第六章平面向量及其應(yīng)用6.4

平面向量的應(yīng)用課時(shí)6

余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例1.會用正弦定理、余弦定理解決生產(chǎn)實(shí)踐中有關(guān)距離、高度、角度的測量問題.（數(shù)學(xué)抽象）2.提高提出問題、正確分析問題、獨(dú)立解決問題的能力.（數(shù)學(xué)運(yùn)算）1.在浩瀚無垠的海面上航行，最重要的是定位和保持航向.閱讀教材，看看船只是如何表達(dá)位置和航向的.[答案]

用方向角和方位角.2.方位角與方向角是如何定義的？

3.仰角和俯角是如何定義的？[答案]

仰角在同一鉛垂平面內(nèi)，視線在水平線上方時(shí)，視線與水平線的夾角________________________________________俯角在同一鉛垂平面內(nèi)，視線在水平線下方時(shí)，視線與水平線的夾角_________________________________________4.如何不登月測量地月之間的大致距離？[答案]

可以在地球上選兩點(diǎn)，與月亮（看成一點(diǎn)）構(gòu)成三角形，測量地球上兩點(diǎn)的距離和這兩點(diǎn)看月亮的視角，通過解三角形求得地月之間的大致距離.1.判斷下列結(jié)論是否正確.（正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”）（1）

仰角是視線與視線在水平面的射影的夾角.(

)

√（2）

兩點(diǎn)間不可通又不可視問題的測量方案實(shí)質(zhì)是構(gòu)造已知兩邊及夾角的三角形并求解.(

)

√（3）

兩點(diǎn)間可視但不可到達(dá)問題的測量方案實(shí)質(zhì)是構(gòu)造已知兩角及一邊的三角形并求解.(

)

√（4）

高度問題大多通過正（余）弦定理構(gòu)造直角三角形來解決.(

)

√

A

B

探究1

測量距離問題

1.基線的概念與選擇原則（1）定義:在測量上，根據(jù)測量需要適當(dāng)確定的______叫作基線.（2）性質(zhì):在測量過程中，要根據(jù)實(shí)際需要選取合適的__________，使測量具有較高的精確度.一般來說，基線越長，測量的精確度越____.2.測量不可到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離，若其中一點(diǎn)可以到達(dá)，則利用一個(gè)三角形即可解決，一般用正弦定理；若兩點(diǎn)均不可到達(dá)，則需用3個(gè)三角形才能解決，一般正、余弦定理都要用到.線段基線長度高

方法總結(jié)

測量距離的基本類型及方案類型圖形方案不可通或不可視的兩點(diǎn)間的距離____________________________________類型圖形方案兩點(diǎn)可視,其中一點(diǎn)不可到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離_______________________________兩個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離_________________________________續(xù)表

探究2

測量高度問題

1.仰角和俯角:與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方時(shí)叫______，目標(biāo)視線在水平視線下方時(shí)叫______（如圖所示）.仰角俯角

夾角

A

本例是底部不能到達(dá)或者無法直接測量的物體的高度問題.常用正弦定理或余弦定理計(jì)算出物體的頂部或底部到一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離，然后轉(zhuǎn)化為解三角形的問題.本例解題的關(guān)鍵是正確畫出示意圖.

方法總結(jié)

此類問題的特點(diǎn):底部不可到達(dá)，且涉及與地面垂直的平面，觀測者兩次觀測點(diǎn)所在直線不經(jīng)過“目標(biāo)物”.解決辦法是把目標(biāo)高度轉(zhuǎn)化為地平面內(nèi)某量，從而把空間問題轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)解三角形問題.

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探究3

測量角度問題

請結(jié)合下圖，探究下面的問題.問題:

你能用方向角表述圖中的角嗎？

目標(biāo)

順時(shí)針

[解析]

如圖所示.

方法總結(jié)

運(yùn)用正弦定理、余弦定理解決實(shí)際問題的基本步驟

（1）分析:理解題意，弄清已知與未知，畫出示意圖（一個(gè)或幾個(gè)三角形）.

（2）建模:根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與待求量盡可能地集中在有關(guān)三角形中，建立一個(gè)解三角形的數(shù)學(xué)模型.

（3）求解:利用正弦定理、