高考數(shù)學(xué)專(zhuān)項(xiàng)試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,4\}\)，\(A\cupB=(\)\)A.\(\{1,2,3,4\}\)B.\(\{2\}\)C.\(\{1,3\}\)D.\(\varnothing\)2.函數(shù)\(y=\log_2(x+1)\)的定義域是（）A.\((-1,+\infty)\)B.\([-1,+\infty)\)C.\((0,+\infty)\)D.\((1,+\infty)\)3.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec=(-1,m)\)，若\(\vec{a}\parallel\vec\)，則\(m=(\)\)A.2B.-2C.\(\frac{1}{2}\)D.\(-\frac{1}{2}\)4.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，則\(a_5=(\)\)A.9B.8C.7D.65.函數(shù)\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的最小正周期是（）A.\(\pi\)B.\(2\pi\)C.\(\frac{\pi}{2}\)D.\(\frac{\pi}{4}\)6.若\(x\gt0\)，\(y\gt0\)，且\(x+y=1\)，則\(xy\)的最大值為（）A.\(\frac{1}{4}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.1D.27.曲線\(y=x^3\)在點(diǎn)\((1,1)\)處的切線方程為（）A.\(y=3x-2\)B.\(y=2x-1\)C.\(y=x\)D.\(y=4x-3\)8.已知\(\cos\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\)是第四象限角，則\(\sin\alpha=(\)\)A.\(\frac{4}{5}\)B.\(-\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{5}\)D.\(-\frac{3}{5}\)9.拋物線\(y^2=8x\)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.\((2,0)\)B.\((0,2)\)C.\((4,0)\)D.\((0,4)\)10.若\(z=1+2i\)，則\(\vertz\vert=(\)\)A.\(\sqrt{5}\)B.5C.\(\sqrt{3}\)D.3二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\sinx\)D.\(y=x^3\)2.以下哪些是基本不等式\(a+b\geq2\sqrt{ab}(a\gt0,b\gt0)\)成立的條件（）A.\(a\gt0\)B.\(b\gt0\)C.\(a=b\)時(shí)取等號(hào)D.\(a,b\inR\)3.已知直線\(l_1:ax+y+1=0\)，\(l_2:x+ay+1=0\)，若\(l_1\parallell_2\)，則\(a\)的值可能為（）A.1B.-1C.0D.24.一個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為\(a\)，以下說(shuō)法正確的是（）A.正方體的表面積為\(6a^2\)B.正方體的體積為\(a^3\)C.正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為\(\sqrt{3}a\)D.正方體的面對(duì)角線長(zhǎng)為\(\sqrt{2}a\)5.下列屬于雙曲線\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a\gt0,b\gt0)\)性質(zhì)的有（）A.焦點(diǎn)在\(x\)軸上B.漸近線方程為\(y=\pm\frac{a}x\)C.離心率\(e\gt1\)D.實(shí)軸長(zhǎng)為\(2b\)6.已知\(\triangleABC\)中，\(a=3\)，\(b=4\)，\(\sinA=\frac{3}{5}\)，則\(\sinB\)的值可能為（）A.\(\frac{4}{5}\)B.\(-\frac{4}{5}\)C.\(\frac{5}{4}\)D.17.下列函數(shù)中，在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞增的有（）A.\(y=2^x\)B.\(y=\lnx\)C.\(y=x^2\)D.\(y=\frac{1}{x}\)8.已知\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，\(\vec=(x_2,y_2)\)，則下列向量運(yùn)算正確的是（）A.\(\vec{a}+\vec=(x_1+x_2,y_1+y_2)\)B.\(\vec{a}-\vec=(x_1-x_2,y_1-y_2)\)C.\(\lambda\vec{a}=(\lambdax_1,\lambday_1)\)（\(\lambda\)為實(shí)數(shù)）D.\(\vec{a}\cdot\vec=x_1x_2+y_1y_2\)9.關(guān)于函數(shù)\(y=\tanx\)，以下說(shuō)法正確的是（）A.定義域?yàn)閈(\{x|x\neqk\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ\}\)B.周期為\(\pi\)C.是奇函數(shù)D.在\((-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\)上單調(diào)遞增10.已知\(f(x)\)是定義在\(R\)上的奇函數(shù)，且\(f(x+2)=-f(x)\)，則（）A.\(f(0)=0\)B.\(f(4)=0\)C.\(f(x)\)的周期為4D.\(f(x)\)的圖象關(guān)于點(diǎn)\((1,0)\)對(duì)稱(chēng)三、判斷題（每題2分，共10題）1.空集是任何集合的真子集。（）2.函數(shù)\(y=x^0\)的定義域是\(x\neq0\)。（）3.若\(a\gtb\)，則\(a^2\gtb^2\)。（）4.直線\(y=kx+b\)一定與\(y\)軸相交。（）5.若\(\sin\alpha=\sin\beta\)，則\(\alpha=\beta\)。（）6.等差數(shù)列的前\(n\)項(xiàng)和公式是\(S_n=na_1+\frac{n(n-1)d}{2}\)。（）7.橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)的離心率\(e=\frac{c}{a}\)，且\(0\lte\lt1\)。（）8.函數(shù)\(y=\cosx\)的圖象關(guān)于\(y\)軸對(duì)稱(chēng)。（）9.若\(a,b\)為異面直線，\(b,c\)為異面直線，則\(a,c\)也為異面直線。（）10.復(fù)數(shù)\(z=a+bi\)（\(a,b\inR\)），當(dāng)\(a=0\)時(shí)，\(z\)為純虛數(shù)。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=x^2-2x+3\)的對(duì)稱(chēng)軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)。-答案：對(duì)于二次函數(shù)\(y=ax^2+bx+c\)，對(duì)稱(chēng)軸\(x=-\frac{2a}\)，此函數(shù)\(a=1\)，\(b=-2\)，對(duì)稱(chēng)軸\(x=1\)。把\(x=1\)代入得\(y=2\)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為\((1,2)\)。2.已知\(\tan\alpha=2\)，求\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}\)的值。-答案：分子分母同時(shí)除以\(\cos\alpha\)，則\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}=\frac{\tan\alpha+1}{\tan\alpha-1}\)，將\(\tan\alpha=2\)代入得\(\frac{2+1}{2-1}=3\)。3.求過(guò)點(diǎn)\((1,2)\)且與直線\(2x-y+1=0\)平行的直線方程。-答案：兩直線平行斜率相等，已知直線斜率為\(2\)，設(shè)所求直線方程為\(y-2=2(x-1)\)，整理得\(2x-y=0\)。4.已知\(\triangleABC\)中，\(a=5\)，\(b=7\)，\(c=8\)，求\(\cosB\)的值。-答案：根據(jù)余弦定理\(\cosB=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}\)，將\(a=5\)，\(b=7\)，\(c=8\)代入得\(\cosB=\frac{25+64-49}{2\times5\times8}=\frac{1}{2}\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)和\((-\infty,0)\)上的單調(diào)性。-答案：在\((0,+\infty)\)上，任取\(x_1\ltx_2\)，\(f(x_1)-f(x_2)=\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}=\frac{x_2-x_1}{x_1x_2}\gt0\)，所以\(y=\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)單調(diào)遞減；同理在\((-\infty,0)\)上也單調(diào)遞減。2.討論直線與圓的位置關(guān)系有哪些判定方法。-答案：一是幾何法，比較圓心到直線的距離\(d\)與圓半徑\(r\)的大小，\(d\gtr\)時(shí)相離，\(d=r\)時(shí)相切，\(d\ltr\)時(shí)相交；二是代數(shù)法，聯(lián)立直線與圓方程得方程組，消元后看判別式\(\Delta\)，\(\Delta\gt0\)相交，\(\Delta=0\)相切，\(\Delta\lt0\)相離。3.討論等差數(shù)列和等比數(shù)列在通項(xiàng)公式和求和公式上的區(qū)別與聯(lián)系。-答案：區(qū)別：等差數(shù)列通項(xiàng)\(a_n=a_1+(n-1)d\)，求和\(S_n=na_1+\frac{n(n-1)d}{2}\)；等比數(shù)列通項(xiàng)\(a_n=a_1q^{n-1}\)，求和\(S_n=\begin{cases}na_1(q=1)\\\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}(q\neq1)\end{cases}\)。聯(lián)系：都是數(shù)列重要類(lèi)型，研究方法有相似處。4.討論如何利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值。-答案：先求函數(shù)\(f(x)\)的導(dǎo)數(shù)\(f^\prime(x)\)，令\(f^\prime(x)=0\)，求出駐點(diǎn)。再判斷駐點(diǎn)左右兩側(cè)\(f^\prime(x)\)的正負(fù)，若左側(cè)正右側(cè)負(fù)，則為極大值點(diǎn)；