第16講定值問題

模塊1本質(zhì)原理

1代數(shù)定值

多變量中，消元導(dǎo)致系數(shù)為零，進(jìn)而帶動(dòng)產(chǎn)生一系列的定值.

2.幾何定值

位置不變、幾何量不變、數(shù)量關(guān)系不變，具體見表11.1.

表11.1

幾何定值分類求解工具

①利用三角形的性質(zhì)及定理倒角；

角為定值②利用平行線的性質(zhì)倒角;

③利用圓的性質(zhì)及定理倒角

①利用特殊三角形（等腰三角形、等邊三角形）的性質(zhì)；

②利用特殊四邊形（平行四邊形、矩形、菱形、正方形）的性質(zhì)；

邊為定值

③利用圓的性質(zhì)及定理；

④利用特殊角的三角函數(shù)

線段和或差為定值①利用等面枳法；

（或和差關(guān)系式）②利用截長(zhǎng)補(bǔ)短法

線段乘積或比值為定值①構(gòu)造相似法；

（常見于函數(shù)中）②含參計(jì)算法

①定義法（$△=:X底X懸！，，S梯形=1x（上底+下底）X匐；

面積為定值

②割補(bǔ)法（利用“水平寬、鉛垂高”）；

（常見于函數(shù)中）

③等積變形法（平行線內(nèi)的同底等局）

模塊2場(chǎng)景演練

模型的識(shí)別：代數(shù)中的定值

1.若一次函數(shù)y=2mx+m+3的圖像經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，則這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)為.

變式①：不論k取什么樣的實(shí)數(shù)，直線.y=-+（2009-2010k）總經(jīng)過一定點(diǎn)，則這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)為

變式②：已知二次函數(shù)y=/+(皿++4巾-13,當(dāng)m取不同的值時(shí)，拋物線都會(huì)經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，此定

點(diǎn)的坐標(biāo)為.

模型的識(shí)別：幾何中的定值

類型1：角為定值

2.如圖11.1所示，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為1,乙4BC=60。,點(diǎn)E是邊AB上任意一點(diǎn)(端點(diǎn)除外)，線段CE的垂

直平分線分別交BD,CE于點(diǎn)F,G.

(1)求證：AF=EF.

(2)當(dāng)點(diǎn)E在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí),NCEF的大小不變，其度數(shù)為.

圖11.1

3.如圖11.2所示，函數(shù)y=；的圖像上有一點(diǎn)P(a,b),由點(diǎn)P分別向x軸、y軸作垂線PM,PN,垂足為點(diǎn)M,

N,直線AB:y=-x+1分別交PM,PN于點(diǎn)E,F,則△40F與△BEO的關(guān)系為；ZEOF=_.

圖1L2

4.如圖11.3所示，定長(zhǎng)的弦ST在一個(gè)以AB為直徑的半圓上滑動(dòng)，M是$丁的中點(diǎn)，「是S對(duì)AB作垂線

的垂足，求證：不管ST滑到什么位置，NSPM是一定角.

圖U.3

類型2：邊為定值

5.如圖11.4所示，一次函數(shù)y=ax+b的圖像分別與x軸、y軸交于A,B兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)y=單勺圖像

相交于C,D兩點(diǎn)，分別過C,D兩點(diǎn)作y軸、x軸的垂線，垂足為點(diǎn)E,F,連接CF,DE,EF.有下列四個(gè)結(jié)論：

①ACEF與ADEF的面積相等；

②AAOBAFOE;

③ADCE=ACDF;

@AC=BD.

其中不正確的結(jié)論是.

圖11.4

類型3：線段和或差為定值（或和差關(guān)系式）

6.如圖11.5所示，在AABC中，28=4&點(diǎn)P為邊BC上任一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD回AB,PE，AC,垂足分別為

點(diǎn)D,E,過點(diǎn)C作CF1AB,,垂足為點(diǎn)F.求證：PD+PE=CF.

圖11.5

變式①：如圖11.6所示，當(dāng)點(diǎn)P在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，題6中其余條件不變.求證：PD-PE=CF.

圖11.6

變式②:如圖11.7所示,在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,點(diǎn)P是AD上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE1AO,PF10D,,

垂足分別為點(diǎn)E,F,貝!J.PE+PF=

B

圖11.7

變式③:如圖11.8所示,將矩形ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)B上，點(diǎn)C落在點(diǎn)(C'處，點(diǎn)P為折痕EF

上的任一點(diǎn),過點(diǎn)P作PG，BE,PH18C,垂足分別為點(diǎn)G,H若AD=8,CF=3,則PG+PH=_.

圖11.8

變式④：如圖11.9所示，兩條直線二,G分別是函數(shù)為=-3久+3和y=3x+3的圖像，匕,％與x軸的交點(diǎn)

42

(1)試探究等邊三角形內(nèi)部任一點(diǎn)P到三邊的距離之和@+d2+d3)是否為定值.如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；如

果是，請(qǐng)證明.

(2)請(qǐng)進(jìn)一步探究正四邊形、正五邊形……正n邊形內(nèi)任意一點(diǎn)到各邊的距離之和是否為定值.對(duì)此，你能獲得

什么規(guī)律?

變式：如圖11.10所示,等邊△4BC外一點(diǎn)P到三邊的距離分別為比,九2，九3,且八3+%一九1=3,其中PD=

h3,PE=h2,PF=M貝1JAABC的面積=

PA+PC

8.如圖11.11所示，已知P為正方形ABCD的外接圓的劣弧—4。上任意一點(diǎn)，則

PB

9.如圖11.12所示，已知矩形AEFG和矩形ABCD,將矩形AEFG繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，笠=*=|,4E

AGAL)3

=4,4B=8,連接DE,BG,在旋轉(zhuǎn)過程中，DE2+BG2的值是定值，此定值為.

圖11.12

10.如圖11.13所示拋物線y=-x2-2x+3交x軸于A,B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為

D,過點(diǎn)D作直線DE||y軸交x軸于點(diǎn)E,點(diǎn)P是拋物線上B,D兩點(diǎn)間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與B,D兩點(diǎn)重合）,

直線PA,PB與直線DE分別交于點(diǎn)F,G.當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，EF+EG=

類型4：線段乘積或比值為定值

11.如圖11.14所示，等邊AABC內(nèi)接于圓，在劣弧一4B上取異于A,B的點(diǎn)M,設(shè)直線CA與BM相交于

點(diǎn)K,直線CB與AM相交于點(diǎn)N.證明：線段AK和BN的乘積與點(diǎn)M的選擇無(wú)關(guān).

圖11.14

12.如圖11.15所示，在AABC中，N4BC=90。,0是BA上一點(diǎn)以點(diǎn)0為圓心、OB為半徑的圓與AB交于

點(diǎn)P,與AC相切于點(diǎn)D.已知.AB=8,00的半徑為r,存在一個(gè)常數(shù)m,不論半徑r如何變化..AD-CD-mOA

的值始終是一個(gè)定值，此定值為.

圖11.15

13.如圖11.16所示在等腰AABC中，0為底邊BC的中點(diǎn)，以點(diǎn)0為圓心作半圓與AB,AC相切，切點(diǎn)分別

為D,E,過半圓上一點(diǎn)F作半圓的切線，分別交AB,AC于點(diǎn)M,N,則曙

14.如圖11.17所示,P為反比例函數(shù)y=久久〉0）在第一象限內(nèi)圖像上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作x軸、y軸的垂線

交一次函數(shù).y=—%—4的圖像于點(diǎn)A,B.若A0,B0分別平分NB4P,乙48。,,蛆|k的值為.

圖11.17

類型5：面積為定值

15.如圖11.18所示，點(diǎn)A是反比例函數(shù)y=j（x〉O）圖像上的任意一點(diǎn)，4B||久軸交反比例函數(shù)y=-:的圖像

于點(diǎn)B,以AB為邊作團(tuán)4BCD,其中點(diǎn)C,D在x軸上，則S口ABCD為.

16.如圖11.19所示，在A4BC中,已知ZC=90°MC=BC=4,DgAB的中點(diǎn)，點(diǎn)E,F分別在AC,BC邊上

運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A,C重合），且保持AE=CF,連接DE,DF,EF在此運(yùn)動(dòng)變化的過程中，求證：四邊形CEDF的面

積是定值.

c

17.如圖n.20所示,P為定角乙408平分線上的一個(gè)定點(diǎn)，且乙MPN與乙40B互補(bǔ)，NMPN在繞點(diǎn)P轉(zhuǎn)動(dòng)的

過程中，其兩邊分別與OA,OB相交于M,N兩點(diǎn).求證：四邊形PMON的面積是定值.

圖11.20

18.如圖11.21所示，已知A,B,C是函數(shù)y=/圖像上的動(dòng)點(diǎn)，且三點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為a+l,a,a-1..小生同學(xué)

用軟件GeoGebra對(duì)△ABC的幾何特征進(jìn)行了探究，發(fā)現(xiàn)△28C的面積是個(gè)定值，則這個(gè)定值為

19.如圖11.22所示,拋物線y=~lx2+2x+6,與y軸交于點(diǎn)A,與x軸交于點(diǎn)B(6,0).設(shè)點(diǎn)P是拋物線上

的動(dòng)點(diǎn)，若在此拋物線上有且只有三個(gè)點(diǎn)P使得AP/IB的面積是定值S,則此定值S為.

圖11.22

整理得y=2mx+m+3=m(2x+l)+3,當(dāng)x=-之時(shí)，正好消掉參數(shù)m,此時(shí)y=3.

變式①:(2010,2009).

整理得y=kx+(2009-2010k)=k(x-2010)+2009,^x=2010時(shí),y=2009.

變式②：(-4,-1).

整理得y=x2+(m+1)x+4m-13=m(x+4)+x2+x-13,^x=-4時(shí),y=-l.

2。)連接CF,根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)和菱形的對(duì)稱性得到CF=EF和CF=AF即可得證.

(2)30°.

如圖JIL1所示，延長(zhǎng)EF,交DC于點(diǎn)H,連接CF,由AF=CF=ER得至[]/AEF=/EAF=%NFEC=/FCE=0,利

用外角的性質(zhì)得/AFC=2(a+p),從而推斷出/AFD=a+|3=a+/ABF=a+3O。,故/CEF=0=3O。.

3.AAOF^>ABEO;45°.

因?yàn)镺A-OB=1,BE-AF^OM-立ON=2a6=1，所以O(shè)A?OB=BE-AF.又NOBE=NOAF=45oJJ!UA

OFs^BEO,故/AFO=/BOE.

因?yàn)镹AFO=ZBOF+ZFBO=ZBOF+45°,而.NBOE=28。尸+/EOF,所以NEOF=/FBO=45°.

4.連接OS,OT,OM.

因?yàn)镸是ST的中點(diǎn)，所以O(shè)M,ST.

又SP_LAB,貝(!/SPO=NSMO=90。,所以S,P,O,M四點(diǎn)共圓，故NSPM=NSOM.

因?yàn)镺S=OT,OM_LST,所以/.SOM=即4SPM=20廠

故不管ST滑到什么位置，ZSPM是一定角.

由SADFE=\DF-OF=，同理可得SXCEF=即SADEF=SACEF.故①正確.

若兩個(gè)三角形以EF為底廁EF邊上的高相等，所以CD〃EF4!UAOBs/^OE.故②正確.

條件不足，無(wú)法得到判定兩三角形全等的條件.故③錯(cuò)誤.

因?yàn)镃D〃EF,DF〃:BE,所以四邊形DBEF,ACEF均是平行四邊形，則BD=EF=AC.故④正確.

6.連接AP油△ABP與^ACP面積之和等于△ABC的面積可以證得PD+PE=CF.

變式①：連接AP,易得SAABC=SAABP-SAACP,即^AB-CF=^AB-PD--ACPE.

因?yàn)锳B=AC,所以CF=PD-PE.

變式②：q逐.

連接PO,因?yàn)镾AAPO+SADPO=SAAOD,所以^AO-PE+^DO-PF-SA?，即|XaPE+|x甚PF

=2,解得PE+PF=^==i75.

變式③：4.

過點(diǎn)E作EQLBC.

因?yàn)?BEF=NDEF,NDEF=/EFB,所以NBEF=/EFB廁BE=BF.

又CF=3,AD=8,貝!]BF=8-3=5.

在RtABFC中,BC=y/BF2-CF2=V52-32=4,則CD=4=EQ,易得PG+PH=EQ=4.

變式(④(一Q)或&4).

過點(diǎn)M分別作MPLx軸,MQ_LAC,垂足分別為點(diǎn)P,Q.

①如圖J11.2所示，當(dāng)點(diǎn)M在線段BC上時(shí).易得點(diǎn)A(4,0),C(0,3),B(-l,0)廁AB=AC=5.

圖J11.2

因?yàn)?2上的一點(diǎn)M到4的距離是1,所以MQ=1,易得MP+MQ=0C=3,即MP=2,亦即點(diǎn)M的縱坐

標(biāo)為2.

當(dāng)y=2時(shí),x=，故點(diǎn)M的坐標(biāo)為（（-12）

②如圖J1L3所示，當(dāng)點(diǎn)M在線段AC外時(shí)，易得MP=MQ+OC=3+1=4或MP=MQ-OC=3-1=2,即點(diǎn)M

的縱坐標(biāo)為4或-2,分別代入y=3%+3,可求得x=（或x=-1（舍去,因?yàn)樗?1的距離不是1）,故點(diǎn)M的坐

標(biāo)為（G，4）.

3387?⑴是定值

證明如下：如圖J114所示，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)P是等邊三角形內(nèi)部任一點(diǎn).

=a

因?yàn)镾MPB2'PE,S^CPB=鼻。,PF,SAAPC=”,PG,所以

111

^AAPB+S?CPB+S^APC=3。,PE+-a-PF+-a-PG,

即^a-PE+^a-PF+^a-PG=S,亦即PE+PF+PG=g為定值.故dr+d2+d3^為定值.

(2)同⑴中證法，正四邊形、正五邊形……正n邊形內(nèi)任意一點(diǎn)到各邊的距離之和均為定值,規(guī)律為八+d2+

2S

弓3+…+dn=—.

變式：3V

連接PA,PB,PC,如圖JI1.5所示設(shè)△ABC的邊長(zhǎng)為x.

S-BC=S*BP+S^ACP-S^BCP

=-h-x+-h'X--h-x

2n32422'1

—+電-八1)，

2

因?yàn)閔3+h2-hr=3,所以(x,BPx=2但故S^ABC=^(273)=3V3.

4Z4

8.V2

如圖J1L6所示，延長(zhǎng)PA到點(diǎn)E,使AE=PC,連接BE.

因?yàn)閆BAE+ZBAP=180°,ZBAP+ZPCB=180。,所以ZBAE=ZPCB.

又四邊形ABCD是正方形，則AB=BC,/ABC=90。,易證△ABE絲△CBP(SAS)廁/ABE=/CBP,BE=BP,所以

NABE+/ABP=/ABP+NCBP=90。^"BEP是等腰直角三角形，貝1]PA+PC=PE=&PB和比上=V2.

PB

圖jn.5

9.260.

設(shè)BE與DG交于點(diǎn)Q連接EG,BD.由手拉手全等知BELDG.

由勾股定理可得

ED2+GB2=EQ2+QD2+GQ2+QB2=(FQ2+GQ2)+(QD2+QB2)

=EG2+BD2=260.

10.8.

如圖JIL7所示，過點(diǎn)P作PQ〃y軸交x軸于點(diǎn)Q.

設(shè)P(t--t2-2t+3),貝!]PQ=-t2-2t+3,AQ=t+3,QB=l-t.

因?yàn)镻Q〃EF,所以△AEFs△AQP,則賓=*即

lPQAE(-t2-2t+3)X2(t+3)(-t+l)X2

卜=---=--------=--------=2(1-i).

4Q3+t3+t

又PQ〃EG,則ABEGs^BQP,所以案=案，即

(-t2-2t+3)x2_(t+3)(-t+l)X2

=2(t+3).

1-t1-t

故EF+EG=2(l-t)+2(t+3)=8.

11.因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形,所以/C=/BAC=/ABC=60。,則.NB4K="BN=120。.由120°=ZABN=ZAB

M+NMBN,120o=NAMB=NN+NMBN彳導(dǎo)NABM=NN,所以△ABKs^BNA,則—=—,§PAKBN=AB2.

BNAB

故線段AK和BN的乘積與點(diǎn)M的選擇無(wú)關(guān).

340

12.64.

連接OD,易證△ADO^AABCJI]—=絲，即ADCB=ABOD.

ABCB

因?yàn)镃B=CD,所以ADCD=ABOD=8r,則

ADCD-mOA=8r—m(8—r)=(m+8)r-8m，故m=-8時(shí)，其定值為64.

"3

如圖J11.8所示，連接OD,OM,OF,ON,OE.

設(shè)/B=NC=a,貝(].乙DOB=Z.EOC=90°-a..又易得z2=z3,z4=45,則2(z3+z4)=180°-(Z1

+46)=2a,故/MON=NB=NC=a.

A

圖J1L8

由一線三等角模型易得小BOM-ACNO，貝!J瞿=之即BMCN=BOCO==BC?,故誓=1

OCCN4BC"4

14.8.

如圖J11.9所示設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(a,b).

因?yàn)锳O,BO分別平分/BAP,/ABP,所以4AOB=90°+|zP=135。(角平分線的內(nèi)內(nèi)模型)，因此N3+N4=4

5°,易得OM=ON=4,則/2+N4=45。,即/2=/3,同理/4=/1,于是△BMO^AONAJUOM-ON=BM-AN,即

0M2=BM-AN=V2fa-V2a=2ab,

故16=2ab,即k=ab=8.

15.5.

提示:S7ABCD=|fci|+|k2|=|-31+12|=5.

16.連接CD,易證△AEDgZkCFD,則SAAED=SACFD,故

111

S四邊形CEDF=SP△ACLD'D=2~^KAABRLC=2-x-2x4x4=4.

17.如圖J11.10所示，作PE±OA于點(diǎn)E,PF，OB于點(diǎn)F,設(shè)/POF=/POE=a.利用對(duì)角互補(bǔ)模型，易證△PEM

^△PFN,貝!JSAPEM=SAPNF,故