數(shù)值分析1試題及答案

單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.數(shù)值計(jì)算中，誤差來(lái)源不包括（）A.模型誤差B.觀測(cè)誤差C.截?cái)嗾`差D.相對(duì)誤差2.二分法求方程根的條件是（）A.函數(shù)連續(xù)B.函數(shù)單調(diào)C.函數(shù)有端點(diǎn)值異號(hào)區(qū)間D.函數(shù)可導(dǎo)3.辛普森積分公式的代數(shù)精度是（）A.1B.2C.3D.44.迭代法收斂的充分條件是（）A.迭代函數(shù)導(dǎo)數(shù)絕對(duì)值小于1B.迭代函數(shù)導(dǎo)數(shù)絕對(duì)值大于1C.迭代函數(shù)連續(xù)D.迭代函數(shù)可導(dǎo)5.高斯消去法能直接求解（）A.對(duì)稱(chēng)正定矩陣方程組B.奇異矩陣方程組C.任意矩陣方程組D.三對(duì)角矩陣方程組6.雅可比迭代法的迭代矩陣是（）A.$D^{-1}(L+U)$B.$(D-L)^{-1}U$C.$D^{-1}(U-L)$D.$(D-U)^{-1}L$7.求多項(xiàng)式插值的牛頓插值公式的優(yōu)點(diǎn)是（）A.計(jì)算簡(jiǎn)單B.節(jié)省計(jì)算量C.收斂速度快D.精度高8.數(shù)值微分中，中心差商公式的誤差階是（）A.$O(h)$B.$O(h^{2})$C.$O(h^{3})$D.$O(h^{4})$9.拉格朗日插值基函數(shù)之和等于（）A.0B.1C.-1D.x10.QR分解中Q是（）A.正交矩陣B.上三角矩陣C.下三角矩陣D.對(duì)角矩陣答案：1.D2.C3.C4.A5.A6.A7.B8.B9.B10.A多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.提高數(shù)值計(jì)算精度的方法有（）A.避免相近數(shù)相減B.防止大數(shù)“吃掉”小數(shù)C.采用數(shù)值穩(wěn)定算法D.增加有效數(shù)字位數(shù)2.以下屬于數(shù)值積分方法的有（）A.梯形積分法B.龍貝格積分法C.蒙特卡洛積分法D.牛頓-柯特斯積分法3.迭代法收斂的判定條件有（）A.迭代函數(shù)導(dǎo)數(shù)絕對(duì)值在某區(qū)間小于1B.迭代函數(shù)滿足利普希茨條件C.迭代函數(shù)連續(xù)D.迭代函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)唯一4.常用的解線性方程組的直接方法有（）A.高斯消去法B.LU分解法C.QR分解法D.雅可比迭代法5.下列關(guān)于插值的說(shuō)法正確的是（）A.拉格朗日插值多項(xiàng)式構(gòu)造簡(jiǎn)單B.牛頓插值計(jì)算較靈活C.埃爾米特插值滿足函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值條件D.三次樣條插值函數(shù)光滑性好6.數(shù)值微分常用的公式有（）A.向前差商公式B.向后差商公式C.中心差商公式D.三點(diǎn)數(shù)值微分公式7.矩陣的條件數(shù)與（）有關(guān)。A.矩陣范數(shù)B.矩陣特征值C.矩陣行列式D.矩陣的秩8.迭代法的優(yōu)點(diǎn)包括（）A.存儲(chǔ)量小B.程序設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單C.對(duì)系數(shù)矩陣要求低D.收斂速度快9.LU分解中L是（），U是（）。A.單位下三角矩陣B.下三角矩陣C.單位上三角矩陣D.上三角矩陣10.高斯型求積公式的特點(diǎn)有（）A.具有較高的代數(shù)精度B.節(jié)點(diǎn)分布均勻C.求積系數(shù)全為正D.計(jì)算量小答案：1.ABC2.ABCD3.AB4.ABC5.ABCD6.ABCD7.AB8.ABC9.AD10.ACD判斷題（每題2分，共10題）1.數(shù)值計(jì)算中，絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差的關(guān)系是絕對(duì)誤差=相對(duì)誤差×近似值。（）2.只要迭代函數(shù)收斂，迭代法就可以任意選取初始值。（）3.高斯消去法一定能夠求解線性方程組。（）4.拉格朗日插值多項(xiàng)式是唯一的。（）5.數(shù)值積分公式的代數(shù)精度越高，計(jì)算結(jié)果越精確。（）6.雅可比迭代法和高斯-賽德?tīng)柕ǘ际墙饩€性方程組的迭代法，二者收斂速度相同。（）7.矩陣A的條件數(shù)cond(A)越大，說(shuō)明方程組Ax=b的解對(duì)擾動(dòng)越敏感。（）8.埃爾米特插值比拉格朗日插值要求的條件更復(fù)雜。（）9.求多項(xiàng)式擬合時(shí)，擬合多項(xiàng)式次數(shù)越高越好。（）10.牛頓法求方程根的收斂速度一般比二分法快。（）答案：1.×2.×3.×4.√5.×6.×7.√8.√9.×10.√簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.簡(jiǎn)述數(shù)值計(jì)算中誤差的分類(lèi)及來(lái)源誤差分為模型誤差、觀測(cè)誤差、截?cái)嗾`差和舍入誤差。模型誤差源于數(shù)學(xué)模型對(duì)實(shí)際問(wèn)題的近似；觀測(cè)誤差由測(cè)量工具和方法引入；截?cái)嗾`差是簡(jiǎn)化計(jì)算方法的結(jié)果；舍入誤差則是計(jì)算中近似取值造成。2.說(shuō)明高斯消去法求解線性方程組的步驟先通過(guò)消元變換將方程組增廣矩陣化為上三角矩陣，再?gòu)淖詈笠粋€(gè)方程開(kāi)始逐步回代求解出未知數(shù)的值，即按照消元與回代兩個(gè)主要步驟求解。3.講述拉格朗日插值多項(xiàng)式的構(gòu)造思路針對(duì)給定的插值節(jié)點(diǎn)，構(gòu)造基于每個(gè)節(jié)點(diǎn)的基函數(shù)，每個(gè)基函數(shù)在對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)取值為1，在其他節(jié)點(diǎn)取值為0，然后將各節(jié)點(diǎn)函數(shù)值與相應(yīng)基函數(shù)相乘并相加，得到拉格朗日插值多項(xiàng)式。4.簡(jiǎn)述迭代法收斂的含義迭代法收斂指從初始值出發(fā)，經(jīng)過(guò)多次迭代后，迭代序列逐漸趨近于方程組的精確解（或方程的根），當(dāng)?shù)螖?shù)足夠多時(shí)，誤差可滿足精度要求。討論題（每題5分，共4題）1.討論直接法和迭代法解線性方程組的優(yōu)缺點(diǎn)直接法如高斯消去法等，優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算有固定步驟，理論上有限步可得到精確解；缺點(diǎn)是對(duì)高階矩陣需大量存儲(chǔ)和計(jì)算，對(duì)病態(tài)矩陣結(jié)果不可靠。迭代法存儲(chǔ)量小，程序簡(jiǎn)單，對(duì)稀疏矩陣優(yōu)勢(shì)明顯，但可能收斂慢甚至不收斂。2.在數(shù)值積分中，如何選擇合適的積分方法若函數(shù)形式簡(jiǎn)單、積分區(qū)間小，梯形法或辛普森法較合適；對(duì)精度要求高且計(jì)算量大時(shí)，龍貝格積分法更好；對(duì)于復(fù)雜函數(shù)或不規(guī)則區(qū)域，蒙特卡洛積分法適用；若函數(shù)有解析表達(dá)式，牛頓-柯特斯積分法可嘗試，要綜合精度需求、計(jì)算量等因素選擇。3.分析數(shù)值計(jì)算中誤差對(duì)結(jié)果的影響及控制方法誤差可能使計(jì)算結(jié)果偏離準(zhǔn)確值，小誤差積累可能導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果嚴(yán)重失真。控制方法有選擇數(shù)值穩(wěn)定算法，避免相近數(shù)相減、大數(shù)“吃”小數(shù)等情況；合理選取步長(zhǎng)以控制截?cái)嗾`差；增