遼寧省鐵嶺市2024-2025學(xué)年高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.若命題p：Vx>0,%2-3x+2<0,則命題p的否定為（）

A.3%>0,%2—3x+2<0B,3x<0,%2—3x+2<0

C.3%>0,%2—3%+2>0D.Vx<0,%2—3%+2>0

2.已知全集U=R,集合2={x|yn'5+lowq一久）}，B={x|0<x<3},貝卜加力）nB=（）

A.{x|0<%<3}B.{x\l<%<3}

C.{x|-3<%<—2}D.{x|—2<x<0}

5

3.已知a=Tog[5,b=log827,c=(1),則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.a>c>bB.b>a>cC.c>a>bD.a>b>c

4.已知函數(shù)f(%)=sin?1+0)?>0,|^|<')的部分圖象如圖所示，將

f(x)的圖象向左平移專個單位長度得到函數(shù)9。)的圖象，則9電=()

A±

2o

B￡23

T

D.0

5.設(shè)zee,且|z+l|一|z-i|=0,則|z+i|的最小值為()

A.0B.1C號D.|

2TT

6.在直三棱柱/8C—A/i”側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱)中，AB=AC=1,AAr=2,ABAC=y,

則三棱柱ABC-Zi/Ci外接球的體積為()

ACn4-/27Tc8-/27T「87r

A.8TTB.——C.二一D.—

7.已知函數(shù)/(%)=/+]g(%+V%2+1),若/(3cos2。)+/(7sE6-5)>0,貝！Jcos2。的取值范圍是()

A.7)B.(-l，3C.(i,l)D.職)

8.△4BC中，AB=42,點P為△ABC平面內(nèi)一點，SJB-~BC=PC-BC0、「分另1」為448。的

外心和內(nèi)心，當(dāng)tanNBAC的值最大時，OH的長度為（）

A空B.宇C.苧D.l

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.下列命題中，錯誤的有()

A.x+士的最小值是4

X

B.“a>1”是“a?>a”的充分不必要條件

C.直角三角形以其一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是圓錐

D.用一個平面去截圓錐，這個平面和圓錐的底面之間的部分是圓臺

10.在中，內(nèi)角4、B、C所對的邊分別為a、b、c,己知a=，耳，(a+b^sinB—sinA)=c(sinB—

sinC),則()

AA.A4=7-TB.A力BC的周長的最大值為3四

O

C.當(dāng)b最大時，△ABC的面積為三D.2b+c的最大值為3肩

11.如圖，設(shè)久軸和y軸是平面內(nèi)相交成。角的兩條數(shù)軸，其中96(0,兀)，部，石分別是與無軸，y軸正方向同

向的單位向量，若向量赤=次=久區(qū)+y/，則把有序數(shù)對(x,y)叫做向量而在夾角為6的坐標(biāo)系xOy中的

坐標(biāo)，記為五=(x,y)(e),則下列結(jié)論正確的是()

A.若3=(2,1)々、，則向=0

B.若五=(1,2)◎石=(一1,1)有，貝紜在石上的投影向量為頻

C.若|4久—5名|(2eR)的最小值為等，則8

D.若對任意的26[—1,1],恒有|2瓦+2孩|2同+2瓦則66停，兀)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.若幕函數(shù)/(久)=(m2—3m+3)xm2-m-1,且在xe(0,+8)上是增函數(shù)，

則實數(shù)Hl=

13.如圖，棱長為2的正方體ABCD中，點P在線段上運動，則

1clp|+|DP|的最小值為.

14.如圖，某景區(qū)有景點4B,C,D.經(jīng)測量得，BC=6km,AABC=120°,

sinNBAC=等，^ACD=60°,CD=AC,^\AD=_(l)_fcm,現(xiàn)計劃從景點B處起始

建造一條棧道BM,并在M處修建觀景臺.為獲得最佳觀景效果，要求觀景臺對景點2、

。的視角乙4M。=120。.為了節(jié)約修建成本，棧道長度的最小值為

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

設(shè)復(fù)數(shù)Z1—1—ai^aeR),z2=2+i.

(1)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)Zi+Z2對應(yīng)的點在實軸上，求Z]Z2；

(2)若久是純虛數(shù)，且Z1是方程/+取+。=0(646幻的根，求實數(shù)b,c的值.

z2

16.(本小題15分)

如圖(1)所示，四邊形ON'B'C'為水平放置的四邊形0aBe的斜二測直觀圖，其中/支'。y=45。，0'4=4,

O'C=1,B'C=2.

(1)在圖(2)所示的直角坐標(biāo)系中畫出四邊形。4BC,并求四邊形。ABC的面積；

(2)若將四邊形0A8C以直線。4為軸旋轉(zhuǎn)一周，求旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的體積及表面積.

17.(本小題15分)

2

已知函數(shù)/'(x)=log2(x-ax+1).

(1)當(dāng)a=1時，求/'(%)的最小值；

(2)若/(久)為偶函數(shù)，求a的值；

(3)設(shè)9(久)=4"-2"+1,若對于任意X]6(0,1),存在久2e[-1,1],使得不等式/■(久1)29(久2)成立，求a的

取值范圍.

18.(本小題17分)

已知向量1=(s譏*—sin(x—今,cosx),b—(sinx,cosx),函數(shù)/'(x)=H—|.

(1)求/(x)的解析式；并求當(dāng)x=*時，，在另方向上的投影向量；

(2)已知AABC中，角4、B、。所對的邊分別為a、b、c,若/'(4)="a=be=2,求A4BC的BC邊

4

上的中線長；

(3)若/(a+0<aV求cos(2a-[).

o4Zo

19.(本小題17分)

法國數(shù)學(xué)家費馬在給意大利數(shù)學(xué)家托里拆利的一封信中提到“費馬點”，即平面內(nèi)到三角形三個頂點距離

之和最小的點，托里拆利確定費馬點的方法如下：

①當(dāng)AABC的三個內(nèi)角均小于120。時，滿足N40B=乙BOC=^COA=120。的點。為費馬點；

②當(dāng)△力8C有一個內(nèi)角大于或等于120。時，最大內(nèi)角的頂點為費馬點.

請用以上知識解決下面的問題：已知A/IBC的內(nèi)角4B,C所對的邊分別為a,b,c,點M為AABC的費馬

點，且lg(sinA+sinC')=2lgsinB-IgfsinC-sinA)

(1)求角C的大?。?/p>

(2)若MC=3,MB=4,求A48C的面積；

(3)若|M4|+\MB\=t\MC\,求實數(shù)t的最小值.

答案解析

1.【答案】C

【解析】解：命題P：Vx>0,x2-3x+2<0,則命題P的否定為：3%>0,x2-3x+2>0.

故選：C.

根據(jù)命題的否定即可求解.

本題考查全稱量詞命題的否定，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】B

【解析】解：集合4=+/。出。一久）}，

故解得-2<%<1，

故A={%|—2<x<1},

則CuA={x\x<-2或x>1}.

B={%|0<%<3},

（Cu力）CB={%|1<%<3}.

故選：B.

利用對數(shù)函數(shù)、分式型函數(shù)的定義域計算4再利用補集與交集的概念計算即可.

本題主要考查集合的混合運算，屬于基礎(chǔ)題

3.【答案】D

【解析】解：-logiS=logS,logB27=魯;=1。出3,log5>log3>1,（^）5<（^）0=1;

222

■■■a>b>c.

故選：D.

可以得出Tog工5=Iog25,10^827=log??,并且ZogzS>b處？>1,（；）,<1,從而得出a,b,c的大小關(guān)

系.

考查對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，對數(shù)的換底公式，以及增函數(shù)和減函數(shù)的定義.

4.【答案】B

【解析】解：由題意可得，斗=若—=苧，

41Zo4

所以T=TT,則3=2,所以/(%)=sin(2%+0),

又/1償)=sin6+w)=1,且|0|<1

所以0=.，則/(x)=sin(2x+/

所以g(x)=sin[2(x+工)+自=sin(2x+與)，所以g%)=siny=亨.

故選:B.

5.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，可得滿足|z+l|-|z-4=0的點Z幾何意義為復(fù)平面內(nèi)的點至女-1,0)與(0,1)的垂

直平分線：x+y=0,

|Z+4的最小值，就是直線上的點與(0,-1)距離的最小值：導(dǎo)=芋.

故選：C.

根據(jù)題意，可得滿足|z+l\-\z-i\=0的點Z幾何意義為復(fù)平面內(nèi)的點至!與(0,1)的中垂直平分線，

進而分析|z+i|的幾何意義，可得答案.

本題考查復(fù)數(shù)的模的基本運算，復(fù)數(shù)模的幾何意義，點到直線的距離的求法，是基礎(chǔ)題.

6.【答案】C

2TT

【解析】解：???△ABC中，AB=AC=1,Z.BAC=y,

△力8c的外接圓的半徑r=1.

直三棱柱ABC-AB】Q的6個頂點都在球。的球面上，且A4=2,

則球。的半徑R=VI2+I2=72.

.?.球。的體積=yfi3=苧兀.

故選：C.

由△ABC中，AB=AC=1,^BAC-y,可得△4BC的外接圓的半徑r=1.直三棱柱ABC-4/?的6個

頂點都在球。的球面上，且44=2,可得球。的半徑R利用體積計算公式即可得出.

本題考查了線面面面垂直的性質(zhì)定理、三角形外接圓的直徑、球的體積計算公式、直角三角形的邊角關(guān)

系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

7.【答案】D

【解析】解：因為/'(X)=/+lg(x+V久2+1),定義域為R,

因為/'(_%)+/(X)=—X3+lg(-x+VX2+1)+X3+lg(x+VX2+1)=lg(—X2+無2+1)=0,

所以/'(—%)=—/(x)，/(%)為奇函數(shù),

因為函數(shù)y=/在久￡R上單調(diào)遞增,

,%2ER,且設(shè)久1<%2，

則（%1+，好+1）—（%2+，布+1）=（%1-12）+（J好+1—J布+1）

一（久?（W+1）-（。+1）（]+1）.（。+1）

一X2）十I-------I--------X2）十I-------I-------

J*+l+J必+1J*+l+J^+l

，一一、，一”2、，一...、巧+亞幣+,2+亞1匚

一（%1—久2）。+r~~[）—（%1一汽2）rf'

1%仟1+《虐+1J妊+1+J靖+1

又久1+，％羊+1>0,%2+，好+1>3因為％1<%2，所以％1一汽2<。，

所以+J好+1<的+J%/+1，

由于函數(shù)y=Igx在xE（0,+8）上單調(diào)遞增，

所以lg（%i+J%』+1）<lg（%2+J以+1）,

故函數(shù)y=lg（x+，/+1）在R上單調(diào)遞增,

所以函數(shù)/(%)在久￡R上單調(diào)遞增,

由/（3cos26）+/（7s譏6-5）>0得/（3cos26）>-f（7sin6-5）=f（-7sin。+5）,

所以3cos2。>—7sin9+5,

即6s譏2。_7sin0+2<0,解得g<sinO<|,

1418

22e<

---<-

492SIin9

11

則cos28=1-2sin29E

故選：D.

先判斷出函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性解不等式，求出s譏。的范圍，再根據(jù)二倍

角的余弦公式即可得解.

本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

8.【答案】A

【解析】解：由而?就=正?舐=：,

11

+-o

可得(而+PC)=2-2-

所以P在BC的垂直平分線上，設(shè)K為BC的中點,

可得(尿+而)?2尿=一提即2尿J/

1

所以BK=5，從而BC=1,

由正弦定理可得BCAB

sinZ.BACsinZACB9

所以sin/BAC=—sinZ.ACBf

當(dāng)sin乙4cB=1時，(smABAC)max=號,

要使tan/BAC的值最大，貝吐B2C為銳角,

所以NB4C=3,從而ANBC為等腰直角三角形，

所以4c=1,所以。、“均在斜邊力B的垂直平分線上，

即?？跒閮?nèi)切圓的半徑，設(shè)內(nèi)切圓半徑為r,

所以+BC+AB)-r=^AC-BC,

即2(1+1+AA2)-r=I，解得r=^j==

所以。H

故選：A.

由已知可得P在BC的垂直平分線上，由兩?就=-1可得BC=1,進而由正弦定理可得ABAC=3，

L4

tanZ_B4C的值最大，進而計算可求?！?

本題考查向量的幾何運算及外接圓，內(nèi)切圓的性質(zhì)、正弦定理的應(yīng)用，屬于難題.

9.【答案】ACD

【解析】解：對于4,當(dāng)％>0時，x+->2Ix--=4,當(dāng)且僅當(dāng)％=3,即久=2時，％+±的最小值是4,

X\XXX

當(dāng)久<0時，%+-=—(―X+—)<—2x--=—4,

x、—Yx

當(dāng)且僅當(dāng)—n=±,即久=—2時，％+±的最大值是—4,故A錯誤；

—Xx

對于8,不等式小>q化為小—a>0,解得a<0或a>1,

所以“a>l”是標(biāo)>a〃的充分不必要條件，故5正確；

對于C,直角三角形以其一直角邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是圓錐，

若以斜邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是有公共底面的兩個圓錐，故C錯誤；

對于D,用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，這個平面和圓錐的底面之間的部分是圓臺，故。錯誤.

故選：ACD.

根據(jù)基本不等式使用條件求久+±在久>0,%<0時的最值情況即可判斷4

X

解一元二次不等式，結(jié)合充分條件與必要條件判斷B；

根據(jù)圓錐的形成判斷C；

根據(jù)圓臺與圓錐的關(guān)系即可判斷D.

本題考查了圓臺與圓錐的關(guān)系，屬于中檔題.

10.【答案】BC

【解析】解：因為+b)(sinB—sinA)=c(sinB—sinC),

由正弦定理可得,(a+b)(b—a)=c(b—c),即b2+c2—a2=be,

由余弦定理得cosZ=b+；―。=I，則A=P故A錯誤；

2bc23

b2+c2—a2=be得(b+c)2-3=3bc,

2

因beW然貝帕+cW2，I,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時等號成立，

則△ABC的周長的最大值為+3/1,故8正確；

由正弦定理得=」^==7=W=2，貝肪=2sin8,

sinAsinBsine但

2

故當(dāng)8=軻，b取最大值2,此時c=LSMBc=：ac=苧，故C正確；

由C選項可知,2b+c=4sinB+2sinC=4-sinB+2sm(B+g)

=4s譏B+2(|sinB+?cosB)=SsinB+V_3cosB=2，7sin(B+(p),

故當(dāng)sin(8+s)=1時，26+c取最大值2Q，故。錯誤.

故選：BC.

利用正弦定理化簡條件中的式子，再利用余弦定理即可得角4可判斷4選項；利用基本不等式可求B選

項；利用正弦定理得b=2s出B即可判斷C選項；利用正弦定理邊化角，求三角函數(shù)的最值可判斷D選項.

本題主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式，輔助角公式在求解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題.

11.【答案】ABD

【解析】解：選項A,(耳同>=亨，n=2區(qū)+石，

所以1初=J(2前+或)2=〔4及？+漢？+4區(qū)?其=門,故A正確；

選項5,〈司局>=與，'=五+2可，另=一否+葭，

貝。由1=J(一/+葭)2=Jl+l-2x1=l,

—>11

a-6=(e7+2e^)-(-e7+e^)=-l+2--=-,

所以日在B上的投影向量為|N|cos<a,b>X=需另=露故3正確；

2

選項C,因為|。1一5各I=J(44一5多)2=JA6I+2562-102?1-e2

=V22-1OCOS02+25=V(A-5cos0)2+25-25cos26>V25-25cos20=苧,

所以COS28.即cos。=±2,所以"粉年，故C錯誤；

選項。，由|2瓦+4夙|2I及+2孩I，

兩邊平方得4+萬+4^Acos3之1+4+4cos。，

即對任意26[—1,1],4(1—X)cos04萬—1,

若；1=1,上式恒成立，即6ER,

1

右4€[—1,1),cos94-T(A+1),

4

所以cos?<-得8e[―,7T),故￡)正確.

故選：ABD.

根據(jù)模長公式即可求解4；根據(jù)投影向量的計算公式即可求解8；根據(jù)模長公式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可

求解C,D.

本題考查平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運算，屬中檔題.

12.【答案】2

【解析】解：幕函數(shù)/(x)=(m2-3m+3)xm2~m~1,且在久e(0,+8)上是增函數(shù),

解得爪=

所以m^-3m+3=l；2.

m-m—1>0

故答案為：2.

根據(jù)累函數(shù)的定義與性質(zhì)，列式求解即可.

本題考查了幕函數(shù)的定義與性質(zhì)應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

13.【答案】78+472

【解析】解：根據(jù)題意，將三角形4。劣沿4/翻折90。得到該圖形（與平面48GD1共面且。與B在A/的異

側(cè)），

如圖所示：

連接DQ與AD1相交于點P,止匕時|GP|+|DP|取得最小值DR,延長心久，過。作DE1GE1于點E,

又Cn=DD[=2,乙4。/=45。，所以AEDDi為等腰直角三角形，所以DE=。送=2X苧=，！，

在RtZkDEG中，DQ=J（C）2+（2+=J8+4/1,

故|C】P|+|DP|的最小值為,8+4，》

故答案為：78+4-\/~2-

將三角形ADD1沿4D1翻折90。與平面4BQD1共面且。與B在/ID1的異側(cè)，連接DQ,貝切的的長度即為距離

和最小值.

本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，涉及正方體的側(cè)面展開問題，屬于中檔題.

14.【答案】6/7；10<3-2<21

【解析】解：在△ABC中，BC=6,^ABC=120°,sinzB/lC=-）

14

由正弦定理可得：一妥=一%，即善=41，

smz.BACsmz.ABC下--

解得：AC=6V7.

在△4CD中，由乙4CD=60。，CD=AC,得AACD為等邊三角形，可得4。=4C=6/7kzn；

以B為坐標(biāo)原點，以BC所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，

由sinZ_R4c=得cosZ_54C=早二,

???sinZ.ACB=sin(120°+Z-BAC)=sinl20°cosZ.BAC+cosl200sinZ.BAC

/35<71/21_/21

----X-------------X-------=-------，

2142147

cosZ.ACB=V1—sin2Z.ACB=-y-.

在△ABC中，由正弦定理可得：金6V7解得4B=12.

s出120°'

力點的坐標(biāo)為(一6,6門).

sin乙DCx=sin(60°+Z.ACB)=sin600cosZ-ACB+cos600sinZ.ACB

/3277,1/213/21

=TX—+2X—=

貝!Jcosz2)C%=V1—sin2zDCx=

14

???。點坐標(biāo)為(9,90

設(shè)MQ,y),則品“=kMD=專亭

y6V3y9V3

???乙4MB=120。，.?.由到角公式可得：tcml20。=i=-<3.

i+^c+6啟針

整理得：x2+(y—10，W)2=84.

M點在圓/+(y—io<3)2=84的一段圓弧上.

圓心為(0,104)，半徑為2，U.

則BM長度的最小值為I02+(10<3)2-2<21=10AA3-2<21.

故答案為：6，7;10AA3-27^1.

在A/IBC中，直接由正弦定理求解4D的長度；以B為坐標(biāo)原點，以BC所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)

系，求出M點的軌跡，可知M點在圓/+3一10，幣2=84的一段圓弧上，再由圓心到B點的距離減去半

徑求得棧道BM長度的最小值.

本題考查三角形的解法，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，考查直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計算能力，屬難

題.

15.【答案】Z】Z2=3-i；

b=-2,c=5.

【解析】解：(1)由題意可知,Z]+之2=3+(1-

若復(fù)數(shù)Z]+Z2對應(yīng)的點在實軸上，則Z1+Z2ER,

可得1—a=0,即a=1,

所以Z1Z2=(1—i)(2+i)=3—i.

(2)因為生=夏=(屋普一=m—誓i,

''Z22+t(2+i)(2—1)755

=0

若生是純虛數(shù)，貝35,解得a=2,

Z22a+l豐0

I5

由題意可知，Z=1+2，也是該方程的根，

由韋達定理可得卜+孕=一。即已二—%所以b=—2,c=5.

(Z1?Z1=c15=c

(1)根據(jù)題意分析可知Zi+Z2ER,即可得a=1,進而可求z/2；

(2)根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算結(jié)合純虛數(shù)概念可得a=2,可知az；是方程/+法+c=0的根，利用韋達定理

運算求解即可.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】作圖見解析，6；

體積為嬰；表面積為(12+4/I)兀.

【解析】解：(1)在直觀圖中0'4=4,O'C=1,B'C=2,

則在四邊形。2BC中。A=4,OC=2O'C=2,BC=B'C=2,

所以四邊形。4BC如圖所示:

由圖可知，四邊形。ABC為直角梯形,

所以面積為”迎=6.

(2)直角梯形。ABC以直線。4為軸，旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體可以看成圓柱加上一個同底的圓錐,

由(1)可知幾何體的底面圓半徑r=2,圓柱的高瓦=2,

圓錐的高電=2,母線長2=2/2

所以該幾何體的體積，=%+曝=TTT2fli+：兀產(chǎn)%2=8兀+用=半.

表面積S=nr2+2口八1+nrl=4兀+8兀+=(12+4V~2)7T.

(1)先還原出原圖形，再求面積即可.

(2)先確定旋轉(zhuǎn)所成的圖形是圓錐，再求表面積即可.

本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，屬中檔題.

17.【答案】的最小值為logz3—2.

a=0.

的取值范圍是(-8,0].

2

【解析】解：(1)/0)=log2(x-x+1),由于％2一%+1=(%一,2+.>0恒成立，

所以函數(shù)/(%)的定義域為R,

又函數(shù)y=——x+l在(―8,手上單調(diào)遞減，在G，+8)上單調(diào)遞增，函數(shù)y=10g2X為增函數(shù),

所以函數(shù)/■(久)在(-8,手上單調(diào)遞減，在G，+8)上單調(diào)遞增，

12

故/(%)的最小值為/'(5)=log2-=log23-2.

(2)若f(x)為偶函數(shù)，則/(￡)=/(—%),

2

所以10。2(久2—ax+1)=log2(x+ax+1),

即/一4%+i=/+4%+i恒成立，所以a=。；

當(dāng)a=0時,函數(shù)f(x)定義域為R,滿足/(x)=f(T),

故若f(x)為偶函數(shù),則a=0；

(3)若對于任意/e(0,1),存在久2e[-1,1],使得不等式fQi)>g(%2)成立*

則/■01)>g(%2)mE恒成立，

令當(dāng)xe[—1,1]時，teg,-12],

所以g(x)=G(t)=/-23所以當(dāng)t=l時，gQOmin=G(l)=-1,

所以/(x)>一1在(0,1)上恒成立，

1

即，。。2(%2—ax+1)>-1在(0,1)上恒成立,則％2—ax+1>2在(0,1)上恒成立,

1

所以Q<X+五在(0,1)上恒成立，

因為久+三22卜4=瓶,當(dāng)且僅當(dāng)x=-即％=苧6(0,1)時等號成立，

所以a〈V~2,即a的取值范圍是(一8,42].

(1)根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性確定函數(shù)/(%)的單調(diào)性即可得最值；

(2)根據(jù)函數(shù)的奇偶性求參數(shù)即可；

(3)由題意可得/(久1)>g(%2)zn譏恒成立，利用換元法可得g(%2)m勿，則1002(%2-ttX+1)>一1在(0,1)上恒

成立，由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及參變量分離法可得aWx+a在(0,1)上恒成立，利用基本不等式可得x+2的

最小值，從而可得a的取值范圍.

本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

18.【答案】"X)=[n(2x+)金萼)；

R

T;

遮+V7

4,

[解析]解：(1)由題意得sin%—sin(x—g)=sinx—sinxcos+cosxsin^=；sinx+}cos%,

所以五=(sinx—sin(x—今,cosx)=(|sinx+/cosx,cosx)

可得/(%)=a?b—^=(^-sinx+苧cos%)sin%+cos2%—1=^sin2%+^-sinxcosx+cos2%—p

4224224

=g+?sinlx+i(cos2x+1)—11sin(2x+，即/(%)=1sin(2x+卷)；

當(dāng)X=(時,a-b=f(^)+^=|sin(2x7+$+*=|,

由另=(si吟cos*)=苧)，可得131=J(；)2+(爭2=i，

所以2在另方向上的投影向量為患4==滂,苧)=島苧)；

(2)根據(jù)/(A)=|sin(2X+》=。，

Z。4

可得sin(22+勺=:，結(jié)合24+等)，可得24+?=占即2=最

6Z6v66663

由余弦定理小=b2+c2—2bccosA=3,可得力2+c2—he=3,所以力2+c2=3+be=5.

設(shè)aABC的BC邊上的中線為4D,

則AO=I{AB+AC)，可得：(AB2+2AB.AC+AC2)=(c2+2bccos^+Z)2)=^(c2+fee+h2)=

7

4f

所以|同尸容即△力BC的BC邊上的中線長為爭

B

⑶根據(jù)/(a+1)=，，可得:sin(2a+勺=畢，即cos2a=噂，

64LL4，

因為0<a<g,貝!]0<2。<兀，所以s出2a=唱，

/2

71

五口JT徂付cosc(2a-n-、)=cosozacos-I+s-in2as?in冗-=/—2x/—3+^—2x1-=V——T+/-——2?

66622224

(i)根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算法則、兩角差的正弦公式，結(jié)合二倍角的三角函數(shù)公式化簡出與

?同，再根據(jù)投影向量的定義算出答案；

(2)根據(jù)-4)=：算出角4,然后根據(jù)余弦定理求出/+02,結(jié)合向量數(shù)量積的運算性質(zhì)求出BC邊上的中線

長；

(3)根據(jù)f(a+$=苧求得cos2a,結(jié)合兩角差的余弦公式算出cos(2a-+的值.

本題主要考查兩角和與差的三角函數(shù)公式、平面向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)運算、投影向量的概念、三角形中

線的性質(zhì)等知識，屬于中檔題.

19.【答案】解：(1)由Ig(si7h4+sinC)=2lgsinB—\g(sinC-sinA)=1g,‘廣，