第1頁/共1頁2024北京重點(diǎn)校高一（下）期末數(shù)學(xué)匯編平面向量及其應(yīng)用章節(jié)綜合（填空題）一、填空題1．（2024北京豐臺(tái)高一下期末）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知，那么，若，，則.2．（2024北京通州高一下期末）已知分別是的角的對邊，若，，，則=，的面積為．3．（2024北京北師大附中高一下期末）已知點(diǎn)是半徑為3的圓上三點(diǎn)，，點(diǎn)是的垂直平分線上任意一點(diǎn)，則的最小值為.4．（2024北京石景山高一下期末）已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示．若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，則．5．（2024北京順義高一下期末）在長方形中，，，點(diǎn)滿足，則，．6．（2024北京通州高一下期末）在正方形中，是邊上一點(diǎn)，且，點(diǎn)為的延長線上一點(diǎn)，寫出可以使得成立的，的一組數(shù)據(jù)為．7．（2024北京101中學(xué)高一下期末）如圖，在平面四邊形中，，，記與的面積分別為，，則的值為．

8．（2024北京順義高一下期末）在銳角中，，，的面積為，則．9．（2024北京延慶高一下期末）已知長方形中，，點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)，則；的取值范圍是.10．（2024北京東城高一下期末）趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作注時(shí)介紹了“勾股圓方圖”，即“趙爽弦圖”．下圖是某同學(xué)繪制的趙爽弦圖，其中，點(diǎn)分別是正方形和正方形上的動(dòng)點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③設(shè)與的夾角為，則的值為3；④的最大值為12．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．11．（2024北京延慶高一下期末）在中，，，請從①，②，③中選擇一個(gè)，使存在且唯一，寫出滿足要求的一個(gè)條件的序號(hào).12．（2024北京海淀高一下期末）一名學(xué)生想測算某風(fēng)景區(qū)山頂上古塔的塔尖距離地面的高度，由于山崖下河流的阻礙，他只能在河岸邊制定如下測算方案：他在河岸邊設(shè)置了共線的三個(gè)觀測點(diǎn)A，B，C（如圖），相鄰兩觀測點(diǎn)之間的距離為200m，并用測角儀器測得各觀測點(diǎn)與塔尖的仰角分別為,,,根據(jù)以上數(shù)據(jù)，該學(xué)生得到塔尖距離地面的高度為m．13．（2024北京海淀高一下期末）在中，若，則k的一個(gè)取值為；當(dāng)時(shí)，．14．（2024北京海淀高一下期末）在中，，P滿足，則．15．（2024北京東城高一下期末）已知向量，，若與垂直，則實(shí)數(shù)x的值為．16．（2024北京房山高一下期末）已知向量，，且，則向量的坐標(biāo)為．17．（2024北京昌平高一下期末）已知菱形的邊長為，，，則.18．（2024北京朝陽高一下期末）已知向量，在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，向量滿足，且．若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，則，．

19．（2024北京朝陽高一下期末）在中，，，若存在且唯一，則的一個(gè)取值為．20．（2024北京朝陽高一下期末）在中，點(diǎn)D，E滿足，．若，則．21．（2024北京西城高一下期末）在中，，則，．22．（2024北京石景山高一下期末）在中，，，，則的外接圓半徑為.23．（2024北京第八中學(xué)高一下期末）已知向量，若向量與垂直，則.24．（2024北京延慶高一下期末）在中，若，，，則c等于．

參考答案1．3【分析】利用正弦定理即可求解，再利用余弦定理即可求.【詳解】，由正弦定理可得，又，，，，即，；由余弦定理可得，即，解得或（舍）.故答案為：；3.2．【分析】根據(jù)給定條件，利用向量夾角公式計(jì)算即得，再利用三角形面積公式求出面積.【詳解】依題意，，在中，，所以；的面積.故答案為：；3．【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【詳解】

以圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段的垂直平分線所在直線作為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)題意得，，，所以，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，取得最小值為，故答案為：.4．【分析】建立如圖所示坐標(biāo)系，由圖可得及的坐標(biāo)表示，后由數(shù)量積的坐標(biāo)形式下的計(jì)算公式可得答案.【詳解】由圖及網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，可得.則.則.故答案為：.5．2【分析】如圖，以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立平面直坐標(biāo)系，然后結(jié)合已知條件可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可求得答案.【詳解】如圖，以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立平面直坐標(biāo)系，則，所以，因?yàn)?，所以，所以，，所以，所?故答案為：2，6．（答案不唯一）【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算表示出，再結(jié)合向量的共線即可求得答案.【詳解】由題意知，而，故,則，又點(diǎn)為的延長線上一點(diǎn)，故,可取，則，故使得成立的的一組數(shù)據(jù)為，故答案為：.7．【分析】根據(jù)余弦定理得，，兩式相減可得，由三角形的面積公式得，即可求解.【詳解】在中，由余弦定理得，即，得①，在中，由余弦定理得，即，得②，又，所以③，由②①，得，由，得，代入③得.故答案為：.8．/0.25【分析】利用三角形面積公式求出，再利用同角公式計(jì)算得解.【詳解】依題意，，又是銳角三角形，所以.故答案為：9．4?1,0【分析】利用向量的線性運(yùn)算，再利用向量的數(shù)量積運(yùn)算即可求出結(jié)果.【詳解】①由已知長方形，，可得，②因?yàn)辄c(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)，可設(shè)，，則，所以，因?yàn)椋?，故的取值范圍?1,0.故答案為：①；②?1,0.10．②③【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量積的坐標(biāo)運(yùn)算判斷①，利用向量模的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合不等式的性質(zhì)判斷②，利用向量夾角的坐標(biāo)求法結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系判斷③，舉反例判斷④即可.【詳解】因?yàn)椋叫魏驼叫?，所以，由勾股定理得，故，，，故得是的中點(diǎn)，且作，由等面積公式得，解得，由勾股定理得，如圖，以為原點(diǎn)，以為軸，以為軸建立平面直角坐標(biāo)系，所以，，，，對于①，故，，故，故①錯(cuò)誤，對于②，設(shè)，因?yàn)槭钦叫紊系膭?dòng)點(diǎn)，故，而，故，，由題意得，故，故成立，可得②正確，對于③，作，由等面積公式得，解得，由勾股定理得，故，故，而，故是的中點(diǎn)，而，故，所以，，而與的夾角為，故，而，故，可得，解得(負(fù)根舍去)，得到，故③正確，對于④，假設(shè)運(yùn)動(dòng)到，運(yùn)動(dòng)到，此時(shí)，，故，，故，故的最大值不為12，則④錯(cuò)誤.故答案為：②③【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查平面向量，解題關(guān)鍵是建立平面直角坐標(biāo)系，結(jié)合等面積法求出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后把動(dòng)點(diǎn)視作特殊定點(diǎn)，利用向量積的坐標(biāo)運(yùn)算求值，否定給定的命題即可．11．②（或③，答案不唯一）【分析】根據(jù)正弦和余弦定理，以及三角形邊與角的性質(zhì)，直接計(jì)算即可判斷求解.【詳解】對于①，若，則，這與三角形內(nèi)角和定理矛盾，不合題意；對于②，若，則，所以，此時(shí)，存在且唯一，符合題意；對于③，若，則，因?yàn)?，所以，所以為銳角，此時(shí)，存在且唯一，符合題意.故答案為：②（或③，答案不唯一）.12．【分析】首先根據(jù)幾何關(guān)系表示邊長，再根據(jù)余弦定理求解.【詳解】由題意可知，，，，，設(shè)，則，，，根據(jù)，則，解得：所以塔尖距離底面的高度為米.故答案為：13．（答案不唯一）1【分析】根據(jù)正弦定理，可以進(jìn)行邊化角，然后得到，根據(jù)，可得k的取值，又，即可得到的具體值.【詳解】因?yàn)?，由正弦定理可得，，又，所以，所以，又，取，所以，所以?dāng)時(shí)，，故答案為：，1.14．0【分析】根據(jù)已知及數(shù)量積運(yùn)算律，即可求解.【詳解】由題意可知，.故答案為：15．【分析】根據(jù)與垂直，數(shù)量積求解參數(shù)的值.【詳解】由,若與垂直，則，解得x=2.故答案為：.16．或【分析】設(shè)向量的坐標(biāo)為，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式、模的計(jì)算公式列式即可求解.【詳解】設(shè)向量的坐標(biāo)為，由題意，解得或者，所以向量的坐標(biāo)為或者.故答案為：或.17．【分析】利用向量的線性運(yùn)算得到，，再利用數(shù)量積的定義及運(yùn)算，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，又，所以，又菱形的邊長為，，所以，故答案為：.18．0，或【分析】建立平面直角坐標(biāo)系得到、的坐標(biāo)可得；設(shè)，根據(jù)，且．建立關(guān)于的方程組求出可得的坐標(biāo)，再由的坐標(biāo)運(yùn)算可得答案.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，所以；設(shè)，則，且，所以且，由，解得，或，所以，或，所以，或.

故答案為：①0；②，或.19．5（答案不唯一）【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理列式求解即可.【詳解】在中，，，由正弦定理，得，由存在且唯一，知或且，解得或，而，所以的一個(gè)取值為5.故答案為：520．【分析】根據(jù)給定條件，利用向量的線性運(yùn)算，結(jié)合平面向量基本定理求解即得.【詳解】在中，向量不共線，由，，得，而，因此，所以.故答案為：21．12【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的定義求解即可；（2）利用向量的減法運(yùn)算化簡，再由數(shù)量積的運(yùn)算法則