】8

【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得%+。8+%=3%>。，

:?網(wǎng)>°，又%+%0=。8+。9<0，*,?%<0,

二等差數(shù)列｛q｝的前8項(xiàng)為正數(shù)，從第9項(xiàng)開始為負(fù)數(shù)，

...等差數(shù)列｛%｝的前8項(xiàng)和最大，

故答案為：8.

14.若數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式%=(-!)"?2",前〃項(xiàng)和為S“，貝1]&=.

【答案】-16

【解析】因?yàn)?=(-1)",所以。[=-2,%=4,%=-6,%=8,L,

所以S[5=%+。2H---1-015

=(—2)+4+(-6)+8+(—10)+…+(-30)

=[(-2)+4]+[(-6)+8]+[(-10)+12]+…+[(-26)+28]+(-30)

=2+2+2+---+2+(-30)=2x7-30=-16.

故答案為：-16

/、，、7〃一34

15.已知兩個(gè)等差數(shù)列｛%｝和也｝的前，項(xiàng)和分別為S“和且寸=HF，則,=-

【答案】6

Ori_1Ovj_1

【解析】由已知得，%1=亍(％+%1)=(2〃一1)%,%==值+b2a

令n=5,貝I」S9=9%,T9=9b5,

as_^9_7x9-3_6

所以

，b「T「9+1

故答案為：6.

16.已知數(shù)列｛凡｝滿足:,+工+」+…+”=2-(?+2)!，〃eN*,則數(shù)列｛a“+log2%“｝的前"項(xiàng)和S"為

〃2〃3乙

【答案】2"血+儲(chǔ)+〃-2

,123n_/_1、丫*

【解析】因?yàn)閠*+1+J-,+Z=2-("+2x5”',

1cJ八11

所以當(dāng)〃=1時(shí)，-=2-(l+2)x-=-,故％=2；

123幾。-1123〃-1「/八1

當(dāng)心2時(shí)，*+￡+丁-?+乙=2-(〃+25,則*+『％+…+/=2-(〃+1)F，

nn+2n+1一〃-2+2〃+2n

兩式相減得:1=--王一+萬(wàn)丁=故。"=2",

經(jīng)檢驗(yàn)：％=2滿足氏=2",

所以當(dāng)〃eN*時(shí)，?！?2”,

所以4+log2a2n=T+log22森=2"+2n,

232+12

=(2+2+2+---2")+(2+4+6+---2/2)=^~^)+^(2+2n)=2"+w+rt-2.

故答案為：2"+'+772+〃—2.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

17.(10分)

若數(shù)列｛可｝滿足：％=1,點(diǎn)(%q+凡+J在函數(shù)y=^+i的圖象上，其中％為常數(shù)，且看片0.

⑴若1,的,%成等比數(shù)列，求上的值；

(2)當(dāng)左=3時(shí)，求數(shù)列｛%｝的前21項(xiàng)和打.

【解析】(1)根據(jù)題意可得4用+風(fēng)=如+1,又4=1,故可得的=匕/=左+1?%=k,

又知。2,。4成等比數(shù)列，故為。4=。；，即2左=/，解得％=0(舍)或％=2,故％=2.

(2)當(dāng)上=3時(shí)，an+i+an=3n+l,則%+2+%+]=3("+1)+1,

兩式作差可得：an+2-an=3,故該數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為1,公差為3的等差數(shù)列，則。?1=%+10x3=31,

故^21=(q+/)+(%+04)^+°20)+丹1

=(3xl+l)+(3x3+l)+---+(3x19+1)+31

=3x(l+3+5+---+19)+10+31

10(1+19)

=3x—------^+41

2

=341.

故數(shù)列｛%｝的前21項(xiàng)和%=341.

18.(12分)

已知數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和公式為S.=n2-Wn.

(1)求數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式；

C

(2)若數(shù)列2=',求數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和T,的最小值.

n

【解析】(1)當(dāng)〃=1時(shí)，。1=，=一9；

22

當(dāng)時(shí)，an=Sn-Sn_t=(?-10?)-[(n-1)-10(?-1)]=2?-11,

%=-9滿足%=2”-11,故對(duì)任意的"eN*,an=2n-ll.

(2)b=—=n-10,令勿=〃一10W0,解得〃<10,

nn

且%—2=5—9)—5—10)=1,所以,數(shù)列也｝為等差數(shù)列，

所以，T”的最小值為7；=(_9+?xl0=_45.

19.(12分)

一個(gè)計(jì)算裝置有一個(gè)入口A和一輸出運(yùn)算結(jié)果的出口8,將自然數(shù)列｛"｝(">1)中的各數(shù)依次輸入A口，從8

口得到輸出的數(shù)列｛%｝,結(jié)果表明：①?gòu)腁口輸入)=1時(shí)，從8口得4=；;②當(dāng)”22時(shí)，從A口輸入“，

從B口得到的結(jié)果％是將前一結(jié)果%先乘以自然數(shù)列｛科中的第〃-1個(gè)奇數(shù)，再除以自然數(shù)列｛〃｝中的第

〃+1個(gè)奇數(shù).試問：

(1)從A口輸入2和3時(shí)，從B口分別得到什么數(shù)？

(2)從A口輸入100時(shí)，從B口得到什么數(shù)？并說明理由.

1

a,=-

【解析】(1)當(dāng)〃二1時(shí)，3；

Z=|M—2時(shí)，=%X1X—=;

當(dāng)n=3時(shí)，％=%、3*；=上；

=1111_1

,JCL-=---期=~

(2)31x3,1535577

故猜想%=~~~"TT；

(2n-l)(2n+l)

理由：顯然力二1時(shí)，猜想成立，

假設(shè)〃=左口寸，猜想成立，即4=。71、，

(2%一1)(2%+1)

_21_]___________1__________

則"=*+1時(shí)，刑+1-2二+34-(2/+1)(2左+3)-[2伏+1)—1][2伏+1)+1]

?,?當(dāng)〃=左+1時(shí)，猜想成立,

1

a""(2/i-l)(2zi+l)

1__1

故從口輸入時(shí)，從口得的數(shù)為

A100B299?39999~

20.(12分)

記S”為數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和，己知S,=2an-2.

(D求｛”0｝的通項(xiàng)公式;

⑵若么=(-l)"xlog2%+i，求數(shù)列｛a｝的前”項(xiàng)和人

【解析】(1)當(dāng)"=1時(shí),%=2；

當(dāng)“22時(shí),an=Sn-Sn^=2an-2-(2^-2),則〃=2%；

又?.?q工(),則｛〃“｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

an=2".

⑵因?yàn)槲?(一1>1限出用=(T『(2〃+1)

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，￡=3+3+(4+=)+…+(如+2)=(-3+5)+(-7+9)+L+[-(2n-l)+(2n+l)]

fl

=2+2+2+?一+2=2?一=n；

當(dāng)"為奇數(shù)時(shí)，Z,=4+色+4)+(々+&)+…+(也1+%)

—I

=-3+(-2)+(-2)+---+(-2)=-3+(-2)-^-=-n-2；

數(shù)列間的前〃項(xiàng)和為T“二C數(shù)

綜上所述:

21.（12分）

,<、33凡

已知數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)且滿足凡+1=丁二

（1）求證：數(shù)列］為等比數(shù)列；

--3,〃為偶數(shù)時(shí)，

⑵設(shè)數(shù)列也｝滿足2=，%求最小的實(shí)數(shù)"Z,使得4+%+…+如〈機(jī)對(duì)一切正整數(shù)左

〃為奇數(shù)時(shí)，

,nn+2

均成立.

121

【解析】（1）由已知得,--------二—?-----------，

、%33%

所以」--1二?1

-1

%37

112c

因?yàn)?

所以數(shù)列,上1-1］是首項(xiàng)為1,公比為g的等比數(shù)列.

12

(2)證明：(2)由(1