浙江省浙南名校2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期4月期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B．C． D．2．直線與圓的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相交C．相切 D．無法確定3．已知的面積為，若，，則“為銳角”是“”（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的一半（縱坐標(biāo)不變），再將圖象向左平移個(gè)單位，得到的函數(shù)的表達(dá)式為（

）A． B．C． D．5．已知兩個(gè)非零向量，同時(shí)滿足，則向量與的夾角的大小為（

）A． B． C． D．6．現(xiàn)有8名社工，參加兩個(gè)社區(qū)工作，每個(gè)社區(qū)4人，其中甲、乙、丙、丁四人是好友關(guān)系。他們希望在工作時(shí)，至少有一名好友相伴，試問：這樣的工作安排方案共（

）有種？A．20 B．38 C．70 D．747．在的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)是(

)A．165 B．164 C．120 D．1198．已知在三棱錐中，，，則該三棱錐的外接球表面積為（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知袋中有除顏色外其他都相同的小球9個(gè)，其中黑球6個(gè)，紅球3個(gè)，從中摸4個(gè)球，方案一：有放回地摸球，記取得紅球個(gè)數(shù)為；方案二：不放回地摸球，記取得紅球個(gè)數(shù)為.下列說法中，正確的有（

）A． B．，其中C． D．10．已知在等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，其中，，在等比數(shù)列中，，，則（

）A． B．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列C．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為 D．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為11．已知函數(shù)，，下列結(jié)論正確的是（

）A．曲線在點(diǎn)（1，2）處的切線方程為B．函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為(－3,0)C．若曲線與有三個(gè)交點(diǎn)，，，則，，必成等差數(shù)列D．存在曲線與有三個(gè)交點(diǎn)，，，使得，，成等比數(shù)列三、填空題12．已知復(fù)數(shù)，則的虛部為.13．老師從10篇課文中隨機(jī)抽3篇讓學(xué)生背誦，背誦篇數(shù)沒達(dá)到2篇的為不合格，不合格者積分扣1分；能背誦篇數(shù)2篇的為合格，不扣分也不加分；3篇都能背誦的為優(yōu)秀，優(yōu)秀者積分加2分，某位同學(xué)只能背誦其中的6篇課文，記該同學(xué)的得分為，則.14．已知橢圓，拋物線，點(diǎn)是與在第一象限的交點(diǎn)，是的左頂點(diǎn)，直線交于點(diǎn)，若點(diǎn)恰為線段的中點(diǎn)，則的值為.四、解答題15．為了研究大氣污染物濃度的影響因素，研究人員檢測了經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平相當(dāng)?shù)?4個(gè)城市的汽車流量.得到數(shù)據(jù)如下：濃度（單位：）汽車流量（單位：千輛/24小時(shí)）合計(jì)821011314合計(jì)91524（1）判斷是否有的把握認(rèn)為濃度與汽車流量有關(guān)？（2）對于隨機(jī)事件，，若，則認(rèn)為事件對事件發(fā)生有促進(jìn)作用，否則就認(rèn)為是抑制作用.現(xiàn)記為“濃度超過”，為“城市汽車流量不超過1.4千輛/24小時(shí)”，用表格數(shù)據(jù)估計(jì)事件A、B發(fā)生的概率，試問：事件B對事件A是促進(jìn)作用還是抑制作用?附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.82816．已知雙曲線的一條漸近線方程為，過點(diǎn)的直線與雙曲線的右支于、兩點(diǎn)，點(diǎn)分別為雙曲線的左頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，且到漸近線的距離為1，為直角三角形.（1）求雙曲線的方程；（2）求的面積.17．如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，平面，，為的中點(diǎn)，.（1）證明：平面平面；（2）若，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.18．函數(shù)，其中，.（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若，，，求證：.19．已知某籃球隊(duì)有五名隊(duì)員，其中甲是主要得分手，乙是組織后衛(wèi).如果球在乙手中，則他傳球給甲的概率為，傳球給其他隊(duì)員的概率均為；如果球不在乙手中，則這名隊(duì)員傳球給任何隊(duì)友的概率都是.開始進(jìn)攻時(shí)，球在乙手中.（1）求經(jīng)過2次傳球并由甲執(zhí)行投籃的條件下，球有經(jīng)過丙之手的概率；（2）經(jīng)過次傳球后，球回到乙手中的概率；（3）記經(jīng)過次傳球后，球到甲的手中的概率為，求證：滿足的的個(gè)數(shù)不少于滿足的的個(gè)數(shù).

參考答案1．【答案】D【詳解】因?yàn)?又因?yàn)樗怨蔬xD2．【答案】B【詳解】由，即圓心，半徑，所以到的距離，所以直線與圓相交.故選B3．【答案】A【詳解】當(dāng)為銳角時(shí)，，而當(dāng)為鈍角時(shí)，亦有，所以“為銳角”是“”充分不必要條件，A正確.故選A4．【答案】A【詳解】將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的一半（縱坐標(biāo)不變）,可得到函數(shù)的圖象，再將所得函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，可得到函數(shù)的圖象.故選A.5．【答案】C【詳解】根據(jù)可得，可得，因此，所以，又，所以.即向量與的夾角的大小為.故選C6．【答案】B【詳解】由甲、乙、丙、丁四人是好友關(guān)系，至少有一名好友相伴，可分為兩類，（1）把4名好友分在同一個(gè)社區(qū)，另4人在一個(gè)社區(qū)有2種不同的方法，（2）有兩名好友在1個(gè)社區(qū)，另2名好名在另一個(gè)社區(qū)有種，綜上所述：共有種不同的分配方法.故選B.7．【答案】B【詳解】依題意，項(xiàng)的系數(shù)為.故選B.8．【答案】B【詳解】過作平面于，連接，因?yàn)椋傻茫詾榈耐庑?，所以三棱錐的外心在上，因?yàn)?，由正弦定理可得，所以，設(shè)外接球的半徑為，則可得，所以，所以該三棱錐的外接球表面積為.故選B.9．【答案】ACD【詳解】選項(xiàng)A，方案一中，有放回地摸球，每次摸取到紅球的概率為，摸次球，則取得紅球個(gè)數(shù)，所以，故選項(xiàng)A正確.選項(xiàng)B，方案一中，，.方案二中，不放回地摸球，取得紅球個(gè)數(shù)服從超幾何分布，，，，則，.當(dāng)時(shí)，，，所以，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤.選項(xiàng)C，，，所以，故選項(xiàng)C正確.選項(xiàng)D，，.可得，即，故選項(xiàng)D正確.故選ACD.10．【答案】ABD【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，已知，，令，則．所以，即，解得．所以．，故A選項(xiàng)正確．已知，，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，所以，則，所以（常數(shù)），所以數(shù)列是等差數(shù)列，故B選項(xiàng)正確．已知．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤．已知．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則所以所以，故D選項(xiàng)正確．故選ABD．11．【答案】AC【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以.因?yàn)樵邳c(diǎn)(1,2)處的切線方程為，所以在點(diǎn)(1,2)處的切線方程為，即為，故A為真；又因?yàn)楹瘮?shù)在開區(qū)間上存在最小值，則在區(qū)間上不單調(diào)，且存在極小值點(diǎn)，由的圖象可知的極小值點(diǎn)為，所以，則，故B為假；由于，則的解為，且，則關(guān)于中心對稱，又因?yàn)?，所以恒過點(diǎn)，即為的對稱中心，所以曲線與有三個(gè)交點(diǎn)時(shí)，又因?yàn)椋鶕?jù)對稱可得，為中點(diǎn)，所以恒成立，故C為真；因?yàn)楹愠闪?，要使得，，成等比?shù)列，且因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，所以不存在這樣的三點(diǎn)，故D為假.故選AC12．【答案】/【詳解】，故其虛部為.13．【答案】0【詳解】設(shè)該同學(xué)抽到能背誦的得分，的可能取值為，所以，，，則的分布列為：02所以.14．【答案】【詳解】易知，設(shè)，如下圖所示：因?yàn)辄c(diǎn)為線段的中點(diǎn)，可得，且在上，即，解得，又在上，則，解得，因?yàn)?，所?15．【答案】（1）有的把握認(rèn)為濃度與汽車流量有關(guān)-（2）是抑制作用【詳解】（1）設(shè)：濃度與汽車流量無關(guān)，由，所以有的把握認(rèn)為不成立，即濃度與汽車流量有關(guān).（2）由題知，則，所以事件對事件是抑制作用.16．【答案】（1）（2）【詳解】（1）由題知，，同時(shí)到漸近線的距離，所以，所以雙曲線的方程為；（2）因?yàn)殡p曲線的漸近線為，過的雙曲線與右支交于兩點(diǎn)，所以，因此不妨設(shè)，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由對稱性可知顯然不為直角三角形，所以的斜率存在，設(shè)直線.，，在以為直徑的圓上，如下圖所示：因?yàn)?，所以的中點(diǎn)為，所以，所以以為直徑的圓的方程為，故，解得或，不妨取，此時(shí)，所以，再由，，所以，，，到直線的距離，所以.17．【答案】（1）證明見解析（2）【詳解】（1）且是中點(diǎn)，直角中，，平面，平面，，又，平面，平面，又底面，平面底面.（2）取中點(diǎn)，連接，，且是中點(diǎn)，且由（1）得平面底面，又平面底面，底面，分別以，為，軸，過作的平行線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系；，，，，，，，，，若平面的一個(gè)法向量，，令，則，所以平面的一個(gè)法向量為，若平面的一個(gè)法向量，，令，則，所以平面的一個(gè)法向量，，所以銳二面角的余弦值為.18．【答案】（1）答案見解析（2）或（3）證明見解析【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，由，解得或，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和，當(dāng)時(shí)，由，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，由，解得或，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和，綜上所述：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，（2）由（1）知函數(shù)的極大值為，極小值為，當(dāng)，，，，則或者，，即，，解得綜上，的取值范圍或.（3）由題知，，，由，得，，要證：，只要證：，令，，設(shè)，，由得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上遞增，并且，，所以，，，即，，，所以，單調(diào)遞減，，單調(diào)遞增，是的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，，故，，故，結(jié)論得證.19．【答案】（1）（2）（3）證明見解析【詳解】（1）記事件“經(jīng)過2次傳球并由甲執(zhí)行投籃”，“球有經(jīng)過丙之手”，則.（2）記事件“傳球后球回到乙手中”，，則