微專(zhuān)題04：幾何初步、平行線模型

題型01：線段分點(diǎn)模型

1.C為線段AB上任意一點(diǎn)，分別是4CCB的中點(diǎn)，若AB=10cm,則OE的長(zhǎng)是（）.

A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm

【答案】D

【分析】先畫(huà)好符合題意的圖形，再證明DC=gAC,CE=g8C,再利用線段的和可得答案.

【詳解】解：如圖，

IIill

ADCEB

???分別是AC,CB的中點(diǎn)，

DC=-AC,CE=-BC,

22

AC+BC=AB=10,

:.DE=DC+CE=^（AC+BC）=^AB=5.

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查的是線段中點(diǎn)的含義，線段的和差關(guān)系，掌握線段的和差與中點(diǎn)的定義是解題的關(guān)鍵.

2.點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D是線段AC的三等分點(diǎn).若線段AB=12ca,則線段BD的長(zhǎng)為（）

A.10cmB.8cmC.8cm或10cmD.2cm或4cm

【答案】C

【分析】根據(jù)題意作圖，由線段之間的關(guān)系即可求解.

【詳解】如圖，：點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，

/.AC=BC=gAB=6cm

當(dāng)AD=2AC=4CHI時(shí)，CD=AC-AD=2cm

3

ABD=BC+CD=6+2=8cm；

當(dāng)AD=gAC=2cm時(shí)，CD=AC-AD=4cm

ABD=BC+CD=6+4=10cm；

故選C.

IIII?

A6D2cB

【點(diǎn)睛】此題主要考查線段之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟知線段的和差關(guān)系.

3.已知點(diǎn)C在線段上，AC=2BC,點(diǎn)。、E在直線A8上，點(diǎn)。在點(diǎn)E的左側(cè)，

ADCEBACB

圖1備用圖

⑴若AB=18,DE=8,線段。E在線段A5上移動(dòng)，

①如圖1,當(dāng)E為BC中點(diǎn)時(shí)，求AD的長(zhǎng)；

②當(dāng)點(diǎn)C是線段的三等分點(diǎn)時(shí)，求AO的長(zhǎng)；

⑵若AB=2DE,線段DE在直線上移動(dòng)，且滿(mǎn)足關(guān)系式嗎棄=1,求組.

BE2AB

onOR

【答案】⑴①7；②三或4

⑵”.

426

【分析】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，利用了線段中點(diǎn)的性質(zhì)、線段的和差、準(zhǔn)確識(shí)圖分類(lèi)討論DE的位置是

解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)已知條件得到3c=6,AC=12,①由線段中點(diǎn)的定義得到CE=3,求得CD=5,由線段的和差得

至|JAD=AC—CD=12—5=7；②當(dāng)點(diǎn)C線段OE的三等分點(diǎn)時(shí)，可求得CE=gDE=|或CE=gDE=?，

則cr>=g或g,由線段的和差即可得到結(jié)論；

(2)當(dāng)點(diǎn)E在線段BC之間時(shí)，設(shè)BC=尤，則AC=2BC=2x,求得A3=3x,設(shè)CE=y,得到

2

AE=2x+y,BE=x-y,求得>=?。?當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A的左側(cè)，設(shè)8。=%,則?！?=1.5%,設(shè)。石=,，求得

DC=EC+DE=y+1.5x9得到y(tǒng)=4%,于是得至!J結(jié)論.

[Wl(1)-：AC=2BC,AB=1S,

：.BC=6,AC=12,

①YE為5c中點(diǎn)，

:,CE=3,

?.?DE=8,

：.CD=5,

???AD=AC-CD=12-5=7；

②;點(diǎn)C是線段。石的三等分點(diǎn)，DE=8,

18f216

??CE=—DE=—或CE=—DE=—，

3333

16-8

??CD="j?或“

/.AD=AC-CD=n--=—B^n--=—；

3333

(2)當(dāng)點(diǎn)E在線段BC之間時(shí)，如圖,

ADCEB

設(shè)3C=x,

則AC=2BC=2x,

AB=3x,

AB=2DE,

DE=1.5x,

設(shè)0石=，

/.AE=2x+y,BE=x-y,

AD=AE—DE=2x+y—1.5x=0.5x+y

..AD+EC3

,—BE-~2,

.0.5x+y+y_3

**x-y2，

?“一2

??y一一%,

7

17

CD=1.5x—y=——x,

14

17

CD值［17；

花—3r一萬(wàn)

當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A的左側(cè)，如圖，

IIIII

DEACB

設(shè)3C=x,同理。石=1.5%，

設(shè)庭=y,

CD=DE+CE=\.5x+y,

AD=DC—AC=y+1.5x—2x=y—0.5%

BE=CE+BC=x+y

..AD+EC_3

,—BE—~2,

.y-0.5x+j_3

**x+y2，

???y=4x,

CE—CE+DE-5.5x,AB-3x

.CD_5.5x_U

AB3x6'

當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上及點(diǎn)E在點(diǎn)2右側(cè)時(shí)，無(wú)解,

CD1711

綜上所述法的值為瓦或底.

4.如圖，點(diǎn)C在線段AB上，AC=8c7",CB=6c7〃，點(diǎn)分別是AC,3c的中點(diǎn).

II111

AMCNB

⑴求線段MN的長(zhǎng)；

（2）若C為線段AB上任一點(diǎn)，滿(mǎn)足AC+CB=a,其它條件不變，猜想的長(zhǎng)度，并說(shuō)明理由；

（3）若C在線段A3的延長(zhǎng)線上，且滿(mǎn)足4。-3。="',"分別為47,3C的中點(diǎn)，猜想的長(zhǎng)度，請(qǐng)畫(huà)

出圖形，寫(xiě)出你的結(jié)論，并說(shuō)明理由；

（4）請(qǐng)用一句簡(jiǎn)潔的話(huà)，描述你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.

【答案】⑴7的；（2）MN.,證明解解析；@MN=g,證明見(jiàn)解析；（4）見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)“點(diǎn)M、N分別是AC、3C的中點(diǎn)”，先求出MC、CN的長(zhǎng)度，再利用MV=Q0+CV即

可求出的長(zhǎng)度即可；

（2）當(dāng)C為線段42上一點(diǎn)，且〃，N分別是AC,8C的中點(diǎn)，則存在=

（3）點(diǎn)在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，根據(jù)〃、N分別為AC、BC的中點(diǎn)，即可求出的長(zhǎng)度；

（4）根據(jù)前面的結(jié)果解答即可.

【詳解】解：分別是AC,BC的中點(diǎn)，AC=Scm,CB=6cm

:.MC=-AC,CN=-BC

22

QMN=MC+CN=1（AC+BC）

\MN=g（8+6）=7cni

（2）MN*

分別是AC,BC的中點(diǎn)

:.MC=；AC,CN=；BC

又QMN=MC+CN

.-.A?V=1（AC+BC）=|

h

（3）M2V=-

■:AC—BC=b,

C在點(diǎn)8的右邊,

如圖示:

I__________I_________I.I_________I

ABMNC

???M，N分別是AC,8C的中點(diǎn)，AC—BC=b

:.MC=^AC,NC=^BC

又?：NM=MC—NC

1h

/.MV=-（AC-BC）=-

（4）只要滿(mǎn)足點(diǎn)C在線段42所在直線上，點(diǎn)〃，N分別是AC,BC的中點(diǎn).那么"N就等于48的一半

【點(diǎn)睛】本題主要是線段中點(diǎn)的運(yùn)用，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

題型02：角n等分模型

5.如圖，已知/AOF=90。，ZBOC=30°,平分ZAOC,ON平分NBOC,則4OV的大小為（

A.30°B.45°C.60°D.75°

【答案】B

【分析】本題考查了基本幾何圖形中的角度計(jì)算，角平分線的含義，掌握角度的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.根

據(jù)題意計(jì)算出—AOC,ZMOC,N7VOC的度數(shù)，再根據(jù)NMON=/MOC—NNOC計(jì)算即可.

【詳解】解：ZAOB=90°,ZBOC=30°,

：.ZAOC=ZAOB+NBOC=120°,

又,/OM平分ZAOC,ON平分NBOC,

ZMOC=-ZAOC=-xl20°=60°

22

ZNOC=-ZBOC=lx30°=15°

22

ZMON=ZMOC-ZNOC=60。-15。=45°,

故答案為：B.

6.如圖所示，02是—AOC的平分線，OD是/COE的平分線，若NAOC=70。,NCOE=40。，那么=

A.50°B.55°C.60°D.65°

【答案】B

【分析】根據(jù)角平分線的定義和角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：是NAOC的平分線，OD是NCOE的平分線，

ZBOC=ZAOB=|ZAOC,ZCOD=ZDOE=；ZCOE,

又ZAOC=70°,ZCOE=40°,

/.ZBOC=35°,ZCOD=2Q°,

：.ZBOD=ZBOC+ZC<?￡>=35°+20°=55°,

故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了角與角之間的運(yùn)算和角平分線等知識(shí)，正確尋找角與角之間的關(guān)系以及掌握數(shù)形

結(jié)合思想成為解答本題的關(guān)鍵.

7.將兩個(gè)形狀，大小完全相同的含有30。，60。的三角板與尸CD如圖1放置，A,P,C三點(diǎn)在同一直

線上.現(xiàn)將三角板R4B繞點(diǎn)P沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定角度，如圖2,若PE平分NAPD,PF平分NBPD,

則/￡7平的度數(shù)是—。.

【答案】15

【分析】根據(jù)三角板的各個(gè)角的度數(shù)，以及角平分線的意義，利用平角以及角的和與差求出答案.

【詳解】解：設(shè)三角板繞點(diǎn)P沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)的角度為&,

ZAPD=180°-60°-a=120°-a,

；PE平分ZAPD,PF平分NBPD,

：./APE=ZEPD=|ZAPD=|x(120°-a)=60o-1(z,

ZBPF=ZFPD=:NBPD=g*(180。-60。-30。-a)=45。-"，

ZEPF=ZEPD-ZFPD=60°--a-\45°--a1=15°.

2I2J

故答案為：15.

【點(diǎn)睛】考查角平分線的意義，平角以及三角板的各個(gè)特殊銳角的關(guān)系等知識(shí)，把握各個(gè)角之間的關(guān)系是

得出答案的前提.

8.如圖，已知NAOB=120。，射線。尸從位置出發(fā)，以每秒2。的速度順時(shí)針向射線08旋轉(zhuǎn)；與此同時(shí),

射線。。以每秒6。的速度，從位置出發(fā)逆時(shí)針向射線0A旋轉(zhuǎn)，到達(dá)射線0A后又以同樣的速度順時(shí)針

返回，當(dāng)射線0Q返回并與射線。尸重合時(shí)，兩條射線同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為f秒.

(1)當(dāng)U2時(shí)，求/尸。。的度數(shù)；

(2)當(dāng)/尸0。=40。時(shí)，求/的值;

(3)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，是否存在f的值，使得NPOQ=g/A。。？若存在，求出f的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理

由.

【答案】(1)/尸。。=104。；(2)當(dāng)/「。。=40。時(shí)，f的值為10或20；(3)存在，f=12或詈或與，使

nZPOQ=^ZAOQ.

【解析】當(dāng)O。，。尸第一次相遇時(shí)，U15；當(dāng)。。剛到達(dá)。4時(shí)，仁20；當(dāng)OQ,。尸第二次相遇時(shí)，r=30；

(1)當(dāng)Z=2時(shí)，得到NAOP=2/=4。，ZBOQ=6t=12°,利用NPO。求出結(jié)果即可；

(2)分三種情況：當(dāng)g飪15時(shí)，當(dāng)15</20時(shí)，當(dāng)20〈區(qū)30時(shí)，分別列出等量關(guān)系式求解即可；

(3)分三種情況：當(dāng)g飪15時(shí)，當(dāng)15<￡20時(shí)，當(dāng)20<530時(shí)，分別列出等量關(guān)系式求解即可.

【詳解】解：當(dāng)0。0P第一次相遇時(shí)，2f+6/=120,Z=15；

當(dāng)剛到達(dá)OA時(shí)，6r=120,/=20；

當(dāng)O。，O尸第二次相遇時(shí)，26=120+2f,r=30；

(1)當(dāng)r=2時(shí)，ZAOP=2t=4°,ZBOQ=6t=12°,

：.ZPOQ=ZAOB-ZAOP-ZBOQ=120°-4°-12°=104°.

(2)當(dāng)0WW15時(shí)，2f+40+6f=120,/=10；

當(dāng)15CE20時(shí)，2t+6f=120+40,k20；

當(dāng)20〈”30時(shí)，2t=6f-120+40,Z=20(舍去)；

答：當(dāng)NPO(2=40。時(shí)，/的值為10或20.

(3)當(dāng)0WV15時(shí)，120-8f=g(120-6t),120-8f=60-3f,U12；

當(dāng)15c區(qū)20時(shí)，2f-(120-6/)=1(120-6z),/=—.

當(dāng)20〈區(qū)30時(shí)，2r-(6z-120)=1(6/-120),r=—

答：存在12或詈或浮，使得NPOQ=gNA。。.

【分析】本題考查了角的和差關(guān)系及列方程解實(shí)際問(wèn)題，解決本題的關(guān)鍵是分好類(lèi)，列出關(guān)于時(shí)間的方程.

題型03：線段的折疊、動(dòng)點(diǎn)模型

9.如圖，數(shù)軸上。、A兩點(diǎn)的距離為4,一動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)，按以下規(guī)律跳動(dòng)：第1次跳動(dòng)到AO的中

點(diǎn)A處，第2次從A點(diǎn)跳動(dòng)到4。的中點(diǎn)4處，第3次從4點(diǎn)跳動(dòng)到&。的中點(diǎn)&處，按照這樣的規(guī)律繼

續(xù)跳動(dòng)到點(diǎn)4，A，4,…，4（”23,〃是整數(shù)）處，問(wèn)經(jīng)過(guò)這樣2020次跳動(dòng)后的點(diǎn)與。點(diǎn)的距離是（）

OA.A

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，得第一次跳動(dòng)到OA的中點(diǎn)Ai處，即在離原點(diǎn)的長(zhǎng)度為gx4,第二次從Ai點(diǎn)跳動(dòng)到

A2處，即在離原點(diǎn)的長(zhǎng)度為（3）2x4,找到跳動(dòng)n次的規(guī)律即可.

【詳解】由于OA=4,所以第一次跳動(dòng)到OA的中點(diǎn)Ai處時(shí)，0Ai=g0A=gx4=2,

同理第二次從Ai點(diǎn)跳動(dòng)到A2處，離原點(diǎn)的（g）2x4處，

同理跳動(dòng)n次后，離原點(diǎn)的長(zhǎng)度為（J）詠4=全，

乙2

則2020次跳動(dòng)后的點(diǎn)與。點(diǎn)的距離是擊

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題是一道找規(guī)律的題目，考查了兩點(diǎn)間的距離，根據(jù)題意表示出各個(gè)點(diǎn)跳動(dòng)的規(guī)律是解題關(guān)鍵.

10.如圖，在等邊VABC中，AB=8.點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿邊42向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng).過(guò)

點(diǎn)尸作PD_LAB交折線AC-CB于點(diǎn)。，以尸。為邊在尸。右側(cè)作等邊ADPE.設(shè)等邊與VABC重疊

部分圖形的面積為S，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒（0</<4）.

c

(1)當(dāng)點(diǎn)。在邊AC上時(shí)，求等邊△「叫的邊長(zhǎng)(用含f的代數(shù)式表示)；

(2)當(dāng)點(diǎn)E落在邊8C上時(shí)，判斷ZW)尸與ABPE的關(guān)系并說(shuō)明理由，并求此時(shí)f的值；

(3)在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求S與f之間的函數(shù)關(guān)系式.

【答案】⑴2而

4

⑵AADP學(xué)ABPE,證明見(jiàn)解析；t

(3)當(dāng)0<rwg時(shí)，s=3面;當(dāng)g</42時(shí)，s=-^^d+36?_24后；當(dāng)2<f<4時(shí)，

S=-z2-1273?+2473

2

【分析】

(1)由AP=2t,0「_1鉆可得人。=4r,再用勾股定理即可求.

(2)根據(jù)是等邊三角形可得4>PE=30。，DP=PE,又因?yàn)?3=60。可得NP￡B=90。，再根據(jù)三

角形全等的判定即可證明.

(3)根據(jù)點(diǎn)。的移動(dòng)軌跡，可分成以下三種情況：①點(diǎn)。在AC上移動(dòng)且不與點(diǎn)C重合；②點(diǎn)。與點(diǎn)C

重合；③點(diǎn)。在CB上移動(dòng)，按照這三種情況即可寫(xiě)出函數(shù)關(guān)系式.

【詳解】(1)解：由題意知，在RfADP中，點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒

AP=2t,ZDAP=60°,ZDPA=90°

：.DA=4t,

由勾股定理，得DP=2氐

即等邊APDE的邊長(zhǎng)為28

(2)解：當(dāng)點(diǎn)E落在邊3C上時(shí)，如圖所示，^ADP=ABPE.

理由如下

：ADEP為等邊三角形

DP=PE,Z.DPE=60°

：VABC為等邊三角形

ZA=NB=60°

又：PD±AB

：.ZEPB=ZADP=90°-60°=30°

：?AADP^BPE

：.PB=DA=4t

2t+4t=8

(3)解：分類(lèi)討論(三種情況)，如圖所示:

4

②如圖2：當(dāng)時(shí),

28』+366/_24指

S=5AAsc一^AAPD-SWBN-S/\DCM

③如圖3,當(dāng)2</<4時(shí)，

3h

S=S*=『-12gf+24后.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、含30。角的直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定、求函數(shù)關(guān)系式，熟練掌

握全等三角形的判定和具備分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想是解決本題的關(guān)鍵.

11.已知線段AB=15cm,點(diǎn)C在線段A8上，且AC：CB=3：2.

AMPCB

(1)求線段AC,CB的長(zhǎng)；

(2)點(diǎn)尸是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，線段AP的中點(diǎn)為M,設(shè)AP=〃zcm.

①請(qǐng)用含有m的代數(shù)式表示線段PC,MC的長(zhǎng)；

②若三個(gè)點(diǎn)M,P,C中恰有一點(diǎn)是其它兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)，則稱(chēng)〃，P,C三點(diǎn)為“共諧點(diǎn)”，請(qǐng)直接寫(xiě)

出使得P,c三點(diǎn)為“共諧點(diǎn)”的機(jī)的值.

【答案】(l)AC=9cm,CB=6cm；

(2)①當(dāng)點(diǎn)尸在線段AC上時(shí)，PC=(9如)cm,MC=(9-；Mcm；當(dāng)點(diǎn)尸在線段8C上時(shí)，PC=(m-9)cm,

MC=(9-9〃)cm；

②m的值為6或12.

【分析】(1)由線段48=15cm,點(diǎn)C在線段AB上，且AC：CB=3：2,可得答案；

(2)①分當(dāng)點(diǎn)尸在線段AC上時(shí)和當(dāng)點(diǎn)尸在線段2C上兩種情況分別計(jì)算即可；

②分情況列方程可得m的值.

【詳解】(1)解：?.,線段AB=15cm,點(diǎn)C在線段上，且AC：CB=3：2,

32

.".AC=15x—=9cm,CB=15x—=6cm；

55

(2)解：①當(dāng)點(diǎn)尸在線段AC上時(shí)，

PC=AC-AP=(9-m)cm,

MC=AC-AM=AC--AP=(9--m)cm；

22

當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，

PC=AP-AC=(m-9)cm,

MC=AC-AM=(9-—m)cm；

2

②當(dāng)點(diǎn)尸在線段AC上時(shí)，

貝!JMP=PC,

.￡__

??tn9otn,

2

解得："2=6,

當(dāng)點(diǎn)尸在線段BC上時(shí)，

貝l|MC=PC,

/.9----m=m~9,

2

解得：機(jī)=12,

綜上：加的值為6或12.

【點(diǎn)睛】本題考查兩點(diǎn)間的距離，熟練掌握線段中點(diǎn)的定義和線段的和差是解題關(guān)鍵.

12.如圖，點(diǎn)尸是定長(zhǎng)線段上一點(diǎn)，C、。兩點(diǎn)分別從點(diǎn)尸、3出發(fā)以1厘米/秒，2厘米/秒的速度沿直

線A3向左運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)C在線段AP上，點(diǎn)￡＞在線段3尸上).

(1)若點(diǎn)C、。運(yùn)動(dòng)到任一時(shí)刻時(shí)，總有BD=2AC,請(qǐng)說(shuō)明點(diǎn)尸在線段A3上的位置；

(2)在(1)的條件下，點(diǎn)。是直線A3上一點(diǎn)，且AQ-%=尸Q,求》的值；

AB

(3)在(1)的條件下，若點(diǎn)C、。運(yùn)動(dòng)5秒后，恰好有Cr>=；AB,此時(shí)點(diǎn)C停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。繼續(xù)運(yùn)動(dòng)

(點(diǎn)。在線段尸8上)，點(diǎn)“、N分別是C。、尸。的中點(diǎn)，下列結(jié)論：①PM-PN的值不變；②姐的值

AB

不變.可以說(shuō)明，只有一個(gè)結(jié)論是正確的，請(qǐng)你找出正確的結(jié)論并求值.

ACPDB

【答案】⑴點(diǎn)P在線段AB的:處；⑵2或1；(3)結(jié)論②竺^的值不變正確，峪二工

33ABAB12

【分析】(1)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，用含t的代數(shù)式可表示出線段PD、AC長(zhǎng)，根據(jù)PD=2AC,可知點(diǎn)尸在

線段上的位置；

(2)由AQ-3Q=PQ可知AQ=PQ+3Q,當(dāng)點(diǎn)Q在線段AB上時(shí)，等量代換可得A尸=BQ,再結(jié)合

可得當(dāng)?shù)闹?；?dāng)點(diǎn)Q在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，可得4。-8。=鉆=「。，易得坐的值.

3ABAB

(3)點(diǎn)C停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，CD=^AB,可求得CM與AB的數(shù)量關(guān)系，則PM與PN的值可以含AB的式子來(lái)

表示，可得MN與AB的數(shù)量關(guān)系，易知絲MN”的值.

AB

【詳解】解：(1)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則PD=P3-2r,PC=AP-r,

由P￡)=2AC得尸8_2/=2(4尸_力，即尸B=2AP

QAP+PB=AB,:.AP+2AP=AB,:.3AP=AB,BPAP=^AB

所以點(diǎn)P在線段AB的;處；

(2)①如圖，當(dāng)點(diǎn)Q在線段AB上時(shí)，

?____________1------------1

APQB

由AQ-BQ=PQ可知AQ=PQ+BQ,

QAQ=AP+PQ

PQ=AP=^AB

.PQ=i

"AB~3

②如圖，當(dāng)點(diǎn)Q在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，

,一丁3飛QAQ-BQ=AB,AQ-BQ=PQ

：.AB=PQ

.?.鴛1

AB

綜合上述，當(dāng)?shù)闹禐?或1;

AB3

(3)②？的值不變.

由點(diǎn)C、。運(yùn)動(dòng)5秒可得CP=5,B￡)=5X2=10,

如圖，當(dāng)點(diǎn)M、N在點(diǎn)P同側(cè)時(shí)，

1------1——1----H--------1-----------1

ACPMNDB

點(diǎn)C停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，CD=^-AB,

2

,點(diǎn)M、N分別是C。、尸。的中點(diǎn),

:.CM=-CD,PN=-PD

22

:.CM=-AB

4

:.PM=CM-CP=-AB-5

4

QPD=PB-BD=jAB-10

P?/=|(|AB-10)=|AB-5

：.MN=PN-PM=—AB

12

當(dāng)點(diǎn)C停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)D繼續(xù)運(yùn)動(dòng)時(shí)，MN的值不變，所以MN1；

AB~AB-12

如圖，當(dāng)點(diǎn)M、N在點(diǎn)P異側(cè)時(shí)，

I---111J1--------------------1

ACMPNDB

點(diǎn)C停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，CD=\AB,

2

?點(diǎn)M、N分別是CD、尸。的中點(diǎn),

:.CM=-CD,PN=-PD

22

:.CM=-AB

4

PM=CP-CM=5--AB

4

QPD=PB-BD=^AB-1Q

=AB-10）=|AB-5

：,MN=PN+PM=—AB

12

當(dāng)點(diǎn)C停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)D繼續(xù)運(yùn)動(dòng)時(shí)，MN的值不變，所以MN美.一1；

AB~AB-12

所以②出的值不變正確，黑=3.

ABAB12

【點(diǎn)睛】本題考查了線段的相關(guān)計(jì)算，利用線段中點(diǎn)性質(zhì)轉(zhuǎn)化線段之間的和差倍分關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

題型04：平行線M型

13.如圖，已知MN〃P。，點(diǎn)8在跖V上，點(diǎn)C在PQ上，點(diǎn)A在跖V上方，ZABD:ZDBN=3:2,點(diǎn)、E

在的反向延長(zhǎng)線上，且/ACE:NEC%3:2,設(shè)NA=?,則/E為度數(shù)用含a的式子一定可以表示為（）

23

A.2aB.72H—aC.108—aD.90-oc

55

【答案】B

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，正確添加輔助線是解決本題的關(guān)鍵.過(guò)點(diǎn)A作AG〃MN,過(guò)點(diǎn)E作

EH\\MNf則肱V〃？Q〃AG〃石H,由題意可設(shè)NABO=3x,NDBN=2x,ZACE=3y,ZECP=2y,貝lj

N6=N4=2X,Z7=Z3=2y,Zl=180°-5x,ZGAC=ZACP=5y,因止匕/DEC=2（x+y）,

iQQO+a]9

ZCAB=5（x+y）-180°=a,x+y=—-—=36°+-a,貝1」/0￡0=2（%+y）=72。+11.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作AG〃MN,過(guò)點(diǎn)E作EH||MN,

?.?MN//PQ,

：.MN//PQ//AG//EH,

VZABD:ZDBN=3:2.ZACE:ZECP=3:2

???設(shè)NABD=N5=3x,/DBN=N4=2x,NACE=N2=3y"CP=N3=2y,

?.?MN//PQ//AG//EH,

??.N6=N4=2x,N7=N3=2y,Z1=180°-（Z4+Z5）=180°-5x,ZGAC=ZACP=Z2+Z3=5y,

：./D￡；C=N6+N7=2（x+y）,ZCAB=ZGAC-Z1=5（x+y）-180°=,

180。+。

x+y==36°+*,

5

/。比=2（尤+耳=72。+|￡.

故選:B.

14.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（a,0）,B（b,c）,C（d,0）的位置如圖所示，且。是-8的立方根；方程

（x>2

尤37一y2M2c+5=］是關(guān)于x,y的二元一次方程；〃為不等式組人的最大整數(shù)解.

\x<6

⑴求點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo).

（2）如圖1,點(diǎn)。為V軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且AD〃3C.

①求證：ZADO+ZACB=90°；

②如圖2,NAOO與/ACB的平分線交于點(diǎn)P,求/DPC的度數(shù)；

（3）如圖3,點(diǎn)。為y軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BO,AB,線段AB與V軸交于點(diǎn)尸（。,-2）.若三角形ABD

的面積不大于三角形A3C的面積，設(shè)動(dòng)點(diǎn)。的坐標(biāo)為（0,。，直接寫(xiě)出/的取值范圍.

【答案】（1）A（—2,0）,B（2,-4）,C（5,0）

（2）①見(jiàn)解析；②NDPC=45。

（3）0<Y5

【分析】（1）根據(jù)立方根的概念、二元一次方程組的定義、一元一次不等式組的解法分別求出心從C、d,

得到點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；

（2）①根據(jù)平行線的性質(zhì)得到/3C4=NQ4￡）,得至！INADO+ZBCA=90。，②作P/7Z64D,根據(jù)角平分線

的定義得到ZADP+ZBCP=45,再根據(jù)平行線的性質(zhì)計(jì)算即可；

（3）根據(jù)三角形的面積公式列出方程，解不等式求解即可.

【詳解】（1）解：-8的立方根是-2,

a=-2,

方程尤"5-y2"2，+5=i是關(guān)于無(wú)，》的二元一次方程,

世-5=1

"|2Z>-2c+5=l'

b=2

解得,

c=4'

x>2

不等式組,<6的最大整數(shù)解是5,則"=5

則A（-2,0）、3（2,4）、C（5,o）;

(2)(l)-.-ZAOD=90°,

:.ZADO+ZOAD=90°,

AD\\BC,

:.ABCA=^OAD,

ZADO+ZBCA=90°,

②作尸”||A。，

..PH\\BC,

:.ZHPD=ZADP,/HPC=/BCP,

ZDPC=NHPD+ZHPC=ZADP+/BCP；

?.?ZADO與ZBCA的平分線交于P點(diǎn)，

/.ZADP=-ZADO,ZBCP=-ZBCA,

22

/.ZADP+ZBCP=1(ZADO+ZBCA)=45°,

:.ZDPC=45°；

(3)vA(-2,0),3(2,4),C(5,0),

?二S4ABe=14,

S^ABD=/x(%+2)x2+5x(%+2)x2=2/+4,

S4ABQ<S4ABe，即2/+4W14,

解得，t<5,

?.?。在y軸正半軸上，

:.t>0,

.:￡>的縱坐標(biāo)t的取值范圍是0<tV5.

15.如圖，已知直線4〃4，b、；4和4、k分別交于點(diǎn)A、B、C、。，點(diǎn)尸在直線4或。上且不與點(diǎn)A、

B、C、D重合，記=NPFB=N2,ZEPF=Z3.

⑴若點(diǎn)尸在圖（1）位置時(shí)，求證：？3?1?2；

⑵若點(diǎn)P在圖（2）位置時(shí)，寫(xiě)出4、N2、N3之間的關(guān)系并給予證明.

【答案】（1）見(jiàn)解析

⑵Zl+Z2+Z3=360°,證明見(jiàn)解析

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)與平行公理；

（1）過(guò)點(diǎn)P作尸G〃心則PG〃/1〃4，從而有N￡P(guān)G=/1,NFPG=/2,根據(jù)N3=NEPG+NEPG即可

求證；

（2）過(guò)點(diǎn)P作尸G〃/1，則PG〃/|〃&ZEPG+Zl=180°,ZFPG+Z2=180°,由N3=NEPG+NFPG即

可得Nl、N2、N3之間的關(guān)系.

【詳解】（1）證明：如圖，過(guò)點(diǎn)尸作PG〃心

,/lt//l2,

：.PG//11//12,

:.ZEPG=A,/FPG=Z2；

*/N3=NEPG+/FPG,

?3?1?2；

h

(2)解：Zl+Z2+Z3=360°；

證明如下：

如圖，過(guò)點(diǎn)P作PG〃小

11[〃k，

：.PG//lx//l2,

AZEPG+Z1=18O°,NFPG+N2=180。，

???ZEPG+Z1+ZFPG+Z2=360°；

N3=N￡P(guān)G+NFPG,

JZl+Z2+Z3=360°.

16.已知直線4〃/2，A是。上的一點(diǎn)，5是/2上的一點(diǎn)，直線〃和直線力，/2交于。和，直線CO上有

一點(diǎn)P.

(1)如果P點(diǎn)在C,。之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，問(wèn)NB4C,ZAPB,有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由.

(2)若點(diǎn)P在C,。兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)(尸點(diǎn)與C,。不重合)，試探索NR4C,ZAPB,NPBD之間的關(guān)系又

是如何？(請(qǐng)直接寫(xiě)出答案，不需要證明)

【答案】(1)/B4C+NP89=NAP3,理由見(jiàn)解析

(2)當(dāng)點(diǎn)尸在直線4上方時(shí)，ZPBD-ZPAC^ZAPB；當(dāng)點(diǎn)P在直線4下方時(shí)，NPAC—/PBD=ZAPB

【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì).熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)如圖1,作貝4c=N1,由，i〃4，可得尸E〃/2，貝IJNPBD=N2,

ZAPB=Z1+Z2=APAC+ZPBD；

(2)由題意知，分點(diǎn)P在C點(diǎn)上方，P在。點(diǎn)下方兩種情況求解；①當(dāng)點(diǎn)尸在C點(diǎn)上方，如圖2,作PE|K，

過(guò)程同(1);②當(dāng)點(diǎn)P在。點(diǎn)下方，如圖3,作尸E|[4,過(guò)程同①.

【詳解】(1)解：ZAPB=NPAC+/PBD,理由如下；

：.PE//l2,

：.ZPBD^Z2,

：.ZAPB=Z1+Z2=ZPAC+ZPBD,即ZAPB=ZPAC+ZPBD；

(2)解：由題意知，分點(diǎn)尸在C點(diǎn)上方，尸在。點(diǎn)下方兩種情況求解;

①當(dāng)點(diǎn)P在C點(diǎn)上方，如圖2,作尸石也，

圖2

ZPAC=ZAPE,

,/I、〃%,

：.PE//l2,

：.ZPBD=ZBPE,

：.ZAPB=NBPE-ZAPE=NPBD-APAC,即ZAPB=NPBD-APAC；

ZAPS=ZAPE-/BPE=APAC-/PBD,即ZAPB=ZPAC-ZPBD：

綜上所述，ZAPB=NPBD-NPAC或ZAPB=NPAC-NPBD.

題型05：平行線筆尖型

17.如圖，直線AB〃CD,E,/分別為直線48、CD上的點(diǎn)，N為兩平行線間的點(diǎn)，連接A?、NM,過(guò)

點(diǎn)、N作NG平分NENM交直線CD于點(diǎn)、G,過(guò)點(diǎn)、N作NF1NG,交直線CD于點(diǎn)R若/BEN=160。，貝|

NMNG+/7VFG的度數(shù)為（）

【答案】A

【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、平行公理的推論、垂線的性質(zhì)，熟練掌握上述知識(shí)、靈活應(yīng)用整

體的思想是解題的關(guān)鍵.

過(guò)N點(diǎn)作則AB〃CD〃NH,如圖，由平行線的性質(zhì)得

ZBEN+ZENG+Z.GNM+ZMNF+ZNFG=360°,進(jìn)而由NG平分ZENM和ZBEN=1600得

Z.GNM+ZGNM+ZMNF+ZNFG=200°,再由NF_LNG可變形推得ZMNG+ZNFG=110°.

【詳解】解：過(guò)N點(diǎn)作則AB〃C￡>〃NH,如圖所示：

ZBEN+ZENH+ZHNF+ZNFG=360°,

ZBEN+ZENG+Z.GNM+ZMNF+ZNFG=360°,

,：/BEN=160。,

：.ZENG+ZGNM+ZMNF+ZNFG=200°,

,/NG平■分/ENM,

：.ZENG=ZGNM,

：.Z.GNM+Z.GNM+ZMNF+ZNFG=200°,

'：NF±NG,

：.ZGNM+ZMNF=Z.GNF=90°,

ZGNM+90°+ZNFG=200°,

ZMNG+ZNFG=110°.

故選：A.

18.【感知探究】如圖①，已知，AB〃CD,點(diǎn)M在上，點(diǎn)N在CZ）上.求證：ZMEN=NBME+NDNE.

【類(lèi)比遷移】如圖②，/F、ZBMF、NDVF的數(shù)量關(guān)系為(不需要證明)

【結(jié)論應(yīng)用】如圖③，已知ZBAC=120°,ZD=80°,貝i1/ACD=_°.

圖①圖②圖③

【答案】【感知探究】證明見(jiàn)解析；【類(lèi)比遷移】ZF=ZBMF-ZDNF；【結(jié)論應(yīng)用】20

【分析】本題主要考查平行線的判定和性質(zhì)，作輔助線是解題的關(guān)鍵.

(1)過(guò)點(diǎn)E作毋〃AB,根據(jù)平行線的性質(zhì)可求解；

(2)如圖②，過(guò)尸作根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

(3)如圖③，過(guò)C作CG〃m，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】(1)證明：如圖①，過(guò)點(diǎn)后作班〃46，

又：AB//CD,

：.EF//CD,

:.ZNEF=ZDNE,

ZMEN=ZMEF+ZNEF,

即ZMEN=NBME+ADNE；

(2)解：ZBMF=ZMFN+ZFND.

證明：如圖②，過(guò)尸作FK〃A3,

圖②

■:AB//CD,

：.FK//CD,

:.ZFND=ZKFN,

ZMFN=ZMFK—NKFN=ZBMF—/FND,

即：ZBMF=ZMFN+AFND.

故答案為：ZBMF=ZMFN+AFND-

(3)如圖③，過(guò)。作CG〃AB,

/.ZGCA=180°-ABAC=60°,

■:AB//DE,

：.CG//DE,

NGCD=NCDE=80。,

.?.ZACD=20。，

圖③

故答案為：20.

19.已知直線AB〃CD,尸為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接R4、PD.

⑴如圖1,已知NA=50。,40=150。，求NAP。的度數(shù)；

(2)如圖2,判斷NCDP、NAPD之間的數(shù)量關(guān)系為.

(3)如圖3,在(2)的條件下，AP1PD,DN平分NPDC,若/PANNPAB=NAPD,求NA7VD的度數(shù).

【答案】(1)80。

(2)ZPAB+ZCDP-ZAPD=180°

(3)45°

【分析】(1)首先過(guò)點(diǎn)尸作尸?！?8,則可得〃尸。〃。，然后由兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)以及內(nèi)錯(cuò)

角相等，即可求解；

(2)作PQ〃AB,可得A8〃PQ〃⑺，根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可證得/上45+/?！?gt;夕一/針￡>=180。；

(3)先證明/NOD=』NPA2,NODN=LNP￡)C,利用(2)的結(jié)論即可求解.

22

【詳解】(1)解：?.?4=50。,/。=150。，

過(guò)點(diǎn)尸作PQ〃A3,

CD

：.ZA=ZAPQ=50°9

'：AB//CD,

.?.PQ//CD,

：.ZD+ZDPQ=\SO0,

：.ZDPQ=180°—150。=30°,

ZAPD=ZAPQ+ZDPQ=50°+30°=80°；

(2)解：ZPAB+ZCDP-ZAPD=\SO0,

如圖，作尸。〃A3,

ZPAB=ZAPQ,

???AB//CD,

：.PQ//CD,

...ZCDP+ZDPQ=180°,即ZDPQ=180。—ZCDP,

?.?ZAPD=ZAPQ-ZDPQ,

.?.ZAPD=ZPAB-(180°-ZCDP)=ZPAB+ZCDP-180°；

NPAB+NCDP—ZAPD=180。；

??'APO

：.ZAPO=90°f

?.?/PAN+-NPAB=ZAPD,

2

.??ZPAN+-ZPAB=90°,

2

又,:APOA-^ZPAN=180°-ZAPO=90°,

ZPOA=-ZPAB,

2

/POA=ZNOD,

ZNOD=-ZPAB,

2

,?DN平分NPDC,

/.ZODN=-ZPDC,

2

ZAND=180°-ZNOD-ZODN=180°-1(NPAB+ZPDC),

由(2)得NB4B+NCr>P—NAP￡>=180。，

ZPAB+ZPDC=180°+ZAPD,

ZAND=180°-1(ZPAB+ZPDC)=180°-1(180°+ZAPD)=180°-1(l80°+90°)=45°.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義.注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想

的應(yīng)用.

20.(1)如圖(1)AB//CD,猜想Z5尸。與NB、”的關(guān)系，說(shuō)出理由.

(2)觀察圖(2),已知AB〃CD,猜想圖中的一皮>￡>與NB、”的關(guān)系，并說(shuō)明理由.

(1)(2)(3)(4)

【答案】(1)ZB+Z.BPD+ZD=360°,理由見(jiàn)解析；(2)ZBPD=ZB+ZD,理由見(jiàn)解析；(3)圖(3)

ZBPD=ZD-ZB,圖⑷ZBPD=NB—ZD

【分析】(1)過(guò)點(diǎn)P作竹〃AB，得到N3+NBPE=180。，由鉆〃CD,EF//AB,得到Eb||CO,得到

ZEPD+ZD=180°,由止匕得至UNB+N3PD+Nr>=360°；

(2)過(guò)點(diǎn)尸作上〃A8,由尸E〃Afi〃CD,得到4=Z2=ZD,從而得到結(jié)論

ZBPD=Z1+Z2=ZB+ZD；

(3)由AB〃CD,根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等與三角形外角的性質(zhì)，即可求得一3尸。與4、”的關(guān)系.

【詳解】(1)解：猜想N3+/3尸￡>+/。=360。.

理由：過(guò)點(diǎn)尸作所〃AB,

ZB+ZBPE=180°,

VAB//CD,EF//AB,

???EF\\CD,

???NEPD+ND=180。,

：.ZB+NBPE+NEPD+ND=360°,

JAB+ZBPD+AD=360°；

(2)ZBPD=ZB+ZD.

理由：如圖，過(guò)點(diǎn)尸作尸石〃AB,

(2)

???AB//CD,

：.PE//AB//CD,

：.Z1=ZB,N2=N。，

JZBPD=ZL+Z2=ZB+ZD；

(3)如圖(3)：ZBPD=ZD-ZB.

(3)

???Z7=ZD,

N1=NB+NP,

JZD=ZB+NP,

即ZBPD=ZD-ZB；

如圖(4)：ZBPD=ZB—ZD.

理由：VAB//CD,

(4)

???Z1=ZB,

Z1=ZD+ZP,

ZB=ZD+ZP,

即ZBPD=ZB-ZD.

【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，平行公理的推論，三角形的外角的性質(zhì)定理，熟記平行線的性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

題型06：平行線雞翅型

21.①如圖1,A8〃C。，則NA+NE+NC=360。；②如圖2,AB〃CD,則NP=NA-NC；③如圖3,AB//CD,

則NE=NA+N1;④如圖4,直線〃EE,點(diǎn)。在直線所上，則〃-4+々=180。.以上結(jié)論正

確的個(gè)數(shù)是（）

【答案】C

【分析】①過(guò)點(diǎn)E作直線E尸〃由平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，即可得出結(jié)論；

②如圖2,先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出Nl=/C+/P,再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等即可作出判斷；

③如圖3,過(guò)點(diǎn)E作直線即〃由平行線的性質(zhì)可得出/A+NAEC-Nl=180。，即得NAEC=180。+/1

-ZA；

④如圖4,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出Na=N20RZy+ZCOF=180°,再利用角的關(guān)系解答即可.

【詳解】解：

①如圖1,過(guò)點(diǎn)E作直線匹〃A3,

?：AB//CD,

：.AB//CD//EF,

：.ZA+Zl=180°,Z2+ZC=180°,

ZA+Z1+Z2+ZC=360°,

ZA+ZAEC+ZC=360°,

故①正確；

②如圖2,是ACE尸的外角*

??,Z1=ZC+ZP,

\'AB//CD,

ZA=Z1,

即/尸=/A-ZC,

故②正確；

③如圖3,過(guò)點(diǎn)E作直線

'：AB//CD,

：.AB//CD//EF,

：.ZA+Z3=18O°,Z1=Z2,

AZA+ZAEC-/I=180。，

即/AEC=180°+/l-ZA,

故③錯(cuò)誤；

④如圖4,'CAB//EF,

:./a=NBOF,

\'CD//EF,

：.Zy+ZCOF=lSO°,

'：ZBOF=ZCO