上海市楊浦高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期期初摸底考數(shù)

學(xué)試卷

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、填空題

1.設(shè)集合/={x[0<x<2},2={x[-l<x<l},貝.

2.關(guān)于x的不等式?<2的解集是.

2\x<0

JT

3.已知函數(shù)/（幻=兀則/"q)]=

sin(2x+—),x>0

4.若奇函數(shù)/（工）=/+（〃一5）12+辦（工￡口）,貝汁/⑴二

5.拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)到雙曲線(xiàn)--的漸近線(xiàn)的距離為——.

6.已知向量4=（九1）石=（加,T）,若2,-3與B垂直，則同等于.

7.已知（2-x）（x+l）〃的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為1024,則含一項(xiàng)的系數(shù)為.（用

數(shù)字作答）

8.一個(gè)盒子里裝有3種顏色，大小形狀質(zhì)地都一樣的9個(gè)球，其中黃球4個(gè)，藍(lán)球3個(gè)，

綠球2個(gè)，現(xiàn)從盒子中隨機(jī)取出兩個(gè)球，記事件A“取出的兩個(gè)球顏色不同”，記事件3“取

出一個(gè)藍(lán)球，一個(gè)綠球”，則P（BM）=.

9.復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足|z-5|=|z-l|=|z+i|,貝?。菽?.

10.已知4件產(chǎn)品中有2件次品，現(xiàn)逐個(gè)不放回檢測(cè)，直至能確定所有次品為止，記檢測(cè)次

數(shù)為X,則E（X）=.

II.已知四棱錐尸-N8C。的5個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面上，且R4_L平面

ABCD,PA=AB=BC=4,CD=3>,AD=7,則球。的表面積為.

7IT

12.已知等差數(shù)列｛%｝的公差為三，集合S=｛x|x=cosa","eN,"21｝有且僅有兩個(gè)元素,

則這兩個(gè)元素的積為.

二、單選題

試卷第1頁(yè)，共4頁(yè)

13.若西=:，迎=,是函數(shù)/'（xbsiMox+eN?！?。）兩個(gè)相鄰的最值點(diǎn)，則。等于（）

31

A.2B.-C.1D.-

22

14.對(duì)兩組呈線(xiàn)性相關(guān)的變量進(jìn)行回歸分析，得到不同的兩組樣本數(shù)據(jù)，第一組和第二組對(duì)

應(yīng)的線(xiàn)性相關(guān)系數(shù)分別為4,2,則4＞々是第一組變量比第二組變量線(xiàn)性相關(guān)程度強(qiáng)的

（）條件.

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

15.在正四棱錐P-A8C。中，PF=FD,PE=2EB,設(shè)平面4EF與直線(xiàn)PC交于點(diǎn)

G,PG^XGC,則4=（）

C

432

-C.-D.-

543

16.記函數(shù)M=＜（x）,xe。，函數(shù)%=力0）廣€。，若對(duì)任意的xe。，總有|人（x）|v%（x）|成

立，則稱(chēng)函數(shù)工（X）包裹函數(shù)力（X）.判斷如下兩個(gè)命題真假：

①函數(shù)工（X）=自包裹函數(shù)力（X）=XCOSX的充要條件是同21;

②若對(duì)于任意0＞0,伉（X）-力（x）|＜。對(duì)任意X€。都成立，則函數(shù)工（X）包裹函數(shù)人（X）.

則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.①真②假B.①假②真C.①②全假D.①②全真

三、解答題

17.如圖，在正三棱柱N3C-43cl中，44==2,M為中點(diǎn)，點(diǎn)N在棱上，

AiN=2NBi.

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

B

(1)證明：MC〃平面從4G；

(2)求銳二面角M-AC.-N的余弦值.

18.某風(fēng)景區(qū)在一個(gè)直徑為100米的半圓形花園中設(shè)計(jì)一條觀光線(xiàn)路(如圖所示).在

點(diǎn)A與圓弧上的一點(diǎn)C之間設(shè)計(jì)為直線(xiàn)段小路，在路的兩側(cè)邊緣種植綠化帶；從點(diǎn)C到點(diǎn)8

設(shè)計(jì)為沿弧的弧形小路，在路的一側(cè)邊緣種植綠化帶.(注:小路及綠化帶的寬度忽略不計(jì))

(1)設(shè)NA4c(弧度)，將綠化帶總長(zhǎng)度表示為6的函數(shù)5(6)；

(2)試確定e的值，使得綠化帶總長(zhǎng)度最大.

19.隨著5G時(shí)代的全面來(lái)臨，借助手機(jī)，網(wǎng)銀等實(shí)施的非接觸式電信詐騙迅速發(fā)展蔓延，

不法分子甚至將“魔爪”伸向了學(xué)生.為了調(diào)查同學(xué)們對(duì)“反詐”知識(shí)的了解情況,某校進(jìn)行了一

次抽樣調(diào)查，統(tǒng)計(jì)得到以下列聯(lián)表.

不了解了解合計(jì)

女生202040

男生10

合計(jì)80

(1)取a=0.05進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷該校學(xué)生對(duì)“反詐”知識(shí)的了解與性別是否有關(guān)；

(2)用頻率估計(jì)概率，樣本估計(jì)總體，從全校男生中隨機(jī)抽取5人，記其中對(duì)“反詐”知識(shí)了解

的人數(shù)為X,求X的分布及數(shù)學(xué)期望；

試卷第3頁(yè)，共4頁(yè)

(3)為了增強(qiáng)同學(xué)們的防范意識(shí)，該校舉辦了主題為“防電信詐騙，做反詐達(dá)人”的知識(shí)競(jìng)賽.

已知全校參加本次競(jìng)賽的學(xué)生分?jǐn)?shù)〃近似服從正態(tài)分布N(80,25),若某同學(xué)成績(jī)滿(mǎn)足

〃-bW77VM+2。，則該同學(xué)被評(píng)為“反詐標(biāo)兵”；若〃>〃+2b,則該同學(xué)被評(píng)為“反詐達(dá)人”.

(i)試判斷分?jǐn)?shù)為88分的同學(xué)能否被評(píng)為“反詐標(biāo)兵”；

(ii)若全校共有50名同學(xué)被評(píng)為“反詐達(dá)人”，估計(jì)參與本次知識(shí)競(jìng)賽的學(xué)生人數(shù).(四舍

五入后取整)

附：(1)/2=------"(ad-bcY------其中〃=a+6+c+4,尸N3.841)=0.05；

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)')

(2)若X~N(〃,cr2),貝|：-(J<X</2+(J)=0.6827,P(//-2cr<x<//+2a)=0.9545,

P("-3cr<%<//+3cr)=0.9973.

r2y2

20.已知橢圓c：一+=1(Q>6>0)的左右頂點(diǎn)分別為A,B,點(diǎn)。為橢圓。上的一動(dòng)點(diǎn),

ab2

直線(xiàn)尸―的斜率之積為A於面積的最大值為&

(1)求橢圓C的方程；

3

⑵直線(xiàn)/與橢圓C相交于M,N兩點(diǎn)，記直線(xiàn)NM,/N的斜率分別為左，k2,若紙2=-“

(i)求證：直線(xiàn)/過(guò)定點(diǎn);

(ii)求A/MN面積的最大值.

21.若函數(shù)了=/(無(wú))在［。向上存在占,工2(。<玉<龍2<6)，使得了'(網(wǎng))=/))-"")，

b-a

小)J㈤T(mén)”則稱(chēng)〃尤)是［。向上的“雙中值函數(shù)”，其中匹,馬稱(chēng)為“X)在［。向上

b-a

的中值點(diǎn).

⑴判斷函數(shù)〃x)=--3x2+1是否是［-1,3］上的“雙中值函數(shù)”，并說(shuō)明理由；

⑵已知函數(shù)/(x)=；/-xlnx-ax,存在機(jī)>">0,使得/(M=/(〃)，且/(x)是回河上

的“雙中值函數(shù)”，匹,々是“X)在阿加］上的中值點(diǎn).

(i)求。的取值范圍；

(ii)證明：西+x2>2.

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

《上海市楊浦高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期期初摸底考數(shù)學(xué)試卷》參考答案

題號(hào)13141516

答案ADDD

1.(0,1)

【分析】根據(jù)集合交集的概念與運(yùn)算，即可求解.

【詳解】由題意，集合N={x[0<x<2},8={x[-l<x<l},

根據(jù)集合交集的概念與運(yùn)算，可得/n8={x[0<x<l}=(0,l).

故答案為:(0,1).

2.(-oo,-l)u(0,+oo)

【分析】根據(jù)分式不等式的解法計(jì)算即可.

【詳解】由0<2可得3-2=^^<0,即x(x+l)>0,解之得x>0,或x<-l,

%XX

所以不等式的解集為(-8,T)D(O,+S).

故答案為：(-=o,-l)u(0,+oo)

3.交

2

【分析】判斷所在區(qū)間，再代入計(jì)算即得.

【詳解】依題意，/d)=sin(2xg+》=」，

2262

所以。/(卞]=/(一；)=2一；=字.

故答案為：—

2

4.6

【分析】根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，求得。的值，再代入求值即得答案.

【詳解】依題意f(x)=x3+(?-5)x2+ax(xGR)為奇函數(shù)，

-x3+(d!-5)x2-ax=-x3-(a-5)x2-(a-5)x2=0,(xGR),

可得q-5=0,即”=5,/(x)=x3+5x,

則/⑴=r+5=6,

故答案為：6

答案第1頁(yè)，共15頁(yè)

5.-/0.5

2

【分析】求出拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)及雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程，再利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式計(jì)算即

得.

12

【詳解】拋物線(xiàn)＞即的焦點(diǎn)為雙曲線(xiàn)尤2-匕=1的漸近線(xiàn)方程為

43

y=土也x,

711

所以點(diǎn)（0,T）到直線(xiàn)土瓜-y=0的距離d=,（+6）2+.1）2=5-

故答案為：y

6.2

【分析】由向量減法的坐標(biāo)運(yùn)算及垂直的坐標(biāo)表示列方程求得蘇=3,再應(yīng)用模長(zhǎng)的坐標(biāo)運(yùn)

算求同.

【詳解】由21-石=（2加,2）-（加,-1）=（%3）,又2,-很與5垂直，

所以（27—=加?！?=0,可得=3,

所以同=J%2+i=2.

故答案為：2

7.300

【分析】由賦值法求出"，再根據(jù)通項(xiàng)公式計(jì)算即可.

【詳解】在（2-x）（x+l）"中，令尤=1,

得（2-+=1024,解得力=10,

3

所以含/的項(xiàng)為2C：。/+C；ox（-x）=300/,

故答案為:300.

8,

13

【分析】根據(jù)題意，由條件概率的計(jì)算公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

【詳解】事件A“取出的兩個(gè)球顏色不同”，包括一個(gè)黃球一個(gè)藍(lán)球，

一個(gè)黃球一個(gè)綠球以及一個(gè)藍(lán)球一個(gè)綠球，三種情況，

答案第2頁(yè)，共15頁(yè)

則〃⑷=C；C；+C?+C；C；=26,

事件8“取出一個(gè)藍(lán)球，一個(gè)綠球”,

則〃(48)=C；C；=6,

所以°⑷⑷=n(3AB=)后63

13,

_,3

故答案為：—

9.372

【分析】設(shè)z=x+yi(x)￡R),結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，列出方程組即可求解.

【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)2=工+必(與片1<),

由|z-5|=|z-1],可得復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以(5,0)和(1,0)為端點(diǎn)的線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上，所以

x=3,

由|z-l|=|z+i|可得復(fù)數(shù)Z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以(1,0)和(0,-1)為端點(diǎn)的線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上，所以

y=-x,

[x=31x=3

聯(lián)立，解得「所以z=3-3i,

口=-x[y=-3

經(jīng)檢驗(yàn)，z=3-3i滿(mǎn)足|z-5|=|z-1]=|z+i],

貝=^32+(—3)2=3\/~2.

故答案為：3^2.

10-I

【分析】首先確定X=2,3,分別求出各自的概率，然后期望公式可求

【詳解】記檢測(cè)次數(shù)為X,則X=2,3

當(dāng)X=2時(shí)，檢測(cè)的兩件產(chǎn)品均為正品或?yàn)榇纹?，則尸(X=2)=牛&■=；,

當(dāng)X=3時(shí)，只需前兩件產(chǎn)品中正品和次品各一件，第三件無(wú)論是正品還是次品，

rlC1A2?

都能確定所有次品，貝!|P(X=3)=美，f，

A43

答案第3頁(yè)，共15頁(yè)

1OQ

所以￡（X）==2x§+3x]=『

故答案為：!

【分析】依題意可知4民CD四點(diǎn)共圓，可得NH4O+N2CD=180。，由余弦定理可得

NB4D=1,且而，再根據(jù)外接球直徑利用勾股定理計(jì)算出外接球半徑，可得球的

表面積.

【詳解】根據(jù)題意可知四邊形/BCD的頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上，連接B。，如下圖所示:

C

易知/2/。+/80)=180°,又AB=BC=4,CD=3,AD=7,

在中，由余弦定理可得以y=482+/。2-2482?！禴/8/。=65-561：05/胡。;

在/XCBD中，由余弦定理可得BD2=CB2+CD2-2cB-CDcosZBAD=25-24cosZBCD;

又易知cosZBCD=-cosZBAD,所以可得65-56cosZBAD=25+24cosZBAD,

解得cosN34D=；,又NR4De(O,7t),所以

可得必=65-56cosNB4D=37,即5。=歷，

BDV37

設(shè)四邊形48CD的外接圓半徑為r,由正弦定理可得sin/84D一百

2

物汨V37V1T1

解得r=—=----，

V33

又PN_L平面N8C。，且P/=4,

設(shè)四棱錐尸-ABCD的外接球半徑為R,

可得（2R『=（2r『+P/2,即（2R『=費(fèi)+16=瞪=早=4火？；

196

因此外接球的表面積為S=4兀尺2=（兀.

196

故答案為：—^―7T

答案第4頁(yè)，共15頁(yè)

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于利用四點(diǎn)共圓性質(zhì)得出對(duì)角線(xiàn)亞，再由正弦定

理求出外接圓半徑，再根據(jù)線(xiàn)面垂直關(guān)系可得外接球半徑可得結(jié)果.

12.—/—0.5

2

【分析】根據(jù)給定的等差數(shù)列，寫(xiě)出通項(xiàng)公式，再結(jié)合余弦型函數(shù)的周期及集合只有兩個(gè)元

素分析、推理作答.

、2兀

【詳解】an=a1+[n-\)d=ax+—(TZ-1),

r?「2兀/1(.2TI271y

貝!]cosan=cosax+—-1)=cos(~^n+ax-,

—=3

其周期為a,而〃cN*,即cos%最多3個(gè)不同取值，

T

集合S={x|x=cos%,〃￡N，心1}有且僅有兩個(gè)元素，設(shè)8={〃,6},

貝！j在cos?！ǎ琧os%+i,cosan+2中,cosan=cosan+iwcosan+2或cosanwcosan+x=cosan+2,或

cos“〃=cosa〃+2Wcos%+i，,

又cosan=cosan+3,即cosan+3=cosan+2wcosan+l,

一定會(huì)有相鄰的兩項(xiàng)相等，設(shè)這兩項(xiàng)分別為cosO,cos，+gj,

于是有cos0=cos[o+g],即有e++eZ,解得0=也一；,左eZ,

不相等的兩項(xiàng)為cos6,cos[e+t],

故ab=COS[左71——cosit——+——=-co{左it-co*兀^cos%兀co^-^一2~,左ez.

故答案為：-彳.

2

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題關(guān)鍵是通過(guò)周期性分析得到相等的項(xiàng)為相鄰的兩項(xiàng)，不相等的兩

項(xiàng)之間隔一項(xiàng)，從而求得.

13.A

【分析】根據(jù)題意得到函數(shù)了("的最小正周期，再用最小正周期公式可解.

【詳解】由々]是函數(shù)/(x)=sin(ox+/)(0>O)兩個(gè)相鄰的最值點(diǎn)，

答案第5頁(yè)，共15頁(yè)

.T_3兀?！?/p>

?,5―彳一15，

27T

所以7=兀，即0=—=2.

71

故選：A.

14.D

【分析】根據(jù)相關(guān)系數(shù)的定義以及充要條件的判斷進(jìn)行分析.

【詳解】因?yàn)?＞々，但不確定小馬的正負(fù)情況，

所以不能推出第一組變化量和第二組變量相關(guān)度；

若第一組變量比第二組變量相關(guān)強(qiáng)度強(qiáng)，則您忸&I,

所以4＞4是第一組變量比第二組變量線(xiàn)性相關(guān)程度強(qiáng)的既不充分也不必要條件.

故選：D.

15.D

—32―.22—X一?

【分析】由定=9+次+萬(wàn)，結(jié)合已知可得改=不丁不PE+丁7P尸一丁丁丹，禾煙

+1)Z+1X+1

共面求2.

【詳角軍】因?yàn)檎?2+就=秒+次+Z5，

所以無(wú)=百+而-莎+麗-莎=麗+麗-西，

因?yàn)樵賌麗，而=2麗，所以麗=2而，而=§麗，

—?3—?—?—?

所以PC=—PE+2PF—P4,

2

—?2—?

又方=4元，所以尸G=「PC,

A+1

所以尸——G?=---3-2-----—PE?+^22-P——F?----2----—-P?A,

2(2+1)2+12+1

3127

因?yàn)?瓦RG共面，所以少+力一力=1，解得4=彳.

2(2+1)2+1A+13

故選：D.

16.D

【分析】①根據(jù)包裹函數(shù)的定義可以得到|cosx歸附,由卜osx|41,可得網(wǎng)21,即①正確;

②利用反證法證明可得|工(尤)-上(無(wú))|=0,即＜(x)=&x),則函數(shù)力(x)包裹函數(shù)力(x),即

②正確.

答案第6頁(yè)，共15頁(yè)

【詳解】①因?yàn)楹瘮?shù)工（x）=丘包裹函數(shù)力（x）=xcosx,

所以|xcosx歸網(wǎng)O國(guó)COSA（W陽(yáng),=|cos}<|才,

又因?yàn)椴穙sx|<l,所以為》1,

所以函數(shù)工（x）=Ax包裹函數(shù)力（x）=xcosx的充要條件是網(wǎng)》1,故①正確；

②假設(shè)|工。）-右。）|>0,令|工（X）-6（刈=機(jī)>0,

則當(dāng)P=T時(shí)，I〃x）"（x）卜"?>￡=p,與題意中濟(jì)（X）-力（x）|<p矛盾，

故假設(shè)不成立.所以濟(jì)⑴-啟切=0,即/屏）=成之）,

所以函數(shù)工（X）包裹函數(shù)人（X）,故②正確.

故選：D.

17.（1）證明見(jiàn)解析；

⑵半.

【分析】（1）解法1：作出輔助線(xiàn)，得到線(xiàn)線(xiàn)平行，進(jìn)而得到線(xiàn)面平行；解法2：建立空間

直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面的法向量，由亢.南=0證明出結(jié)論；

（2）解法1：作出輔助線(xiàn)，得到即為二面角M-/G-N的平面角，求出各邊長(zhǎng)，

求出銳二面角的余弦值；解法2：求出平面的法向量，得到平面的法向量，求出答案.

【詳解】（1）解法1：設(shè)4Cc/￡=。，則。為4c中點(diǎn)，

A[McAN=E,連接。E,

延長(zhǎng)NN交8月延長(zhǎng)線(xiàn)于尸，

由&N=2NB、得用=2BF,

AAl=MF,A[E=EM,E為A[M中點(diǎn)，

MC//DE,

OEU平面附￡,MCo平面協(xié)G,

MC//平面NAC[,

答案第7頁(yè)，共15頁(yè)

解法2：取NC中點(diǎn)o,取4G中點(diǎn)a，連接。民。a，

因?yàn)镹3C-4耳G為正三棱柱，所以zc,OB,oq兩兩垂直,

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，O8,oc,oq所在直線(xiàn)分別為x),z軸，建系如圖,

、

2A/31,

N一，，/。尸（0,2,2）,CM=

32

7

2G4

C、N=,0,屈=（6,1,1b

33

設(shè)平面從4G的一個(gè)法向量為萬(wàn)=(xj,2),

n-ACX=2y+2z=0

則n-QN^^-x--y^0

133

令y=6，則'=2/=-百,力二（2,6,-6）

n-CM^O,MC.平面gG，

故MC〃平面％4cl.

答案第8頁(yè)，共15頁(yè)

（2）解法1：因?yàn)?4=/8=2,所以叫=/C,故四邊形/CG4為正方形,

故1G，4C,且。為4c中點(diǎn),

又AM7AB2+BM?=^^=加，GM=dB\C；+B\M。=后,

故/M=G",故DM_L/q,

因?yàn)?CcOM=。，4COI/U平面M4C，

所以平面》&C,

因?yàn)?。￡u平面"4C,所以

所以ZMDE即為二面角M-AC.-N的平面角,

222

XMC=y]BM+BC=Vl+4=75-AD=^ACt+2=V2,

且。￡=-MC=—,EM=-AM=—,DM=yjAM2-AD2=73，

2222

^MDE=DE2+DM1-EM144V15

IDEDM@5

2x—x

2

故銳二面角M-AC.-N的余弦值為叵.

5

解法2：設(shè)平面M4G的一個(gè)法向量為所=伍,4c）,

m-AC=2b+2c=0

則1

m-AM=y/3a+b+c=0

令b=1,則c=一1,4=0,玩=,

m-n_2A/3_V15

\m\\n\V10xV25

所以銳二面角"G-N的余弦值為平.

18.(1)5(0)=2OOcos0+1000,0G0,1；(2)當(dāng)。=/兀時(shí)，綠化帶總長(zhǎng)度最大.

6

【分析】（1）利用三角函數(shù)結(jié)合弧長(zhǎng)公式，可將綠化帶總長(zhǎng)度表示為。的函數(shù)s（e）；

（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可確定。的值，使得綠化帶總長(zhǎng)度最大.

【詳解】解：（1）由題意，/C=100cos。，直徑為100米,

答案第9頁(yè)，共15頁(yè)

二?半徑為50米，圓心角為"05=26,.?.前=iooe,

，綠化帶總長(zhǎng)度5(8)=200cos6+1006

(2)vS(<9)=200cos6>+1006>,

.?.S'(6)=—200sine+100,

令S'(0)=0,可得。=9,

6

當(dāng)o<e〈工時(shí)s'(e)>o,當(dāng)工<e〈工時(shí)s'⑹<o,

662

所以函數(shù)5(0)在1上單調(diào)遞增，在修3上單調(diào)遞減，

=gJT時(shí)，綠化帶總長(zhǎng)度最大.

19.(1)答案見(jiàn)解析;

(2)分布列見(jiàn)解析，3.75；

(3)(i)能被評(píng)為“反詐標(biāo)兵”；(ii)2198人.

【分析】(1)完善列聯(lián)表，計(jì)算卡方值，判斷求解即得；

(2)由已知根據(jù)二項(xiàng)分布得出X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(3)(i)依題意求出〃=80,cr=5,由〃+cr<88<〃+2o"即可判斷；(ii)利用正態(tài)曲線(xiàn)的

對(duì)稱(chēng)性，計(jì)算出尸(〃>〃+2b)=0.02275,即可估計(jì)出學(xué)生總?cè)藬?shù).

【詳解】(1)完成2x2列聯(lián)表:

性不了T合

別解解計(jì)

女

202040

生

男

103040

生

合

305080

計(jì)

零假設(shè)4：該校學(xué)生對(duì)“反詐”知識(shí)的了解與性別無(wú)關(guān),

答案第10頁(yè)，共15頁(yè)

則力2=80(10x20-20x30)，=3，依題意，力？=3>3.841,

30x50x40x4033

因?yàn)閍=0.05進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷區(qū)不成立，所以判斷該校學(xué)生對(duì)“反詐”知識(shí)的了解與性

別有關(guān).

3

(2)由(1)知，樣本中的男生對(duì)“反詐”知識(shí)了解的頻率為是:,

用樣本估計(jì)總體，從全校男生中隨機(jī)抽取一人，

對(duì)“反詐”知識(shí)了解的概率為:，則X?臺(tái)’,：；

1

尸(X=0)=C；

1024'

3

P(X=1)=C；?=1024,

9045

1024512

270_135

/(￡=3)=C

1024—512

…=唱小405

1024

加5)=嗚(：)=243

1024

則X的分布列為

X012345

11545135405243

P

1024102451251210241024

315

所以E(X)=5x廠了=3.75.

(3)(i)依題意，〃=80,。=5,因〃+b<88<〃+2b,故該同學(xué)可被評(píng)為“反詐標(biāo)兵”;

(ii)因>〃+2a)=lP(.2b；”〃+2b)=1-0.9545=002275,

則估計(jì)參與本次知識(shí)競(jìng)賽的學(xué)生人數(shù)約為T(mén)券工。2198人.

答案第11頁(yè)，共15頁(yè)

(2)(1)證明見(jiàn)解析；(2)273

【分析】(1)設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)直線(xiàn)產(chǎn)/與總的斜率之積為一9列方程，由橢圓的

幾何性質(zhì)可知當(dāng)點(diǎn)尸在橢圓的上、下頂點(diǎn)處時(shí)，APWB的面積最大，由此可解得。力的值，

進(jìn)而得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)(i)設(shè)出直線(xiàn)的方程，由(尸尢自+4)乂尸總卜+4))=0得

卡-(/+左z)(x+4)y+勺左2(x+盯=0,將上/2=-'，=＞彳芯代入可得

4x+8+4代+5=0，即可證得直線(xiàn)/過(guò)定點(diǎn);

(ii)設(shè)/的方程為戶(hù)叼-2,與橢圓方程聯(lián)立可得"+4)/_4叼-12=0,利用根與系

_4/7212

數(shù)的關(guān)系可得必+%=一=—―「，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式可得

m+4m+4

s、2|巧_%|=8荷+3,利用換元法，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可求最值，

32|-121m2+4

【詳解】(1)

B/\x

設(shè)/（一°,0）,B（a,0）,P（x0,y0）,

b__]_

a24a2

△產(chǎn)48面積的最大值為—x2（jb=ab=8,;.a=4,

2

22

，橢圓C的方程為J+J=L

（2）（i）

答案第12頁(yè)，共15頁(yè)

設(shè)直線(xiàn)N"的方程為了=匕（尤+4）,直線(xiàn)/N的方程為了=%（x+4）,

則M,N同時(shí)滿(mǎn)足方程（/一/口+4））3-《（》+4））=0和—+4/-16=0,

即V_（/+萬(wàn)2）（x+4）y+桃2（x+盯=0,又k[h=-,/=16/.

代入得-8-4x=4（%+七）%即4x+8+4（￡+勺）了=0,；./過(guò)定點(diǎn)（一2,0）.

（ii）設(shè)刊（占,必），N（尤2/2），由題意知直線(xiàn)/的斜率不為0,

\x=my-2

所以設(shè)/的方程為》=叼-2,聯(lián)立|1+4^_16=0,消去x后整理得:

2\2Ar\4加12

m+4A)y-Amy-12=0,.?.)+)=-----%%=-

)m+4加2+4

??\(4mY48-83n2+3

=；＞2回_%|=8J：:,令J1+3=,

此3

2m+4

8r8_

因此，“⑷