第一章緒論1.1研究背景1.1.1金融衍生品在經(jīng)濟領(lǐng)域，金融衍生品代之從基礎(chǔ)實體的表現(xiàn)中獲取其價值的合同。該基礎(chǔ)可以是多樣化的，允許實體資產(chǎn)，虛擬貨幣，市場指數(shù)或者是銀行利率，通常我們把它們稱為“基礎(chǔ)”。一些較常見的金融衍生品包括但不僅限于遠期，期貨，期權(quán)，掉期，以及它們的變體，例如合成抵押債務(wù)義務(wù)和信用違約掉期。絕大部分金融衍生品都是通過場外交易或在全世界各地商品交易所等交易所進行的。在美國，自從二十一世紀初經(jīng)濟寒冬以后，來自實體業(yè)，銀行，政府來自各方的壓力都要求將金融衍生品轉(zhuǎn)移到交易所，在有監(jiān)管的情況下才被允許交易。金融衍生品是三大類金融工具中的一類，另外二類是權(quán)益（即股票或股份）和債務(wù)（即債券和按揭）。歷史上衍生工具的最早例子，由亞里士多德證實，被認為是由古希臘哲人泰雷茲訂立的橄欖合約交易，他在交易中賺取了一倍的利潤，于在1936年被取締，是一個較近的歷史例子。金融衍生品是二級證券，其價值僅基于（衍生）與之相關(guān)的一級證券（稱為基礎(chǔ)證券）的價值。通常，衍生品被視為高級投資。衍生產(chǎn)品分為兩類：“鎖定”和“期權(quán)”。鎖定產(chǎn)品（如掉期、期貨或遠期）在合同有效期內(nèi)從一開始就對各方具有約束力。另一方面，期權(quán)產(chǎn)品（如股票期權(quán)）向持有人提供在期權(quán)到期日或之前以特定價格購買或出售標的資產(chǎn)或證券的權(quán)利，而不是義務(wù)。雖然衍生工具的價值是以資產(chǎn)為基礎(chǔ)的，但擁有衍生工具并不意味著擁有資產(chǎn)。期貨合約、遠期合約、期權(quán)、掉期和認股權(quán)證是常用的衍生品。 在本文中，我會著重介紹金融衍生品中期權(quán)的定價，期權(quán)定價模型基于布萊克-舒斯模型（Black-ScholesModel），是由著名的經(jīng)濟學家邁倫·舒爾斯以及費雪·布萊克聯(lián)合提出的，所以以兩者名字各取一部分進行命名，稱為布萊克-舒斯模型。此模型最初只適用于簡單情況下的的歐式期權(quán)。羅伯特·墨頓因市場的變化在之后改進了模型，使其在派發(fā)股票利息時仍然適用，新模型被稱為布萊克-舒爾斯-墨頓模型（Black–Scholes–Mertonmodel）。Black-Scholes模型是包含金融衍生品投資手段的的金融模型。從模型中稱為Black–Scholes方程的偏微分方程中，可以推導出Black–Scholes公式，該公式對歐式期權(quán)的價格進行了理論估計，并表明在給定的條件下期權(quán)具有唯一的價格。證券的風險及其預(yù)期收益（而不是用風險中和率代替證券的預(yù)期收益）。可是說是該模型直接塑造了如今金融衍生品交易市場的繁榮，并且還為期權(quán)交易所和全世界各大期權(quán)市場的活動提供了背書，承認了其數(shù)學上是有理可依，合法的。盡管期權(quán)市場參與者經(jīng)常對其進行調(diào)整，但時至今日仍被廣泛使用。FischerBlack和MyronScholes根據(jù)先前由市場研究人員和從業(yè)人員（例如LouisBachelier，SheenKassouf和EdThorp等人）開發(fā)的作品，于1968年證明，對投資組合進行動態(tài)修訂會消除證券的預(yù)期收益，從而發(fā)明了證券風險中立論證。1970年，他們嘗試將公式應(yīng)用到市場并由于缺乏交易風險管理而蒙受了財務(wù)損失之后，他們決定專注于自己的領(lǐng)域，即學術(shù)環(huán)境。經(jīng)過三年的努力，該公式終于以1973年發(fā)表在《政治經(jīng)濟學》雜志上的標題為“期權(quán)和公司責任的定價”的文章中，以其公開名譽而著稱。默頓和斯科爾斯因其工作而獲得了1997年諾貝爾經(jīng)濟學獎，該委員會援引他們對風險中性動態(tài)修正的發(fā)現(xiàn)作為突破，將選擇權(quán)與潛在證券風險區(qū)分開來。盡管布萊克因1995年去世而沒有資格獲得該獎，但他卻被瑞典科學院稱為貢獻者。該模型的核心思想是通過恰當?shù)氖侄钨I賣金融衍生品來以達到對沖期權(quán)的目的，從而規(guī)避風險。該類對沖往往被稱為“持續(xù)更改的三角對沖”，是更復雜的對沖策略（例如投資銀行和對沖基金所采用的對沖策略）的基礎(chǔ)。該模型的假設(shè)已被放寬并在多個方向上進行了概括，從而導致目前在衍生品定價和風險管理中使用的模型過多。正如Black-Scholes公式中所舉例說明的那樣，正是市場參與者經(jīng)常使用的該模型的見解，與實際價格有所不同。這些見解包括無套利限制和風險中性定價（由于不斷修訂）。此外，Black-Scholes方程是控制期權(quán)價格的偏微分方程，在不可能使用顯式公式的情況下，可以使用數(shù)值方法進行定價。布萊克-斯科爾斯公式只有一個無法在市場上直接觀察到的參數(shù)：盡管我們可以手動從其他期權(quán)的價格中累加得到，但仍然無法直接得到目標資產(chǎn)的未來波動率。由于期權(quán)價值（無論是看跌期權(quán)還是看漲期權(quán)）在該參數(shù)中都在增加，因此可以將其反轉(zhuǎn)以生成“波動率表面”，然后將其用于校準其他模型，例如用于場外交易衍生產(chǎn)品。1.1.2深度學習深度學習隸屬于機器學習，是機器學習的一個子集，通俗來講，深度學習可以讓計算機去做到傳統(tǒng)意義上只有人類可以想到做到的事情。深度學習可以說是無人駕駛背后的最關(guān)鍵的技術(shù)，包括但不僅限于使無人車能夠識別區(qū)分行人與斑馬線，區(qū)分周圍車的意圖，自動巡航，自動泊車等功能。令人感到驚訝的是，在深度學習中，模型可以直接從圖像，文本或聲音中學習并完成要求的分類任務(wù)。目前來看，相較于其他機器學習技術(shù)，深度學習模型能夠做到最優(yōu)秀的準確率的準確性，在一些特定領(lǐng)域，深度學習甚至可以比人類做的更棒（GoogleAlphaGo與柯潔的象棋大戰(zhàn)）。深度學習網(wǎng)絡(luò)的關(guān)鍵優(yōu)勢在于，隨著數(shù)據(jù)量的增加，模型表現(xiàn)通常會不斷改善。這一點與大數(shù)據(jù)技術(shù)相契合，許多擁有用戶數(shù)據(jù)的互聯(lián)網(wǎng)企業(yè)（騰訊、百度、阿里等）已成為深度學習賽道上的佼佼者。傳統(tǒng)的Machinelearning和深度學習的一個主要區(qū)別在于特征提取。我的意思是，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)更容易容易從大量數(shù)據(jù)中提取特征。在圖1中，我們可以看到深度學習算法的性能是如何與訓練數(shù)據(jù)量成比例增長的。很明顯，當我們有大量數(shù)據(jù)時，為什么我們會考慮使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。我們必須考慮到，過多的數(shù)據(jù)也可能是一件壞事，導致我們過度擬合的問題。值得一提的是，計算時間必須提前投入(神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓練)，這可能需要幾個月的時間，但一旦完成，深度學習模型的速度快得令人難以置信。由于我們的計算成本與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的深度和大量數(shù)據(jù)樣本成比例地上升，我們?nèi)缃窀嗍褂玫氖荖vidia系列GPU進行模型構(gòu)建。深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)由三個不同的層構(gòu)成:輸入層、隱藏層和輸出層。每一層都由稱為神經(jīng)元的主要構(gòu)件組成，如果模型是密集的，這些構(gòu)件與下一層的每個神經(jīng)元相連。除了神經(jīng)元之外，我們還有權(quán)重，告訴我們每個節(jié)點(神經(jīng)元)對于下一層的節(jié)點是如何“重要”的，偏差，解決非線性問題的激活函數(shù)，以及顯示我們相對于真實值的預(yù)測有多好的誤差函數(shù)。圖2展示了一個典型的回歸問題的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是什么樣子的。在本文中，作者采用了Tensorflow架構(gòu)完成我的代碼實現(xiàn)。TensorFlow是一個用于創(chuàng)建深度學習應(yīng)用程序的開源平臺。它是一個符號數(shù)學庫，它使用數(shù)據(jù)流和可微分的程序來執(zhí)行專注于深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓練和推理的各種任務(wù)。它允許開發(fā)人員使用各種工具，庫和社區(qū)資源來創(chuàng)建機器學習應(yīng)用程序。谷歌公司在其旗下所有產(chǎn)品中都使用了TensorFlow，以改善搜索引擎，翻譯，圖像字幕或推薦系統(tǒng)的表現(xiàn)。舉一個具體的例子，谷歌用戶可以通過AI體驗更快，更精致的搜索。如果用戶在搜索欄中輸入關(guān)鍵字，則Google會提供有關(guān)下一個單詞的建議。TensorFlow基于Python語言，得益于Python的良好上手性，不僅是程序員，生物數(shù)學學界的有志之士也可以較為輕松地利用TensorFlow。Python易于學習和使用，并提供了表達高級抽象如何耦合在一起的便捷方法。TensorFlow中的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和張量直接對應(yīng)Python中的對象概念。但是，需要注意的是那些復雜的數(shù)學運算過程并不是直接在Python中執(zhí)行的。Python相當于一個媒介，通過調(diào)用TensorFlow內(nèi)置的轉(zhuǎn)換庫將其改寫為為C++程序。（得益于C++的內(nèi)存管理模式和多態(tài)概念，C++在運行復雜的計算時有著優(yōu)秀的性能表現(xiàn)）Python只負責在各個進程之間進行通信，并提供高級編程抽象將底層的復雜函數(shù)封裝起來，提升TensorFlow程序的可讀性和可理解性。因為TensorFlow本身的性能開銷并不大，TensorFlow應(yīng)用程序幾乎可以運行在你能想到的任何計算設(shè)備上：個人計算機，云群集，手機，甚至是樹莓派上，X86和ARM設(shè)備都具有良好的兼容性。這里不得不提到Google的CloudPlatform，這允許你可以在Google的自定義TensorFlow處理單元（TPU）芯片(以FPGA技術(shù)構(gòu)成的硬件上)上運行TensorFlow，使用硬件加速來獲得更優(yōu)秀的性能表現(xiàn)。我使用的是Tensorflow2.0,這也是飽受好評的一個版本，TensorFlow2.0于2019年10月發(fā)布，基于用戶反饋以多種方式對框架進行了改進，以使其更易于使用（例如，通過使用相對簡單的KerasAPI進行模型訓練）和更優(yōu)秀的性能表現(xiàn)。得益于新開發(fā)的API，在多臺服務(wù)器上使用分布式計算更加易用，也有更低的性能損耗。并且對TensorFlowLite的支持使得可以在各種平臺上部署模型。但是，必須重新編寫為TensorFlow的早期版本編寫的代碼（有時僅需稍做修改，有時甚至是大量修改），以充分利用TensorFlow2.0的新功能。TensorFlow能夠給深度學習開發(fā)者提供的最有益的幫助就是抽象的開發(fā)理念。開發(fā)人員可以專注于應(yīng)用程序上層的邏輯設(shè)計，而不必思考實現(xiàn)算法的具體細節(jié)，也不必弄兩個或者多個函數(shù)之間是如何通信，輸入輸出是如何跳轉(zhuǎn)的。TensorFlow會負責所有的幕后細節(jié)，就像是一名優(yōu)秀的管家。TensorFlow還受益于Google的A-list商業(yè)機構(gòu)的支持。Google不僅推動了該項目的快速發(fā)展，而且圍繞TensorFlow開發(fā)了許多重要的產(chǎn)品，這些產(chǎn)品使部署和使用變得更加容易：上述TPU芯片可加快Google云的性能；一個在線中心，用于共享使用框架創(chuàng)建的模型；在瀏覽器中和對移動設(shè)備友好的框架的化身。1.2研究動機金融衍生品具有風險管理、價格保持，穩(wěn)定市場等諸多功能，是中國資本市場上重要的組成部分，也是推動內(nèi)循環(huán)，實體經(jīng)濟發(fā)展必不可少的中堅力量。金融衍生品可以起到保持市場穩(wěn)定、促進大資本形成、提高內(nèi)循環(huán)效率，降低大環(huán)境系統(tǒng)性風險的作用，從而充分發(fā)揮資本市場的各項功能，提高市場融資能力，間接服務(wù)實體經(jīng)濟。一、增強風險控制手段，保持現(xiàn)貨市場穩(wěn)定投資機構(gòu)和個人根據(jù)市場變化酌情買入金融衍生品，豐富資產(chǎn)構(gòu)成，相當于在原有的資產(chǎn)基礎(chǔ)之上多了一個穩(wěn)定的支撐點，其風險承受能力將會得到極大程度的提高。即使股票或者是債券市場等由于某些原因出現(xiàn)下跌趨勢，投資機構(gòu)和個人也可以擁有更加豐富的手段面對市場風險，從而避免極端惡劣行情下的做空做多，進而穩(wěn)定股票和債券現(xiàn)貨市場，使其可以平穩(wěn)著陸，降低市場波動。從投資機構(gòu)和個人的角度來看，金融衍生品能夠在很大程度上解決目前已經(jīng)存在的不夠完善的市場反饋機制問題，即越低越賣，越賣越低，直至導致投資者群體形成踩踏事故，小問題變成大風險，進而引起企業(yè)退市等亞種問題，放大市場風險的不良機制。二、引入大量資金，促進資本形成長期資金因自身的獨特屬性，不得不時刻注意市場風險，在金融衍生品匱乏的市場環(huán)境下，投資者行為往往較為謹慎，不易將資金迅速、穩(wěn)定，大量地投入到資本市場當中去。假若市場中存在多樣化的金融衍生品產(chǎn)品，使得長期資金能夠在有保護的市場環(huán)境下，安心地進入資本市場，從投資者的角度來看，投資種類多樣化，抗風險能力提高，收益也得到提高。從資本市場的角度來看，市場會涌入大量可用的長期資金，可以使許多創(chuàng)業(yè)公司擁有更好的生存環(huán)境，得益于大量資本進場，市場的生態(tài)環(huán)境也會得到改善。最近幾十年來國內(nèi)資本市場的發(fā)展情況也證明了這一觀點，有大量金融衍生品都依托于滬深300指數(shù)、上證50指數(shù)等指數(shù)，相對應(yīng)的指數(shù)基金產(chǎn)品均發(fā)展迅速，成為資本市場上一顆冉冉升起的新星。長期資金持續(xù)流入市場，投資機構(gòu)和個人占比平穩(wěn)上升。三、增強市場流動性，穩(wěn)定交易成本金融衍生品市場依托于現(xiàn)貨市場，使得其與現(xiàn)貨市場相關(guān)性極強，投資機構(gòu)和個人投資者可以通過這一點利用金融衍生品，在現(xiàn)貨市場價格紊亂，偏離應(yīng)有的實際價格時實行套利策略，以催化劑的作用促進價格發(fā)現(xiàn)，提高定價效率，確保價格不太過于偏離實際價格，從而防止現(xiàn)貨市場商品價格過度紊亂。不僅如此，據(jù)美國哈佛大學在2019年發(fā)表的論文表明，豐富的金融衍生品種類會使得相對應(yīng)現(xiàn)貨市場的流動性變強，并且可以減少只以短期盈利為目的的，單純的投機交易，促進市場交易更加平穩(wěn)有效地運行。從與現(xiàn)貨市場的角度看來，金融衍生品可以為現(xiàn)貨市場提供快速準確的定價手段和促進流動性的雙重保護，從而大幅降低投資機構(gòu)和個人投資者的市場交易成本，進而改善市場環(huán)境。四、豐富交易策略，盡量降低系統(tǒng)性風險多樣化的的金融衍生品將極大豐富市場的組合交易策略，使得投資機構(gòu)和個人可以選擇不同的投資方式，從源頭上減弱市場共振。若處于金融衍生品不夠多樣化的情況下，市場投資機構(gòu)和個人的現(xiàn)貨方案和交易策略往往都趨于一致，在面對不同行情下的投資策略也基本一致。這樣會導致“雞蛋都放在一個籃子里”，因為策略上的高度一致性，導致市場存在較高的共振性，有可能會產(chǎn)生較大的系統(tǒng)性風險。只有當市場存在較為多樣化的金融衍生品后，投資機構(gòu)和個人才能利用現(xiàn)貨頭寸和多樣化的衍生品組成復雜的投資策略，投資行為也不會再次趨于同質(zhì)化，因此在面對不同市場行情下，投資者們的投資策略也會各有異同，進而降低市場的共振效應(yīng)。資產(chǎn)的準確定價或估價是金融學的一個基本研究領(lǐng)域。在這個領(lǐng)域有著大量為銀行、公司、房地產(chǎn)、衍生產(chǎn)品等開發(fā)的機器學習模型。然而，深度學習還沒有大量應(yīng)用到這個特定的領(lǐng)域。因此，在這片未知的領(lǐng)域中，大有可為。同時，基于衍生產(chǎn)品的金融模式相當普遍。期權(quán)定價、套期保值策略開發(fā)、帶有期權(quán)的金融工程、期貨、遠期合約都是可以從開發(fā)深度學習模型中受益的研究。深度學習技術(shù)可以快速且相對準確的給出金融衍生品的定價模型和價格，并且可以通過參數(shù)的調(diào)節(jié)來平衡精準度和時間的關(guān)系，況且可以使用大量的并行服務(wù)器來加快模型訓練的速度，從而可以在短時間內(nèi)得到一個足夠精確的解。在寸時寸金的金融交易市場，相信深度學習技術(shù)可以給機構(gòu)和量化交易員帶來更多的可能性。第二章金融衍生品定價2.1金融衍生品基本概念在金融領(lǐng)域，衍生品是從基礎(chǔ)實體的表現(xiàn)中獲取其價值的合同。該基礎(chǔ)實體可以是資產(chǎn)，指數(shù)或利率，通常簡稱為“基礎(chǔ)”。一些較常見的衍生工具包括遠期，期貨，期權(quán)，掉期，以及它們的變體，例如合成抵押債務(wù)義務(wù)和信用違約掉期。絕大部分金融衍生品都是通過場外交易或在全世界各地的商品交易所等交易所進行的。在美國，自從二十一世紀初經(jīng)濟寒冬以后，來自實體業(yè)，銀行，政府來自各方的壓力都要求將金融衍生品轉(zhuǎn)移到交易所，在有監(jiān)管的情況下才被允許交易。金融衍生品是三大類金融工具中的一類，另外二類是權(quán)益（即股票或股份）和債務(wù)（即債券和按揭）。歷史上衍生工具的最早例子，由亞里士多德證實，被認為是由古希臘哲人泰雷茲訂立的橄欖合約交易，他在交易中賺取了一倍的利潤，于在1936年被取締，是一個較近的歷史例子。在金融領(lǐng)域，期貨合約是一種標準化的法律協(xié)議，允許在交易雙方并不相識的情況下，在將來的某一特定時刻以固定的價格買賣商品。交易的貨物往往都是某種大宗商品或者股票等。在這里，將雙方達成共識的交易價格稱為遠期價格將來的某一特定時刻稱為交付日期。期貨是基礎(chǔ)功能的體現(xiàn)，所以將它歸為金融衍生品。具體合同的商談會在交易所內(nèi)進行，期貨交易所在其中擔任的角色是買賣雙方之間的交易平臺。其中購買者被稱為多頭頭寸持有人，出售者被稱為空頭頭寸持有人。由于如果價格違背最開始約定的金額，雙方都存在違約的風險，因此合同可能會提及雙方向客觀公正的第三方金融機構(gòu)提供等同意商品總金額價值的違約金。例如，在鉆石期貨交易中，違約金在5％到23％之間上下浮動，具體百分比取決于現(xiàn)貨市場的走勢。股票期貨是基于特定股票市場指數(shù)價值的以現(xiàn)金結(jié)算的期貨合約。股票期貨是市場上的高風險交易工具之一。股市指數(shù)期貨也被用作確定市場情緒的指標。期貨合約最開始被用于規(guī)避或者降低風險，合約允許買賣兩方提前為將來產(chǎn)生的交易確認價格來降低市場波動的風險。舉個例子，賣方期望交易完成后接收美元付款并希望從付款開始直到貨款被收入時避免因為匯率波動而產(chǎn)生的貶值問題。同樣的，期貨合約也提供了給賭徒們投資的機會，如果在市場低迷時期簽訂期貨合約，但在合約到期后市場回暖，商品價格回升，便可從中取得大量利潤。特別是，如果投機者能夠獲利，那么投機者交易的基礎(chǔ)商品將在盈余期間得到保存，并在有需要時出售，從而為商品的消費者提供了隨著時間推移更有利的商品分配。掉期是指兩個交易方之間在一定時間內(nèi)交換金融工具或現(xiàn)金流量或付款的協(xié)議。這些工具幾乎可以是任何東西，但是大多數(shù)掉期都涉及基于名義本金的現(xiàn)金。一般掉期也可以看作是一系列遠期合約，通過該遠期合約，兩個交易方可以交換金融工具，從而產(chǎn)生一系列共同的交換日期和兩個工具流，即掉期的分支。支路幾乎可以是任何東西，但通常，一條支路涉及雙方都同意的名義本金的現(xiàn)金流量。在交換期間或交換結(jié)束時，該委托人通常不易手；這與未來，遠期或期權(quán)背道而馳。掉期主要是公司或金融機構(gòu)之間的場外交易合約。散戶投資者通常不參與掉期交易。掉期交易最早是在1981年IBM與世界銀行簽訂掉期協(xié)議時向公眾介紹的。如今，掉期交易已成為全球交易量最大的金融合同之一：根據(jù)國際清算銀行（BIS）的數(shù)據(jù)，2010年，未償還的利率和貨幣掉期交易總額超過348萬億美元。大多數(shù)掉期交易都是為對手方“量身定制”的場外交易（OTC）。但是，2010年的《多德-弗蘭克法案》構(gòu)想了交換報價的多邊平臺，交換執(zhí)行工具（SEF），并要求通過交易所或票據(jù)交換所向其報告和結(jié)算掉期，隨后形成了交換數(shù)據(jù)存儲庫（SDR），交換數(shù)據(jù)報告和記錄保存的中央工具。數(shù)據(jù)供應(yīng)商（例如彭博社）和大型交易所（例如美國最大的期貨市場芝加哥商品交易所）。他們開始在其平臺上列出某些類型的掉期，掉期和掉期期貨。隨后進行了其他交流，例如IntercontinentalExchange和總部位于法蘭克福的EurexAG。期權(quán)是一種合同，允許買方在指定的日期或之前以指定的執(zhí)行價格以指定的執(zhí)行價格買賣標的資產(chǎn)或金融工具的權(quán)利，具體取決于期權(quán)的形式。行使價可以參考在認股權(quán)被提取之日的基礎(chǔ)證券或商品的現(xiàn)貨價格（市場價格）來設(shè)定，或者可以固定為折價或溢價。如果買方（所有者）“行使”期權(quán)，則賣方有相應(yīng)的義務(wù)履行交易（出售或購買）。向所有者傳達以特定價格購買的權(quán)利的期權(quán)被稱為看漲期權(quán)，而向所有者傳達以特定價格出售的權(quán)利的期權(quán)被稱為看跌期權(quán)。賣方可以將購股權(quán)授予購買者，作為另一項交易的一部分，例如發(fā)行股票或作為員工激勵計劃的一部分，否則，購買者將向賣方支付期權(quán)金。通常僅在執(zhí)行價格低于標的資產(chǎn)的市場價值時才行使看漲期權(quán)，而通常僅在執(zhí)行價格高于市場價值時才行使看跌期權(quán)。行使期權(quán)時，購置資產(chǎn)的買方所付出的成本為行使價加權(quán)利金（如果有的話）。當期權(quán)到期日過去而期權(quán)沒有被行使時，期權(quán)到期，買主將溢價沒收給賣主。無論如何，溢價是賣方的收入，通常是買方的資本損失。期權(quán)的所有者可以通過場外交易或在期權(quán)交易所中將期權(quán)出售給二級市場上的第三方，具體取決于期權(quán)。美式期權(quán)的市場價格通常緊隨基礎(chǔ)股票的價格，即標的股票的市場價格與行使價之間的差額。期權(quán)的實際市場價格可能會因多種因素而有所不同，例如，重要的期權(quán)持有人可能會在到期日臨近且沒有足夠的財務(wù)資源來行使期權(quán)的情況下出售該期權(quán)，或者市場正試圖積累大量的期權(quán)。期權(quán)的所有權(quán)通常不賦予持有人與基礎(chǔ)資產(chǎn)相關(guān)的任何權(quán)利（例如投票權(quán)）或來自基礎(chǔ)資產(chǎn)的任何收益（例如股息）的權(quán)利。2.2布萊克-舒爾斯定價模型2.2.1模型緣起布萊克-舒爾斯模型是現(xiàn)代金融體系內(nèi)一顆閃耀的明珠。它是由費舍爾·布萊克、羅伯特·默頓和邁倫·斯科爾斯于1973年開發(fā)，至今仍被廣泛使用。它被認為是確定期權(quán)公平價格的最佳方式之一。它是第一個被各大投資機構(gòu)和交易所廣泛使用的金融衍生品定價模型。它用于使用當前股票價格、預(yù)期股息、期權(quán)的罷工價格、預(yù)期利率、到期時間和預(yù)期波動性來計算期權(quán)的理論價值。Black-Scholes模型是內(nèi)涵金融衍生品投資工具的金融模型。從模型中稱為Black–Scholes方程的偏微分方程中，可以推導出Black–Scholes公式，該公式對歐式期權(quán)的價格進行了理論估計，并表明在給定的條件下期權(quán)具有唯一的價格。證券的風險及其預(yù)期收益（而不是用風險中和率代替證券的預(yù)期收益）。毫不客氣的說，該公式的面試導致了金融衍生品交易欣欣向榮的景象，使得期權(quán)等風險和收益的預(yù)期是可以被估計的，并為Chicago期權(quán)交易所和全球其他期權(quán)市場的活動提供了數(shù)學上的合法性。盡管期權(quán)市場參與者經(jīng)常對其進行調(diào)整，但仍被廣泛使用。FischerBlack和MyronScholes根據(jù)先前由市場研究人員和從業(yè)人員（例如LouisBachelier，SheenKassouf和EdThorp等人）開發(fā)的作品，于1968年證明，對投資組合進行動態(tài)修訂會消除證券的預(yù)期收益，從而發(fā)明了證券風險中立論證。1970年，他們嘗試將公式應(yīng)用到市場并由于缺乏交易風險管理而蒙受了財務(wù)損失之后，他們決定專注于自己的領(lǐng)域，即學術(shù)環(huán)境。經(jīng)過三年的努力，該公式終于以1973年發(fā)表在《政治經(jīng)濟學》雜志上的標題為“期權(quán)和公司責任的定價”的文章中，以其公開名譽而著稱。羅伯特·C·默頓（RobertC.Merton）第一個發(fā)表論文，擴展了對期權(quán)定價模型的數(shù)學理解，并創(chuàng)造了術(shù)語“布萊克-斯科爾斯期權(quán)定價模型”。默頓和斯科爾斯因其工作而獲得了1997年諾貝爾經(jīng)濟學獎，該委員會援引他們對風險中性動態(tài)修正的發(fā)現(xiàn)作為突破，將選擇權(quán)與潛在證券風險區(qū)分開來。盡管布萊克因1995年去世而沒有資格獲得該獎，但他卻被瑞典科學院稱為貢獻者。該模型背后的關(guān)鍵思想是通過合適的方式買賣基礎(chǔ)來對沖金融衍生品，從而消除風險。這種對沖被稱為“保持修改的三角對沖”，是更復雜的對沖策略（例如投資銀行和對沖基金所采用的對沖策略）的基礎(chǔ)。該模型的假設(shè)已被放寬并在多個方向上進行了概括，從而導致目前在衍生品定價和風險管理中使用的模型過多。正如Black-Scholes公式中所舉例說明的那樣，正是市場參與者經(jīng)常使用的該模型的見解，與實際價格有所不同。這些見解包括無套利限制和風險中性定價（由于不斷修訂）。此外，Black-Scholes方程是控制期權(quán)價格的偏微分方程，在不可能使用顯式公式的情況下，可以使用數(shù)值方法進行定價。布萊克-斯科爾斯公式只有一個無法在市場上直接觀察到的參數(shù)：盡管我們可以手動從其他期權(quán)的價格中累加得到，但仍然無法直接得到目標資產(chǎn)的未來波動率。由于期權(quán)價值（無論是看跌期權(quán)還是看漲期權(quán)）在該參數(shù)中都在增加，因此可以將其反轉(zhuǎn)以生成“波動率表面”，然后將其用于校準其他模型，例如用于場外交易衍生產(chǎn)品。布萊克-舒爾斯模型認為，股票或期貨合約等工具在隨機波動和波動之后，價格將出現(xiàn)正常分布。使用此假設(shè)并考慮其他重要變量，方程得出了歐洲式期權(quán)的價格。黑斯科爾斯等式的輸入是波動性、標的資產(chǎn)價格、期權(quán)的罷工價格、期權(quán)到期前的時間以及無風險利率。有了這些變量，從理論上講，期權(quán)賣家有可能為他們出售的期權(quán)設(shè)定合理的價格。此外，該模型預(yù)測，大量交易資產(chǎn)的價格遵循幾何布朗運動，不斷漂移和波動。應(yīng)用于股票期權(quán)時，該模型包括股票的恒定價格變化、貨幣的時間價值、期權(quán)的罷工價格以及期權(quán)到期的時間。2.2.2數(shù)學解釋與模型局限性布萊克-舒爾斯模型進行了某些假設(shè)：Black-Scholes模型假設(shè)期權(quán)市場至少由一種風險資產(chǎn)（如虛擬貨幣等）和一種無風險資產(chǎn)（通常稱為貨幣市場，現(xiàn)金或債券）組成?，F(xiàn)在，我們對資產(chǎn)進行假設(shè)（說明其名稱）：（無風險利率）無風險資產(chǎn)的收益率是穩(wěn)定不變的，因此稱為無風險利率。（隨機游走）股價的瞬時對數(shù)收益是具有漂移的無窮小隨機游走；更準確地說，股價遵循幾何布朗運動，并且我們將假設(shè)其漂移和波動率是恒定的（如果它們是隨時間變化的，只要波動率不是隨機的）。該股票不派息。市場上的假設(shè)是：沒有套利機會（即沒有辦法無風險地獲利）。能夠以無風險利率借入和借出任何數(shù)量的現(xiàn)金，甚至是零頭的現(xiàn)金。能夠買賣任何數(shù)量的股票，甚至是零碎的股票（包括賣空）。上述交易不會產(chǎn)生任何費用或成本（即無摩擦市場）。在這些假設(shè)成立的情況下，假設(shè)在此市場上也有衍生品證券交易。我們指定此證券在將來的指定日期具有一定的收益，具體取決于該日期之前股票所取的價值。令人驚訝的事實是，即使我們不知道未來股價會走什么路，該衍生工具的價格在當前時間也已完全確定。對于歐洲看漲或看跌期權(quán)的特殊情況，布萊克和斯科爾斯表明“可以建立套期保值頭寸，該套期保值頭寸包括股票中的多頭頭寸和期權(quán)中的空頭頭寸，其價值不取決于期權(quán)的價值。股票價格”。[12]他們的動態(tài)對沖策略導致了控制期權(quán)價格的偏微分方程。它的解決方案由Black-Scholes公式給出。原始模型的這些假設(shè)中的一些假設(shè)已在模型的后續(xù)擴展中刪除?，F(xiàn)代版本考慮了動態(tài)利率（Merton，1976），交易成本和稅收（Ingersoll，1976），交易需求和股息支付。布萊克斯科爾斯看漲期權(quán)公式是通過將股票價格乘以累積標準正態(tài)概率分布函數(shù)得出的。此后，從先前計算的結(jié)果值中減去執(zhí)行價格的凈現(xiàn)值（NPV）乘以累積的標準正態(tài)分布。用數(shù)學符號表示：C=認購期權(quán)價格S=當前股票（或其他相關(guān)）價格K=行使價r=無風險利率t=到期時間N=一正態(tài)分布波動率偏斜Black-Scholes假定股票價格服從對數(shù)正態(tài)分布，因為資產(chǎn)價格不能為負（它們以零為界）。這也稱為高斯分布。通常，觀察到資產(chǎn)價格具有明顯的右偏和某種程度的峰度（肥尾）。這意味著高風險的下行趨勢在市場中的發(fā)生往往比正態(tài)分布所預(yù)測的要多。對數(shù)正態(tài)基礎(chǔ)資產(chǎn)價格的假設(shè)應(yīng)表明，根據(jù)Black-Scholes模型，每個執(zhí)行價格的隱含波動率相似。但是，自1987年市場崩盤以來，平價期權(quán)的隱含波動率一直低于超出貨幣價值或遠低于貨幣價值的波動率。造成這種現(xiàn)象的原因是，市場正在以較高的價格將高波動性推向市場的下行空間。這導致了波動率偏差的存在。當具有相同到期日期的期權(quán)的隱含波動率映射到圖表上時，可以看到微笑或偏斜形狀。因此，Black-Scholes模型在計算隱含波動率時效率不高。Black-Scholes模型的局限性如前所述，Black-Scholes模型僅用于為歐洲期權(quán)定價，并未考慮美國期權(quán)可以在到期日之前行使的情況。此外，該模型假設(shè)股息和無風險利率是恒定的，但實際上可能并非如此。該模型還假設(shè)波動率在期權(quán)的整個生命周期內(nèi)保持恒定，而事實并非如此，因為波動率隨供求水平而波動。此外，還有其他假設(shè)-沒有交易成本或稅金；無風險利率對于所有到期日都是恒定的；允許利用收益賣空證券；并且沒有無風險的套利機會-可能導致價格偏離存在這些因素的現(xiàn)實世界較小。第三章算法的設(shè)計與實現(xiàn)本文的算法通過深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)同時估計解及其梯度。這些近似是在每一個時間步長上從通過逆向歸納法遞歸定義的損失函數(shù)最小化開始進行的。該方法被推廣到最優(yōu)停止問題中的變分不等式。我們分析了深度學習方案的收斂性，并根據(jù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的通用近似提供了誤差估計。數(shù)值結(jié)果表明，對于偏微分方程和變分不等式問題，算法直到(D>=50)都給出了很好的結(jié)果。多層(也稱為深層)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計用于逼近未知或一大類函數(shù)。與基函數(shù)加權(quán)和的加性近似理論相反，簡單函數(shù)的組合似乎提供了一種處理高維近似問題的有效方法，特別是由于通過(隨機)梯度下降法尋找“最佳”參數(shù)的計算機能力的提高。我們將考慮前饋(或人工)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，它代表了深層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的基本類型。在本章中，我將會對使用深度學習模型以及所用技術(shù)進行解釋與說明。3.1模型設(shè)計 以一類相當普遍的非線性拋物型偏微分方程為例子(式3-1）所提出的算法基于以下一系列思想:(1)通過所謂的非線性費曼-卡奇公式，我們可以將偏微分方程等價地表述為偏微分方程。(2)可以把BSDE看作一個隨機控制問題，其解的梯度是政策函數(shù)。這些隨機控制問題可以被視為基于模型的深度學習問題。(3)然后可以通過深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來近似(高維)策略函數(shù)，如在深度強化學習中所做的那樣。一個經(jīng)典的方程形式為：式（3-1）本文使用模型是從向后動態(tài)編程類型關(guān)系定義的，不同于經(jīng)典的由前向后結(jié)構(gòu)。根據(jù)估計值初始化，如下式（3-2）式（3-2）分別使用兩個獨立的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進行近似，計算預(yù)期二次損失函數(shù)的最小值。損失函數(shù)的數(shù)學表達如下式（3-3），具體會在后文進行詳細介紹。式（3-3）與深度BSDE算法相比，此算法的優(yōu)勢如下:通過將全局問題分解為更小的問題，我們可以期望幫助梯度下降方法提供更接近真實解的估計。深度BSDE算法需要的內(nèi)存在時間步長太多時可能是個問題。在每個時間步長，我們將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)重和偏差初始化為前一個時間步長的權(quán)重和偏差:這種技巧通常用于偏微分方程的迭代求解器，允許我們從接近解的值開始，從而避免距離真實解太遠的局部最小值。此外，在第一個分辨率步驟之后，要實現(xiàn)的梯度迭代次數(shù)相當少。小缺點是由于張量流結(jié)構(gòu)。由于在python中是這樣做的，全局圖的創(chuàng)建需要很多時間，因為它在每個時間步驟中重復，并且全局解決方案有點耗時:隨著問題的維數(shù)增加，時間差減小，并且當維數(shù)高于5時，對于給定的精度，很難比較計算時間。3.2神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)圖3-1深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)上圖（圖3-1）解釋了整體深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建方式：目前層的u值通過上一層的u值、?_Su值以及X值擬合得出，目前層的X值只和上層的X值相關(guān)，結(jié)果不通過深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)得出。U(t1)是我們想要得到的結(jié)果，STEP1的U(T)=X為預(yù)設(shè)參數(shù)。當前STEP的U(t-1)值由上一個STEP訓練出的最優(yōu)解的結(jié)果得出，那么當前層只有Uθ（t）值和?U（t）這兩個參數(shù)不能直接得出，可以從當前層的X,U(t)分別構(gòu)建一個子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來得到目標值，從而得到結(jié)果。每一個STEP內(nèi)都包含兩個子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（詳見3.1中的數(shù)學描述），整體看來全部的子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)會構(gòu)成一個完整的深度網(wǎng)絡(luò)。損失函數(shù)已在前文給出數(shù)學解釋，參照3.1中的數(shù)學表達式（式3-2）。所要求的U(t1)的值也就是方程的近似數(shù)值解，當深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓練完畢之后，目標值就會以結(jié)果的形式析出，析出值便是所求方程的近似數(shù)值解。3.3TensorCore 在深度學習模型的構(gòu)建中，我使用了Nvdia帶來的新技術(shù)-TensorCore，大幅改善了模型的時間表現(xiàn)。在此小節(jié)，我會詳細介紹TensorCore的運行原理和為什么可以帶來性能改善的原因。TensorCore是隨著英偉達Volta計算架構(gòu)而來的新型運算核心，概括地說，TensorCore是一種新型的，硬件意義上的運算核心，它專門執(zhí)行矩陣數(shù)學運算，這種運算往往用于深度學習領(lǐng)域。TensorCore主要運行融合乘法加法，以兩個4x4FP16矩陣作為參數(shù)，做乘法運算，最終將結(jié)果疊加到4x4FP16精度或者FP32精度矩陣中。結(jié)呈現(xiàn)為4x4FP16或FP32矩陣；NVIDIA將TensorCore稱為執(zhí)行混合精度數(shù)學，因為輸入為允許是半精度，但輸出可以為全精度。這種運算在深度學習中相當常見，因其耗時長且性能開銷大而飽受詬病。TensoCore雖然是GPU領(lǐng)域的全新功能，但在硬件基礎(chǔ)上與標準ALU管線的差距并不大。主要在于密度發(fā)生了變化-它們現(xiàn)在在相當大的矩陣上運行，而不是像原來一樣SIMD打包的標量值。但是數(shù)學基礎(chǔ)上沒有變化。歸根結(jié)底，在靈活性（TensorCore在標量操作中會很糟糕）與吞吐量之間存在一個相對簡單的折衷，因為Tensorcore主要運行單一的運算（就像FPGA做的一樣），且規(guī)模很小，可以將更多的操作打包到同一模具區(qū)域中，成本按每個ALU分攤時的控制邏輯來計算。下圖為TensorCore一個簡單的運行示例。圖3-2TensorCore運行示例因此，TensorCore雖然從硬件基礎(chǔ)上來看擁有一些可編程性，但目前來看，TensorCore仍停留在這些類型的4x4矩陣乘法累加中。盡管被描述為執(zhí)行4x4矩陣數(shù)學運算，但在實踐中，TensorCore運算時始終似乎在處理16x16矩陣，并且一次跨兩個TensorCore處理運算。從這這一點看來，這些是與Nvdia的新架構(gòu)息息相關(guān)的，更具體地說，與這些TensorCore在SM中的放置方式有關(guān)。在Volta架構(gòu)下，如下圖（圖3-3）所示，SM被劃分成為四個處理塊或者說子核心。圖3-3SM運行示例對于每個處理塊，調(diào)度程序每個時鐘周期都會向本地分支單元（BRU），TensorCore，數(shù)學分配單元發(fā)出一條陷入指令。這種現(xiàn)象首先排除了同時調(diào)運TensorCore運算和其他數(shù)學運算的組合。一次運算需要用到二個TensorCore，陷入調(diào)度程序向GPU發(fā)出計算矩陣的指令，得到此指令后，寄存器等待輸入矩陣，寄存器接收到輸入矩陣后，Tensorcore開始執(zhí)行4x4x4矩陣乘法。等待運算結(jié)果完成后，TensorCore將結(jié)果矩陣寫回到指定的寄存器中。下圖（圖3-4）為一個SUB-CORE運行示例。圖3-4SUB-CORE查看TensorCore如何執(zhí)行實際指令opcodeHMMA，似乎只會引發(fā)更多問題。即使在具有NVVMIR（LLVM）的編譯器級別，也只有扭曲級別矩陣運算的內(nèi)在函數(shù)，而不是張量核，并且扭曲級別仍然是CUDAC++和PTXISA的唯一級別。加載輸入矩陣的形式是每個線程都會帶有輸入矩陣的一部分數(shù)據(jù)，該數(shù)據(jù)的分布和身份是未知的。從宏觀上來看，它仍然具有和之前CUDA核心一樣的基于線程級拓展的GEMM計算的相同方式，稍后我們將使用NVIDIA的CUTLASS庫進行回顧?？傮w而言，盡管給定了A*B+CTensorCore運算，但片段由A的8個FP16x2元素（即16個FP16元素）和B的另外8個FP16x2元素以及FP16累加器的4個FP16x2元素組成。FP32累加器的8個FP32元素。下兩圖（圖3-5，圖3-6）為示例圖3-5warp示意圖3-6warp示意TensorCore完成乘法累加運算后，結(jié)果打散到為每個線程指定的目標寄存器中的片段中。這種操作要求warp范圍內(nèi)的統(tǒng)一性，若其中一個線程因為某些原因退出，那么這些操作將會失敗，因為無法讀取完整的結(jié)果矩陣。Citade所做的的測試點出了很多Volta架構(gòu)設(shè)計上的精妙之處，包括TensorCore運算操作和涉及的中斷，與之前不同的是，寄存器中的位置和定義均相同，不存在復用現(xiàn)象。他們觀察到，子線程會以一種特殊的集合模式計算矩陣乘法，并會讓被調(diào)用的的32個線程都處于活動狀態(tài)。從概念上講，TensorCore在4x4子矩陣上運行，以計算更大的16x16矩陣，其中涉及Volta的協(xié)作組和新的調(diào)度模型。將翹曲線程分成4個線程的8個線程組，每個線程組依次計算一個8x4塊，經(jīng)歷4組過程。因此，每個線程組總共處理所得矩陣的1/8一個線程組內(nèi)可以同時進行四個HMMA操作，每個操作都適用于4x2結(jié)構(gòu)的子塊。這四個線程被允許鏈接到存在于寄存器的那些矩陣，正因這樣每個線程組可以處理單個Step0HMMA指令，以便于一次性完成所有的子塊。在線性代數(shù)中，矩陣乘法需要重用某些列和行，因此TensorCore要允許在所有8x4塊上同時運行指令，所有輸入的矩陣都會被映射到所屬線程的所有寄存器中。如果適用，累加步驟將乘積與已存儲的累加器相加；在這種情況下，要進行4x4個子矩陣運算以計算16x16父矩陣，這將包括對序列進行求和以在16x16矩陣中形成4x8元素的相應(yīng)塊的集合相加。盡管未經(jīng)Citadel測試，但已觀察到FP16HMMA指令導致2步而不是4步，這與FP16占用的較小的寄存器空間有關(guān)，并且大概適用類似的原理。假設(shè)將子核心配置為峰值輸出，盡管“數(shù)字/周期的FMA運算”似乎是參考矩陣的構(gòu)成值，但仍然難以估算。通過獨立的線程調(diào)度和執(zhí)行，以及翹曲同步和整個翹曲范圍的結(jié)果分配，基本的4x4x4TensorCore運算轉(zhuǎn)換為半可編程的16x16x16混合精度矩陣乘法累加，盡管使用CUDA9.1，支持32x8x16和8x32x16配置。對于這兩種新形狀，相乘矩陣都需要相應(yīng)的16列和相應(yīng)行，并且最終矩陣為32x8或8x32；這或多或少表明，不容易支持獨立的4x4x4矩陣乘法累加運算。寄存器片段的硬編碼扭曲級行為，實現(xiàn)指令或TensorCoreALU可以很容易地導致僅扭曲級的TensorCore矩陣數(shù)學運算。從實際的角度來看，功耗會由于寄存器文件使用量的增加而受到影響，而不會顯著增加深度學習的性能。TensorCore的運行方式是GEMM計算模型重要的硬件結(jié)構(gòu)實現(xiàn)步驟，如TensorFlowCUTLASS庫函數(shù)所見（CUTLASS是Nvdia用于GEMM操作的CUDA庫）。對于傳統(tǒng)的CUDA核心，最后一步需要將扭曲圖塊結(jié)構(gòu)分解（即“分解”）成單個線程擁有的標量和矢量元素。使用WMMAAPI（現(xiàn)在意味著TensorCore），所有實現(xiàn)方式被抽象抽離了，僅保存了矩陣片段的加載/存儲和乘累加處理。累積作為FMA類型的操作就地發(fā)生。在單元件級別，NVIDIA在其《HotChips2017》論文中提到：“利用三個數(shù)據(jù)量較小的4x4矩陣的乘法和累加器數(shù)據(jù)，允許同時執(zhí)行64個運算過程。”根據(jù)白皮書，增強的VoltaSIMT模型的每線程程序計數(shù)器（啟用張量內(nèi)核）通常每個線程需要2個寄存器插槽。寄存器結(jié)構(gòu)也可能已更改；Citadel報告了2排64位配置，盡管NVIDIA本身已經(jīng)記錄了4排32位。盡管有Volta的其他增強功能（我們將在稍后介紹），但HMMA指令本身具有盡可能多的寄存器重用的功能，因此我無法想象在大多數(shù)情況下寄存器不會成為張量核的瓶頸。對于獨立的4x4矩陣乘法累加，我懷疑TensorCore數(shù)組不是針對寄存器，數(shù)據(jù)路徑和調(diào)度而物理設(shè)計的，因此它僅可用于特定的子矩陣乘法（盡管我已經(jīng)承認一段時間沒有研究線性代數(shù)）。3.4Adam優(yōu)化器Adam優(yōu)化器，即一類對隨機target函數(shù)做單階梯度優(yōu)化的算法，該算法的實現(xiàn)方式相當簡單，通過自適應(yīng)的低階預(yù)測。Adam在算法實現(xiàn)上很容易，并且擁有相當高的計算性能比和較其他優(yōu)化器其來說很低的內(nèi)存需求。Adam優(yōu)化器之所以被廣泛使用，原因就在于其梯度的對角縮放特性具有穩(wěn)定性，不會輕易發(fā)生改變，正因如此在有帶有大體量數(shù)據(jù)或輸入需要計算的問題時會被優(yōu)先考慮。Adam是一種有用且性能開銷很低的深度學習優(yōu)化器，只需求一階梯度，并且內(nèi)存需求很低，這點在運行大體量的模型時尤為重要，避免了顯存開銷過大的問題。Adam的名字來源于自適應(yīng)矩估計Adaptivemomentestimation。Adam方法是結(jié)合兩種最近流行的方法的優(yōu)點:AdaGrad(Duchi等人，2011)（如下圖），它在稀疏梯度上很有效,和RMSProp(Tieleman&Hinton,2012)，它在大部分常用的問題上都有著很優(yōu)秀的性能表現(xiàn)，這也是最初它被使用的原因，下圖為Adam優(yōu)化器的一個簡單數(shù)學解釋（圖3-7）。圖3-6優(yōu)化器數(shù)學解釋第四章實際測試選取BitofferETF期權(quán)作為測試對象，使用金融衍生品定價模型和深度學習模型進行價值預(yù)估，并基于Django架構(gòu)完成前端可視化頁面的展示工作。Bitoffer是交易所買賣基金，可追蹤比特幣的價值并在傳統(tǒng)市場交易所而非加密貨幣交易所進行交易。它們使投資者可以投資比特幣，而不必經(jīng)歷使用加密貨幣交易所的麻煩，同時又可以提供對比特幣價格的杠桿作用。ETF（交易所交易基金）是一種追蹤基礎(chǔ)資產(chǎn)或指數(shù)價格的投資基金。如今，ETF可用于多種資產(chǎn)和行業(yè)，從大宗商品到貨幣。比特幣ETF的工作方式相同-交易所交易基金（ETF）的一股價格將隨比特幣的價格波動。如果比特幣的價值增加，ETF的價值也會增加，反之亦然。但是，ETF不用在加密貨幣交易所進行交易，而可以在紐約證券交易所或TSX等市場交易所進行交易。之所以選取BTCETF基金，因為在我看來，BTCETF有以下幾個好處，將會成為新時代交易所的寵兒。1.便利性投資比特幣ETF可以充分利用比特幣的價格，而不必了解比特幣的工作原理，無需注冊加密貨幣交易所以及直接承擔擁有比特幣的風險。例如，比特幣被保存在錢包中，如果投資者丟失了錢包的密碼，他們的比特幣將永遠丟失。比特幣ETF簡化了投資比特幣的過程。2.多元化ETF可以持有不止一種資產(chǎn)。例如，比特幣ETF可能包含比特幣，蘋果股票，F(xiàn)acebook股票等，從而為投資者提供了減輕風險和使其投資組合多樣化的機會。同樣，通過在規(guī)范的市場交易所進行交易，比特幣ETF將為投資者提供分散其現(xiàn)有股票投資組合的機會。3.稅收效率鑒于比特幣不受監(jiān)管和分散管理，世界上大多數(shù)避稅天堂和養(yǎng)老基金都不允許購買比特幣。另一方面，在傳統(tǒng)交易所進行的比特幣ETF交易可能會受到美國證券交易委員會（SEC）的監(jiān)管，并有資格提高稅收效率。4.1確定參數(shù)Bitoffer為經(jīng)典的歐式期權(quán)，只與比特幣掛鉤，合約時間從一天到七天不等，可以自由選擇。選取Bitoffer購5月10日18時17分24秒1合約，則可以確定執(zhí)行價格K=48057.77元，從中國工商銀行個人儲戶存款利率表可知取7天存款利率為1.1%，作為無風險利率r=1.1%。這樣方程全部參數(shù)都是已知量，作為參數(shù)輸入，運行深度學習模型，對偏微分方程進行擬合，求近似數(shù)值解。4.2實驗結(jié)果從表4-1中可以得出，模型運行結(jié)束后近似數(shù)值解U0,t1≈49802.23，這個近似解的求出也就Bitoffer購5月10日18時17分24秒1合約持有7天后，預(yù)計價格為49802.23元，合約到期時價格為49400.17元，誤差為0迭代步數(shù)m值損失函數(shù)均值運行時間00.003145s10000.0007714s20000.0004227s30000.0003146s40000.0001253s表4-1算法運行結(jié)果第五章結(jié)束語本文的主要研究內(nèi)容為利用深度學習方法構(gòu)建神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對高維偏微分方程求近似數(shù)值解，得到一個較為精確的預(yù)估金融衍生品價格。本文在經(jīng)典的深度學習求解BSDE方法上做出改變，使用向后分辨的網(wǎng)絡(luò)，引入了TensorCore，使模型在對高維求解的精確度和時間上都有很好的結(jié)果。資產(chǎn)的準確定價或估價是金融學的一個基本研究領(lǐng)域。在這個領(lǐng)域有著大量為銀行、公司、房地產(chǎn)、衍生產(chǎn)品等開發(fā)的機器學習模型。然而，深度學習還沒有大量應(yīng)用到這個特定的領(lǐng)域。因此，在深度學習的藍海中，大有可為。同時，基于衍生產(chǎn)品的金融模式相當普遍。期權(quán)定價、套期保值策略開發(fā)、帶有期權(quán)的金融工程、期貨、遠期合約都是可以從開發(fā)深度學習模型中受益的研究。該研究的意義就在于可以通過深度學習技術(shù)可以快速且相對準確的給出金融衍生品的定價模型和價格，并且可以通過參數(shù)的調(diào)節(jié)來平衡精準度和時間的關(guān)系，況且可以使用大量的并行服務(wù)器來加快模型訓練的速度，從而可以在短時間內(nèi)得到一個足夠精確的解。在寸時寸金的金融交易市場，相信深度學習技術(shù)可以給機構(gòu)和量化交易員帶來更多的可能性。參考文獻OzbayogluAM,GudelekMU,SezerOB.Deeplearningforfinancialapplications:Asurvey[J].AppliedSoftComputing,2020:106384.HuangJ,ChaiJ,ChoS.Deeplearninginfinanceandbanking:Aliteraturereviewandclassification[J].FrontiersofBusinessResearchinChina,2020,14:1-24.EW,HanJ,JentzenA.Deeplearning-basednumericalmethodsforhigh-dimensionalparabolicpartialdifferentialequationsandbackwardstochasticdifferentialequations[J].CommunicationsinMathematicsandStatistics,2017,5(4):349-380.SteinfeldB,S