a班大一下學(xué)期高數(shù)試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\sinx\)的導(dǎo)數(shù)是（）A.\(\cosx\)B.\(-\cosx\)C.\(\sinx\)D.\(-\sinx\)2.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)的值為（）A.0B.1C.不存在D.\(\infty\)3.曲線\(y=x^{2}\)在點\((1,1)\)處的切線斜率為（）A.1B.2C.3D.44.若\(f(x)\)的一個原函數(shù)是\(x^{2}\)，則\(f(x)\)=（）A.\(2x\)B.\(x^{2}\)C.\(\frac{1}{3}x^{3}\)D.\(4x\)5.\(\intxdx\)=（）A.\(\frac{1}{2}x^{2}+C\)B.\(x^{2}+C\)C.\(\frac{1}{3}x^{3}+C\)D.\(2x+C\)6.函數(shù)\(f(x)=x^{3}-3x\)的駐點為（）A.\(x=1\)B.\(x=-1\)C.\(x=\pm1\)D.\(x=0\)7.定積分\(\int_{0}^{1}x^{2}dx\)的值為（）A.\(\frac{1}{3}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.1D.28.若\(y=e^{ax}\)，則\(y^\prime\)=（）A.\(e^{ax}\)B.\(ae^{ax}\)C.\(a^{2}e^{ax}\)D.\(\frac{1}{a}e^{ax}\)9.函數(shù)\(y=\lnx\)的定義域是（）A.\((0,+\infty)\)B.\((-\infty,0)\)C.\((-\infty,+\infty)\)D.\([0,+\infty)\)10.極限\(\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^{x}\)的值為（）A.0B.1C.\(e\)D.\(\infty\)二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的有（）A.\(y=x^{3}\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=e^{x}\)D.\(y=\ln(x+\sqrt{x^{2}+1})\)2.下列極限存在的有（）A.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{x}\)B.\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}\)C.\(\lim\limits_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}\)D.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\tanx}{x}\)3.函數(shù)\(f(x)\)在點\(x_{0}\)處可導(dǎo)的充要條件是（）A.左導(dǎo)數(shù)存在B.右導(dǎo)數(shù)存在C.左導(dǎo)數(shù)等于右導(dǎo)數(shù)D.函數(shù)在該點連續(xù)4.下列積分中，能用牛頓-萊布尼茨公式計算的有（）A.\(\int_{0}^{1}\frac{1}{x}dx\)B.\(\int_{0}^{1}x^{2}dx\)C.\(\int_{-1}^{1}\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}dx\)D.\(\int_{0}^{2}e^{x}dx\)5.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增的有（）A.\(y=2^{x}\)B.\(y=x^{3}\)C.\(y=\lnx\)D.\(y=\sinx\)6.函數(shù)\(y=f(x)\)的極值點可能是（）A.駐點B.不可導(dǎo)點C.端點D.任意點7.下列等式正確的有（）A.\((\intf(x)dx)^\prime=f(x)\)B.\(\intf^\prime(x)dx=f(x)+C\)C.\(d(\intf(x)dx)=f(x)dx\)D.\(\intdf(x)=f(x)+C\)8.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續(xù)，則（）A.\(\int_{a}^f(x)dx\)存在B.\(f(x)\)在\([a,b]\)上有最大值和最小值C.\(f(x)\)在\((a,b)\)內(nèi)一定有零點D.\(f(x)\)在\([a,b]\)上可積9.下列函數(shù)中，是周期函數(shù)的有（）A.\(y=\sin2x\)B.\(y=\cos(x+\frac{\pi}{3})\)C.\(y=x^{2}\)D.\(y=\tanx\)10.已知\(F^\prime(x)=f(x)\)，則（）A.\(\intf(x)dx=F(x)+C\)B.\(\int_{a}^f(x)dx=F(b)-F(a)\)C.\(F(x)\)是\(f(x)\)的一個原函數(shù)D.\(f(x)\)是\(F(x)\)的導(dǎo)數(shù)三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)。（）2.若\(\lim\limits_{x\tox_{0}}f(x)\)存在，則\(f(x)\)在\(x_{0}\)處一定連續(xù)。（）3.函數(shù)\(y=x^{2}\)的導(dǎo)數(shù)是\(y^\prime=2x\)，則其反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為\(\frac{1}{2x}\)。（）4.定積分的值只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān)，與積分變量的記法無關(guān)。（）5.若\(f(x)\)在\(x_{0}\)處不可導(dǎo)，則\(f(x)\)在\(x_{0}\)處一定沒有切線。（）6.函數(shù)\(y=\sinx\)在\([0,2\pi]\)上的最大值是1。（）7.若\(f(x)\)是偶函數(shù)，則\(\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx\)。（）8.函數(shù)\(y=\ln(x^{2}+1)\)的導(dǎo)數(shù)為\(\frac{2x}{x^{2}+1}\)。（）9.極限\(\lim\limits_{x\to\infty}x\sin\frac{1}{x}=1\)。（）10.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上可積，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上一定連續(xù)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=x^{3}-3x^{2}+5\)的單調(diào)區(qū)間。-答案：對\(y\)求導(dǎo)得\(y^\prime=3x^{2}-6x=3x(x-2)\)。令\(y^\prime>0\)，解得\(x<0\)或\(x>2\)，此為單調(diào)遞增區(qū)間；令\(y^\prime<0\)，解得\(0<x<2\)，此為單調(diào)遞減區(qū)間。2.計算\(\int\frac{1}{x^{2}}dx\)。-答案：根據(jù)積分公式\(\intx^{n}dx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C(n\neq-1)\)，\(\int\frac{1}{x^{2}}dx=\intx^{-2}dx=-\frac{1}{x}+C\)。3.求曲線\(y=e^{x}\)在點\((0,1)\)處的切線方程。-答案：先求導(dǎo)\(y^\prime=e^{x}\)，在點\((0,1)\)處切線斜率\(k=e^{0}=1\)。由點斜式得切線方程\(y-1=1\times(x-0)\)，即\(y=x+1\)。4.求\(\lim\limits_{x\to1}\frac{x^{2}-1}{x-1}\)。-答案：對分子因式分解\(x^{2}-1=(x+1)(x-1)\)，則原式\(=\lim\limits_{x\to1}\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}=\lim\limits_{x\to1}(x+1)=2\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x-1}\)的漸近線情況。-答案：垂直漸近線：令\(x-1=0\)，得\(x=1\)，即\(x=1\)是垂直漸近線；水平漸近線：\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{x-1}=0\)，所以\(y=0\)是水平漸近線。2.結(jié)合實例說明導(dǎo)數(shù)在實際生活中的應(yīng)用。-答案：比如在成本與利潤問題中，設(shè)成本函數(shù)\(C(x)\)，利潤函數(shù)\(L(x)\)，導(dǎo)數(shù)\(C^\prime(x)\)表示邊際成本，\(L^\prime(x)\)表示邊際利潤。通過分析它們可確定生產(chǎn)多少產(chǎn)品利潤最大。3.說明定積分與不定積分的聯(lián)系與區(qū)別。-答案：聯(lián)系：定積分計算常借助不定積分，牛頓-萊布尼茨公式建立二者聯(lián)系。區(qū)別：不定積分是原函數(shù)族，結(jié)果含常數(shù)\(C\)；定積分是一個數(shù)值，由被積函數(shù)、積分區(qū)間確定。4.討論函數(shù)連續(xù)性與可導(dǎo)性的關(guān)系，并舉例說明。-答案：可導(dǎo)一定連續(xù)，連續(xù)不一定可導(dǎo)。例如\(y=|x|\)在\(x=0\)處連續(xù)，但在該點不可導(dǎo)；而\(y=x^{2}\)在定義域內(nèi)既連續(xù)又可導(dǎo)。答案一、單項選