猜押07第23題幾何綜合（壓軸大題）

押題依據(jù)

猜押考點3年武漢真題考情分析押題依據(jù)難度

核心考點：1.特殊四邊形

（矩形、菱形）性質(zhì)2.全

2024年第23題（矩形等/相似三角形判定與性質(zhì)命題規(guī)律：1.以“問題背景一

中點與相似三角形綜3.直角三角形斜邊中線定探究一拓展”分層設問，體現(xiàn)

合）2023年第23題（菱理4.勾股定理與代數(shù)運算思維梯度2.高頻考點：中點

幾何綜合

形與等腰三角形綜合）結(jié)合相關(guān)性質(zhì)、相似三角形、直困難

壓軸

2022年第23題（三角能力要求：-復雜幾何圖形角三角形3.2025年可能結(jié)合

形中點與相似三角形綜的分解與重構(gòu)-輔助線添其他知識點或新定義問題創(chuàng)

合）加策略（中點、垂線、平新題型

行線）-多知識點綜合推理

能力

題型一幾何綜合壓軸

1.（2025?湖北武漢?一模）如圖，8。是四邊形的對角線，已知448C=//OC=90。.

（1）如圖1,點￡在8C的延長線上，若48?！?90。，求證：AADBs八CDE；

（2）如圖2,若NABD=60°,求證：AB+^BC=2BD；

（3）如圖3,若DA=DB,tanZDBC=k,直接寫出tanNADC的值（用含左的式子表示）.

2.（2025?湖北武漢?模擬預測）問題背景如圖（1）,在矩形ABCD中，￡為。C上一點，F(xiàn)為BC上一點、,

S.AE1EF,求證：AADEs△ECF.

問題探究如圖（2）,以/E為邊作等邊△/EG,G點在CB的延長線上，當EF:GP=2：7的時候，求△GEF

與A/G￡的面積之比.

問題拓展如圖（3）,G在8c的延長線上，連接EG,當NEGC=/EF4=60。,EC=討,FG=4時直

接寫出NG的長度.

DEAp

（1）如圖（1）,在△ABC中，DE//BC,且。E分別交43,NC于點。，E,則厚二——.(填“〉

BCAC'

或“=").FH-BG=FG-BC

圖⑴圖⑵圖⑶

問題探究

(2)如圖(2),8。是ZUBC的角平分線，過點、D作DE〃4B交BC于點E,求證：DEAC=ADBC.

問題拓展

(3)如圖(3),在菱形48CD中，N/DC=60。，點G在射線C。上，且CG=33C.連接8G交/C于點

F,過點、F作CD〃FH交BC于點H,若FH.BG=3瓜FG=,求2G的長.

2

4.（24-25九年級下?湖北武漢?階段練習）問題背景：在直角三角形N8C中，ZC=90°,。為NC上一點.

（1）如圖1,過點D作DE/4B于E,求證：AD-AC=AE-AB；

⑵如圖2,在（1）的條件下，將繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)，連接。2,CE,取AD的中點連接CW,

ABCM

求證:2AC~~CE

⑶如圖3,BD平分NABC,AC=4,3c=3,點E為BC上一點，點C關(guān)于/￡的對稱點為C,若點。

恰好落在2。上，直接寫出5c的長度是.

5.（24-25九年級下?湖北武漢?階段練習）在矩形4BCD中，=點E是CD邊上不與端點C、。重

合的動點，CHLBE于H,

【課本再現(xiàn)】（1）如圖（1）當無=1時，C”交線段于點尸，求證：ABCE知CDF；

若點E是C。的中點，求要的值;

【類比遷移】（2）如圖（2）在（1）的條件下，交線段AD于點G,

Crz

【拓展延伸】（3）如圖（3）若DE=kCE,直接寫出tan/HDE的值（結(jié)果用含有后的式子表示）.

6.（24-25九年級下?湖北武漢?階段練習）問題提出如圖1,△4BC是等邊三角形，點。是5c邊上一點

（點。不與端點重合），AD<CD,點。關(guān)于直線42的對稱點為點E,連接在直線上取一點

F,使/EFD=/BAC,直線￡尸與直線4C交于點G.探究線段CG與?！曛g的數(shù)量關(guān)系.

問題探究

（1）先將問題特殊化，如圖2,當點。為2C的中點時，點/、F、G重合，直接寫出此時CG與BE的數(shù)量

關(guān)系為;線段CG與DE的數(shù)量關(guān)系為；

（2）再探究一般情形，如圖1,求線段CG與?！甑臄?shù)量關(guān)系；

延伸應用

（3）如圖3,EG與4B交于點H,tanZADC=—,AH=6,直接寫出CD的長為

2---------

7.（24-25九年級上?湖北武漢?期末）將正方形/BCr1的邊40,繞著點。順時針旋轉(zhuǎn)至。E,連接NE.

DD

（1）如圖1,連接CE,若乙4。￡=60。，則//￡C=.

⑵如圖2,/\40￡與aCB/關(guān)于正方形4BCE1的中心對稱（其中點4。的對稱點分別是點C可，連接/尸,

過點3作BG〃/尸交￡/的延長線于點G,連接。G.

①求4G。的度數(shù)；

②若AG=3?BG=\,請直接寫出/尸的長.

8.（24-25九年級上?湖北武漢?期末）（1）【提出問題】數(shù)學課上，老師提出問題：如圖1,在等腰Rt4/BC

中，N3/C=90。，點￡在3C邊上，以CE為邊作正方形CEED,點尸在NC邊上，連接點P為線段3尸

的中點，連接/P,EP.以點P為對稱中心，畫出△尸斯關(guān)于點P對稱的圖形，并直接寫出4尸與尸E的位

置及大小關(guān)系;

（2）【類比探究】在等邊△ABC中，D、￡分別是/C、8c邊上一點，且CD=CE,以CE、。為鄰邊作菱

形CEFD,再將菱形CEED繞C點順時針旋轉(zhuǎn)一定角度后得到新的菱形CK'FD如圖2,連接AT,點尸為

線段8尸'的中點，連接/尸、PE，判斷/P與PE'的位置及大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（3）【遷移運用】在（2）的條件下，若NC=4,CE=1,菱形CEED在旋轉(zhuǎn)過程中，當NP最小時，直接寫

出S&ABP的值_________?

圖1圖2

9.（24-25九年級上?湖北武漢?期末）在△NBC和AOEC中，AACB=ZDCE=90°,AC=BC,CD=CE,

連BD,F,G分別為8。的中點，H為DE中點,連GH,GF.

圖1備用圖備用圖

(1)如圖1,求證：AADC知BEC；

(2)如圖1,探究線段GX,GP間的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并說明理由；

⑶當CD=6,，。=師，AOEC繞點C旋轉(zhuǎn)過程中，若A,D,￡三點在同一條直線上，請畫出旋轉(zhuǎn)后

的對應圖形，并直接寫出C,G兩點的距離.

10.(24-25九年級上?湖北武漢?期末)在RS4BC中，NNCB=90。,。是的中點，過點。作。E/CD交

C4的延長線于點E.

圖1圖2

(1)如圖1,若NB=30。,BC=3,請直接寫出NE的長；

⑵如圖2,AC<BC,線段/瓦EC,8C存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？給出你的結(jié)論并加以證明；

⑶若AE+BC=\1,AE<BC,S"=15,請直接寫出DE的長.

題型二幾何綜合新考向、新情境、文化背景

1.在正方形中，點E為CD邊上一點，連接NE,將△/￡￡>沿/￡翻折得到連接B尸并延長

圖1圖2圖3

(1)如圖1,若AF=BF,直接寫出EG和尸G的數(shù)量關(guān)系和NEG尸的度數(shù).

(2)如圖2,若尸為8G的中點，求F的值.

AE

(3)如圖3,連接CF并延長交/￡于點〃，若嘗=3，F(xiàn)H=3冊,直接寫出48的長.

CG3

2.如圖①，在Rt448C中，N4cB=90。,AC=8,8c=6,點。和點E分別在邊NC和N8上，連接

DE,將△NBC沿。￡折疊，使點/落在直線3c上的點G處.

CGaCGBGCBCH

圖①圖②圖③圖④

(1)如圖②，若EG〃AC,求證：四邊形4DGE是菱形；

(2)如圖③，當點G落在線段2C的延長線上，且CG=2時，直接寫出線段/￡的長；

(3)如圖④，四邊形2cDE中，NDEB=NDCB=90。,CE=BE=5,對角線CE與AD交于點尸，

3

sinZDCE=-,求線段CF的長.

3.在ZUBC中，44c8=90。，AC=BC.。是邊上的動點(不與點8重合)，連接CD.在CD上

任取一點E,將線段CE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段EP.延長FE交/C于點G.

(1)如圖1,當點尸在邊N2上時，求證：ZCGF=/BCD；

(2)如圖2,當點尸在△4BC內(nèi)時，作點C關(guān)于直線N8的對稱點連接EH.取尸〃的中點連接

BE,BM,BH.用等式表示線段BE與8M的數(shù)量關(guān)系，并證明.

4.如圖，在048co中，NB=45。,4。=夜/8，點尸在線段BC上運動，/P繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到

線段連接尸E、AC,CE.

常用圖

⑴求證：當/R4P=45。時，四邊形4PCE是正方形；

(2)若/3=4,。。為△/(五的外接圓，設。。的面積為S.

①求S的取值范圍(結(jié)果保留兀)；

②連接DE,直線?！昴芊衽c。。相切，如果能，求3P的長度；如果不能，請說明理由.

5.問題提出

(1)如圖①，在等邊三角形/BC中，/E=a)=g2C=2,點尸為5c上一動點，求EF+。廠的最小值；

問題解決

(2)如圖②，某市計劃將四邊形ABCD修建為一個批發(fā)市場，其中E為該批發(fā)市場的車輛入口，ABCG為

貨物零售區(qū)域，現(xiàn)需在邊上的點尸處設置一個快遞分類裝車點，并修建車道用來運送貨物.已

知AABC=60°,ZBCD=NADC=90°,AABG+ZDCG=90。,=BC=3Q0>j3m,CE=DE.為節(jié)約成本，需將

車道￡￡尸G修建的盡可能短，則斯+尸G的值是否存在最小值？若存在，求斯+尸G的最小值；若不存在,

請說明理由.(結(jié)果保留根號)

6.如圖，將正方形ABC。沿48方向平移得到正方形EFG8,其中點A的對應點E在線段上運動，連

接BD,交EG于點/，交EH于苴N,交AH于點、K,連接,HM.

(1)直接寫出/￡和N/Z的數(shù)量關(guān)系；

⑵判斷和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)設A/KO的面積為H，△KW的面積為邑，△/雨的面積為

①若正方形/8CA的邊長為4,當點E運動到何處時，邑取得最大值？求出品的最大值；

②求證：豆-$2=$3.

7.綜合與探究

在數(shù)學課上，老師讓同學們以“矩形的折疊”為主題開展活動.

實踐操作：

如圖，在矩形紙片中，^5=8,50=10,

第一步：如圖1,將矩形紙片N8CA沿過點C的直線折疊，使點8落在/。邊上的點尸處，得到折痕CE,

然后把紙片展平.

第二步：如圖2,再將矩形紙片沿折疊，此時點A恰好落在CF上的點N處，BF,BN分別與CE交于點

G,M,然后展平.問題解決：

(1)求/￡的長.

(2)判斷斯，跖V與CD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

拓展應用：

(3)如圖3,延長相交于點P,請直接寫出尸M的長.

B

圖I

8.如圖1,在平面直角坐標系中，點A,3的坐標分別是/(0,百)和8(1,0),連接以線段為

邊向右側(cè)作菱形ABC。，點C在x軸上.

(2)連接/C,點E是線段/C上一動點，點廠在x軸上，且NDEF=NABC.過點。作E尸的平行線，過點尸

作DE的平行線，兩線相交于點G.

①求證：四邊形DEFG是菱形；

②當AE/C是等腰三角形時，直接寫出NE的長度.

(3)在(2)的條件下，設4E=t,四邊形。斯G的面積為S,求s關(guān)于/的函數(shù)關(guān)系式.

9.在等邊△4BC中，ADJ.BC于點、D,點￡是線段4D上一點，連接CE,將線段NE繞點/順時針旋轉(zhuǎn)60。

⑴如圖1,AE=4C,tanZABF^—,求△4BC的面積：

6

⑵如圖2,以CE為邊在CE右側(cè)作等邊ACEG,延長CG交E4的延長線于點若2/ABF=3/BAD,求證:

AD=-AH+42BF-

2

(3)如圖3,AD=4DE=8,點K為平面內(nèi)一動點，連接CK、EK,將△CEK沿CK所在直線翻折至△4BC

所在平面內(nèi)，得到ACE'K,連接BE"點M是線段的中點，以點〃為直角頂點，為直角邊，在BM

上方作九W,ZMBN=30°,連接CN,當線段CN取最大值時，請直接寫出ABCW的面積.

圖3

10.綜合與實踐

【初步感知】如圖1,點E,尸是口/BCD的對角線5D上兩點，且BE=DF,連接NE,CF.貝U/E與CF

的數(shù)量關(guān)系是；

【嘗試探索】如圖2,在RtzX/B。中，E,廠是斜邊8。上兩個動點，且BE=DF,連接4E,AF,若

48=4,AD=6.求/￡+/廠的最小值；

【拓展應用】如圖3,在口/BCD中(其中CD>8C),BC=2,NCBD=60。，點、M,N為對角線8。上的兩

個動點，連接4W,CN.若BN=；DM,求g/M+CN的最小值.

II.如圖，ZUBC與△CED均為直角三角形，N4BC=NECD=9Q°.

BB

F

圖1圖2圖3

⑴如圖1,點B與點E重合，過點3作3GL/C于點G,2。與NC相交于點尸，若CD=EC=2,

DF=46-y[2,求/郎G的度數(shù).

(2)如圖2,點E在48上，AB=CB,EC=CD,連接AD,點G為NC的中點，點”在AD上，連接G"、

CH,ZHGC=45°,請寫出/K、AC,G"的數(shù)量關(guān)系并予以證明.

(3)在(2)的條件下，如圖3,點E為直線A8上的動點，點B關(guān)于直線EC的對稱點為點K,點尸為線段3c

的中點，連接4K、FK、GK,當7NK-0K尸的值最大時，求喂的值.

2AC

12.【問題探究】

(1)如圖1,在矩形/BCD中，/8=12,/。=9,點￡為左側(cè)一動點，連接/￡、BE,4FLBE于點、

F,AE=2EF,點G為矩形A8CD內(nèi)一點，連接NG、BG、CG、DG,ZAGB+ZAEB=180°,求ACDG面積

的最小值：

【問題解決】

(2)如圖2,直線/為一條筆直小路，矩形種植地4BCD的邊CD在直線/上，且3c=248=80米，趙叔叔

計劃對這塊種植地重新進行規(guī)劃利用，在邊2C和點。上方的小路/上分別取點￡、F,使得CF=2BE,沿

AE、8b修建兩條通道(記通道/￡與B歹的交點為G),并在B尸上取點N,沿CN修建第三條通道，使得

CN//AE,在△8CN的內(nèi)心尸處修建一個觀賞臺，并在△/￡?戶內(nèi)種植某種新品種作物，根據(jù)趙叔叔的規(guī)劃要

求，觀賞臺尸到4。兩點的距離相等，請你計算此時尸的面積.

13.綜合與探究

問題情境

如圖1,在正方形4BCD中，/3=2,點￡為線段8C上的一個動點，連接4E,以4E為邊,在4E右上方

作正方形NE尸G,連接DG.

A,--------------iD

BC

圖1備用圖

探索發(fā)現(xiàn)

(1)猜想3E與。G的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

猜想證明

(2)如圖2,在圖1的基礎(chǔ)上連接AD,EG交于點”,連接猜想的形狀，并說明理由.

拓展延伸

(3)若點E為射線2C上的一個動點，連接EG與射線AD交于點〃，連接CF,其他條件不變.當點“落

在NECF的平分線上時，請直接寫出SgEH:S3的值.

14.問題提出

(1)如圖①，在中，乙4=90。,3。=10,則點N到8C的最大距離為

問題探究

(2)如圖②，在矩形A8C。中，AB=2,BC=A,E是8c上一動點，連接NE、DE,求，/E+OE的最小

值；

問題解決

(3)如圖③，矩形/BCD的四邊是某市產(chǎn)業(yè)新區(qū)的外環(huán)路，CE、BF、CH、CG分別是四條貫穿路.已知

BE=4km,C￡=8km,CG1BF/HCG=30°,/、J分別是線段BE、CE上一點，連接HI、IJ、JH.現(xiàn)計戈ij

在三角形區(qū)域四處修建一個科技園.為節(jié)省外墻材料費用，需要的周長盡可能小，請問△血/的周

長是否存在最小值？若存在，請求出周長的最小值：若不存在，請說明理由.(結(jié)果保留根號)

15.【問題提出】

(1)如圖①，己知點N是直線/外一點，點、B,C均在直線/上，于點。且/O=4,/A4C=45。.求

8c的最小值；

【問題探究】

(2)如圖②，在四邊形N8C。中，NA=45ZB=/D=90o,CB=CD=2,點、E,尸分別為/氏/。上的點,

且CE1CE,求四邊形/EC尸面積的最大值；

【問題解決】

(3)如圖③，某園林對一塊矩形花圃ABC。進行區(qū)域劃分，點K為8c的中點，點M,N分■別為4B,DC

上的點，且NMKN=12(F,MK,KN將花圃分為三個區(qū)域.已知=7m,8C=12m,現(xiàn)計劃在區(qū)和

△CNK中種植甲花，在其余區(qū)域種植乙花，試求種植乙花面積的最大值.

16.【問題探究】

(1)如圖①，在△4BC中，AB=AC,/8=40。，點。是5c上的一動點，連接將△/AD繞點A逆

時針旋轉(zhuǎn)得到△4CE,當/E的值最小時，求/C4E的度數(shù)；

【問題解決】

(2)如圖②，四邊形/8CD是一個工廠的平面示意圖，AD=1000m,AD//BC,CD1BC,連接8。，

AD=1600m,AD平分//5C,點K是皿的中點，點廠是BC上一動點，在尸處修建一個員工休息處，連

接EF,將環(huán)繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段EG,按規(guī)劃在G處修建一個廢品處理站，是一條產(chǎn)品加

工線，其中點M在A8上，點N是四邊形N8C。內(nèi)一動點，MB=MN=：AB,為方便回收廢品，現(xiàn)要沿NG

4

安裝一條自動運輸帶.為節(jié)約成本，要使自動運輸帶NG的長盡可能的小，自動運輸帶NG的長是否存在最

小值，若存在，請求出NG的最小值，若不存在，請說明理由.

17.綜合與實踐

問題情境：數(shù)學活動課上，活動小組探究平行四邊形折疊過程中的一些結(jié)論，如圖1,已知平行四邊形

ABCD,AB//CD,AD//BC,ZC<90°,將平行四邊形/BCD沿過點。的直線折疊，使點C落在4D邊上

的點￡處，折痕與2C交于點?

初步探究:

圖1圖2圖3

深入探究：如圖2,取線段。尸邊上的一點。(不含點。，F(xiàn)),過點。作8c邊的垂線分別與5c交于

點1,J,將平行四邊形沿直線〃折疊，使點C落在2c邊上的點〃處，使點。落在40邊上的點G

處，連接G77.

(2)若隨著點。的運動，G”與。尸始終保持平行，請求NC的度數(shù);

(3)在(2)的條件下，如圖3,若CD=6,GH馬EF交于點、M,連接(W,OC,當NMOC=90。時，請直

接寫出的值.

18.在一個工廠的車間里，工人正在處理一塊矩形的金屬板N2C。，用于制作零件.金屬板的長/。=5米,

寬NB=2米.工人在4D邊上確定了一個點尸,使得在=1米.

A

B

（圖1）（圖2）(備用圖)

(1)為了保證后續(xù)切割操作時的準確性，工人連接尸3和尸C,并將N8尸C繞點尸逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度進行加

工.旋轉(zhuǎn)后尸B與金屬板的邊2C相交于點E,PC與金屬板的邊CL?所在的直線相交于點尸，如圖1所示.由

于零件的尺寸和形狀有特定要求，為了合理規(guī)劃切割和拼接方案，請你幫工人探究BE和CF之間的數(shù)量關(guān)

系.

(2)為了進一步組裝零件，工人以PE、尸P為邊構(gòu)造矩形尸E。尸，如圖2,在組裝過程中發(fā)現(xiàn)，當APD。的

周長最小時，最省材料，求此時tan/尸。。的值.

FG

19.(1)如圖1,在△血中，。是火上一點，跖〃5c交期于點G,則而一(用圖中已有線段

表示)

(2)如圖2,在△/BC中，M、N是48上的兩點，且滿足BN=2W=M4,在2c上取一點。，過點

。作。尸〃NC分別交CW的延長線、CN于點P、Q,求的值:

(3)如圖3,在正方形4BCD中，點E是BC上一點,連接NE交于點尸，在/尸上取一點P,

使得/50。=135。，若絲=①,40=5,求BE的長.

PB2

PA

AAD

20.綜合與實踐

如圖1,在048co中,點E,尸分別在直線/g和/。上，直線CE,3尸相交于點G,/尸GC=NTUB,某數(shù)學

興趣小組在探究四條線段的比例關(guān)系時，經(jīng)歷了如下過程:

【特例感知】

(1)①如圖2,當乙4=90。,48=40時，若EC=&,則2尸=_；

ADqRF

②如圖3,當乙4=90。時，若嚶==,則差=_.

AD2CE

【猜想證明】

(2)猜想3尸,。瓦4瓦四條線段的比例關(guān)系，并結(jié)合圖1進行證明.(備注：從圖1中的①或②選擇一

個證明即可)

【拓展應用】

(3)如圖4,在四邊形中，對角線NC,加相交于點瓦/340=90。,//8。=/4￡。=60。,/8=6,

附加中考真題

1.(2024?湖北武漢?中考真題)問題背景：如圖(1),在矩形ABC。中，點E,尸分別是AB,8C的中點,

連接區(qū)D,EF,求證：