專練09幾何題（20題）

1.（2022?全國?八年級期末）如圖，ZkABC為等邊三角形，AE=CD,AD,BE相交于點P.

(1)求證：AABE^ACAD；

(2)求/2尸。的度數(shù).

【答案】(1)見解析

(2)ZBPD=60°

【解析】

(1)

證明：:△ABC為等邊三角形，

：.AB=AC,ZBAC=ZC=60°,

又：AE=CD,

A/\ABE^/\CAD(SAS)；

⑵

解:由(1)得AABE2△口!￡),

ZABE=ZCAD,

：.NBPD=ZBAD+/ABE=ZBAD+ZCAD=N&4c=60°.

【點睛】

本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握各性質(zhì)及判定定理是解題的關(guān)鍵.

2.(2021?云南紅河?八年級期末)如圖，在AABC中，=點/為A3的中點，邊AC的垂直平分線

交AC、CF、CB于點D、0、E,連接04、0B.

(1)求證：△08。為等腰三角形；

(2)若NAC423。，求/BOE的度數(shù).

【答案】(1)證明見解析

(2)21°

【解析】

(1)

證明；：??,ACuBC,點尸為AB的中點,

CF±AB,

二CP垂直平分AB,

：.OA=OB,

：DE垂直平分AC,

OA=OC,

：.0B=0C,

...△08C為等腰三角形;

⑵

解：'：CA=CB,CFLAB,

；.CP平分NACB,

ZBCF=ZACF=23°,

'：OB=OC,

：.ZOBC=ZOCB=23°,

'：ZEDC=9Q°,

：.ZDEC=180°-90°-Z￡>C￡=90o-23°-23o=44°,

'：ZOEC=ZOBE+ZBOE,

：.ZBO￡=44°-23°=21°.

【點睛】

本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)等知識;

掌握相關(guān)性質(zhì)和定理是解題關(guān)鍵.

3.(2022?河南?永城市教育體育局教研室八年級期末)已知/是等邊△ABC的邊8C上的點.

②

(1)如圖①，過點M作MN〃CA,交AB于點M求證：BM=BN；

(2)如圖②，連接AM,過點M作/AMH=60。，與NACB的鄰補角的平分線交于點H,過點“作

BC,交2C延長線于點D

(i)求證：MA=MH；

(ii)直接寫出CB,CM,CO之間的數(shù)量關(guān)系式.

【答案】(1)見解析

(2)(i)見解析；(ii)BC=CM+2CD

【解析】

(1)

證明：,：MN//AC,

：./BMN=ZC=60°,ZBNM=ZB=60°,

二/BMN=/BNM,

：.BM=BN；

⑵

(i)證明：如圖2,過M點作MV〃AC交AB于N,

圖2

貝ZANM=120°

,：AB=BC,

；.AN=MC,

「CH是NACB外角平分線，所以NACH=60。,

???NMCH=NAC5+NACH=120。，

又,.,NNMC=120。，ZAMH=60°,

ZHMC+ZAMN=60°,

又：NNAM+NAMN=/BNM=6Q°,

：./HMC=NMAN,

在和△MC77中

'AANM=AMCH

\AN=MC,

ZHMC=乙MAN

:.AAMN冬AMHC(ASA),

：.MA=MH；

(ii)CB=CM+2CD；理由如下：

證明：如圖2,過M點作MGLA8于G,

,/AAMN^/\MHC,

：.MN=HC,

?.?△BMN為等邊三角形，MG±AB

：.MN=MB,BM=2BG,

：.HC=BM,

在△8MG和中

i?B?HCD

\1MGB1HDC,

\HC=MB

：.ABMG^ACHD(AAS),

:.CD=BG,

：.BM=2CD,

所以BC=MC+2CD.

【點睛】

此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是正確作出輔助線，熟練掌握證

明三角形全等的方法.

(1)把三角尺的60。角的頂點落在射線0C上的任意一點尸處，繞點P轉(zhuǎn)動三角尺，某一時刻，恰好使得

=OF(圖1),止匕時PE與PF相等嗎？為什么？

(2)把三角尺繼續(xù)繞點尸轉(zhuǎn)動，兩邊分別交。4、于點E、尸(圖2),求證：APEF為等邊三角形.

【答案】(1)相等，理由見解析

(2)見解析

【解析】

(1)

解：PE=PF,

理由如下：

OC平分ZAQB,

NPOE=NPOF,

?：OP=OP,OE=OF,

：.iPEO^PFO,

：.PE=PF；

⑵

證明：在08上取。。=0尸，連接尸，

：OC平分ZAO8,

ZAOC=ZBOC=60°,

尸0。是等邊三角形，

:.PD=0P,ZPDO=ZAOC=ZOPD=60°,

NEPF=NOPD=60P,

ZEPF-ZOPF=ZOPD-ZOPF,

即：NEPO=NDPF,

OP=PD,ZPOE=ZPDF=60°,

PEgPFD,

:.PE=PF,

ZEPF=60°,

.二尸EF是等邊三角形.

【點睛】

本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握全等三角形的判定

與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.（2022?河南信陽?八年級期末）如圖，AABC,/ADE均是等邊三角形，點2,D,E三點共線，連按C。,

(1)求證：BD=CE；

(2)若線段。E=3,求線段8。的長.

【答案】(1)見解析

(2)6

【解析】

(1)

證明：:△ABC、△>!￡>￡是等邊三角形，

：.AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=60°,

：.ZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC,

：.NBAD=NCAE,

在△A3。和AACE中，

AB=AC

<ZBAD=Z.CAE

AD=AE

：./\ABD^/\ACE(SAS),

：.BD=CE;

⑵

解:「△ADE是等邊三角形，

ZADE=ZAED=6Q°,

?.,點8,D,E三點共線

乙402=120°,

^ABD^/XACE,

：.ZAEC=ZADB=nO°,

：.ZCED=ZAEC-ZAED=60°,

'：CD±BE,

：.ZCDE=90°,

：.ZDCE=30°,

；.BD=CE=2DE=6.

【點睛】

本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理是本題

的關(guān)鍵.

6.（2021?重慶市黔江區(qū)教育科學研究所八年級期末）如圖，在RtAABC中，ZC=90°,N8=54。，AD平

分NG4B,交于點O.

A---------------------------------------U

（1）求作A8的垂直平分線MN；（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）

⑵在（1）的條件下，若交AD于點E,連接BE.求證：DE=DB.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【解析】

(1)

解：以點A,B為圓心，適當長度為半徑畫弧，交于兩點，過這兩點作直線則為所求，如圖,

xlzC

.D

N

MN即為所求；

⑵

證明：ZC+ZBAC+ZABC=180°,且NC=90。，ZB=54°,

ABAC=180°-ZC-ZABC=180°-90°-54°=36°,

仞是NG4B的平分線，

I1

ABAD=-ZBAC=-x36°=18°,

22

MN是A8的垂直平分線，

AE=BE,

:.ZABE=ZBAE=1S°,

.\ZEBD=ZABC-ZABE=54O-1S°=36°,

又-NBED是的一個外角，

ZBED=ZBAD+ZEBA=1S°+1S°=36°,

:.ZBED=AEBD,

DE-DB.

【點睛】

本題考查了尺規(guī)作圖一作線段的垂直平分線，三角形的內(nèi)角和定理及外角的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，

等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合題意和圖形準確找到相關(guān)角的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

7.(2022?廣西百色?八年級期末)如圖，已知是△ABC的角平分線，DE,。尸分別是△A3。和△AC。的

高，A。與斯相交于點M.

(1)求證：AADE^AADF；

(2)求證：垂直平分EF.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【解析】

(1)

證明：平分NR4C,DE±AB,DF1AC,

：.DE=DF.

?；DE_LAB,DFLAC,

ZAED=ZAFD=90°,

IA。=y4/）

.?.在RtZXAOEr和RtzXADF中，\DEZDF,

：.RtAADE^RtAADF（HL）；

⑵

證明：?.,RtAADE^RtAADF

J.AE^AF

又：AQ是AABC的角平分線

：.AD是線段EF的垂直平分線.

【點睛】

本題主要考查角平分線的性質(zhì)定理、“HL”及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)定理、“HL”及等

腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

8.（2022.河北唐山?八年級期末）已知：如圖，在3Ase中，AB^AC,BD1AC,CELAB,垂足分別為

。、E,BD與CE交于點、0.

發(fā)現(xiàn)：30與CE有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由；

探索：判斷30C的形狀，并說明理由；

拓展：連接49并延長，交于點冗請你直接寫出一條關(guān)于AF的結(jié)論.

【答案】發(fā)現(xiàn)：BD=CE,理由見詳解；

探索：△B0C是等腰三角形，理由見詳解；

拓展：AF±BC,理由見詳解（或者AF平分NBAC,證明過程同ABLBC的證明過程）

【解析】

發(fā)現(xiàn)：BD=CE,理由如下：

'：AB=AC,

：.NABC=NACB,

XVBDXAC,CE±AB,

：.ZCEB=ZBDC=90°,

又有BC=CB,

：.RtAEBC三RtADCB,

：.BD=CE,

得證；

探索：△BOC是等腰三角形，理由如下:

在“發(fā)現(xiàn)''中已經(jīng)證得△EBC=ADCB,

：.ZDBC=ZECB,

.?.有OC=OB,即△80C是等腰三角形，

得證；

拓展：AFLBC,

理由如下：

如圖：

D

在“探索”中已經(jīng)證得BO=CO,

又：AB=AC,AO=AO,

：.ABAO=RtACAO,

：.ZEAO=ZDAO,

/平分/A4C,

又?.?A8=AC,AF=AF,

,BAF^CAF,

：.ZAFB=ZAFC=9Q°,

：.AF±BC.

【點睛】

本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的判定等知識，掌握全等

三角形的判定和性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

9.（2022?湖北襄陽?八年級期末）已知四邊形ABCD中，AB±AD,BCLCD,AB=BC,NASC=120。,

ZMBN=60。，將NMBN繞點B旋轉(zhuǎn).

（1）當4ZBN旋轉(zhuǎn)至ij（如圖1）的位置，此時NMBN的兩邊分別交AD,0c于E,F,且AE=CF,求證:

①BE=BF②AE+CF=EF-

⑵當NMBN旋轉(zhuǎn)到（如圖1）的位置，此時NMBN的兩邊分別交AD,DC于E,F,且A￡wCF時，小穎

猜想⑴中的AE+C尸=￡F仍然成立，并嘗試作出了延長。C至點K,使CK=AE,連接BK,請你證明小

穎的猜想；

⑶當NMBN旋轉(zhuǎn)到(如圖1)的位置，此時的兩邊分別交AD,DC于E,F,猜想線段AE、CF、EF

之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

(3)AE-CF^EF,見解析

【解析】

(1)

證明：①在八45石和VCBF中，

AB=BC

<ZA=ZBCF,

AE=CF

:.一ABE學&CBF(SAS).

:.BE=BF；

②由①知△ABE會VCB尸,

ZABE=ZCBF=1(ZABC-ZMBN)=1(120°-60°)=30°.

AE=-BE,CF=-BF,

22

*,?.BEF是等邊三角形.

..BE=BF=EF.

AE+CF=-BE+-BF=EF；

22

(2)

解：延長DC至K點使得CK=AE,如圖.

A

在△ABE1和<C8K.中，

'BK=BE

<ZKBF=/EBF

BF=BF

;._ABEW_CBK(SAS).

:.BE=BK,ZABE=/KBC,

ZABE+ZCBE=120°f

:./KBC+/CBE=12。。,

即NAB￡=120。，

ZEBF=60°,

ZKBF=ZEBF=60°.

在△￡?方和.KM中，

BK=BE

<ZKBF=ZEBF,

BF=BF

:△EBFQLKBF(SAS).

:.EF=KF.

:.EF=CK+CF.

:.AE+CF=EF；

⑶

解：如圖3,猜想AE-CV=EF.

證明如下：

在DC的延長線上取點K,

使CK=AE,連接BK.

在△4BE和ACBK中，

.■...ABE^^CBK(SAS).

:.BE=BK,ZABE=NKBC,

ZABE+ZCBE=120°,

:.ZKBC+ZCBE^120°,

WZKBE=120°.

NEBF=60。,

:.ZKBF=ZEBF=60°.

【點睛】

本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，作出輔助線和理解相關(guān)知識是解答

關(guān)鍵.

10.(2022?云南紅河?八年級期末)如圖，已知RAA8C中，ZACB=90°,。，至于點￡),ZBAC的平分

線分別交BC,CD于點區(qū)F.

(1)試說明ACEF是等腰三角形；

(2)若點E恰好在線段A8的垂直平分線上，猜想：線段AC與線段AB的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

(3)在(2)的條件下，若CE=2,AC=2y/3,求A4BE的面積.

【答案】(1)見解析

(2)AC=；A8,理由見解析

(3)473

【解析】

(1)

,/ZACB=90°,

/.ZB+ZBAC=90°,

CDA.A.B,

ZCAD+ZACD=90°,

：.ZACD^ZB

：AE是ZB4C的平分線，

NCAE=/EAB,

"?ZEAB+ZB=ACEA,ZCAE+ZACD=Z.CFE,

NCFE=NCEF

：.CF=CE.

???ACEF是等腰三角形;

(2)

AC^-AB

2

理由如下：

?點E恰好在線段48的垂直平分線上,

AE=BE,

NEAB=NB,

,：AE是ZB4C的平分線，

ZCAE^ZEAB,

：.NCAB=2NB,

,：ZAC3=90。

，ZC4B+ZB=90°,

/.ZB=30°

AC=-AB.

2

(3)

過點E作EH_LAB于點H,

,/AC=25

AB=4看,

?「A石是ZBAC的平分線，ZACB=90°,

:.EC±AC

：.CE=EH=2

???^￡=1AB.￡H=1x473x2=473.

【點睛】

本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，線段垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，三角形的面積，三角形

的內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)等知識點，能綜合運用知識點進行推理和計算是解此題的關(guān)鍵.

11.(2022?上海?八年級期末)在△A8C中，ZACB=9Q°,AC=BC,直線MN經(jīng)過點C,且AD_LMN于點

BE_LMN于點、E.

⑴當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖1所示位置時，求證：DE=AD-BE；

(2)當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖2、圖3所示位置時，補全圖形，并探索線段?！?、AD,BE之間的數(shù)量關(guān)系

(直接寫出答案).

【答案】(1)見解析；

(2)如圖2所示：DE=BE-AD；如圖3所示：DE=BE+AD

【解析】

(1)

證明：,JADLMN,BE±MN,

???ZADC=ZCEB=90°,

在放△CEB中，ZCBE+ZBCE=90°f

又NAC8=90。，

???ZAC￡>+ZBCE=90°,

ZCBE=ZACDf

在△AOC與△CEB中，

/ADC=/CEB

<ZACD=ZCBE,

AC=CB

：.△A￡>C^△CEB{AAS),

CD=BE,AD=CE,

：.DE=CE-CD=AD-BE；

(2)

如圖2所示：DE=BE-AD；如圖3所示：DE=BE+AD,

理由：如圖2,VAD±W,BEJLMN,

：.ZADC=ZCEB=90°,

在放△CE5中，NCBE+/BCE=9。。,

又NAC8=90。，

???ZACD+ZBCE=90°,

ZCBE=ZACD,

在△AOC與△CEB中，

ZADC=/CEB

<NACD=NCBE,

AC=CB

：.AADC^△CEB(AAS),

：.CD=BE,AD=CE,

：.DE=CD-CE=BE-AD；

圖3的證明方法與圖2相同，均是通過證明△AZ>Cg^CE3(44S)來得到結(jié)論.

【點睛】

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),證明△AOCg△CEB(AAS)是解答本題的關(guān)鍵.

12.(2022?河南南陽?八年級期末)解決問題

01圖2圖3

(1)感知：

如圖1,在等腰三角形ABC中，ZACB=90°,BC=x,將邊42繞點2順時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段2。，過點。

作DE1.CB交CB的延長線于點E,連接CD.則線段BC與DE的數(shù)量關(guān)系是,ABCD的面積為

(用含x的式子表示)；

⑵應(yīng)用：

如圖2,在一般的放△ABC中，90°,BC=x,將邊AB繞點8順時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段BZ),連接

CD,用含x的式子表示△BCD的面積，并說明理由.

(3)拓展:

如圖3所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC=5,將邊AB繞點8順時針旋轉(zhuǎn)，當連接CD若

△BCD的面積為9,則CD的長為.

【答案】(DBC=DE,白2；

(2)SABCD=1X2,理由見解析；

⑶715^

【解析】

(1)

解：由題意得：ABDE會AABC,

DE=BC=x,

：.SLBCD=-BC'DE=-x2,

22

故答案是：BC=DE,《N；

2

⑵

解：如圖1,

S^BCD=-x2,理由如下:

2

作￡>E_LCB于E,

ZE=ZACE=90°,

???ZA+ZABC=90°f

ZABD=90°,

：.ZABC+ZDBE=90°,

：.NA=NDBE,

在放"3c和△3Z)E中，

ZACB=ZE

</A=/DBE,

AB=BD

:?△NBgXBDE(AAS),

:,DE=BC=x,

：.SABCD=-BC?DE=-X2；

22

(3)

解：如圖2,

圖2

作A/_LBC于尸，作于E,

由(2)知：AABFQABDE,

：.DE=BF,BE=AF,

u

：AC=ABf

：.BF=-BC,

2

：.S^BCD=-BC*DE,

2

:.Bg,

：.BF=3,

■■AF=y/AB2-BF2=A/52-32=4-BC=2BF=6,

在中，CE=BC+BE=6+4=10,DE=3,

.?。=41()2+32

故答案為：＞/109.

【點睛】

本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，勾股定理等知識，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握“一

線三等角”模型.

13.(2022?湖北武漢?八年級期末)如圖，在等邊AA8C中，。為8c上一點，DE//AB,且DE=8D

圖I圖2圖3

(1)如圖1,若點E在AC邊上，求證：AE=CE；

(2)如圖2,若點E在AABC內(nèi)，連接CE,尸為CE的中點，連接AF、DF,求證：AFLDF-,

(3)如圖3,點、N為AB邊k一點,連接BE,AN=BE.若CN+CE的值最小時，NNCE的度數(shù)為'

(直接寫出結(jié)果).

【答案】(1)見解析

(2)見解析

(3)30

【解析】

(1)

證明：連接BE,

在等邊，ABC中，ZABC=60°,

,/DE//AB,

：.ZEDC=ZABC=60°,

且。E=

NDBE=NDEB=30。,

：.BE平分ZABC,

AE=CE；

⑵

證明：連接AD,延長DR到點G,使=連接AG,CG,

?.?/為CE的中點，

EF=FC,

y.ZEFD=ZCFG,

：.LDEF三△GCF(SAS),

ADE=CG,NEDF=/CGF,

：.DE//CG,又。石〃AB,

??.AB//CG,

：.ZABC+ZBCG=180°,

???ZABC=ZACB=60°,

：.ZACG=60°,

：.ZABC=ZACB=ZACG=60°,

又DE=BD,

:?CG=BD,又AB=AC,

/.AABZ)=AACG(&45),

AD=AG,AF±DF；

(3)

將△CAN繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60。，到△C3M,點N的對應(yīng)點為點M,連接ME,MN,EN,貝1JNA=N

CMB=60°,AN=BM,

：.ZEBM=ZEBC+ZCBM=30°+60°=90°,

?：AN=BE,

：.BM=BE,

???ABEM是等腰直角三角形，

VZMCN=ZACB=60°,CM=CN,

???△CMN是等邊三角形，

???CM=CN,

：.CE+CN=CE+CM,

當ACEM是直角三角形，/MCE==90。時，CE+CM的值最小，CE+CN的值就最小,

此時ZECN=ZMCE-ZMCN=30°,

故當CE+CN的值最小時，NECN=30。.

故答案為30

【點睛】

本題主要考查了等腰三角形，等邊三角形，全等三角形，旋轉(zhuǎn).熟練掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)，等邊

三角形性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，是解決此類問題的關(guān)鍵.

14.（2022?江蘇宿遷?八年級期末）問題背景：如圖1,在等邊ABC中，點尸為邊BC上一個動點（點尸不

與B,C重合），連接AP,把AP繞點尸順時針旋轉(zhuǎn)60。到PD,連接CO.探究AC、CD、PC之間的數(shù)量

關(guān)系.小明同學的探究思路是：過點P作尸交邊AC于點E（如圖2）,易證APCE是等邊三角形，

并且△PCD/所以CD=E4,AWAC-CD=PC.

圖4

（1）結(jié)論應(yīng)用:

①在圖1中，若AC=5cm,CD=2cm,則PC=cm；

②在圖1中，若AC=4cm,點。為AC的中點，則。。的最小值為cm；

⑵類比探究:如圖3,若點P為等邊:ABC邊BC延長線上一點,連接針，把AP繞點尸順時針旋轉(zhuǎn)60。到PD,

連接8.若AC=5,PC=2,求CD的長.

(3)拓展延伸：如圖4,ABC是等腰直角三角形，AB=BC,ZABC=90°,點P為邊上一個動點(點P

不與3、C重合)，連接AP,把AP繞點尸順時針旋轉(zhuǎn)90。到PD,連接8.直接寫出AC、CD、PC之間

的數(shù)量關(guān)系.

【答案】⑴①3；②答

Q)CD=7

O)AC-CD=yj2PC

【解析】

(1)

解：①作如圖，

???AABC為等邊三角形，

NPEC=/CPE=NB=6Q。

：.ZYPEC為等邊三角形

：.PE=PC

又：NAPE+/EPD=/EPD+/DPC=60°

???ZAPE=ZDPC

在△尸E4與△PC。中，

AP=PD

<NAPE=ZDPC

PE=PC

：.APEA^APC￡>(SAS)

JCD=AE

?；PC=CE

：.AC=AE+EC=CD+PC

VAC=5,CD=2

：.PC=AC-CD=3

故答案為：3；

②???0為AC的中點

AO=CO=—AC=2(cm)

2

由①知，ZAEP=ZPCD=120°

???ZACB=60°

???NAC0=6O。為定角，VOC=2

???當ODJ_C。時，0。最小

J止匕時NDOC=30。

：.CD=^OC=1

?*-0D=y)0C2-CD1=722-12=A/3(cm)

故答案為：g.

Q)

解：如圖，過點P作尸E〃M，交邊AC延長線于點E,

D

貝|NCPE=N3=60。，ZE=ZBAC=60°

.??，PC￡是等邊三角形，

：.PC=PE=CE

:”繞點P順時針旋轉(zhuǎn)60。到PD

：.ZAPD=ZCPE=60°

：.ZCPD=ZAPE

在△尸CD和△PEA中

PE=PC

<ZCPD=NAPE

PA=PD

：./\PCD^/\PEA(SAS)

:.CD=EA,

.??CD=AC+EC=AC+PC=5+2=7

(3)

解：作尸交AC于M.如圖,

?.?△42C是等腰直角三角形

.?.△PMC是等腰直角三角形

MC=4MP2+PC。=VPC2+PC2=叵PC

,/ZPMC=45°

ZAMP=135°

又ZAPM+ZMPD=ZMPD+ZDPC=90°

：./APM=/DPC

在△AMP和中，

AP=DP

，ZAPM=NDPC

MP=MC

：.AAMP^ADCP(SAS)

：.AM=CD

'：AC=AM+MC,AM=CD,MC=0pc

AC-CD=>/2PC

【點睛】

本題是幾何變換綜合題，主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性

質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，采取類比的方法是解題的關(guān)鍵.

15.(2022?上海?八年級期末)已知口ABCD,。是對角線AC與3。的交點，OE是ABC的中位線，聯(lián)結(jié)AE

并延長與。C的延長線交于點/，聯(lián)結(jié)求證：四邊形ABFC是平行四邊形.

【答案】證明見解析

【解析】

證明：：四邊形ABCD是平行四邊形,

ABCD且AB=CD,

是:ABC的中位線，

...點E是BC的中點，

Z.BE=CE,

?/ABiCD,

：.ZABE=NFCE,

在AABE和BCE中，

ZABE=ZFCE

<BE=CE,

ZBEA=ZCEF

」ABE^_FCE(ASA),

AB=FC,

'：AB8即AB〃CF,

二四邊形ABFC是平行四邊形.

【點睛】

本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，中位線的定義等知識.注意證得

△ABE必FCE是解此題的關(guān)鍵.

16.(2022.上海?八年級期末)如圖，在3ABe中，AC=BC,。是AC上一點，DE〃AB交BC于點、E,且

AD=DE,歹是AB上一點，BF=BE,連接尸￡).

(1)試判斷四邊形ADEB的形狀，并說明理由；

(2)求證：BE=FD.

【答案】(1)四邊形是等腰梯形；證明見解析

(2)證明見解析

【解析】

(1)

解:結(jié)論：四邊形皿友?是等腰梯形.

理由：：AC、BC是.ASC的兩邊，

；.AC與8C不平行，即仍與AD不平行，

DE//AB,

，四邊形4DEB是梯形，

AC^BC,

ZA=ZB,

，梯形ADE3是等腰梯形.

⑵

證明：..?梯形是等腰梯形，

/.AD=BE,

'：AD=DE,

：.BE=DE,

BE=BF,

：.DE=BF,

DE//AB,

四邊形8皮甲是平行四邊形，

BE=FD.

【點睛】

本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)、等腰梯形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識.解題的關(guān)鍵是掌

握等腰梯形的判定方法，平行四邊形的判定方法.

17.(2022?上海?八年級期末)如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD交于E點,DFAC,

ZDFC=ZAEB,連接EF.

(1)求證：DF=AE-,

(2)求證：四邊形8CFE是平行四邊形.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【解析】

(1)

證明：9：DFAC,

：.NDFC+/FCE=180。,

?：ZDFC=ZAEB,ZDEC=ZAEB

：./DFC=/DEC,

:?NDEC+NFCE=180°,

：.CF〃DE,

???四邊形DECF是平行四邊形，

:.DF=CE,

???四邊形ABC。是平行四邊形，

??.AE=CE,

：.DF=AE.

(2)

VDF=AE,DF//AE,

???四邊形AEED是平行四邊形，

:?AD=EF,AD//EF,

???四邊形ABC。是平行四邊形，

AAD=BC,AD//BC,

:,EF〃BC,EF=BC,

???四邊形BCFE是平行四邊形.

【點睛】

本題考查平行四邊形的性質(zhì)和判定、平行線的性質(zhì)和判定等知識.解題的關(guān)鍵是首先證明四邊形QE（才是

平行四邊形.

18.（2022?上海?八年級期末）在等邊ABC中，點￡＞是線段8c的中點，ZEZ罰=120。,。石與線段小?相交

于點E,DF與射線AC相交于點F.

（1）如圖，若。尸，AC,垂足為尸,=4,求BE的長；

（2）如圖，將（1）中的NEE?繞點D順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度，。尸仍與線段AC相交于點E求證:

BE+CF=-AB.

2

（3）如圖，將（2）中的繼續(xù)繞點。順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度，使。尸與線段AC的延長線交于點/作

DNJ_AC于點N,若DN=FN,設(shè)BE=x，CF=y,寫出y關(guān)于尤的函數(shù)關(guān)系式.

【答案】⑴BE=1

(2)見解析

⑶y=(2-代卜

【解析】

(1)

如圖1,「△ABC是等邊三角形，

AZB=ZC=60°,BC=AC=AB=4.

?.?點D是線段BC的中點，

:.BD=DC=gBC=2.

?：DFLAC,即NAfD=90°,

ZAED=360°-60°-90°-120°=90°,

/.ZBED=90°,：.ZBDE=30°,

(2)

過點。作。于M,作。ALLAC于N,如圖2,

則有NAMD=/BMD=ZAND=ZCND=90°.

,//A=60。，

ZMDN^36Q°-60°-90°-90°=120°.

'：ZEDF=nO°,

???ZMDE=ZNDF.

在和△NCO中，

?:/BMD=NCND,NB=NC,BD=CD,

:?叢MBD”叢NCD(A4S),

:?BM=CN,DM=DN.

在△EMO和△尸NO中，

?:/EMD=/FND,DM=DN,ZMDE=ZNDF,

：./\EMD^/\FND(ASA),

:?EM=FN,

:?BE+CF=BM+EM+CN—FN=BM+CN=2BM=BD=JBC=^AB；

(3)

過點。作。于M,如圖3,同(2)的方法可得：BM=CN,DM=DN,EM=FN.

，：DN=FN,

:?DM=DN=FN=EM,

：.BE+CF=BM+EM+FN—CN=NF+EM=2DM=x+y,

BE-CF=BM+EM-(FN—CN)=BM+NC=2BM=x~y,

在放中，VZBDM=30°,：.BD=2BM,

JDM=y/BD2-BM2=6BM,

/.x+y=y/3(%—y),整理，y=2—y/3x.

【點睛】

本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、四邊形的內(nèi)角和定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、30。角的直角三角形的性

質(zhì)以及勾股定理等知識，具有一定的綜合性，正確添加輔助線、熟練掌握上述知識是解題的關(guān)鍵.

19.(2022?湖南永州?八年級期末)△ACB和△OCE是共頂點C的兩個大小不一樣的等邊三角形.

圖1圖2圖3

(1)問題發(fā)現(xiàn)：

如圖1,若點A,D,E在同一直線上，連接AE,BE.

①求證：LACD當LBCE；