17.2勾股定理的逆定理教學(xué)設(shè)計(jì)一、內(nèi)容和內(nèi)容解析內(nèi)容

本節(jié)課是人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級(jí)下冊(cè)第十七章“勾股定理”17.2節(jié)“勾股定理的逆定理”，主要內(nèi)容包括：理解互逆命題的概念，探索勾股定理逆定理的證明方法，掌握利用三邊數(shù)量關(guān)系判定直角三角形的方法，認(rèn)識(shí)勾股數(shù)及其性質(zhì)。內(nèi)容解析

學(xué)生已掌握勾股定理（若三角形是直角三角形，則三邊滿足a2+b2二、目標(biāo)和目標(biāo)解析目標(biāo)通過生活實(shí)例抽象出逆命題猜想，發(fā)展數(shù)學(xué)建模能力；經(jīng)歷“猜想→構(gòu)造→證明”的過程，掌握勾股定理逆定理的演繹推理方法，提升邏輯推理能力；運(yùn)用逆定理解決方位判斷、幾何計(jì)算等實(shí)際問題，強(qiáng)化應(yīng)用意識(shí)；通過探究勾股數(shù)的性質(zhì)，感悟從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想。目標(biāo)解析

學(xué)生需從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型，理解互逆命題的邏輯關(guān)系；通過動(dòng)手作圖、代數(shù)運(yùn)算與幾何證明的結(jié)合，體會(huì)數(shù)形統(tǒng)一性；在解決航海方位問題時(shí)，能將距離計(jì)算轉(zhuǎn)化為三邊關(guān)系分析，培養(yǎng)空間觀念；對(duì)勾股數(shù)倍數(shù)性質(zhì)的探究，為后續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)的整除性埋下伏筆。三、教學(xué)問題診斷分析邏輯關(guān)系混淆：學(xué)生易將原定理與逆定理的條件結(jié)論顛倒，例如誤認(rèn)為“若a2證明思路障礙：構(gòu)造輔助三角形需逆向思維，部分學(xué)生難以想到通過拼接直角三角形驗(yàn)證全等；實(shí)際應(yīng)用脫節(jié)：在方位問題中，難以將距離數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為三角形三邊關(guān)系模型；勾股數(shù)理解片面：易忽略“正整數(shù)”前提，或認(rèn)為非整數(shù)比的三邊不能構(gòu)成直角三角形。四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)（一）情景引入問題1古埃及人用打結(jié)的繩子畫直角：繩上等距13結(jié)，以3結(jié)、4結(jié)、5結(jié)為邊長(zhǎng)圍成三角形，則夾角為直角。為什么這種方法可行？

問題2三邊長(zhǎng)分別為2.5cm、6cm、6.5cm的三角形，滿足2.52+62=6.52，它是直角三角形嗎？設(shè)計(jì)意圖

通過歷史文化背景激發(fā)興趣，引導(dǎo)學(xué)生從特殊數(shù)值猜想一般規(guī)律，體會(huì)由具體到抽象的數(shù)學(xué)思想，對(duì)應(yīng)目標(biāo)1的建模能力培養(yǎng)。（二）合作探究1探究1觀察下列命題：

命題1（勾股定理）：若△ABC是直角三角形（∠C=90°），則a2+b2=c2。答：命題2的條件是命題1的結(jié)論，命題2的結(jié)論是命題1的條件。這樣的兩個(gè)命題互為逆命題。追問：命題“對(duì)頂角相等”的逆命題是什么？它成立嗎？

答：逆命題為“相等的角是對(duì)頂角”，不成立（反例：等腰三角形底角）。（三）鞏固練習(xí)1命題“同位角相等，兩直線平行”的逆命題是________________，它______（成立/不成立）。

答：兩直線平行，同位角相等；成立。命題“若x=1，則x2=1”的逆命題是________________，它______（成立/不成立）。

答：若x2（四）合作探究2探究2如何證明命題2（勾股定理的逆定理）？

已知：△ABC中，a2+b猜想：通過構(gòu)造直角三角形驗(yàn)證全等。

驗(yàn)證：步驟1：作Rt△ABC，使∠C°，BC=a，AC=b；步驟2：由勾股定理，AB2=a2+b2；步驟3：由已知a2步驟4：在△ABC與△ABC中，BC=BC=a，AC=AC=b，AB=AB=c，

∴△ABC≌△ABC（SSS），

∴∠C=∠C°。結(jié)論：勾股定理的逆定理成立。設(shè)計(jì)意圖

通過構(gòu)造法將代數(shù)條件轉(zhuǎn)化為幾何直觀，滲透數(shù)形結(jié)合思想，突破證明難點(diǎn)；全等推理過程強(qiáng)化嚴(yán)謹(jǐn)邏輯，對(duì)應(yīng)目標(biāo)2的能力提升。（五）典例分析例1判斷由線段組成的三角形是否為直角三角形：

(1)a=15,b=8,c=17；

(2)a=13,b=14,c=15。解：

(1)∵152+82=225+64=289，(2)∵132+142=169+196=365，知識(shí)點(diǎn)：先比較三邊大小，計(jì)算較小兩邊的平方和是否等于最大邊的平方。設(shè)計(jì)意圖

通過正反例題辨析定理?xiàng)l件，強(qiáng)調(diào)“最長(zhǎng)邊對(duì)角為直角”這一隱含結(jié)論，強(qiáng)化計(jì)算規(guī)范，對(duì)應(yīng)目標(biāo)3的應(yīng)用能力。（六）鞏固練習(xí)下列各組數(shù)能否作為直角三角形的三邊？

(1)9,12,15

(2)7,24,25

(3)5,6,7答：

(1)92+122=81+144=一艘船以16nmile/h的速度向東北方向航行，另一艘以12nmile/h的速度同時(shí)出發(fā)。1.5小時(shí)后，兩船相距30nmile。求第二艘船的航行方向。解：第一艘船行程：16×1.5=24nmile；第二艘船行程：12×1.5=18nmile；兩船距離：30nmile。

∵242+182=576+324=900=30在△ABC中，AB=13，BC=10，BC邊中線AD=12，求AC。解：BD=DC=5（中線性質(zhì)）；△ABD中：AB2=132=△ADC中，AD=12，DC=5，

AC=設(shè)計(jì)意圖

分層設(shè)置基礎(chǔ)題、實(shí)際應(yīng)用題、綜合題，鞏固定理應(yīng)用；航海問題培養(yǎng)空間建模能力，中線問題滲透轉(zhuǎn)化思想，對(duì)應(yīng)目標(biāo)3、4。（七）歸納總結(jié)核心概念定義/定理關(guān)鍵點(diǎn)互逆命題若原命題為“若P則Q”，則逆命題為“若Q則P”逆命題不一定成立勾股定理逆定理若a2最長(zhǎng)邊c對(duì)角為直角勾股數(shù)滿足a2+例：3k,4k,5k(k∈N)（八）感受中考(2023·江蘇)△ABC三邊a,b,c滿足a?52+∥b?12∥+c?132=0，則△ABC是（）

(2024·浙江)已知點(diǎn)A(1,2),B(4,6),C(0,5)，則△ABC的形狀是（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形

解：

AB=4?12+6?22=5，

(2022·北京)四邊形ABCD中，AB=3,BC=4,CD=12,DA=13,∠B=90°，則四邊形面積為______。

解：連接AC，則AC=△ACD中，52+122面積=S△ABC+S△ACD=12(2023·福建)若n為正整數(shù)，且三邊n,n+1,n+2能構(gòu)成直角三角形，則n=______。

解：

∵n+2為最大邊，

∴需滿足n2+n+12=n+22，設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)習(xí)完知識(shí)后加入中考真題練習(xí)，不僅可以幫助學(xué)生明確考試方向，熟悉考試題型，檢驗(yàn)學(xué)習(xí)成果，提升應(yīng)考能力，還可以提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動(dòng)力。（九）小結(jié)梳理知識(shí)模塊思維方法應(yīng)用方向互逆命題邏輯關(guān)系辨析命題真?zhèn)闻袛嗄娑ɡ碜C明構(gòu)造全等三角形幾何推理能力訓(xùn)練直角三角形判定計(jì)算平方和并比較測(cè)量、方位問題勾股數(shù)性質(zhì)從特殊到一般的歸納整數(shù)解問題（十）布置作業(yè)必做題教材習(xí)題17.2第1題：判斷是否為直角三角形

(1)a=7,b=24,c=25→是（72+242=625教材習(xí)題17.2第3題：小明向東80m后走60m，再走100m回原點(diǎn)。求第二次行走方向。

解：三邊為60,80,100，滿足602第一次向東，第二次需向南或北走60m。選做題探索勾股數(shù)規(guī)律：

(1)觀察3k,4k,5k（k為正整數(shù)）是否恒為勾股數(shù)？

答：是，∵3k