中南大學(xué)高數(shù)c期末試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\sinx\)的導(dǎo)數(shù)是（）A.\(\cosx\)B.\(-\cosx\)C.\(\sinx\)D.\(-\sinx\)2.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)的值為（）A.0B.1C.\(\infty\)D.不存在3.函數(shù)\(y=x^2\)在點\((1,1)\)處的切線斜率為（）A.1B.2C.3D.44.不定積分\(\intxdx\)等于（）A.\(\frac{1}{2}x^2+C\)B.\(x^2+C\)C.\(\frac{1}{3}x^3+C\)D.\(x^3+C\)5.定積分\(\int_{0}^{1}x^2dx\)的值為（）A.\(\frac{1}{3}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.1D.26.函數(shù)\(z=x+y\)的全微分\(dz\)是（）A.\(dx+dy\)B.\(dx-dy\)C.\(xdx+ydy\)D.\(xdy+ydx\)7.下列級數(shù)中，收斂的是（）A.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)B.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)C.\(\sum_{n=1}^{\infty}1\)D.\(\sum_{n=1}^{\infty}n\)8.曲線\(y=e^x\)與\(x=0\)，\(x=1\)及\(x\)軸圍成的面積為（）A.\(e-1\)B.\(e\)C.\(e+1\)D.19.二元函數(shù)\(f(x,y)\)在點\((x_0,y_0)\)處可微的必要條件是（）A.偏導(dǎo)數(shù)存在B.連續(xù)C.偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)D.以上都不對10.函數(shù)\(y=\lnx\)的定義域是（）A.\((0,+\infty)\)B.\([0,+\infty)\)C.\((-\infty,0)\)D.\((-\infty,0]\)二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的有（）A.\(y=x^3\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=e^x\)D.\(y=\ln(1+x^2)\)2.下列極限運算正確的有（）A.\(\lim_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e\)B.\(\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e\)C.\(\lim_{x\to0}\frac{\tanx}{x}=1\)D.\(\lim_{x\to0}\frac{1-\cosx}{x^2}=\frac{1}{2}\)3.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)可導(dǎo)的有（）A.\(y=|x|\)B.\(y=x^2\)C.\(y=\sqrt{x}\)D.\(y=\frac{1}{x}\)4.計算定積分\(\int_{a}^f(x)dx\)可能用到的方法有（）A.牛頓-萊布尼茨公式B.換元積分法C.分部積分法D.幾何意義法5.下列級數(shù)中，絕對收斂的有（）A.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}\)B.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}\)C.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}\)D.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)6.二元函數(shù)\(z=f(x,y)\)的偏導(dǎo)數(shù)\(\frac{\partialz}{\partialx}\)（）A.是將\(y\)看作常數(shù)對\(x\)求導(dǎo)B.與\(\frac{\partialz}{\partialy}\)求導(dǎo)順序無關(guān)C.表示\(z\)沿\(x\)方向的變化率D.其值與\(x\)，\(y\)有關(guān)7.下列曲線中，漸近線為\(y=0\)的有（）A.\(y=\frac{1}{x}\)B.\(y=e^{-x}\)C.\(y=\frac{1}{x^2}\)D.\(y=\sinx\)8.函數(shù)\(y=f(x)\)在\(x_0\)處取得極值的必要條件可能是（）A.\(f'(x_0)=0\)B.\(f'(x_0)\)不存在C.\(f''(x_0)=0\)D.\(f(x_0)\)為最值9.對于不定積分\(\intf(x)dx\)，以下說法正確的是（）A.結(jié)果是一族函數(shù)B.求導(dǎo)后等于\(f(x)\)C.有唯一原函數(shù)D.與導(dǎo)數(shù)運算互逆10.下列關(guān)于多元函數(shù)的說法正確的有（）A.多元函數(shù)連續(xù)不一定可偏導(dǎo)B.可偏導(dǎo)不一定連續(xù)C.可微則偏導(dǎo)數(shù)存在D.偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)則可微三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=x^3\)在\(R\)上是單調(diào)遞增的。（）2.若\(\lim_{x\tox_0}f(x)\)存在，則\(f(x)\)在\(x_0\)處一定連續(xù)。（）3.函數(shù)\(y=\cosx\)的一個原函數(shù)是\(\sinx\)。（）4.定積分\(\int_{a}^f(x)dx\)的值與積分變量的選取無關(guān)。（）5.級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)收斂，則\(\lim_{n\to\infty}a_n=0\)。（）6.二元函數(shù)\(z=f(x,y)\)在點\((x_0,y_0)\)處的兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在，則函數(shù)在該點可微。（）7.函數(shù)\(y=x^2\)與\(y=-x^2\)關(guān)于\(x\)軸對稱。（）8.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上可積，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上一定連續(xù)。（）9.函數(shù)\(y=\frac{1}{x-1}\)有垂直漸近線\(x=1\)。（）10.無窮小量與無窮大量的乘積一定是無窮小量。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=x^3-3x^2+5\)的極值。答案：先求導(dǎo)\(y'=3x^2-6x=3x(x-2)\)。令\(y'=0\)，得\(x=0\)或\(x=2\)。當(dāng)\(x\lt0\)，\(y'\gt0\)；\(0\ltx\lt2\)，\(y'\lt0\)；\(x\gt2\)，\(y'\gt0\)。所以極大值\(y(0)=5\)，極小值\(y(2)=1\)。2.計算定積分\(\int_{0}^{1}xe^{x^2}dx\)。答案：令\(t=x^2\)，則\(dt=2xdx\)。當(dāng)\(x=0\)，\(t=0\)；\(x=1\)，\(t=1\)。原積分\(=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}e^tdt=\frac{1}{2}e^t\big|_{0}^{1}=\frac{1}{2}(e-1)\)。3.求函數(shù)\(z=x^2y+xy^2\)的偏導(dǎo)數(shù)\(\frac{\partialz}{\partialx}\)和\(\frac{\partialz}{\partialy}\)。答案：\(\frac{\partialz}{\partialx}=2xy+y^2\)，將\(y\)看作常數(shù)對\(x\)求導(dǎo)；\(\frac{\partialz}{\partialy}=x^2+2xy\)，將\(x\)看作常數(shù)對\(y\)求導(dǎo)。4.簡述判斷級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)收斂的方法（至少兩種）。答案：①比較判別法：與已知斂散性的級數(shù)比較；②比值判別法：求\(\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\)，根據(jù)值判斷；③根值判別法：求\(\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|a_n\right|}\)判斷斂散性。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x^2-1}\)的單調(diào)性與凹凸性。答案：先求\(y'=-\frac{2x}{(x^2-1)^2}\)，\(y''=-\frac{2(x^2-1)^2-2x\cdot2(x^2-1)\cdot2x}{(x^2-1)^4}\)。令\(y'=0\)得\(x=0\)；分析\(y'\)、\(y''\)在不同區(qū)間符號，可知在\((-\infty,-1)\)和\((0,1)\)單調(diào)增，\((-1,0)\)和\((1,+\infty)\)單調(diào)減；在\((-\infty,-1)\)和\((1,+\infty)\)上凸，\((-1,1)\)下凸。2.結(jié)合實際例子說明定積分在求平面圖形面積中的應(yīng)用。答案：比如求\(y=x^2\)與\(y=x\)所圍圖形面積。先求交點\((0,0)\)，\((1,1)\)，則面積\(S=\int_{0}^{1}(x-x^2)dx\)。通過定積分計算出兩曲線間面積，體現(xiàn)其在求平面圖形面積中的應(yīng)用。3.談?wù)劧嘣瘮?shù)連續(xù)、可偏導(dǎo)、可微之間的關(guān)系。答案：可微則函數(shù)連續(xù)且可偏導(dǎo)；偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)則可微；但連續(xù)不一定可偏導(dǎo)，可偏導(dǎo)不一定連續(xù)，可偏導(dǎo)也不一定可微。如\(z=\sqrt{x^2+y^2}\)在\((0,0)\)連續(xù)但不可偏導(dǎo)，\(z=\begin{cases}\frac{xy}{x^2+y^2},(x,y)\neq(0,0)\\0,(x,y)=(0,0)\end{cases}\)在\((0,0)\)可偏導(dǎo)但不連續(xù)。4.討論冪級數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)的收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂域的求法及區(qū)別。答案：求收斂半徑\(R\)常用公式\(R=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|\)（\(a_n\neq0\)）或\(R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|a_n\right|}}\)。收斂區(qū)間是\((-R,R)\)。收斂域需考慮區(qū)間端點處級數(shù)斂散性，可能是開區(qū)間、閉區(qū)