數(shù)學(xué)分析試題及答案

單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.函數(shù)\(y=\sinx\)的周期是（）A.\(2\pi\)B.\(\pi\)C.\(4\pi\)D.\(\frac{\pi}{2}\)2.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=\)（）A.0B.1C.\(\infty\)D.不存在3.函數(shù)\(y=x^2\)在點(diǎn)\(x=1\)處的導(dǎo)數(shù)是（）A.1B.2C.3D.44.若\(f(x)\)的一個原函數(shù)是\(F(x)\)，則\(\intf(x)dx=\)（）A.\(F(x)\)B.\(F(x)+C\)C.\(f(x)\)D.\(f(x)+C\)5.定積分\(\int_{0}^{1}x^2dx=\)（）A.\(\frac{1}{3}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.1D.26.函數(shù)\(f(x)=\lnx\)的定義域是（）A.\((-\infty,0)\)B.\((0,+\infty)\)C.\((-\infty,+\infty)\)D.\([0,+\infty)\)7.曲線\(y=x^3\)的拐點(diǎn)是（）A.\((0,0)\)B.\((1,1)\)C.\((-1,-1)\)D.不存在8.級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)是（）A.收斂的B.發(fā)散的C.條件收斂D.絕對收斂9.二元函數(shù)\(z=x^2+y^2\)在點(diǎn)\((0,0)\)處（）A.有極大值B.有極小值C.無極值D.不是駐點(diǎn)10.交換積分次序后，\(\int_{0}^{1}dx\int_{x}^{1}f(x,y)dy=\)（）A.\(\int_{0}^{1}dy\int_{y}^{1}f(x,y)dx\)B.\(\int_{0}^{1}dy\int_{0}^{y}f(x,y)dx\)C.\(\int_{1}^{0}dy\int_{y}^{1}f(x,y)dx\)D.\(\int_{1}^{0}dy\int_{0}^{y}f(x,y)dx\)多項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的有（）A.\(y=x^3\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=\cosx\)D.\(y=x+1\)2.下列極限存在的有（）A.\(\lim_{x\to0}\frac{1}{x}\)B.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)C.\(\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}\)D.\(\lim_{x\to\infty}x\)3.函數(shù)\(y=f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)可導(dǎo)的等價條件有（）A.函數(shù)在\(x_0\)處連續(xù)B.左導(dǎo)數(shù)等于右導(dǎo)數(shù)C.\(\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\)存在D.函數(shù)在\(x_0\)處有切線4.下列積分計(jì)算正確的有（）A.\(\intx^3dx=\frac{1}{4}x^4+C\)B.\(\int\cosxdx=\sinx+C\)C.\(\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C\)D.\(\inte^xdx=e^x+C\)5.下列級數(shù)中，收斂的有（）A.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)B.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}\)C.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}\)D.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\)6.二元函數(shù)\(z=f(x,y)\)的偏導(dǎo)數(shù)\(\frac{\partialz}{\partialx}\)的求法有（）A.把\(y\)看作常數(shù)，對\(x\)求導(dǎo)B.利用定義求極限C.先對\(x\)求導(dǎo)再對\(y\)求導(dǎo)D.先對\(y\)求導(dǎo)再對\(x\)求導(dǎo)7.下列曲線中，漸近線存在的有（）A.\(y=\frac{1}{x}\)B.\(y=x^2\)C.\(y=\lnx\)D.\(y=e^x\)8.函數(shù)\(y=f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上滿足羅爾定理的條件有（）A.在\([a,b]\)上連續(xù)B.在\((a,b)\)內(nèi)可導(dǎo)C.\(f(a)=f(b)\)D.\(f(x)\)為多項(xiàng)式函數(shù)9.下列說法正確的有（）A.連續(xù)函數(shù)一定可積B.可導(dǎo)函數(shù)一定連續(xù)C.可積函數(shù)一定連續(xù)D.有界函數(shù)一定可積10.計(jì)算二重積分\(\iint_{D}f(x,y)d\sigma\)時，常用的方法有（）A.直角坐標(biāo)法B.極坐標(biāo)法C.換元法D.分部積分法判斷題（每題2分，共20分）1.函數(shù)\(y=\sqrt{x-1}\)的定義域是\([1,+\infty)\)。（）2.若\(\lim_{x\tox_0}f(x)\)存在，則\(f(x)\)在\(x_0\)處一定連續(xù)。（）3.函數(shù)\(y=x^3\)的導(dǎo)數(shù)\(y^\prime=3x^2\)，它在\(R\)上單調(diào)遞增。（）4.\(\int_{a}^f(x)dx=-\int_^{a}f(x)dx\)。（）5.級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)收斂，則\(\lim_{n\to\infty}a_n=0\)。（）6.二元函數(shù)\(z=f(x,y)\)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)處的兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在，則函數(shù)在該點(diǎn)可微。（）7.函數(shù)\(y=\cosx\)的圖像關(guān)于\(y\)軸對稱。（）8.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上可積，則\(|f(x)|\)在\([a,b]\)上也可積。（）9.曲線\(y=x^4\)沒有拐點(diǎn)。（）10.定積分的值只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān)，與積分變量的記號無關(guān)。（）簡答題（每題5分，共20分）1.簡述函數(shù)極限的\(\varepsilon-\delta\)定義。答案：設(shè)函數(shù)\(f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)的某一去心鄰域內(nèi)有定義，如果存在常數(shù)\(A\)，對于任意給定的正數(shù)\(\varepsilon\)（不論它多么?。偞嬖谡龜?shù)\(\delta\)，使得當(dāng)\(x\)滿足不等式\(0<|x-x_0|<\delta\)時，對應(yīng)的函數(shù)值\(f(x)\)都滿足不等式\(|f(x)-A|<\varepsilon\)，那么常數(shù)\(A\)就叫做函數(shù)\(f(x)\)當(dāng)\(x\tox_0\)時的極限。2.簡述牛頓-萊布尼茨公式。答案：如果函數(shù)\(F(x)\)是連續(xù)函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上的一個原函數(shù)，則\(\int_{a}^f(x)dx=F(b)-F(a)\)。它揭示了定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系。3.簡述判斷函數(shù)\(y=f(x)\)單調(diào)性的方法。答案：先求函數(shù)\(f(x)\)的導(dǎo)數(shù)\(f^\prime(x)\)，若在某區(qū)間內(nèi)\(f^\prime(x)>0\)，則函數(shù)\(f(x)\)在該區(qū)間單調(diào)遞增；若\(f^\prime(x)<0\)，則函數(shù)\(f(x)\)在該區(qū)間單調(diào)遞減。4.簡述多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的定義。答案：設(shè)\(z=f(x,y)\)，把\(y\)固定在\(y_0\)，讓\(x\)在\(x_0\)處有增量\(\Deltax\)，函數(shù)的增量\(\Deltaz=f(x_0+\Deltax,y_0)-f(x_0,y_0)\)，若極限\(\lim_{\Deltax\to0}\frac{\Deltaz}{\Deltax}\)存在，則稱此極限為函數(shù)\(z=f(x,y)\)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)對\(x\)的偏導(dǎo)數(shù)，對\(y\)的偏導(dǎo)數(shù)同理定義。討論題（每題5分，共20分）1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x^2-1}\)的間斷點(diǎn)及其類型。答案：函數(shù)\(y=\frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{(x-1)(x+1)}\)，間斷點(diǎn)為\(x=1\)和\(x=-1\)。當(dāng)\(x\to1\)或\(x\to-1\)時，函數(shù)極限為\(\infty\)，所以\(x=1\)和\(x=-1\)都是無窮間斷點(diǎn)，屬于第二類間斷點(diǎn)。2.討論級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}\)的斂散性。答案：此為交錯級數(shù)，設(shè)\(u_n=\frac{1}{n}\)。\(u_{n+1}=\frac{1}{n+1}<\frac{1}{n}=u_n\)，且\(\lim_{n\to\infty}u_n=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0\)，由萊布尼茨判別法知該級數(shù)收斂。但\(\sum_{n=1}^{\infty}|\frac{(-1)^n}{n}|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)發(fā)散，所以原級數(shù)條件收斂。3.討論二元函數(shù)\(z=x^2+y^2-2x+4y+5\)的極值情況。答案：先求偏導(dǎo)數(shù)，\(z_x=2x-2\)，\(z_y=2y+4\)。令\(z_x=0\)，\(z_y=0\)，解得\(x=1\)，\(y=-2\)。再求二階偏導(dǎo)數(shù)，\(A=z_{xx}=2\)，\(B=z_{xy}=0\)，\(C=z_{yy}=2\)，\(AC-B^2=4>0\)且\(A>0\)，所以在點(diǎn)\((1,-2)\)處有極小值，極小值為\(0\)。4.討論定積分和不定積分的聯(lián)系與區(qū)別。答案：聯(lián)系：不定積分是求原函數(shù)的全體，定積分的值是原函數(shù)在積