空間幾何（選填題15種考點(diǎn)分類）

和縱導(dǎo)圖

體積和表面積

體積與表面積公式

表面積體積

柱體（梭柱和囿S-=S?+2S<V=Sh

錐體（梭雉和囿錐）S盤刎+S息V=-Sh

3

三（上+下

臺(tái)體（棱臺(tái)和囿臺(tái)）yss+\!sjh

SS_L+St

4

球S=4nRz0=

3

斜二測(cè)畫法

_平行于X軸的線段平行性不變，長(zhǎng)度不變；平行于y軸的線段平行性

不變，長(zhǎng)度減半

按照斜：測(cè)畫法得到的平面圖形的直觀圖,其面枳與原平面圖形向枳的關(guān)系:

空間曲線或折線（段）最短

L幾何體的側(cè)面展開圖，采用化曲為直的策略，將空間問題平面化

1

平行

一線線平行

一思路一平移法：把線平移到面內(nèi)找方法

r三角形邊等比例（中位線）一構(gòu)造平行四邊形

J方法彳線面平行的性質(zhì)

一平行的傳遞性一空間向量

I面面平行的性質(zhì)

一線面垂直的性質(zhì)

線面平行

文字語(yǔ)言：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，

判則該直線與此平面平行（線線平行=線面平行）

定

符號(hào)語(yǔ)言：VI/7a,aCa,Ida,：.l//a

定

理

圖形語(yǔ)言

文字語(yǔ)言：一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面

性與此平面的交線與該直線平行（簡(jiǎn)記為“線面平行=線線平行”）

質(zhì)

符號(hào)語(yǔ)言:ClB=b,

定

理

圖形語(yǔ)言

面面平行

文字語(yǔ)言:一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，

則這兩個(gè)平面平行（簡(jiǎn)記為“線面平行=面面平行”）

_判定.符號(hào)語(yǔ)言:；a〃B,b〃B,aClb=P,aUa,bUa,a〃0

定理r

圖形語(yǔ)言

文字語(yǔ)言：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那其交線平行

符號(hào)語(yǔ)言：：a〃B,any=a,8Cl丫=b,，a〃b

L性質(zhì).

~定理圖形語(yǔ)言一

I兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個(gè)平面

性質(zhì)定理

判審審理判定定理

平行間的關(guān)系一線線I平行,二:::、線面平行歷史神、面面平行

I性質(zhì)定理性質(zhì)定理?

判定定理

空間幾何中的垂直

一線線垂直

圖形〈正方形、矩形、菱形一直角邊或?qū)蔷€垂直

等腰三角形、等邊三角形一取中點(diǎn)

...J-勾股定理

j邊長(zhǎng)Y

'正余弦定理

L線面垂直定義

—線面垂直的定義

L直線1與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說直線1與平面a互相垂直

—線面垂直

文字語(yǔ)言：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,

判則該直線與此平面垂直

定

定1±a

理

11b

符號(hào)語(yǔ)言?<=>l±a

aAb=O

a、bca

性

質(zhì),文字語(yǔ)言：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行

定

'符號(hào)語(yǔ)言一::a.oa||b-圖形語(yǔ)言一

理

r若一條直線垂直于一個(gè)平面，則這條直線垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任意直線

常，若兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面

見

結(jié)--垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行

論

「一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)，則這一條直線與另一個(gè)平面也垂直

l兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，它們的交線也垂直于第三個(gè)平面

文字語(yǔ)言：一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直

面面垂直

文字語(yǔ)言：兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與

另一個(gè)平面垂直

3

空間向量

平行

一線線平行：方向向量平行

一線面平行：平面外的直線方向向量與平面法向量垂

一面面平行：兩平面的法向量平行

一垂直

一線線垂直：證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證它們的數(shù)量積為零

一線面垂直：直線的方向向量與平面的法向量共線，利用線面垂直的判定定理轉(zhuǎn)

化為證明線線垂直

一面面垂直：兩個(gè)平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證明線面

垂直

一空間角

小￡

一戰(zhàn)線角：設(shè)異面直線方所成的角為8,則＜9e(0-]

乖2

J線面角：/為平面a的斜線，。為/與。所成的角，則5加夕=|°。＜1,”＞|=.而范圍[0,1]

4”2

—?—?

J二面角：平面a"面6的〈*,工〉=6,則COS"小,久,范圍[0,n]

I/II叫I

4

空間距離

點(diǎn)線距

一①根據(jù)圖形求出直線的單位方向向量S

—②在直線上任取一點(diǎn)W,計(jì)算點(diǎn)M與直線外的點(diǎn)N的方向向量.立治

③垂線段長(zhǎng)度d=J詬'一（加U）

點(diǎn)面距

①直接法：過〃點(diǎn)作平面。的垂線，垂足為a把網(wǎng)放在某個(gè)三角形中

解三角彩求出用的長(zhǎng)度就是點(diǎn)〃到平面Q的距離.

」②轉(zhuǎn)化法：若點(diǎn)〃所在的直線/平行于平面Q,則轉(zhuǎn)化為直線/上某一個(gè)點(diǎn)到平面。的距離來求

一③等體積法

I?"I

J④向量法：設(shè)平面a的一個(gè)法向量為〃，/是a內(nèi)任意點(diǎn)，則點(diǎn)〃到a的距離為

Id

線面距

L線面距離、面面距離都可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離

5

坨，考點(diǎn)突破

考向八空間幾何體命題的判斷

考向一空間幾何體的體積

考向二空間幾何體的表面積

考向三外接球

考向五空間幾何體體積、表面積最值

考向十三空間幾何體在實(shí)際生活的應(yīng)用

考向六線面、面面平行

考向十四容納I

考向七線面、i垂直

考向十五新定義

考向一空間幾何體的體積

【例1-1】（2025?云南昆明?一模）一個(gè)內(nèi)角為30。且斜邊長(zhǎng)為2的直角三角形，繞斜邊旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體

積為（）

717T7171

A.—B.-C.—D.一

6432

【答案】D

【解析】如圖，在直角三角形ZBC中，|/a=2,/。3=30。,則|/C|=2cos3（r=百，

將直角三角形/BC沿斜邊AB旋轉(zhuǎn)一周，旋轉(zhuǎn)形成的幾何體為兩個(gè)同底的圓錐，

如圖所示，

有|CO|=|/qsin30°,

6

2

所以所求幾何體的體積r=圓.|/同=*.|012.|/同=]*?x2=].

故選：D

【例1-2]（2025?甘肅平?jīng)?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在梯形48CD中，ABHDC,BC1AB,4=（，4B=2CD=4,

E為線段的中點(diǎn)，先將梯形挖去一個(gè)以成為直徑的半圓，再將所得平面圖形以線段成的垂直平分線為旋轉(zhuǎn)

軸旋轉(zhuǎn)一周，則所得幾何體的體積為（）

C.77iD.6兀

【答案】A

【解析】連接DE,由題意知BCMDEul/B-OCjtan;MZ.

幾何體為一個(gè)圓臺(tái)中挖去半球所形成的幾何體，其中圓臺(tái)的上底面半徑為工，下底面半徑為3,半球的半徑為1,

"1/小瓜----\c26兀14Kxl32兀

聯(lián)臺(tái)=§（9兀+兀+。9兀X7I）X2=F-，Q球=/X---,

故該幾何體的體積為廠=，臺(tái)-匕^球=等26兀-胃2兀=8兀.

故選：A.

【例1-3].（2025高三?全國(guó)?專題練習(xí)）一個(gè)圓錐被平行于底面的平面所截，上下兩個(gè)幾何體的側(cè)面積之比為

1:1,則上下兩個(gè)幾何體的體積之比為（）

A.1:8B.1:7C.［：2行D.1:（2血-1）

【答案】D

【解析】根據(jù)定義知上、下兩個(gè)幾何體分別為小圓錐和圓臺(tái)，設(shè)小圓錐的高為4,底面半徑為彳，所以母線長(zhǎng)為

冊(cè)+片,原圓錐的高為力，底面半徑為〃，所以母線長(zhǎng)為病，7

由小圓錐的側(cè)面積為：環(huán)加；+r；,大圓錐的側(cè)面積為：mJ/+r,

上下兩個(gè)幾何體的側(cè)面積之比為1:1,

7

所以"J'又由相似易得:

rh

2

hi「

所以得雪=上，即

h22

—叫24

1

所以小圓錐和原圓錐的體積比

,

—itr2h~2^/2

3

故選：D.

【例1-4】（2025?貴州黔東南?一模）已知第一個(gè)正四棱臺(tái)的上底面邊長(zhǎng)為2打cm，下底面邊長(zhǎng)為40cm，側(cè)棱

長(zhǎng)為4cm,第二個(gè)正四棱臺(tái)的上底面、下底面邊長(zhǎng)與第一個(gè)相同，但高為第一個(gè)正四棱臺(tái)的3倍，則第二個(gè)正四

棱臺(tái)的體積為（）

A.565/3cm3B.56V14cm3C.112A/3CHI3D.60V14cm3

【答案】C

【解析】由題意知第一個(gè)正四棱臺(tái)上底面邊長(zhǎng)為2啦cm，下底面邊長(zhǎng)為4亞cm，側(cè)棱長(zhǎng)為4cm,

如圖：設(shè)第一個(gè)四棱臺(tái)上下底面中心為Q,。，連接00,04,08,

結(jié)合正四棱臺(tái)性質(zhì)可知四邊形片為直角梯形,

且。8=4,=2,故OQ=J(8河_(O8_O18j=J16-4=273，

即棱臺(tái)的高為26，則第二個(gè)正四棱臺(tái)的高為6石,

故第二個(gè)正四棱臺(tái)的體積為（272）2+^（2V2）2x（472）2+（472）2x673=112V3cm3.

故選：c.

【例1-5］（2025?天津南開?一模）如圖，在平行六面體4AGA中，。是線段4。上的一點(diǎn)，且

3

AP=jPD,則三棱錐用—的體積與平行六面體488-48cB的體積之比為（）

8

【答案】D

【解析】由題設(shè)及平行六面體的結(jié)構(gòu)特征易知面/及c,4Cu面/及C,

所以4。//面/4C,則4D上任意一點(diǎn)到面/3C的距離為定值，

==

「

又P,DeAXD,則VBX-ACPJp-AB[C^D-ABXC~—BACD，

由及-/CD的底面面積是平行六面體ABCD-4與G"底面面積S的一半，且高力相等，

1V11

所以/ACD=—〃--=—hS——V^BCDABCD,

故選:D

考向二空間幾何體的表面積

【例2-1】（2025?四川自貢?二模）已知圓錐的母線長(zhǎng)是底面半徑的2倍，則該圓錐的側(cè)面積與表面積的比值為

（）

123

A.—B.—C.-D.2

332

【答案】B

【解析】設(shè)圓錐底面圓的半徑為「，則母線長(zhǎng)為2廠，惻=；x2wx2r=2兀/,=2nr2+nr2=3nr2,

S側(cè)2

二十公.故選：B.

）表J

【例2-2】（2025?黑龍江?一模）已知圓錐的軸截面是一個(gè)斜邊長(zhǎng)為2后的等腰直角三角形，則圓錐的表面積為

（）

A.鬲B.2叵iC.471D.（2+2后）無

【答案】D

【解析】因?yàn)檩S截面是一個(gè)斜邊長(zhǎng)為2近的等腰直角三角形，所以圓錐的底面半徑R=&，母線/=2,

所以圓錐的表面積$=位2+位/=（2+2后）兀.故選：D.

9

【例2-3】（2024,陜西安康?模擬預(yù)測(cè)）已知正三棱臺(tái)/5C-4月G的上底面積為下底面積為46，高為2,

則該三棱臺(tái)的表面積為（）

A.5石+3屈B.3屈C.5G+18D.18

【答案】A

【解析】由面積公式可得正三棱臺(tái)上下底面邊長(zhǎng)分別為2和4,

設(shè)G在底面N5C內(nèi)的射影為a,作8c于0,

G“，平面A8C,3Cu平面/BC,則有

又HQ1BC,CiH[}HQ=H,。]〃，〃。匚平面弓強(qiáng)，所以5cl平面G"。，

GQu平面G〃。，所以3C，G。，

由8c=4,81cl=2,BBt=CC,,則CQ=1,

又/HCQ=：所以HQ=@,則CIQ="H+HQ2=啊.

33

故三棱臺(tái)的側(cè)面積為止X叵x3=3回，表面積為56+3廊.

23

故選：A.

【例2-4】（2025?陜西西安?二模）已知正四棱錐尸-的底面邊長(zhǎng)為6,體積為48,則該四棱錐的側(cè)面積

為.

【答案】60

【解析】設(shè)正四棱錐的邊長(zhǎng)為。，高為〃，斜高為",

由題意可得48='a"n,x62?/z=48=>/!=4,

33

所以斜高h(yuǎn)'=J2=a6+9=5,

所以該四棱錐的側(cè)面積為4X1X6X5=60.

2

故答案為：60.

10

考向三外接球

【例3-1】（2025?陜西商洛?三模）已知正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為6,側(cè)面積為186，則該三棱錐的外接球的表面積

為（）

49?！?/p>

A.4971B.---C.4871D.36兀

3

【答案】A

【解析】在正三棱錐尸-/BC中，正△NBC的邊長(zhǎng)為6,如下圖所示：

取線段的中點(diǎn)。，連接P。，則

因?yàn)檎忮F尸-N8C的側(cè)面積為186，貝"=3/8?尸。=3尸。=6人，可得口=26,

所以，PA=」PD2+AD?=J12+9=亞，CZ）=/Csin60。=6X[=35

設(shè)點(diǎn)P在底面/BC的射影為點(diǎn)。，則。為正△/BC的中心，且OC=gcD=2G,

PO=yJPC2-OC2=V21-12=3，

設(shè)正三棱錐尸-4BC的外接球球心為a,則a在直線尸。上,

設(shè)球〃的半徑為R,則O〃=|P。-固=|3-R|,

由勾股定理可得052+℃2=82,即|3-R「+12=R2,解得火=g,

因此，該正三棱錐的外接球的表面積為4兀玄=4兀*49兀.

故選：A.

【例3-2]（2025高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知棱長(zhǎng)為6指的正四面體與一個(gè)球相交，球與正四面體的每個(gè)面所在平

11

面的交線都為一個(gè)面積為9兀的圓，則該球的表面積為（）

A.48兀B.72兀C.96TID.128兀

【答案】B

【解析】由對(duì)稱性，可知球心與正四面體重心重合，

由于球與正四面體的每個(gè)面所在平面的交線都為一個(gè)面積為93t的圓，故每個(gè)面的交線為半徑為3的圓.

設(shè)球心為0,4為△5CQ的中心，財(cái)AB=6?故HB=L$!"=6e，故AH=dAB?—OB?=12

2sin60°

lj_%-BCD_1S&BCD,H4_j_TTJ_o

設(shè)球心到任意面的距離為〃，則由等體積法可得一194。~4SACD~4"，

故連接球心與任意面中心，則連線長(zhǎng)為3,且連線垂直該面，再連交線圓上一點(diǎn)與球心（即為球的半徑），由勾

股定理得球的半徑為30，則表面積為4兀?卜收了=72兀.

故選：B.

【例3-3］（24-25高三下?甘肅白銀?階段練習(xí)）已知三棱錐D-48C的每個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面上，底面N3C為

正三角形，4D_L底面Z5C,AB=3,且3。與底面/3C所成的角為60°,則球。的表面積為（）

A.39兀B.40兀C.3771D.41兀

【答案】A

因?yàn)榈酌鎆3C,所以2。與底面/2C所成的角為乙DR4,則ND8/=60°,

又因?yàn)镹B=3,所以NO=48tan60°=36.

設(shè)G為A/BC的外心，因?yàn)榈酌?3C為正三角形，所以NG=Y^x3x2=百,

23

所以球。的半徑尺=//62+（=與，球。的表面積為4兀叱=39九

12

故選：A.

【例3-4】（2025?四川德陽(yáng)?二模）在三棱錐尸-45。中，平面尸平面松。4243為等腰三角形，且=120。,

AB=2A/3,AC=4,ABAC=90°,則三棱錐尸。外接球的表面積為（）

A.32兀B.64兀C.80KD.128兀

【答案】A

【解析】如圖取4B的中點(diǎn)E,2c的中點(diǎn)。，連接DE,則。E=g/C=2,

因?yàn)锳P4B為等腰三角形，所以PEL48,

因?yàn)槠矫媸?8_L平面48C,平面出Be平面42C=48,尸Eu平面尸48,

所以PE_L平面48C,

因?yàn)镈Eu平面/3C,所以

因?yàn)椤鰽BC為直角三角形，且N8/C=90。，所以。為△4BC的外心，

設(shè)三棱錐尸-48C的外接球的球心為O,則OD±平面ABC,

所以PEIIOD,

在等腰AP/8中，ZAPS=120°,AB=2^3,

則BE=AE=V3,ZPBE=30°,APAB的外心在APAB外,

所以PE=8￡tan30°=6xJ=l,

3

在△ABC中，AB=25AC=4,/BAC=90。,則BC=NAC?+AB?=而m=2療，

所以BD=5

設(shè)三棱錐P-ABC的外接球的半徑為R,貝10。=SJR2-BD2=正_7,

過。作。尸_LPE交尸E延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，則8=斯，OF=DE

在RtZ\O尸尸中，OP2=OF2+PF2,貝U

R2=22+（1+A/7?2-7）2）解得斤=8,

所以三棱錐尸-ABC的外接球的表面積為4兀叱=32兀.

故選：A.

CO

13

【例3-5】（2025?遼寧?二模）在正四棱臺(tái)/BCD-44GA中，44=2/8=2/4=2,E,F,G,”分別為同4,

BC，CtD1,24的中點(diǎn)，將該正四棱臺(tái)截取四個(gè)三棱錐/-49，B-B.EF,C-CtFG,。-DQ〃后得到

多面體N3CDG班尸，則該多面體外接球的表面積為（）

A.2兀B.4兀C.8KD.12兀

【答案】B

【解析】如圖，連接/￡,42,設(shè)4。m用。=。，

由44=2AB=2AAt=2,可知四邊形斯GH為邊長(zhǎng)為力的正方形，

將正四棱臺(tái)ABCD-補(bǔ)形成正四棱錐，易知乙44國(guó)=N44R=60°,

所以NE=N8=1,設(shè)

易知赫為證的中點(diǎn)，連接貝lU/LTffi,可得乜，

2

■B

又AXM——4。=—^―,幺4—1,

所以442=/赫2+4〃2,則NM_L4M，

又4M=MO,所以/&=么。=1,同理08=0C=0D=l,

易知O為正方形EFGH的中心，

設(shè)多面體/BCDGHEE外接球的半徑為尺，

又OE=OF=OG=OH==EG=\,

2

則。為多面體NBCDGHE尸外接球的球心，且R=l,

則其外接球的表面積為4兀7?2=4兀.

故選：B.

【例3-6］（2025?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知正四棱臺(tái)/BCD-44GA的高〃=4c，且/3=24耳=8,則此

正四棱臺(tái)的外接球表面積為（）

14

A.8O71B.9171C.128兀D.182兀

【答案】D

【解析】由題意可知，正四棱臺(tái)外接球的球心在其上、下底面正方形的對(duì)角線的中點(diǎn)的連線上，如圖所示，設(shè)

球心為。，點(diǎn)。距離下底面的高度為x.

因?yàn)?=4指，AB=S,44=4,又上、下底面均為正方形，所以/C=8近，AICI=442.

設(shè)棱臺(tái)的外接球的半徑為R，根據(jù)勾股定理可得&=（4n-x『+（2也『=/+（4/『，解得戶乎，

貝|&=/+（40了=?,所以正四棱臺(tái)的外接球表面積為4位?2=182兀.

故選：D.

【例3-7】（2025?吉林?三模）棱長(zhǎng)為2的正方體/BCD-中，棱8c的中點(diǎn)為E,棱的中點(diǎn)為尸，則

三棱錐4-￡>/而的外接球的表面積為（）

771

A.——B.7兀C.147rD.28兀

2

【答案】C

【解析】設(shè)△/F2的外心。|,由外心的定義可知，

。1為線段4。的四等分點(diǎn)（靠近4）,則球心。在過。|且與平面尸垂直的直線上.

以。為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則。j|,0,||,N（2,0,0）,￡（1,2,0）,

（33、7

設(shè)球心。不加,彳，由CU=OE,求出加=1,從而求出&2=04?=

（22J2

所以三棱錐4-D、EF的外接球的表面積為4兀斤=14兀.

故選：C.

15

考向四內(nèi)切球

【例4-1】（2025?遼寧,一模）圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為2和4,一個(gè)球與該圓臺(tái)的兩個(gè)底面和側(cè)面均相切,

則這個(gè)球的表面積為（）

A.8無B.167rC.24無D.32兀

【答案】D

所以四必=2,|&4|=4,

?.?力瓦/。（刀與圓。相切，點(diǎn)。2，￡。為切點(diǎn)，

,.\DO\=\DF\=^AF\=\FO^=A,

過點(diǎn)。作。與點(diǎn)E,

=0?=2,以目=2,則網(wǎng)勾=\DE\=而02T時(shí)=4后,

即球的半徑r=切匈=2后，，這個(gè)球的表面積S=4近=327r,

2

故選：D.

16

【例4-2】（2025?黑龍江吉林?模擬預(yù)測(cè)）已知圓臺(tái)的母線與下底面所成角的正弦值為正，則此圓臺(tái)的表面積與

2

其內(nèi)切球（與圓臺(tái)的上下底面及每條母線都相切的球）的表面積之比為（）

43813

A.-B.-C.—D.—

3236

【答案】D

【解析】設(shè)上底面半徑為耳，下底面半徑為2，

如圖，取圓臺(tái)的軸截面，作CA/_L4B,垂足為AT,

設(shè)內(nèi)切球。與梯形兩腰分別切于點(diǎn)區(qū)尸，

可知3c=4+々，BMa，

JT

由題意可知：母線與底面所成角為=

即30=46，BM=2rlt可得CM=NBC-BM?=2何,

可知內(nèi)切球。的半徑r=

可得S圓臺(tái)=標(biāo)+9M2+兀（4+36）x4〃=26跖之，s球=4兀x（存J=12巧？，

所以常4X

故選：D.

【例4-3］（24-25高三下?重慶渝中,階段練習(xí)）已知高為4的圓臺(tái)存在內(nèi)切球，其下底半徑為上底半徑的4倍,

則該圓臺(tái)的表面積為（）

A.577rB.50兀C.25兀D.42兀

【答案】D

【解析】依題意，圓臺(tái)的軸截面截其內(nèi)切球得球的大圓，且該大圓是圓臺(tái)軸截面等腰梯形的內(nèi)切圓，

等腰梯形/3C。為圓臺(tái)軸截面，其內(nèi)切圓。與梯形/3C。切于點(diǎn)?,￡,心,尸,

其中a,。2分別為上、下底面圓心，如圖,

17

設(shè)圓臺(tái)上底半徑為r，則下底半徑為4r，BC=BE+CE=O2B+C\C=5r,

而等腰梯形N3C。的高。。2=4,因此（54_（4一4=42,解得r=l,

所以該圓臺(tái)的表面積為16兀+兀+5（4+1）兀=42兀.

故選：D

【例4-4］（2025?河南開封?二模）已知正方體的內(nèi)切球的體積為兀，則該正方體的外接球的表面積為（）

A.12兀B.36兀C.9島D.12mn

【答案】B

【解析】設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為。，

則正方體內(nèi)切球的半徑為l，內(nèi)切球的體積等于3兀、［^|］=46兀，解得a=2道,

所以正方體的體對(duì)角線等于百a=6,

所以正方體外接球的半徑等于;=3,則外接球的表面積等于4兀義32=36兀，

故選:B.

考向五空間幾何體體積、表面積最值

【例5-1】（2025?江蘇?一模）己知一圓柱內(nèi)接于半徑為1的球，當(dāng)該圓柱的體積最大時(shí)，其高為（

,1RV3r2V30也

2332

【答案】C

【解析】設(shè)球半徑為R,圓柱的底面半徑為『，圓柱的高為

如圖,則有五2=/+電=i,即環(huán),

18

,42h2,94

整理得當(dāng)且僅當(dāng)rL=上,即/=（,必=（時(shí)，等號(hào)成立,

3J324

4兀

此時(shí)圓柱體積/=兀/〃取得最大值其后，

4?I-

所以圓柱的體積最大時(shí)，/=§即〃=§君.

故選：c.

【例5-2】（2025?廣東湛江?一模）一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半徑為3,圓心角為胃的扇形，在該圓錐內(nèi)有一

個(gè)體積為%的球，則該球的體積k的最大值是（）.

A.2兀B.］兀C.馬旦兀D.-71

333

【答案】D

2兀

【解析】由題意得，扇形的弧長(zhǎng)/=3、7=2兀，

所以該圓錐的底面圓的半徑/=，-=1,

2兀

所以該圓錐的高力-戶=2冊(cè).

設(shè)該圓錐內(nèi)的球的最大半徑為心圓錐的軸截面如圖所示:

則依題意得1dBe=）x2x2&=gx（3+3+2）xR,

所以R=Y2,

2

所以該球的體積/的最大值是:兀*=三*兀=衛(wèi)兀.

3323

故選：D

【例5-3］（24-25高三上?湖南常德?階段練習(xí)）如圖，在直三棱柱/3。-4旦。中，ACVBC,\AC\=l,

|CCj=忸C|=2,M為8c的中點(diǎn)，P為上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐尸-/CM的外接球表面積的最小值是（）

19

C.117TD.1271

【答案】B

【解析】由題易知△/CM是等腰直角三角形，則△/CM外接圓的圓心a在/M的中點(diǎn)處,

過Q作平面ABC的垂線。。2，則外接球的球心。在。。2上,

過點(diǎn)尸作尸N_L交于點(diǎn)N,則四邊形BPNOi為矩形,

因?yàn)镠a=|c“|=i,所以bq|=|aM=|cq卜也，忸叫=1

在三角形M8a中，由余弦定理：可得忸q「=g+i_2x等xlxcosl350=g,

所以|尸M=|BOJ=浮，

設(shè)。。1=旭，BP=n,三棱錐尸-4G0的外接球的半徑為R,

所以機(jī)=日出=4+工22、匕1=也，當(dāng)且僅當(dāng)〃=正時(shí)等號(hào)成立,

2n2n\2n

/I-\2

所以爐=［芋］+/、3+（應(yīng)『=|,

則三棱錐尸-/CM的外接球表面積S=4球2210兀.

故選：B.

20

【例5-4］（2025?湖南?二模）己知某正三棱柱外接球的表面積為4兀，則該正三棱柱體積的最大值為（）

A.1B.72C.2后D.4

【答案】A

【解析】設(shè)外接球的半徑為R,則4成2=4兀，解得尺=1.

設(shè)正三棱柱的底面三角形的邊長(zhǎng)為x,則該三角形外接圓的半徑為定，

由一一土>0,解得0<x<.

3

令〃x）=x4-;，則/'（x）=4--2苫5=_2工31_亞）［+亞），

所以函數(shù)/（x）在（0,啦）上單調(diào)遞增，在（亞，石）上單調(diào)遞減，所以函數(shù)/（力在x=0時(shí)取得最大值，

故「（X）max=廠（行）=1，所以該正三棱柱體積的最大值為1.

故選：A.

TT

【例5-5］（2025?山西臨汾?二模）在三棱錐尸-/8C中，ZPAB=ZCAB=-,AP=AB,AB+AC=6,且二面角

271

尸-/B-C的大小為T，則當(dāng)該三棱錐的外接球體積最小時(shí)，AB=（）

121824

A.—B.3C.—D.—

777

【答案】A

7T2元

【解析】由于==且二面角尸-N8-C的大小為故/R4C為二面角尸-N8-C的平面角，故

2兀

ZPAC=—,

3

由于尸4N8，NC,P/cNC=4尸4/Cu平面PZC,故45,平面尸/C,

設(shè)/B=x,貝Ij/C=6-x,

在AP/C中，由余弦定理可得

PC2=x2+（6-x）"-2xxx（6-x）cosg=x2-6x+36,

_1PC_1/T--——

則AP/C的外接圓直徑'一5：在一耳7—6x+36,

Sm3

21

故夕卜接球的半徑A?=0/2=，=|（X2-6X+36）+^|J+y

12

當(dāng)尤時(shí)，球的半徑取得最小值，此時(shí)三棱錐的外接球體積最小，

故43=]12.

故選：A

【例5-6】（2025?四川廣安二模）三棱錐中，平面BCD,。為以2c為直徑的半圓圓周上的動(dòng)點(diǎn)

（不同于B、C的點(diǎn)）.若48=5,BD=3,則該三棱錐體積的最大值為（）

42

A.4B.-C.2D.-

33

【答案】A

【解析】：NC，平面8cD,

。以3c為直徑的半圓圓周上動(dòng)點(diǎn)（不同于8,C的點(diǎn)），所以BOLC。，AD^CD=C,NCu平面/CO,BCu

平面ACD,

2。1平面/CO,

■■■ADu平面BCD,BD_LAD,

在RtaABO中，AB=5,BD=3,則3=五笈一必=4,

vACBCD,CDu平面3cZ）,AC1CD,

在R3NCD中，設(shè)/C=a,CD=b,（a>0,b>0）,

則由402+02=/。2,得。2+/=16,

S/CD=；x/CxC￡）=ga64；d+62）=4,

當(dāng)且僅當(dāng)a=6,S.a2+b2=16,即a=6=4時(shí)，等號(hào)成立，

,1,7/-BCD=%-ACD=]S.CD'BD<4,

，該三棱錐體積的最大值為4.

故選：A.

22

A

考向六線面、面面平行

【例6-1】（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖，尸為平行四邊形48CD所在平面外一點(diǎn)，E為4）的中點(diǎn)，F(xiàn)為PC

PF

上一點(diǎn)，當(dāng)尸力〃平面E8尸時(shí),

FC

1]_

A.-B.一C.一D.

3462

【答案】D

因?yàn)槭?〃平面E8尸，PAu平面PNC平面PNCPl平面=,

pp4G

所以刃//尸G,所以"="

FCGC

又AD/IBC,E為AD的中點(diǎn),

所以任二理」

GCBC2

PF1

所以正=5

故選：D.

【例6-2］（2024江蘇南通）在空間四邊形A8CD中，E,尸分別為邊/氏/。上的點(diǎn)，且4E:EB=4F:FD=1:4,

又H,G分別為2C,CD的中點(diǎn)，則（）

A.2。//平面面6,且四邊形E/GH是矩形

23

B.￡尸//平面BCD,且四邊形EFG"是梯形

C.〃G//平面/AD,且四邊形EFGH是菱形

D.E“〃平面/DC,且四邊形MG//是平行四邊形

【答案】B

【解析】如圖所示，在平面NAD內(nèi)，???4￡:￡8=4尸